專題L1有理數章末重難點題型匯編【舉一反三】

【浙教版】

【考點1相反意義的量】

【方法點撥】解決此類問題關鍵是明確正負數在題目中的實際意義從而進一步求解.

【例I】（2UI9秋?陽東區期中）小紅的媽媽買了4箱白菜，以每筐25千克為標注，超過的千克數記為正

數，不足的千克數記為負數，稱重后的記錄分別為+0.25,-1,-tO.5,-0.75,小紅快速準確地算出了4

筐白菜的總質量為（）

A.-1千克B.1千克C.99千克D.101千克

【分析】根據題意列出算式解答即可.

【答案】解：4筐白菜的總質量為25X--0.75）=99千克，

故選：C.

【點睛】本題考查了正數和負數的知識，解題關鍵是理解“正”和“負”具有相反意義的量.

【變式1-1]（2019秋?任城區校級期中）某種藥品的說明書上標明保存溫度是（30±2）'C,則該藥品在（

）范圍內保存才合適.

A.28C-30nCB.30c—32CC.28C-31°CD.28C-32°C

【分析】根據正負數的意義，以30C為基準記為0,高于記正，不足為負.

【答案】解：30-2=28℃,30+2=32℃,

該藥品在28℃-32℃范圍內保存才合適.

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是正數和負數，掌握正負號的意義是解題的關鍵.

【變式1?2】（2019秋?順義區期中）面粉廠規定某種面粉每袋的標準質量為50±0.2儂，現隨機選取10袋

面粉進行質量檢測，結果如下表所示：

序號12345678910

質量伏g）505050

則不符合要求的有（）

A.1袋B.2袋C.3袋D.4袋

【分析】根據標準質量為50土依依的面粉是不合格的.

【答案】解：因為面粉每袋的標準質量為50土依依WmW依，

kg不符合要求，

故選:A.

【點睛】本題考查了止數和負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量.注

意不是同一類別的量，不能看成是具有相反意義的量.

【變式1-3］（2019秋?慈溪市期中）213路公交車從起點開始經過A,B,C,。四站到達終點，各站上

下車人數如下（上車為正，下車為負）例如（7,-4）表示該站上車7人，下車4人.現在起點站有15人，A

（4,-8）,僅6,-5）,0（7,-3）,D（l,-4）.車上乘客最多時有（）名.

A.13B.14C.15D.16

【分析】根據題意可以算出各個階段對應的乘客人數，從而可以解答本題.

【答案】解：由題意可得,

起點到人站之間，車上有15人,

A站到B站之間，車上有：15+4-8=11（人），

8站到C站之間，車上有：11+6-5=12（人），

。站到。站之間，車上有：12+7-3=16（人），

。站到終點之間，車上有：16+1-4=13（人），

由上可得，車上乘客最多有16人,

故選:D.

【點睛】本題考查正負數，解答本題的關鍵是明確正負數在題巨中的實際意義.

【考點2有理數的分類】

【方法點撥】正整數、0、負整數統稱整數。正分數、負分數統稱分數。整數和分數統稱為有理數。

【例2】（2019秋?興慶區校級期中）把下列各數按要求分類.

IQ

—2?5?—2—,0,—3.4,—21,乃，—>,15%；

23

正數集合：｛…｝,

負整數集合：｛...｝,

分數集合：｛...｝

非正數集合：｛...｝

【分析】根據正數、負數、整數及分數的定義，結合所給數據進行解答即可.

【答案】解：正數集合：｛5,IT,區，3.7,15%…）,

負整數集合：｛-2,-21-｝,

分數集合：｛?2工，-3.4,3.7,15%…｝

23

非正數集合：｛-2,-2-L,0,-3.4,-21-｝

2

故答案為：5,n,區，3.7,15%,-2,-21,-2工，-3.4,8，3.7,15%,-2,-2!，0,-3.4,-

3232

21.

【點睛】本題考查了有理數的知識，關鍵是掌握正數、負數、整數及分數的定義，屬于基礎題，比較簡單.

