高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山東省臨沂市2025屆高三2月一模考試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）AB.C. D.【答案】A【解析】，故選：A2.已知集合.若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，因?yàn)椋裕獾茫缘娜≈捣秶鸀?故選：D.3.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以該直線的一個(gè)方向向量為，因?yàn)椋韵蛄颗c向量是共線向量，其他選項(xiàng)的向量與向量不是共線向量，故選：B4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】C【解析】圓的圓心，半徑，圓，即，圓心，半徑，則，所以兩圓外切.故選：C.5.在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又，所以，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得或（舍去）.故選：B.6.的展開(kāi)式中的一項(xiàng)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，對(duì)比選項(xiàng)依次代入得對(duì)應(yīng)項(xiàng)，的展開(kāi)式中的項(xiàng)可以是.故選：C.7.已知，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)槭莾?nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，并且是奇函數(shù)，所以,所以“”是“”充分必要條件，故選：C.8.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足時(shí)，的最小值為（）A.49 B.50 C.99 D.100【答案】D【解析】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，所以，即，此時(shí)，也滿足該式，故，若，解得，故所求為100.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲，乙兩個(gè)體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績(jī)（單位：厘米）如下：甲組：，，，，，，，，，，，乙組：，，，，，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是252B.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是246C.從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率為D.甲組中存在這樣的成員，將他調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋约捉M數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)，即253，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋砸医M數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，甲組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有7人，乙組中跳遠(yuǎn)成績(jī)?cè)?50厘米以上的有2人，所以從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個(gè)成員，兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)均在250厘米以上的概率為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，甲組的平均成績(jī)?yōu)槔迕祝医M的平均成績(jī)?yōu)槔迕祝詫⒓捉M中跳遠(yuǎn)成績(jī)?yōu)?48厘米的成員調(diào)派到乙組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績(jī)都有提高，故D正確.故選：BCD.10.圓柱軸截面是正方形，分別是上、下底面的圓心，是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線，若圓柱的側(cè)面積為，則（）A.圓柱的體積是B.圓柱內(nèi)切球的表面積是C.D.點(diǎn)到直線距離的最大值為【答案】AC【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，所以母線為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以.因?yàn)閳A柱的體積是，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)閳A柱的底面半徑為2，所以母線為4，所以圓柱內(nèi)切球的半徑為，所以圓柱內(nèi)切球的表面積是，因此選項(xiàng)B不正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，，，所以選項(xiàng)C正確；設(shè)，直線的單位方向向量為，所以點(diǎn)到直線距離為，由題意，所以當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.11.將曲線經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)可得到雙曲線，若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于BC，由題意將曲線夾在中間的兩條漸近線方程為，所以這兩條漸近線所形成的那個(gè)銳角的一半為，曲線的兩條漸近線的中間那條直線為，聯(lián)立以及，解得或，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，解得，故BC正確，對(duì)于A，若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D，要求，由雙曲線的對(duì)稱性可知，只需聯(lián)立與，解得或，即，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)隨機(jī)變量，若，則__________.【答案】【解析】由題意，，所以，解得.故答案為：.13.2025年春晚，劉謙表演了一個(gè)現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)魔術(shù)，道具只有三個(gè)：勺子、筷子和杯子.劉謙讓觀眾從左到右隨便擺放這三個(gè)道具，分為三個(gè)位置：左位、中位和右位.假若按照魔術(shù)規(guī)則只進(jìn)行前兩步：第一步，筷子跟它左邊的東西互換位置，如果筷子已經(jīng)在最左邊，那么就不需要移動(dòng)；第二步，杯子跟它右邊的東西互換位置，如果杯子已經(jīng)在最右邊，就不需要移動(dòng).完成這兩步后，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的概率是__________.