10.3平行線的性質(zhì)第10章相交線、平行線與平移1.掌握平行線的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用兩條直線是平行關(guān)系判斷角相等或互補(bǔ)；（重點(diǎn)）2.能夠根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理.學(xué)習(xí)目標(biāo)

根據(jù)右圖填空：①

如果∠1＝∠C，

那么＿＿∥＿＿（

）.②如果∠1＝∠B，

那么＿＿∥＿＿（

）.③如果∠2＋∠B＝180°，

那么＿＿∥＿＿（）.ABCDECBD同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行ECBD同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行EACDB1234兩直線平行

1.同位角相等2.內(nèi)錯(cuò)角相等3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)問題通過上題可知平行線的判定方法有哪些？思考反過來，如果已知兩條平行線被第三條直線所截，那么同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角各有什么數(shù)量關(guān)系呢?活動(dòng)

畫兩條平行線

a∥b，然后畫一條截線

c與

a、b相交，標(biāo)出如圖所示的角.度量所形成的8個(gè)角的度數(shù)，把結(jié)果填入下表：角∠1∠2∠3∠4度數(shù)角∠5∠6∠7∠8度數(shù)b12ac567834一、平行線的性質(zhì)1平行線的性質(zhì)1觀察∠1~∠8中，哪些是同位角？它們的度數(shù)之間有什么關(guān)系？說出你的猜想：猜想

兩條平行線被第三條直線所截，同位角＿＿＿.相等b12ac567834abd

再任意畫一條截線

d，同樣度量各個(gè)角的度數(shù)，你的猜想還成立嗎？如果兩直線不平行，上述結(jié)論還成立嗎？一般地，平行線具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1

兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

b12ac所以∠1

=∠2(兩直線平行，同位角相等).因?yàn)橹本€

a∥b(已知)，應(yīng)用格式：要點(diǎn)歸納思考：在上一節(jié)中，我們利用“同位角相等，兩直線平行”推出了“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，類似地，已知“兩直線平行，同位角相等”，

能否得到內(nèi)錯(cuò)角之間的數(shù)量關(guān)系？

二、平行線的性質(zhì)2如圖，已知

a∥b，那么

2與

3相等嗎？為什么?解：相等，理由如下：

因?yàn)?/p>

a∥b(已知)，

所以∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等).

又因?yàn)椤?=∠3(對(duì)頂角相等)，

所以∠2=∠3(等量代換).b12ac3性質(zhì)2

兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

所以

∠2=∠3

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.因?yàn)橹本€

a∥b（已知），應(yīng)用格式：b12ac3要點(diǎn)歸納b12ac4解：

2+

4=180°，

因?yàn)?/p>

a∥b

(已知)，

所以

1=

2

(兩直線平行，同位角相等).

因?yàn)?/p>

1

+

4

=

180°

(平角的定義)，所以

2+

4=180°

(等量代換).思考：類似地，已知兩直線平行，能否得到同旁內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系？

三、平行線的性質(zhì)3

如圖，已知

a∥b，那么

2與

4有什么關(guān)系呢？為什么?性質(zhì)3兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).b12ac4所以∠2+∠4=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.因?yàn)橹本€

a∥b（已知），應(yīng)用格式：典例精析例1

如圖，已知點(diǎn)

D，E，F(xiàn)分別在三角形

ABC的邊

AB，AC，BC上，且

DE∥BC，∠B=48°.（1）求∠ADE的度數(shù)；（2）若

FD是∠BFE的平分線，且EF∥AB.求∠EDF的度數(shù).DACBEF解：（1）因?yàn)镈E∥BC，所以∠ADE=∠B=48°.解：因?yàn)?/p>

FD平分∠BFE，所以∠BFD=∠EFD=∠BFE.由

EF∥AB，得∠B+∠BFE=180°，且∠BFD=∠BFE，即∠B+2∠BFD=180°.因?yàn)椤螧=48°，所以∠BFD=66°.因?yàn)镈E∥BC，所以∠EDF=∠BFD=66°.DACBEF(2)若

FD是∠BFE的平分線，且

EF∥AB.求∠EDF的度數(shù).(1)

由

DE∥BC，可以得到∠ADE

=_______.依據(jù)是____________________________.(2)

由DE∥BC，可以得到∠DFB

=________.依據(jù)是_______________________________.(3)

由

DE∥BC

，可以得到∠C

+_______=

180°依據(jù)是_________________________.(4)由

DF∥AC，可以得到∠AED

=_______，依據(jù)是_________________________.(5)由

DF∥AC，可以得到∠C

=______，依據(jù)是_________________________.1.

看圖填空:∠B兩直線平行，同位角相等兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同位角相等∠EDF∠DEC∠EDF∠BFD2.

