851．已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，要使n⊥β，則應增加的條件是()A．n?α且m∥nB．n∥αC．n?α且n⊥m D．n⊥α【解析】由面面垂直的性質定理知選C.【答案】C2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β【解析】A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中，m與n可平行、可異面；C中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，m?α，n?β，故C錯誤；故選D.【答案】D3．(2017·全國Ⅲ卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC【解析】方法一如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯；∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯．故選C.【答案】C4．(2018·包頭模擬)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中點，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【解析】A不正確，因為CC1與B1E在同一個側面中，故不是異面直線；B不正確，由題意知，上底面ABC是一個正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正確，因為AE，B1C1為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線；D不正確，因為A1C1所在的平面與平面AB1E相交，且A1C1與交線有公共點，故A1C1∥平面AB1E不正確，故選C.【答案】C5．正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為A′C′的中點，則直線CE垂直于()A．A′C′ B．BDC．A′D′ D．AA′【解析】連接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE?平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.【答案】B6．如圖所示，直線PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，點M為線段PB的中點．現有結論：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③點B到平面PAC的距離等于線段BC的長．其中正確的是()A．①② B．①②③C．① D．②③【解析】對于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；對于②，∵點M為線段PB的中點，∴OM∥PA，∵PA?平面PAC，OM?平面PAC，∴OM∥平面PAC；對于③，由①知BC⊥平面PAC，∴線段BC的長即是點B到平面PAC的距離，故①②③都正確．【答案】B7．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內部【解析】因為BC1⊥AC，BA⊥AC，BA∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直線AB上．故選A.【答案】A8．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC和△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．【解析】∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴與AP垂直的直線是AB.【答案】AB，BC，ACAB9．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)【解析】由定理可知，BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)10．如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確結論的序號是________．【解析】由題意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正確．【答案】①②③11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.(1)在平面PAD內找一點M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.【解析】(1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：連接BM，CM.因為AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM，所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB.又AB?平面PAB，CM?平面PAB.所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)(2)證明由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.因為AD∥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD，所以直線AB與CD相交，所以PA⊥平面ABCD，從而PA⊥BD.又BC∥MD，且BC＝MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BM＝CD＝eq\f(1,2)AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12．(2017·全國Ⅲ卷)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．【解析】(1)證明如圖，取AC的中點O，連接DO，BO.因為AD＝CD，所以AC⊥DO.又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.(2)連接EO.由(1)及題設知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.由題設知△AEC為直角三角形