【答案】【解析】我們不妨把勺子、筷子和杯子的第一個(gè)字的拼音的第一個(gè)小寫(xiě)英文字母來(lái)代替這三個(gè)東西，例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，一開(kāi)始狀態(tài)有六種情況，我們用表示一次調(diào)換，那么根據(jù)題意有，第一種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第二種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第三種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第四種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，第五種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，（本質(zhì)上沒(méi)有調(diào)換），第六種初始狀態(tài)下的變換過(guò)程為：，從以上可以看出來(lái)，末狀態(tài)杯子在右邊對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)有：第一、二、三、五、六種初始狀態(tài)共5種情況，在杯子出現(xiàn)在右位的條件下，筷子出現(xiàn)在中位的末狀態(tài)只能是（對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)是第二種初始狀態(tài)），故所求概率為.故答案為：.14.點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，記兩點(diǎn)間的最小距離為，若，則__________.【答案】【解析】已知點(diǎn)在直線上，則將點(diǎn)代入直線方程可得①.點(diǎn)在拋物線上，則將點(diǎn)代入拋物線方程可得②.因?yàn)椤牲c(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以.由①可得，由②可得，則.令，則，將其轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式：，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，.因?yàn)椋裕瑒t.，可以發(fā)現(xiàn)上式中相鄰兩項(xiàng)的分子分母可以約分，約分后可得：.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）由正弦定理邊化角可得，即所以，因?yàn)椋裕郑獾茫唬?）若，則，這里是三角形外接圓的半徑，解得，由余弦定理可得.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）令，則，令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，如圖，作出函數(shù)的大致圖象，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.17.《教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)規(guī)劃綱要（年）》中指出深入實(shí)施素質(zhì)教育，健全德智體美勞全面培養(yǎng)體系，加快補(bǔ)齊體育、美育、勞動(dòng)教育短板，某中學(xué)為了解學(xué)生每天參加綜合體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名男生和100名女生，統(tǒng)計(jì)他們周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)，數(shù)據(jù)如下表所示：運(yùn)動(dòng)步數(shù)（萬(wàn)步）合計(jì)人數(shù)（男）1294100人數(shù)（女）1472100表中數(shù)據(jù)成等差數(shù)列；成公比為正整數(shù)的等比數(shù)列.（1）若周一到周五在校期間的運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步視為體育鍛煉達(dá)標(biāo)，估計(jì)該中學(xué)男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)率；（2）為進(jìn)一步了解女生每天參加綜合體育活動(dòng)情況，在步數(shù)位于兩組內(nèi)的女生中，采用等比例分層抽樣的方法抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，記步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望.解：（1）已知成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則.又因，即.由等差數(shù)列性質(zhì)，可得.聯(lián)立方程組，解得，，.男生運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到5萬(wàn)步（即、、這三組）的人數(shù)為人.所以男生體育鍛煉的達(dá)標(biāo)率為.（2）因?yàn)槌晒葹檎麛?shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為（），且，即.所以，即.因?yàn)椋?dāng)，舍去；當(dāng)滿足題意；當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.當(dāng)，舍去.步數(shù)位于內(nèi)的女生人數(shù)為人，步數(shù)位于內(nèi)的女生人數(shù)為人.采用等比例分層抽樣抽取10人，則從步數(shù)位于內(nèi)抽取人，從步數(shù)位于內(nèi)抽取人.隨機(jī)變量表示步數(shù)在內(nèi)的人數(shù)，的可能取值為，，.；；；所以的分布列為：期望.18.在中，，如圖將沿翻折至.（1）證明：平面平面；（2）若二面角大小為.（i）求與平面所成角的正弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.（1）證明：因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫云矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫妫唬?）解：（i）在四棱錐中，由（1）知即二面角的平面角，故，因?yàn)椋裕瑥亩^(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，又因?yàn)椋傻闷矫妫c平面所成角即為.在中，由余弦定理可得：，由等面積法，，所以與平面所成角的正弦值為；（ii）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，可得，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，即，令，可得，，即，令，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，，解得或，所以存在點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)滿足題意.19.已知橢圓的離心率為是的左、右焦點(diǎn)，且，直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）若，求的方程；（3）若直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，且的斜率乘積為分別是線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?/p>