【導數常考小題題型歸納】【真題+模擬精選】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：在某點出的切線方程】知識講解知識講解1.明確切線的定義：切線是指一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。對于函數，在點處的切線，是當割線的兩個端點無限趨近于該點時，割線的極限位置所確定的直線。2.求切線斜率：根據導數的幾何意義，函數在點處的導數就是曲線在點處切線的斜率。所以，首先需要對函數求導，然后將代入導函數中，得到切線的斜率。3.確定切點坐標：已知要求切線方程的點為，其中。這個點既在曲線上，也在切線上。4.使用點斜式求切線方程：點斜式方程為，將求得的斜率和切點坐標代入點斜式方程，即可得到曲線在點處的切線方程。例題精選例題精選【例題1】（2024·全國甲卷·高考真題）設函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2023·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【例題3】（2021·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．相似練習相似練習【相似題1】（2019·天津·高考真題）曲線在點處的切線方程為.【相似題2】（2019·全國I卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【相似題3】（2015·新課標Ⅱ·高考真題）已知曲線在點處的切線與曲線相切,則a=．【題型2：過某點的切線方程或未知切點的切線問題】知識講解知識講解1.判斷該點是否在曲線上 把該點的坐標代入曲線方程，如果等式成立，則該點在曲線上；否則，該點不在曲線上。2.當點在曲線上時 設切點坐標為，因為點在曲線上，所以。 對函數求導，得到導函數。 根據導數的幾何意義，曲線在點處的切線斜率。 由點斜式可得切線方程為。3.當點不在曲線上時 設切點坐標為，則。 對函數求導，得到導函數，那么切線斜率。 由點斜式寫出切線方程。 因為切線過已知點，將其代入切線方程可得。 又因為，所以得到關于的方程，解這個方程求出的值。 將的值代入和，再利用點斜式即可寫出切線方程。例題精選例題精選【例題1】（2007·全國·高考真題）已知曲線y＝－3lnx的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（

）A．3 B．2 C．1 D．【例題2】（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【例題3】（2020·全國I卷·高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.相似練習相似練習【相似題1】（2004·湖南·高考真題）經過點P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點M(1,1)處的切線平行的直線的方程是．【相似題2】（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（e，1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是.【相似題3】（2008·江蘇·高考真題）直線是曲線的一條切線，則實數．【題型3：切線的條數問題】知識講解知識講解1.設切點設切點坐標為，其中。因為切線是在切點處與曲線相切的直線，所以設出切點是解題的關鍵第一步。2.求切線方程對函數求導，得到導函數。根據導數的幾何意義，曲線在點處的切線斜率。由點斜式可得切線方程為。3.代入已知點如果是過某已知點作曲線的切線，將該點代入切線方程，得到。4.轉化為方程求解將代入上式，得到關于的方程。此時方程的解的個數就是切線條數。一般來說，這個方程可能是一個超越方程或高次方程，需要通過分析函數的性質來確定解的個數。5.分析函數性質構造函數：將關于的方程變形為的形式，構造函數。求導分析單調性：對求導，分析其單調性和極值情況。通過判斷函數的單調性和極值與的關系，來確定函數與軸的交點個數，即方程的解的個數，從而得出切線條數。例題精選例題精選【例題1】（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【例題2】（2025·江西新余·模擬預測）過軸上一點可以作函數圖像的3條切線，則的取值范圍是：（

