試題PAGE1試題試題PAGE2試題2023年廣東省廣州市天河區華南師大附中平行班中考一模數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．“新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到2022年10月7日，全球累計確診人，這個數據用科學記數法表示（精確到萬位），正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將原數精確到萬位，然后根據科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，n是正整數，當原數絕對值時，n是負整數．【詳解】解：，故選：D．【點睛】本題考查了近似數以及科學記數法表示絕對值大于的數．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．2．下列計算正確的是（）A．＝a+b B．a15÷a5＝a3（a≠0）C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7【答案】C【分析】直接利用二次根式的性質以及同底數冪的除法運算法則、去括號法則、冪的乘方運算法則分別化簡得出答案．【詳解】解：A、無法化簡，故此選項錯誤，不符合題意；B、a15÷a5＝a10（a≠0），故此選項錯誤，不符合題意；C、﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a，故此選項正確，符合題意；D、（a5）2＝a10，故此選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了二次根式的性質，同底數冪的除法、去括號法則以及冪的乘方運算，解題的關鍵是熟練掌握相關性質以及運算法則．3．下列命題中，是真命題的是（

）A．三角形的外心是三角形三個內角角平分線的交點B．的平方根是4C．對角線相等的四邊形各邊中點連線所得四邊形是矩形D．五邊形的內角和為【答案】D【分析】根據三角形外心定義，平方根定義，矩形判定及多邊形內角和定理逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線交點，故A選項是假命題，不符合題意；的平方根是，故B選項是假命題，不符合題意；對角線相等的四邊形各邊中點連線所得四邊形不一定是矩形故C選項是假命題，不符合題意；五邊形的內角和為，故D是真命題符合題意；故選D．【點睛】本題考查三角形外心定義，平方根定義，矩形判定及多邊形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握幾個定義．4．從甲、乙、丙、丁四名青年骨干教師中隨機選取兩名去參加“同心向黨”演講比賽，則恰好抽到甲、丙兩人的概率是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據列表法求概率即可．【詳解】解：設表示甲、乙、丙、丁四名青年骨干教師，列表如下ABCDA--ABACADBBA--BCBDCCACB--CDDDADBDC--共有12種等可能結果，其中恰好抽到甲、丙兩人有2種結果，故恰好抽到甲、丙兩人的概率為．故選B【點睛】本題考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解題的關鍵．5．二次函數中，函數與自變量的部分對應值如下表：…012……50…當時，自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據表格可知該二次函數圖象開口向上，且對稱軸為直線，進而可知當時，，即得出當時，自變量的取值范圍是．【詳解】由表格可知該二次函數當時，；時，；時，，∴該二次函數圖象開口向上，且對稱軸為直線．∵時，，∴時，，∴當時，自變量的取值范圍是．故選D．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質．根據表格數據推斷出該二次函數圖象開口向上，且對稱軸為直線是解題關鍵．6．抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產之一．如示意圖，，分別與相切于點C，D，延長，交于點P．若的半徑為，則圖中弧的長為_______．（結果保留）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，利用切線的性質得到，再結合求得圓心角的度數，最后利用弧長公式即可求解．【詳解】如圖，連接，，∵，分別與相切于點C，D，∴，，∴，又∵，∴，∴的長，故選：A【點睛】本題考查了切線的性質和弧長公式的運用，利用四邊形的內角和等于360°求得圓心角的度數是解題的關鍵．7．如圖，中，，，，以點為圓心，為半徑作，當時，與的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【分析】根據中，，，求出AC的值，再根據勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當時，與的位置關系是：相切故選：B【點睛】本題考查了由三角函數解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關系等知識，利用勾股定理解求出BC是解題的關鍵．8．直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（

