高級中學名校試題PAGEPAGE1山東省青島市平度市2025屆高考模擬檢測數學試題（一）一、單項選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故選：C.2.已知復數滿足，則復數的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，則，即復數的虛部為，故選：C.3.設一個球的表面積為，它的內接正方體的表面積為，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設正方體的棱長為1，所以正方體的表面積為，正方體的體對角線即為正方體外接球的直徑，設外接球的半徑為，則，即，所以球的表面積，所以．故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故選：A．5.已知向量，，，若點不能構成三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得,，若點三點共線，則點不能構成三角形,即，解得：，所以值為.故選：B.6.已知數列，，且，將與的公共項按從大到小的順序排列組成一個新數列，則的前10項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為數列是正奇數數列，對于數列，當為奇數時，設，則，為奇數；當為偶數時，設，則，為偶數，所以，由數列的函數特性知為遞減數列，又，所以，故選：C．7.已知橢圓的左、右焦點分別為，為為坐標原點，以為圓心，為半徑的圓與橢圓交于M，N兩點，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，由橢圓定義得，故，∵，，∴，∴與相似，∴，即，整理得，故，解得，由得，，即橢圓的離心率為.故選：B.8.已知函數的定義域為，若為偶函數，且，，則（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】A【解析】由為偶函數，得，即，則，因此，即，則，于是，函數是周期為4的周期函數，由，得，因此，所以．故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.為了研究與的線性相關關系，收集了5組樣本數據（見下表），假設經驗回歸方程為，則（）123450.50.811.21.5A.B.當時的殘差為C.樣本數據的％分位數為0.8D.去掉樣本點后，與的樣本相關系數不變【答案】ABD【解析】由題，所以，故A選項正確；由A，當時，，所以時的殘差為，所以B選項正確；因為，所以樣本數據的％分位數為，C選項錯誤；去掉樣本點后，而，由于，所以去掉樣本點后，與的樣本相關系數不變，故D正確.故選：ABD10.拋物線的焦點為，直線過且與交于兩點，為坐標原點，點為上一點，且，則（）A.過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有條B.當的面積為時，C.為直角三角形D.的最小值為【答案】BD【解析】拋物線的焦點為，準線為因點為上一點，且，由拋物線定義可得，則拋物線方程為：.對于A，注意到，則點M在拋物線外，如圖所示，則過M點可做拋物線的兩條切線，此外直線過點M，且與拋物線只有一個公共點，故過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有條，故A錯誤；對于B，設直線AB方程為：，將直線AB方程與拋物線聯(lián)立，可得：，設，由韋達定理：，由圖可得，則.又由拋物線定義可得，故B正確；對于C，可得注意到，則，故為鈍角，則為鈍角三角形，故C錯誤；對于D，由B，，則由拋物線定義：.當且僅當，即時取等號.故D正確.故選：BD11.已知函數，記一次完整的圖形變換為“T變換”，“T變換”的規(guī)則為：將函數圖象向右平移2個單位，縱坐標縮短為原來的，再向上平移1個單位，的圖象經歷一次“T變換”得到的圖象，依此類推，經歷次“T變換”后，得到的圖象，則（）A.B.若，則C.當時，函數的極大值之和小于D.【答案】ACD【解析】，其中，即，故A正確；作出的圖象，可得．若，只需，對即可，故，故B錯誤；記的極大值為（也是最大值），則，且，則，即，即，故D正確；當時，函數的極大值之和，故C正確；故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則____________.【答案】【解析】因為且，所以，解得.故答案為：13.在中，角的對邊成公差為的等差數列.若，則的面積為___________.【答案】【解析】因為成公差為的等差數列，所以；因為，由正弦定理可得；解得，，，由余弦定理可得，因為，所以，所以的面積為，故答案為：.14.有個編號分別為的盒子，第1個盒子中有2個紅球1個白球，其余盒子中為1個紅球1個白球，現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到紅球的概率是________，從第個盒子中取到紅球的概率是__________.【答案】①.②.【解析】設事件表示“從第i個盒子中取到紅球”（），則，，所以，則當時，，所以，又，則數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以．故答案為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角所對的邊分別為，其面積.（1）求的值；（2）若，且，求.解：（1）由已知得，由正弦定理可得：，.（2）由可得，由（1）可得，解得，，，，，由余弦定理得：.16.如圖，在多面體中，，中點為.（1）求證：四點共面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的大小.（1）證明：連接，由為中點，得，由，得，而平面，則平面，同理平面，又平面與平面有公共直線，所以四點共面；（2）解：由（1）知，是二面角的平面角，設，由，得，則，，直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設平面的法向量為，則，取，得，設直線與平面所成角為，依題意，，即，平方化簡整理得，而,則，即，又，則，所以平面與平面夾角的大小為.17.已知雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為.點在的右支上，當軸時，.（1）求的方程;（2）若直線與的另一個交點為，求面積的最小值.解：（1）由題知，又軸時，有代入方程解得，，則雙曲線的方程為：；（2）設直線方程為，，消去得，則，所以，，因為，令，則，得設，則該函數在上單調遞減，則，故，，即面積的最小值為12.18.《周易》反映了中國古代的二進制計數的思想方法，可以解釋為：把陽爻“”當做數字“”，把陰爻“”當做數字“”，例如，成語“否極泰來”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二進制數為，轉化為十進制數是，“泰”卦所表示的二進制數為，轉化為十進制數是（1）若某卦的符號由五個陽爻和一個陰爻構成，求所有這些卦表示的十進制數的和；（2）在由三個陽爻和三個陰爻構成的卦中任取一卦，若三個陽爻均相鄰，則記分；若只有兩個陽爻相鄰，則記分；若三個陽爻互不相鄰，則記分，設任取一卦后的得分為隨機變量，求的分布列和數學期望．解：（1）因為該卦的符號由五個陽爻和一個陰爻構成，所以該卦所表示的二進制數共有個，分別為、、、、、，因為這個數中，每個數位都是次和次，所以這些卦表示的十進制數的和為：；（2）由題意可知，隨機變量的所有可能取值有、、，則，，，則隨機變量的分布列如下表所示：故.19.懸鏈線的原理運用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過建立坐標系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數的圖象.現定義雙曲正弦函數，回答以下問題：（1）類比三角函數的導數關系：，，寫出與的導數關系式，并證明；（2）對任意，恒有成立，求實數a的取值范圍；（3）求的最小值．解：（1）導數：，，；依題意，，所以.（2）構造函數，，由（1）可知，當時，由，，函數在上單調遞增，對，，即恒成立，因此；當時，令，，求導得，而函數在上都單調遞增，函數在上單調遞增，因