利用導數研究函數的性質——一題多問一．知識梳理1.函數的單調性在某個區間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在這個區間內單調遞減．2.函數的極值(1)一般地，求函數y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當f′(x0)＝0時：①如果在x0附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，那么f(x0)是極小值．(2)求可導函數極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右兩側導數值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．3.函數的最值(1)在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．(3)設函數f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．函數的零點二．解題方法1.確定函數單調區間的步驟(1)確定函數f(x)的定義域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間．(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．2.含參數的函數的單調性(1)研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點．3.函數極值的兩類熱點問題(1)求函數f(x)極值的一般解題步驟①確定函數的定義域；②求導數f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數定義域內的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號．(2)根據函數極值情況求參數的兩個要領①列式：根據極值點處導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．②驗證：求解后驗證根的合理性．4.用導數求函數的最值求函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟(1)求函數在(a，b)內的極值．(2)求函數在區間端點的函數值f(a)，f(b)．(3)將函數f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．5.函數極值和最值的綜合問題(1)求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要討論參數的大?。?2)求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值．5.用導數求恒成立問題（1）優先選擇參變分離的方法,給定區間恒成立問題，能分參是則分參.（2）無法分參時，即參數的系數正負不確定或者分參后形式很復雜時則考慮含參討論.6.用導數證明不等式（1）直接構造函數法：證明不等式轉化為證明，進而轉化成構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見結論放縮；（3）構造“形似函數”稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.例1.函數（1）若在點處的切線方程為，求實數的值；（2）若在處取得極值，求實數的值；（3）求的單調的單調區間；（4）當時，若函數的圖像與直線恰有一個交點，求實數的取值范圍；（5）當時，討論函數的零點的個數；（6）當時，若對，恒有成立，求實數的取值范圍；（7）當時，，使得成立，求實數的取值范圍；（8）當時，若對，恒有成立，求實數的取值范圍；（9）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；（10）若在函數的圖像上總存在點,使得軸，求實數的取值范圍；（11）當時，若函數在上不單調，求實數的取值范圍；（12）當時，令，若對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍；（13）當時，求函數在上的最大值。【解析】：（1）由，得，由，得所以，解得：。（2）因為，由題意，所以，檢驗：當時，令，則或++極大值極小值所以滿足題意。（3）由，得，因為，所以當時，即時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增，無遞減區間；當時，即時，由得，，令，則，所以得++極大值極小值故的遞增區間是、；遞減區間是；綜上：當時，函數的遞增區間是，遞減區間無；當時，函數的遞增區間是、，遞減區間是。（4）當時，令，則或++極大值極小值所以，，又因為當時，；當時，；由題意，或解得：，或，所以實數的取值范圍是。（5）令，則，因為當時，，所以令，則或++極大值極小值所以，，又因為當時，；當時，；所以：當，或時，即當，或時，函數有且只有一個零點；當，或時，即當，或時，函數有且只有兩個零點；當時，即當時，函數有且只有三個零點。（6）當時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，所以由題意可得，即，所以實數的取值范圍是。（7）當時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，，所以由題意可得，即，因為，所以所以實數的取值范圍是。（8）當時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，所以由題意可得，即，所以實數的取值范圍是。（9）由，得，由題意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，因為，所以當，所以，所以實數的取值范圍時。（10）由，得，因為在函數的圖像上總存在點,使得軸，所以函數在上是不單調的，若函數在上是單調的，因為導函數二次項系數為正，所以函數在單調遞增，即，所以，所以若在函數的圖像上總存在點,使得軸，則實數的取值范圍。（11）當時，，所以令，則或++極大值極小值若函數在上單調，則實數應滿足，或，解得：，或，所以若函數在上單調，則實數的取值范圍是，所以若函數在上不單調，則實數的取值范圍是。（12）由題意，應滿足因為，，所以，，所以，當時，，所以令，則或，因為，所以++極大值極小值由表可知：，由題意得：，即，所以實數的取值范圍是。（13）當時，，所以令，則或++極大值極小值當時，函數在上單調遞增，所以；當時，函數上單調遞增，上單調遞減，所以；綜上：。例2.已知函數fx(1)求函數y=fx在點1,f1處切線(2)證明：函數y=fxx≠1的圖象在直線(3)求函數fx的單調區間和極值，并畫出f(4)求函數fx在x∈(5)求函數fx在區間0,a(6)若fx>k(7)若存在x∈1e,e，使得(8)若對任意的x∈1e,e，都有(9)討論方程fx【解析】(1)f?xk切=f?1所以y=fx在點1,0處切線方程為y=x?1(2)要證y=fxx≠1的圖象在直線l的上方，只需證明構造函數gx因為g?x令g?x=0得x=1．x0,1所以gx即fx所以函數y=fxx≠1的圖象在直線l：(3)定義域為0,+∞，f?x=lnx+1，令f?x=0得x=1e．x0,1e(4)由（3）可知：fx在e?2,所以fx因為f1e2所以fx(5)當0<a<1e時，當a≥1e時，(6)由fx>k令gx=x因為g?x=2xlnx+x=x2所以x=e所以x0,e?12所以k≤?1(7)由fx=ax?1得令?x若?x∈1e,e，使得因為??x=1x?1x2=x?1x因為?1所以?x所以a<e?1(8)若對?x∈1e,e，由（7）可知：?x所以a<1．(9)由圖可知：fx=k實數根個數?y=fx①當k<?1e時，方程fx②當k=?1e或k≥0時，方程fx③當?1e<k<0時，方程f例3.已知函數.（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）函數的單調性；（3）若函數在上有極值，求實數的取值范圍；（4）若函數恒成立，求實數的取值范圍；（5）若存在，使得，求實數的取值范圍；（6）判斷函數零點的個數；（只需寫出結倫）（7）當時，證明：存在實數，使得；【解析】（1）當時，所以f(1)=e，f'(1)=e。切線方程：ye=e(x1)，即（2）定義域為R，當時，，f(x)在上單調遞增。當時，令，在單調遞減，在單調遞增