【變式2-1］（2019秋?沂水縣期中）把下列各數按要求分類：

14

—4,10%,—1—，101,—>—1.3

23

負整數集合：｛｝

正分數集合：｛｝

負分數集合：｛｝

整數集合：｛｝

負有理數集合：｛）.

【分析】根據有理數的分類，直接填寫答案.

【答案】解：給出的數中，負整數有:-4；正分數有10%,20.6：

3

負分數有：?1工，-1.3；整數有：?4,101,0；

2

負有理數有：-4,-11,-1.3.

2

故答案為：-4；10%,-1,0.6；-I-L,-1.3；-4,101,0；-4,-1X-1.3.

322

【點睛】本題考查了有理數的分類及各相關定義.掌握有理數的分類是解決本題的關鍵.

【變式2-2】（2018秋?準格爾旗期中）把下列各數分別填入相應集合內：

II9

—10?6?—7—?0?3—,—2.25,,67,—,10%,—18,71

347

正整數：｛...｝

負整數：｛...）

正分數：｛...｝

負分數：｛...｝

整數：｛...｝

和負有理數亦可稱為有理數；③只有符號不同的兩個數叫做互為相反數；④在數軸上原點的兩旁，離開原

點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數：⑤數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對

值；⑥一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，。的絕對值是0.

【例3】（2019春?松江區期中）下列敘述中，不正確的是（）

A.任何一個有理數都可以用數軸上的一個點表示

B.在數軸上，表示互為相反數的兩個點與原點距離相等

C.在數軸上，到原點距離越遠的點所表示的數一定越大

D.在數軸上，右邊的點所表示的數比左邊的點所表示的數大

【分析】根據數軸的特點進行判斷，結合實數與數軸上點的一一對應關系進行分析判斷即可.

【答案】解：???實數與數軸上的點一一對應，故答案4正確；

???兩個互為相反數的數絕對值相等，，表示互為相反數的兩個點與原點距離相等，故答案B正確；

???在數軸的負半軸上，到原點距離越遠的點所表示的數一定越小，故答案C錯誤；

???通常以向右的方向表示數軸的正方向，???右邊的點所表示的數比左邊的點所表示的數大，故答案。正確.

故選：C.

【點睛】本題考查的是數軸的概念及數軸與實數的對應關系，把握數軸上點的分布規律是判斷選項的關鍵.

【變式3-1］（2019春?南崗區校級期中）下列說法錯誤的有（）

①最大的負整數是-1；

②絕對值是本身的數是正數：

③有理數分為正有理數和負有理數；

④數軸上表示的點一定在原點的左邊；

⑤在數軸上7與9之間的有理數是8.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據負整數的意義，可判斷①；

根據絕對值的意義，可判斷②；

根據有理數的分類，可判斷③；

根據負數的意義，可判斷④；

根據有理數的意義，可判斷⑤.

【答案】解：①最大的負整數是故①正確；

②絕對值是它本身的數是非負數，故②錯誤；

③行理數分為正有理數、0、負有理數，故③錯誤；

④“VO時，-4在原點的右邊，故④錯誤：

⑤在數軸上7與9之間的有理數有無數個，故⑤錯誤；

故選:D.

【點睛】本題考查了有理數，理解概念是解題關鍵.

【變式3-2]（2019春?浦東新區期中）下列說法中，正確的是（）

A.一個有理數的絕對值不小于它自身

B.若兩個有理數的絕對值相等，則這兩個數相等

C.若兩個有理數的絕對值相等，則這兩個數互為相反數

D.的絕對值等于〃

【分析】根據相反數和絕對值的概念進行判斷.

【答案】解：人、因為正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，所以一個有理數的絕對值

不小于它自身，故正確；

8、C、若兩個有理數的絕對值相等，則這兩個數相等或互為相反數，故錯誤；

。、當時，-a的絕對值等于-a,故錯誤；

故選：A.

【點睛】理解相反數和絕對值的概念是解答此題的關鍵.