）.A． B． C． D．【例題3】（2024·山東·模擬預測）若過點可以作的三條切線，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．【相似題2】（2425高三下·湖南永州·開學考試）若曲線與曲線有三條公切線，則的取值范圍是.【題型4：公切線問題，切線垂直問題】知識講解知識講解1.明確兩條曲線的方程 設兩條曲線分別為和，清楚它們的具體表達式，以便后續進行求導等運算。2.分別求兩條曲線的導數 對求導得，對求導得。導數的幾何意義是曲線在某點處切線的斜率，所以和分別表示兩條曲線在任意點處切線的斜率。3.設公切線與兩條曲線的切點 設公切線與曲線的切點為，與曲線的切點為。 則，。4.根據導數幾何意義寫出公切線方程 對于曲線，在點處的切線方程為，即。 對于曲線，在點處的切線方程為，即。5.利用公切線的條件建立等式 因為是公切線，所以兩條切線方程表示的是同一條直線，那么它們的斜率和截距都相等。 可得方程組。6.分析方程求解及公切線條數 通過解方程組來確定和的值。 一般情況下，將進行變形，用表示（或反之），代入中，得到一個關于（或）的方程。 然后分析這個方程解的個數： 若方程有唯一解，則公切線有條。 若方程有兩個不同的解，則公切線有條。 若方程無解，則公切線不存在。 在分析方程解的個數時，可能需要對得到的方程進行進一步的變形和分析，比如構造函數，通過研究函數的單調性、極值、最值等性質來確定函數零點的個數，即方程解的個數，從而確定公切線條數。例題精選例題精選【例題1】（2020·全國III卷·高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【例題2】（2024·廣東江蘇·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【例題3】（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數，函數的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．相似練習相似練習【相似題1】（2025·河南駐馬店·模擬預測）已知曲線的切線與曲線也相切，若該切線過原點，則．【相似題2】（2025·遼寧沈陽·模擬預測）若曲線在點處的切線與曲線相切于點，則.【相似題3】（2025·浙江·一模）在動畫和游戲開發中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設兩拋物線與相切，則.【題型5：求函數的單調性與參數范圍】知識講解知識講解導數求函數單調性知識講解：對于函數，在某區間內，若，函數單調遞增；若，函數單調遞減。導數為零的點是駐點，駐點對單調性判斷有重要意義。解題思路對函數求導得。令，求駐點。依據駐點劃分定義域區間，判斷各區間正負。根據正負確定函數在各區間單調性。已知單調性求參數范圍知識講解：已知函數單調性求參數范圍，是將其轉化為導數對應的不等式恒成立問題，再求解參數范圍。解題思路若函數在區間單調遞增，則在區間恒成立；若單調遞減，則在區間恒成立。把（或）轉化為含參數不等式。通過分離參數、構造函數等方法解不等式，得出參數取值范圍。例題精選例題精選【例題1】（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【例題2】（2019·北京·高考真題）設函數f（x）=ex+ae?x（a為常數）．若f（x）為奇函數，則a=；若f（x）是R上的增函數，則a的取值范圍是．【例題3】（2023·全國乙卷·高考真題）設，若函數在上單調遞增，則a的取值范圍是.相似練習相似練習【相似題1】（2014·大綱版·高考真題）若函數在區間內是減函數，則實數的取值范圍是.【相似題2】（2025·湖北鄂州·一模）已知函數在上單調遞減，則a的取值范圍為.【相似題3】（2025·山西·一模）設，若函數在區間上單調，則的取值范圍是．【題型6：函數的極值與最值】知識講解知識講解導數求函數極值知識講解：函數極值點處導數為0（但導數為0的點不一定是極值點）。若在點左側，右側，則為極大值點；反之，左側，右側，為極小值點。解題思路對函數求導得。令，求解得到可能的極值點。以這些點劃分區間，判斷各區間正負，確定是極大值點還是極小值點，進而求出極值。導數求函數最值知識講解：函數在閉區間$[a,b]$上的最值，可能在端點處取得，也可能在極值點處取得。解題思路按求極值步驟求出函數在開區間內的極值。計算函數在區間端點與的值。比較極值與端點值，其中最大的為最大值，最小的為最小值。例題精選例題精選【例題1】（2022·全國乙卷·高考真題）函數在區間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【例題2】（2022·全國甲卷·高考真題）當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【例題3】（2021·全國乙卷·高考真題）設，若為函數的極大值點，則（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】多選題（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）若函數既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【相似題2】（2022·全國乙卷·高考真題）已知和分別是函數（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【相似題3】（2021·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）函數的最小值為.【題型7：三次函數的性質】知識講解知識講解1.表達式：三次函數的一般形式為（）。2.單調性 當時，函數先遞減后遞增再遞減，或先遞增后遞減再遞增。 當時，函數先遞增后遞減再遞增，或先遞減后遞增再遞減。 其單調性可通過求導來確定，對求導得，根據導數的正負來判斷函數的單調性。3.極值：三次函數可能有兩個極值點，也可能沒有極值點。令，根據判別式來判斷： 當時，函數有兩個不同的極值點。 當時，函數無極值點。4.對稱性：三次函數的圖像是中心對稱圖形，其對稱中心的橫坐標為，將代入函數可得到對稱中心的縱坐標。5.零點個數 當時，若函數的極大值大于且極小值小于，則函數有三個不同的零點；若極大值等于或極小值等于，則函數有兩個零點；若極大值小于或極小值大于，則函數有一個零點。 當時，情況與時類似，只是極大值與極小值的大小關系相反。6.漸近線：三次函數沒有漸近線。7.值域：當時，值域為；當時，值域也為。8.拐點：三次函數的二階導數，令，解得，所以三次函數的拐點為，這也是函數的對稱中心。在拐點處，函數的凹凸性發生改變。例題精選例題精選【例題1】多選題（2024·廣東江蘇·高考真題）設函數，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【例題2】多選題（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【例題3】多選題（2025·河北石家莊·一模）函數，則下列說法正確的是（