如圖，直線

AB∥CD，直線

EF

分別交AB于點(diǎn)

E、交CD于點(diǎn)

F，且∠AEF

=

90°，求

∠DFE

的度數(shù).由此你能得到直線

EF

與直線

CD有怎樣的位置關(guān)系?ABCDEF解：因?yàn)锳B∥CD，∠AEF=90°，所以∠DFE=∠AEF=90°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).所以直線

EF與直線

CD互相垂直.3.如圖，在四邊形

ABCD

中，AD∥BC，∠C

=

71°，試求∠D

的度數(shù).解：因?yàn)锳D∥BC，所以∠C+∠D=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).因?yàn)椤螩=71°，所以∠D=180°－∠C=180°－71°

=109°.兩直線平行

同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)平行線的判定平行線的性質(zhì)線的關(guān)系角的關(guān)系性質(zhì)角的關(guān)系線的關(guān)系判定討論：平行線三個(gè)性質(zhì)的條件是什么？結(jié)論是什么？它與判定有什么區(qū)別？（分組討論）四、平行線的判定與性質(zhì)解：∠BAP+∠APC=∠PCD.方法一：如圖,作∠PCE=∠APC，交

AB于點(diǎn)

E.則

AP∥CE.所以∠AEC=∠A.所以∠BAP+∠APC=∠PCE+∠AEC.因?yàn)锳B∥CD，所以∠ECD=∠AEC.所以∠BAP+∠APC=∠PCE+∠ECD=∠PCD.例2

如圖，AB∥CD，猜想∠BAP，∠APC，∠PCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.ABCDPE還可以怎樣作輔助線？ABCDPE方法二：如圖，作∠APE=∠BAP，則

EP∥AB.因?yàn)?/p>

AB∥CD，

所以

EP∥CD.所以∠EPC=∠PCD.所以∠APE+∠APC

=∠PCD，即∠BAP+∠APC=∠PCD.例2

如圖，AB∥CD，猜想∠BAP，∠APC，∠PCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.例3

如圖，若

AB∥CD，你能確定∠B，∠D與∠BED之間的等量關(guān)系嗎？說說你的看法．BDCEA解：如圖，過點(diǎn)

E

向右作

EF∥AB．

則∠B=∠BEF．

因?yàn)?/p>

AB∥CD，所以EF∥CD．

所以∠D=∠DEF．

所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF，

即∠B+∠D=∠BED．F

如圖，AB∥CD，探索∠B、∠D與∠DEB之間的等量關(guān)系.變式1解：如圖，過點(diǎn)

E

向左作

EF∥AB．所以∠B+∠BEF＝180°．因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD．所以∠D+∠DEF＝180°．所以∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=360°又因?yàn)椤螪EB=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D+∠DEB＝360°．F

變式2如圖，AB∥CD，則CABDEACDBE2E1當(dāng)有一個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠E+∠C=

360°

當(dāng)有兩個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠E1

+∠E2

+∠C=

540°

當(dāng)有三個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠E1

+∠E2

+∠E3+∠C=

720°

ABCDE1E2E3…ABCDE1E2En當(dāng)有

n個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠E1

+∠E2

+…+∠En+∠C=

180°(n+1)若有

n個(gè)拐點(diǎn)，你能找到規(guī)律嗎？…變式3如圖，若

AB∥CD，則ABCDE當(dāng)左邊有兩個(gè)角，右邊有一個(gè)角時(shí)：∠A+∠C=∠E當(dāng)左邊有兩個(gè)角，右邊有兩個(gè)角時(shí)：∠A+∠F=∠E+∠DCABDEFE1CABDE2F1當(dāng)左邊有三個(gè)角，右邊有兩個(gè)角時(shí)：∠A+∠F1+∠C

=

∠E1

+∠E2CABDE1F1E2EmF2Fn∠A+∠F1+∠F2

+…+∠Fn=∠E1

+∠E2+…+∠Em+∠D當(dāng)左邊有

n

個(gè)拐點(diǎn)，右邊有

m

個(gè)拐點(diǎn)時(shí)，若左邊有

n

個(gè)拐點(diǎn)，右邊有

m

個(gè)拐點(diǎn)，你能找到規(guī)律嗎？點(diǎn)擊gsp文件開始演示（演示狀態(tài)下，點(diǎn)擊按鈕操作）同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行判定性質(zhì)已知得到得到已知1.如圖，已知平行線

AB、CD被直線

AE所截.(1)從∠1=110°

可以知道∠2是多少度嗎？為什么？(2)從∠1=110°

可以知道∠3是多少度嗎？為什么？(3)從∠1=110°

可以知道∠4是多少度嗎？為什么？23E14ABDC解：(1)∠2=110°.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

（2）∠3=110°.

兩直線平行，同位角相等.（3）∠4=70°.

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).2.如圖，直線a∥b，直線

b垂直于直線

c，那么直線

a垂直于直線

c嗎？為什么？abc

解：a⊥c.

因?yàn)閮芍本€平行，同位角相等.

3.如果有兩條直線被第三條直線所截，那么必有（

）A.內(nèi)錯(cuò)角相等

B.同位角相等C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)

D.以上都不對(duì)D解：因?yàn)?/p>

AB∥DE

()，所以∠A=_______

(

).因?yàn)?/p>

AC∥