）.A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個【答案】D【分析】根據直線不經過第二象限，得到，再分兩種情況判斷方程的解的情況.【詳解】∵直線不經過第二象限，∴，∵方程，當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，當a<0時，方程為一元二次方程，∵?=，∴4-4a>0，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：D.【點睛】此題考查一次函數的性質：利用函數圖象經過的象限判斷字母的符號，方程的解的情況，注意易錯點是a的取值范圍，再分類討論.9．在矩形中，頂點C在第一象限且在反比例函數上，與y軸交于點D，且與x軸負半軸的夾角的正弦值為，連接，，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點C作軸于點E，由題意可知，由，可知，設，則，利用三角函數求得，利用，求得a的值，在中利用三角函數求得和的長，從而求得點C的坐標，即可求得k的值．【詳解】解：過點C作軸于點E，四邊形是矩形，，，軸，，軸，，，，，設，則，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，三角函數，反比例函數k的幾何意義等知識的綜合運用，求出點C的坐標，是解決本題的關鍵．二、填空題10．分解因式：______．【答案】【分析】根據提公因式法和公式法分解因式即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查綜合提公因式法和公式法分解因式，熟練掌握該知識點是解題關鍵．11．方程的最簡公分母是_____________________．【答案】【分析】根據最簡公分母的定義進行解答即可．【詳解】解：，，∴最簡公分母是．故答案為：．【點睛】本題考查解分式方程，最簡公分母，解題的關鍵是明確最簡公分母的定義，最簡公分母是各分母所有因式的最高次冪的乘積．12．如圖，平面直角坐標系中，點A(4，3)，點B(3，0)，點C(5，3)，∠OAB沿AC方向平移AC長度的到∠ECF，四邊形ABFC的面積為_________．【答案】3【分析】根據平移的性質可判斷出四邊形ABFC是平行四邊形，根據點坐標的性質易得四邊形ABFC的底和高，繼而即可求解．【詳解】解：∵點A(4，3)，點C(5，3)，∴AC＝5－4＝1，AC∥x軸，∵∠OAB沿AC方向平移AC長度的到∠ECF，∴AB∥CF，AC＝BF∴四邊形ABFC是平行四邊形，∴平行四邊形ABFC的高為C到x軸的距離，h＝3∴S四邊形ABFC＝AC×h＝1×3＝3故答案為：3．【點睛】本題考查平移的性質，點坐標的性質，平行四邊形的判定及其面積公式．解題的關鍵證得四邊形ABFC是平行四邊形，并根據點的坐標性質求得平行四邊形ABFC的高．13．一元二次方程有兩個相等的實數根，點、是反比例函數上的兩個點，若，則________（填“＜”或“＞”或“＝”）．【答案】＜【分析】先由一元二次方程根的判別式求得m，再根據反比例函數的性質求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數根，∴△=36-4m=0，解得：m=9，∵-9＜0，∴反比例函數的圖象在第二、四象限，在每一象限內，y隨x的增大而增大，∴若，則＜，故答案為：＜．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式、反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解答的關鍵．14．如圖，正方形中，等腰直角繞著點旋轉，，，則______．【答案】【分析】連接，證，得，根據等角直角三角形斜邊與直角邊的比例關系即可得出比值．【詳解】解：如右圖，連接，由題知，四邊形為正方形，為等腰直角三角形，，，由題知，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，，，，故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、旋轉變換的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、直角三角形的性質等知識；本題綜合性強，根據，，證是解題的關鍵．15．如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB=10，AD=12，現將紙片進行如下操作：現將紙片沿折痕BF進行折疊，使點A落在BC邊上的點E處，點F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進行第二次折疊，使點C落在第一次的折痕BF上的點G處，點H在BC上（如圖3），給出四個結論：①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③=；④GH的長為5，其中正確的結論有________．（寫出所有正確結論的番號）【答案】①③④【分析】過G點作MN∥AB，交AD、BC于點M、N，可知四邊形ABEF為正方形，可求得AF的長，可判斷①，且△BNG和△FMG為等腰三角形，設BN＝x，則可表示出GN、MG、MD，利用折疊的性質可得到CD＝DG．在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，則可求得BH，容易判斷②③④，可得出答案．【詳解】如圖，過點G作MN∥AB，分別交AD、BC于點M、N．∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折疊可得：AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四邊形ABEF為正方形，∴AF＝AB＝10，故①正確；∵MN∥AB，∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，設BN＝x，則GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折疊的可知DG＝DC＝10．在Rt△MDG中，由勾股定理可得：MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得：x=18（舍去），x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，∴△MGD∽△NHG，∴，即，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④正確；又∵△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4，GF＝6，∴△BGH的周長＝BG+GH+BH＝45+7＝12+4，故②不正確；③正確；綜上可知正確的為①③④．故答案為①③④．【點睛】本題是四邊形綜合題，涉及知識點有矩形的性質、正方形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、折疊的性質及方程思想等．過G點作AB的平行線，構造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的長度是解題的關鍵．本題考查了知識點較多，綜合性質較強，難度較大．三、解答題16．解不等式組：【答案】【分析】先分別求出兩個不等式的解集，再根據夾逼原則求出不等式組的解集即可．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組的解集為．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個一元一次不等式的解集是解題的關鍵．17．如圖，點A、、、在同一條直線上，若，，求證：．【答案】見解析【分析】由知，結合，，依據“”可判定≌，依據兩三角形全等對應邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．18．已知代數式．(1)化簡已知代數式；(2)若a滿足，求已知代數式的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)首先算括號內的及進行因式分解，再把除法運算變為乘法運算，即可求得結果；(2)由題意得，再把此式代入化簡后的式子，即可求得結果．【詳解】（1）解：；（2）解：由，得，所以，原式．【點睛】本題考查了分式的混合運算，代數式求值問題，準確計算是解決本題的關鍵．19．自疫情暴發以來，我國科研團隊經過不懈努力，成功地研發出了多種新冠疫苗，以下是某地甲、乙兩家醫院月份某天各年齡段接種疫苗人數的頻數分布表和接種總人數的扇形統計圖：甲醫院乙醫院年齡段頻數頻率頻數頻率周歲周歲周歲(1)根據上面圖表信息，回答下列問題：①填空：