相反數：符號不同，絕對值相等的兩個數互為相反數：絕對值：數軸上，一個數到原點的距離叫做這個數

的絕對值.

【變式3?3】（2018秋?埔橋區校級期中）下列說法中正確的有（）

①最小的整數是0;

②有理數中沒有最大的數；

③如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等：

④互為相反數的兩個數的絕對值相等.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據整數的定義，有理數的定義，絕對值的性質，相反數的性質，可得答案.

【答案】解：①沒有最小的整數，故①錯誤；

②有理數中沒有最大的數，故②正確；

③如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等或互為相反數，故③錯誤；

④互為相反數的兩個數的絕對值相等，故④正確：

故選：C.

【點睛】本題考查了有理數，沒有最大的有理數，沒有最小的有理數.

【考點4數軸上的點與有理數的對應關系】

【方法點撥】解決此類問題關健是掌握數軸上點的表示方法，明確數軸的特點能根據題目中的信息，判斷

各個數在數軸上對應哪一個點.

【例4】（2019秋?杭州期中）一個數a在數軸上表示的點是A,當點A在數軸上向左平移了3個單位長度

后到點3,點人與點4表示的數恰好互為相反數，則數〃是（）

A.-3B.-1.5C.D.3

【分析】根據題意得出。-3=4a=-b,求出即可.

【答案】解：設8點表示的數是方，

根據題意得：。-3=b,a=-b,

解得：a=1.5,b=-1.5.

故選：C.

【點睛】本題考查了絕對值，相反數的應用，關鍵是能根據題意得出方程CL3=4a=~b.

【變式4-1］（2018秋?南京期中）如圖，將一刻度尺放在數軸上（數軸的單位長度是km）,刻度尺上“0c〃7”

和“3cm”分別對應數軸上的3和0,那么刻度尺上“4.6cw”對應數軸上的數為（）

A.-1.6B.C.D.-2.6

【分析】利用數軸上兩點間的距離的表示方法列式計算即可.

【答案】解：設刻度尺上f對應數軸上的數為3-4.6=-1.6,

故選：A.

【點睛】本題考查了數軸：在數軸上，右邊點表示的數減去左邊點表示的數等于這兩點間的距離.

【變式4-2】（2019秋?洪山區期中）小惠在紙上畫了一條數軸后，折疊紙面，使數軸上表示1的點與表示-3

的點重合，若數軸上4、8兩點之間的距離為2018（4在8的左側）,且4、8兩點經上述折疊后重合，則

A點表示的數為（）

A.-1010B.-1009C.-1008D.1008

【分析】若1表示的點與-3表示的點重合，則對稱中心是-I表示的點，根據對應點連線被對稱中心平分，

則點4和點8到-1的距離都是1009,從而求解.

【答案】解：?門表示的點與-3表示的點重合，

???對稱中心是-1表示的點，

若數軸r.A、B兩點之間的距離為2018（A在8的左側），則點A至IJ?1的距離為1009,

則點A表示的數是-1-1009=-1010,

故選:A.

【點睛】本題綜合考查了數軸上的點和數之間的對應關系以及中心對稱的性質.注意：數軸上的點和數之

間的對應關系，即左減右加.

【變式4-3]（2018秋?曲阜市期中）如圖，M,N,P,Q,分別是數軸上五個整數所對應的點，其

中有一點是原點，并且MN=NP=PQ=QR=l.數。對應的點在N與P之間，數〃對應的點在。與R之間,

若3+網=3,則原點可能是（）

A.M或QB.2或AC.N或RD.2或Q

【分析】先利用數軸特點確定。，〃的關系從而求出”的值，確定原點.

【答案】解：,:MN=NP=PQ=QR=\,

，|MNJ=|NP|=|PQ|=|QR|=1,

二|WR|=4；

①當原點在/點時,。+|目<3,又因為聞+劭=3,所以，原點不可能在尸點;

②當原點在N或/?時且|N4|=|8用時，間+依=3；

③當原點在M點時，|?|+|/?|>3,又因為|旬+|加=3,所以，原點不可能在M點；

綜上所述，此原點應是在N或/?點.