）A．當時，的極小值為0B．若有3個零點，，，則C．若，則為奇函數D．當時，在區間上單調遞增相似練習相似練習【相似題1】多選題（2025·遼寧鞍山·二模）已知函數滿足，，則（

）A．B．對于任意，有三個零點C．對于任意，有兩個極值點D．存在，使得點為曲線對稱中心【相似題2】多選題（2025·江西宜春·模擬預測）已知函數，下列說法正確的是（

）A．有3個零點B．的圖象關于點對稱C．既有極大值又有極小值D．經過點且與的圖象相切的直線有2條【相似題3】多選題（2425高三下·甘肅白銀·開學考試）已知函數，則下列命題中正確的是（

）A．0是的極小值點B．當時，C．若，則D．若存在極大值點，且，其中，則【題型8：函數的零點問題】知識講解知識講解1.求函數的導數：對給定的函數求導，得到。通過導數來分析函數的單調性、極值等性質。2.分析函數單調性：根據的正負性確定函數的單調區間。令，解得的區間為函數的單調遞增區間；令，解得的區間為函數的單調遞減區間。3.確定函數的極值點和極值：令，求出函數的極值點。將極值點代入中得到對應的極值。這些極值對于判斷函數零點的個數非常關鍵。4.分析函數的端點值或極限值：計算函數在區間端點處的值，或者考慮當趨近于正無窮、負無窮時函數的極限值。結合函數的單調性和極值，來確定函數與軸的交點情況。5.根據零點存在定理判斷零點個數：如果函數在某區間兩端點的值異號，即，那么在區間內至少存在一個零點。再結合函數的單調性和極值情況，進一步確定零點的具體個數。例題精選例題精選【例題1】（2023·全國乙卷·高考真題）函數存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題2】（2015·新課標Ⅰ·高考真題）設函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例題3】（2025高三·全國·專題練習）已知函數有兩個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2024·廣東·一模）函數與函數有兩個不同的交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·廣東汕頭·模擬預測）已知函數設，若函數僅有一個零點，則實數的取值范圍是.【相似題3】（2025·江西九江·二模）已知函數恰好有3個零點，則實數的取值范圍是.【題型9：構建函數比較大小】知識講解知識講解1.觀察式子特征，構造函數 分析結構相似性：觀察待比較大小的兩個式子，尋找它們結構上的相似之處，以此為依據構造函數。例如，若兩個式子都形如與，且和中的次數、運算關系有規律，可嘗試構造。比如比較與的大小，可構造。 考慮常見函數模型：聯系常見函數及其導數性質，如指數函數（）、對數函數（）、冪函數（）等。若式子中出現，可構造，其導數。2.對構造函數求導 運用求導公式和法則：準確運用求導公式、、等，以及求導的四則運算法則，，對構造函數求導。例如，對求導，根據上述公式和法則可得。3.分析導數性質，確定函數單調性 判斷導數正負：根據給定的的取值范圍，分析導數的正負情況。例如在中，當時，，所以；當時，，則。 確定函數單調性：由導數正負確定函數單調性。當時，函數在對應區間單調遞增；當時，函數在對應區間單調遞減。所以在上單調遞減，在上單調遞增。4.利用函數單調性比較大小 找到對應自變量值：確定所比較大小的兩個數在構造函數定義域內對應的自變量，。例如要比較與的大小，此時。 依據單調性判斷：根據函數單調性，若且函數在區間單調遞增，則；若函數單調遞減，則。對于，因為在單調遞增，，，所以，即。例題精選例題精選【例題1】（2022·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2025·山西臨汾·二模）設，則（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2025·云南·一模）設，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·海南·模擬預測）若，則（

）A． B． C． D．【相似題3】（2024·甘肅·模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【題型10：不等式的恒成立問題】知識講解知識講解1.變量分離 將不等式中的參數與變量分離，使不等式一邊只含有參數，另一邊只含有變量及其函數形式。例如對于不等式（）恒成立，可變形為（）。這樣就把問題轉化為求右邊函數在給定區間上的最值問題。2.構造函數 根據分離變量后的式子，構造一個新的函數。如上述例子中構造函數（）。構造函數時要注意函數的定義域，需與原不等式中變量的取值范圍一致。3.求導分析函數單調性 對構造的函數求導，得到。利用求導公式和法則準確計算導數。例如對于，根據除法求導法則，，，，，可得。 接著分析在定義域內的正負性。通過對進一步分析（如再求導判斷其單調性等），確定的單調區間。例如設，對求導得，當時，，在單調遞增，，即，所以在單調遞增。4.求函數最值 根據函數單調性，求出函數在給定區間上的最值