，

，

；②在甲、乙兩醫院當天接種疫苗的所有人員中，周歲年齡段人數在扇形統計圖中所占圓心角為

；(2)若A，，三人都于當天隨機到這兩家醫院接種疫苗，請用列表或畫樹狀圖的方法求這三人在同一家醫院接種的概率．【答案】(1)①，，；②：(2)【分析】分別求出在甲醫院和乙醫院的接種人數，即可解決問題；由乘以周歲年齡段人數所占比例即可；畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中A、、三人在同一家醫院接種的結果有種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）在甲醫院接種人數為：人，，，在乙醫院接種人數為：人，，故答案為：，，；在甲、乙兩醫院當天接種疫苗的所有人員中，周歲年齡段人數在扇形統計圖中所占圓心角為：，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有種等可能的結果，其中A、、三人在同一家醫院接種的結果有種，這三人在同一家醫院接種的概率為．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率的知識以及頻數分布表和扇形統計圖．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數與總情況數之比．20．為增加學生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費了3600元，購買“文學類”圖書花費了2700元，其中“科普類”圖書的單價比“文學類”圖書的單價多20%，購買“科普類”圖書的數量比“文學類”圖書的數量多20本．（1）求這兩種圖書的單價分別是多少元？（2）學校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費用不超過1600元，求最多能購買“科普類”圖書多少本？【答案】（1）“文學類”圖書的單價為15元，則“科普類”圖書的單價為18元；（2）最多能購買“科普類”圖書33本．【分析】（1）設“文學類”圖書的單價為x元，則“科普類”圖書的單價為1.2x元，根據數量＝總價÷單價，結合購買“科普類”圖書的數量比“文學類”圖書的數量多20本，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設能購買“科普類”圖書m本，根據總價＝單價×數量，列出不等式，即可求解．【詳解】解：（1）設“文學類”圖書的單價為x元，則“科普類”圖書的單價為1.2x元，依題意，得：，解得：x＝15，經檢驗，x＝15是所列分式方程的解，且符合題意，∴1.2x＝18．答：“文學類”圖書的單價為15元，則“科普類”圖書的單價為18元；（2）設能購買“科普類”圖書m本，根據題意得：18m+15(100-m)≤1600，解得：，∵m為整數，∴最多能購買“科普類”圖書33本．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及不等式的應用，找準數量關系，正確列出分式方程和一元一次不等式是解題的關鍵．21．平行四邊形的兩個頂點A、在反比例函數圖象上，點、在軸上，且、兩點關于原點對稱，交軸于點(1)已知點A的坐標是，求的值及點的坐標；(2)在（1）的條件下，若的面積為，求點到直線的距離．【答案】(1)的值是，點的坐標是(2)【分析】（1）根據點的坐標是，平行四邊形的兩個頂點、在反比例函數圖象上，點、在軸上，且、兩點關于原點對稱，可以求得的值和點的坐標；（2）根據的面積為2，可以求得的長，從而可以求得點的坐標，進而可以求得直線的解析式，從而可以求得點的坐標，再根據的面積的面積，可以求得的長，即的長就是點到直線的距離．【詳解】（1）點的坐標是，平行四邊形的兩個頂點、在反比例函數圖象上，點、在軸上，且、兩點關于原點對稱，，點與點關于原點對稱，，，即的值是6，點的坐標是；（2）過點作軸于點，過點作，如圖，點，，，的面積為2，，即，得，點，設過點，的直線解析式為，，得，過點，的直線解析式為，當時，，得，點的坐標為，點，，點和點關于點對稱，，，即，解得，，即點到直線的直線得距離為．【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題、平行四邊形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答問題．22．如圖，為的直徑，為延長線上一點，為的切線，切點為，于點，且與交于點．（1）求證：點為的中點；（2）如果，，求的長．【答案】（1）見解析（2）．【分析】（1）連接OD,BF，根據切線定理和弦是直徑的圓周角定理可得,,證出，得到，即可得到結果;（2）先根據已知條件求半徑，中，代入可得，由（1）得，所以，即可得出結果.【詳解】（1）連接，相交于點．∵為的切線，∴．∴為的直徑，∴．∴．∴．即．∴為的中點．（2）在中，，設的半徑為．∴．∴．由（1）得，∴．在中，，∴．∴．【點睛】本題主要考查了緣切線的性質應用，結合三角函數概念的表示進行求解.23．拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，－3）、B（4，0），①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO＝∠POB，求點D的坐標；（2）如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）①y＝x2-；②點D的坐標為（-1，-3）或（，）；（2）是定值，等于