第1課時6.4.3余弦定理、正弦定理【教學內容】余弦定理.【教學目標】（1）能用向量探究三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理的推導過程，發展邏輯推理核心素養；（2）運用余弦定理及其推論解決兩類解三角形問題，發展數學運算核心素養.【教學重點與難點】教學重點：余弦定理及應用.教學難點：發現三角形邊角關系，正確運用余弦定理及其推論解三角形.【教學過程設計】環節一創設情景，提出問題引導語：對于一般三角形，SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法表明，給定三角形的三個角和三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的.那么三角形的其他元素由與給定的某些元素有怎樣的數量關系呢？結合上節內容，我們利用向量方法來研究這個問題：問題1：在中，三個角A,B,C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b，c和C表示c？圖6.48師生活動：學生獨立思考，教師可以選擇以下問題進行引導學生明確利用向量進行探究：圖6.48設計意圖：“已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊”的數學問題，使學生發現用舊知識是難以解決這個問題的，激發學生學習新知識的欲望，利用追問引導學生思考用向量探究．環節二探究推導，得出定理問題2：第三邊如何表示用向量出來？怎樣從向量轉化為模長？師生活動：教師給出問題引導，學生獨立思考，教師總結得出余弦定理.教師引導問題：①回憶向量減法的幾何意義，如何表示？②研究的目標用，和C表示出，向量的模長是如何計算的？學生分析作答：①利用向量減法，可以得到.②根據向量的數量積的定義，向量模長是自身與自身作數量積運算，等式右邊為兩個向量的差作乘積運算.教師總結：第三邊可以利用向量的減法用已知的兩邊表示，要求的是第三邊長聯想到向量的數量積的性質，考慮用與其自身作數量積運算.解：如圖，設，，，那么①由①得向量的數量積可以用模長來表示，因此可以直接把等式轉化為同理可得教師規范書寫板書：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦值的積的兩倍，即設計意圖：結合所學習的向量知識，讓學生明白可以用向量法推導出余弦定理，此過程中學生能從向量相乘聯想到數量積的性質，回顧之前所學習的知識，有利于增強知識的連貫性.同時培養學生觀察能力，邏輯推理和數學運算核心素養.問題3：利用余弦定理，可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.如果已知三角形的三邊，怎么確定三角形的三個角？師生活動：學生獨立思考，作答，教師總結.學生分析作答：把余弦定理變形，可以用三條邊表示出三個角的余弦值，即確定了三個角.教師總結：如果已知三角形的兩邊及其夾角，可以利用余弦定理求出第三邊；如果已知三角形的三邊，可以通過余弦定理的推論求出三個角.從余弦定理及其推論可以看出：（1）三角函數把幾何中關于三角形的定性結論變成了可定量計算的公式.（2）它們把“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數量化的角度進行了刻畫.（3）同時它們也是方程，蘊含了三條邊和一個角這四個幾何量，并且邊長和角度可以相互轉化.教師規范書寫板書：余弦定理推論：設計意圖：通過問題的回答，明確余弦定理及其推論是三角形邊長和角度可以相互轉化的公式，進一步理解余弦定理刻畫的邊角關系，培養了發展了數學運算核心素養.問題4：在初中學習了勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個角之間關系.你能說說這兩個定理之間的關系嗎？師生活動：學生獨立思考，作答，教師總結.學生分析作答：如果中有一個角是直角，由余弦定理可以得出勾股定理.教師總結：如果中有一個角是直角，例如，這時.由余弦定理可得，這就是勾股定理.由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.設計意圖：通過問題的回答，明確余弦定理和勾股定理的關系.將新知識與舊知識聯系起來，便于學生納入知識體系順化知識結構，同時培養了邏輯推理核心素養.問題5：通過前面的學習，在三角形中我們利用余弦定理能夠解決哪些問題？師生活動：學生獨立思考，作答，教師在此基礎上給出解三角形定義.學生作答如下：①已知兩邊及其夾角，求第三邊和角；②已知三邊求三角.解三角形：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.設計意圖：讓學生明確余弦定理及其推論可以解決兩類基本的解三角形問題，凸顯了應用價值，為后續學習利用正弦定理解三角形打下基礎.環節三例題練習，加深理解例1（教科書第43頁例5）在中，已知，，，解這個三角形（角度精確到，邊長精確到）師生活動：學生獨立完成，規范書寫，教師根據學生完成情況，做點評和總結.解：由余弦定理，得所以利用計算器，可得所以設計意圖：讓學生學會應用余弦定理及其推論，在老師的引導下逐步完善并規范步驟，體會解三角形的過程，培養數學運算核心素養.例2在中，已知，，，則等于？師生活動：教師引導學生思考本題與上一個例題的相同和不同之處。學生獨立思考后回答：兩道題都是已知兩邊一角，不同在于例1是已知兩邊及其夾角，例2是已知兩邊和其中一邊的對角.針對例2，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊.解：由余弦定理，得所以解得或（負值舍去）.所以設計意圖：進一步熟練、鞏固定理，強化學生求解“已知兩邊及一角”這類基本解三角形問題的能力，培養數學運算核心素養.例3（教科書第44頁練習2）在中，已知，，，解這個三角形.師生活動：學生獨立完成，規范書寫，教師根據學生完成情況，做點評和總結.解：由余弦定理推論，得由于，可得，同理可得，由于，可得，進而.變式1已知在中，，則等于？師生活動：本題雖然不知道三邊長度，但是知道三邊長度的比值，也可以用余弦定理推論解三角形.學生獨立完成，規范書寫，教師根據學生完成情況，做點評和總結.解：由已知得，設，，（），則有由于，可得.設計意圖：通過練習，讓學生掌握用余弦定理及其推論求解“已知三邊”這類基本解三角形問題，體會邊長和角度的互相轉化，發展數學運算核心素養.環節四小結提升，厘清重點問題6：請你帶著下列問題回顧本節課內容，并給出回答：（1）這節課我們學習的余弦定理及其推論的內容是什么？從公式中你能分析出哪些特點？（2）什么是解三角形？余弦定理及其推論可以解決哪兩類解三角形問題？師生活動：學生獨立回答，教師補充點評，師生共同歸納總結.（1）余弦定理：余弦定理推論：特點：①公式是等式亦是方程，蘊含了三條邊和一個角這四個幾何量，知道了其中三個量就可以求出剩下的一個量;②在三角形中，邊長和角度是不同的幾何量，通過余弦定理及其推論，兩者可以相互轉化.③公式具有輪換美，完美揭示出了三角形邊長和角度的數量關系.（2）解三角形：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.余弦定理及其推論可以解決“已知兩邊及一角（SAS、SSA）”和“已知三邊（SSS）”這兩類解三角形問題，結合題目具體給出的條件去選擇公式求解.設計意圖：進一步反思鞏固所學知識，厘清公式中的特點，讓學生在將余弦定理納入知識體系時能夠清晰地抓住結構特點、明確解三角形問題的類型，同時能夠提升思維，發展素養.環節五目標檢測，鞏固所學目標檢測：教科書第44頁練習1、2、3.設計意圖：通過3個練習題，檢測本堂課教學效果，對學生學習結果進行課堂測評，其中第1題和第3題都是已知兩邊及其夾角，第1題（1）問和第3題是余弦定理及其推論的綜合應用，第1題第（2）問需用到余弦定理求第三邊；第2題是已知三邊，需用到余弦定理的推論求出三個角.課后作業：教科書習題6.4第6題、第7題（2）問.