高級中學名校試題PAGEPAGE1陜西省商洛市2025屆高三下學期第三次模擬檢測數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B.10 C. D.13【答案】A【解析】,所以.故選：A.2.已知為拋物線上一點，為的焦點，點到軸的距離為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于拋物線，，可得，設點，則，因為點到軸的距離為，即，由拋物線的定義可得.故選：B.3.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則或，顯然集合、沒有包含關系，則A，B錯誤；又，，故C正確，D錯誤.故選：C.4.某地為促進消費，向當地市民隨機發放了面值10元、20元、50元的線下消費滿減電子券，每位市民可以領取一張，且每筆消費僅能使用一張．某支持使用該消費券的大型商場統計到某日使用了10元、20元、50元消費券的消費賬單的數量之比為，若對這些賬單用等比例分層隨機抽樣的方法進行抽樣調查，抽取一個容量為50的樣本，則樣本中使用了50元消費券的消費賬單的份數為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】B【解析】根據題意，使用50元消費券的消費賬單占總消費賬單的：.所以抽取的樣本中，使用了50元消費券的消費賬單的份數應為：份.故選：B5.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，橢圓的焦距，長軸長，所以該橢圓的離心率.故選：A6.若函數在上有極值，則的取值可能是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】因為函數在上有極值，所以在上有變號實根.因為，所以在上有變號實根.因為，所以，故.故選：B7.已知是偶函數，且在上單調遞增，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為函數是偶函數，且在上單調遞增，則該函數在上為減函數，因為，所以，，且函數在上為增函數，所以，，因為函數在上為減函數，則，故，且，所以，，故選：D.8.已知正三棱錐的底面邊長為，側面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正三棱錐中，正的邊長為，如下圖所示：取線段的中點，連接，則，因為正三棱錐的側面積為，則，可得，所以，，，設點在底面的射影為點，則為正的中心，且，，設正三棱錐的外接球球心為，則在直線上，設球的半徑為，則，由勾股定理可得，即，解得，因此，該正三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則下列命題正確的是（）A.的定義域為 B.的值域為C.是奇函數 D.在上單調遞減【答案】BCD【解析】由，解得，，所以的定義域為，A錯誤.，，所以的值域為，B正確.，所以是奇函數，C正確.當時，函數單調遞增，且.函數在上單調遞減，根據復合函數的單調性可得在上單調遞減，D正確.故選：BCD.10.過點向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】令，則.設切點為，則切線方程為，將點代入，整理得，即，解得或.當時，切線方程為；當時，切線方程為.故選：AC11.數列滿足，，，…，，依此類推，則下列結論正確的是（）A.的最小值為 B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】根據規律可得，，；當m的值每增加1時，的變化在內，所以的值單調遞增.當時，取最小值，最小值為，正確.易得，所以，即，所以，錯誤.若，則，，，，；記數列為1，2，3，5，…，則，.記，則；所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.，正確.，要使得取最小值；則n為奇數，此時，正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______，______．【答案】①.3②.【解析】由，解得，則.故答案為：3；.13.已知圓的半徑為，弦，為圓上一動點，則的最大值為______．【答案】【解析】以圓心為原點，過點且與直線的直線為軸，線段的垂直平分線所在直線為軸建立平面直角坐標系，則、，設點，，，所以，，當且僅當時，取最大值.故答案為：.14.設計一個五位的信息密碼，每位數字均在中選取，則含有數字、、，且、、都只出現一次的信息密碼有______個．【答案】【解析】先從個數位選擇個數位分別排、、，剩余的個數位上的數字從、、、、、、中選擇，每個數位有種選擇，由分步乘法計數原理可知，滿足條件的信息碼的個數為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知、、分別為三個內角、、的對邊，且．（1）求；（2）若，求外接圓的面積．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，即，因為、，所以，，則有，故.（2）設外接圓的半徑為，由正弦定理，，故，因此，外接圓的面積為.16.甲、乙、丙三人進行乒乓球比賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，輸的一方在下一局當裁判．已知各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果都相互獨立，第一局丙當裁判．（1）若比賽進行三局，求第三局甲不當裁判的概率；（2）若有人獲勝兩局，則比賽結束，用表示比賽結束時比賽局數，求的分布列與數學期望．解：（1）若比賽進行三局，第三局甲不當裁判，則第二局甲贏，第一局甲也贏，或者第一局甲輸，則甲第三局必定參加比賽，故所求概率為.（2）由題意可知，的可能取值有、、，若，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以，，若，則第二、三局均為丙贏，所以，，若，則前三局沒有人累計勝兩局，必須進行第四局，第四局后無論勝負都有人累計獲勝兩局，所以，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，.17.已知雙曲線經過點，離心率為．（1）求的方程．（2）已知的左、右焦點分別為、，直線與相交于、兩點．①若的斜率為，求線段的中點的軌跡方程；②若經過點，且，求的方程．解：（1）由題意可得，解得，故雙曲線的方程為.（2）①設點、，設點，設直線的方程為，聯立可得，則，由韋達定理可得，可得，則，即點的軌跡方程為；②易知點、，若直線與軸重合，則、為雙曲線的頂點，顯然，不合乎題意；若直線軸，由對稱性可知，點、關于軸對稱，則；當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，設點、，聯立可得，由題意可得，解得，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，若，則，，，所以，，解得.綜上所述，直線的方程為或或.18.如圖，在等腰梯形中，，，，分別為，的中點，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，連接，．已知，，，為射線上一點．（1）若，證明：平面．（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求PF．（1）證明：在線段上取一點，使得，連接、，因為，所以且，又，，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：在等腰梯形中，，，，分別為，的中點，所以，沿線段將四邊形翻折到四邊形的位置，所以，，平面，所以平面，如圖以為坐標原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，所以，設，所以，設平面的法向量為，則，取，直線的一個方向向量為，所以，解得或（舍去），所以.19.定義：若函數與在公共定義域內存在，使得，則稱與為“契合函數”，為“契合點”．（1）若函數和為“契合函數”，求的取值范圍．（2）已知函數和為“契合函數”且有兩個“契合點”．①求的取值范圍；②若，證明：．解：（1）由題意知：與的公共定義域為，令，即，，令，若與為“契合函數”，則與有交點.，當時，，，即；當時，；當時，，，即；在上單調遞減，在上單調遞增，，又當時，；當時，；大致圖象如下圖所示，由圖象可知：當時，與有交點，即當與為“契合函數”時，的取值范圍為.（2）①由題意知：與的公共定義域為，令，則，即；令，則，當時，；當時，；在