故選:C.

【點睛】此題主要考杳了數軸的定義和絕對■值的意義.解此類題的關鍵是：先利用條件判斷出絕對?值符號

里代數式的正負性，再根據絕對值的性質把絕對俏符號去掉，把式子化簡后根據整點的特點求解.

【考點5數軸上點的移動規律】

【例5】（2019秋?資中縣期中）數軸上表示整數的點稱為整點，某數軸的單位長度是1厘米，若在這個數

軸上隨意畫出一條長2017厘米的線段,則線段蓋住的整點共有（）個.

A.2018或2019B.2017或2018C.2016或2017D.2015或2016

【分析】分線段A3的端點與整點重合和不重合兩種情況考慮，重合時蓋住的整點是線段的長度+1,不重合

時蓋住的整點是線段的長度，由此即可得出結論.

【答案】解：若線段的端點恰好與整點重合，則I厘米長的線段蓋住2個整點，若線段48的端點不與

整點重合，則1厘米長的線段蓋住1個整點.

V2017+l=2018,

A2O17厘米的線段AB蓋住2017或2018個整點.

故選:B.

【點睹】本題考查了數軸，解題的關鍵是找出長度為〃"為正整數）的線段蓋住〃或個整點.本題屬

于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，分端點是否與整點重合兩種情況來考慮是關鍵.

【變式5-1]（2018秋?三門縣期巾）如圖所示，圓的周長為4個單位長度，在圓周的4等分點處標上字母A,

8,C,D,先將圓周上的字母A對應的點與數軸的數字1所對應的點重合，若將圓沿著數軸向左滾動、

那么數軸上的-2019所對應的點與圓周上字母（）所對應的點重合.

A.DB.CC.BD.A

【分析】圓每轉動一周，A、B、C、。循環一次，-2019與1之間有2020個單位長度，即轉動2020+4=

505（周），據此可得.

【答案】解：1?（?2019）=2020,

20204-4=505（周），

所以應該與字母A所對應的點重合.

故選:D.

【點睛】此題考查數軸，以及循環的有關知識，把數和點對應起來，也就是把“數”和“形”結合起來，

二者互相補充，相輔相成.

【變式5-2]（2018秋?下陸區期中）等邊AA4C在數軸上的位置如圖所示，點A、。對應的數分別為0和-1,

若繞頂點沿順時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉1次后，點4所對應的數為1,則連續翻轉2012次

后，點B（）

A.不對應任何數B.對應的數是2010

C.對應的數是2011D.對應的數是2012

…即第1次和第二次對應的都是1,第四次和第五次對應的都是4,第7次和第8次對應的都是7.根據這

一規律：因為2011=670X3+2=2010+2,所以翻轉2011次后，點8所對應的數2011.

【答案】解：因為2012=670X3+2=2010+2,

所以2012次翻折對應的數字和2011對應的數字相同是2011.

故選：C.

【點睛】本題是一道找規律的題目，要求學生通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律

解決問題.注意翻折的時候，點B對應的數字的規律：只要是3〃+1和3〃+2次翻折的對應的數字是3〃+2.

【變式5-3]（2019秋?長沙期中）在數釉上，一只螞蟻從原點出發，它第一次向右爬行了I個單位長度，

第二次接著向左爬行了2個單位長度，第三次接著向右爬行了3個單位長度，第四次接著向左爬行了4個

單位長度，如此進行了2016次，問螞蟻最后在數軸上什么位置？（）

A.-1（X）7B.-1（X）8C.-10（）6D.1007

【分析】一只螞蟻從原點出發，它第一次向右爬行了一個單位長度到達1,第二次接著向左爬行了2個單位

長度到達?1,第三次接著向右爬行了3個單位長度到達2,第四次接著向左爬行了4個單位長度到達-2,

依此類推得到一般性規律，即可得到結果.

【答案】解：一只螞蟻從原點出發，它第一次向右爬行了一個單位長度到達1,第二次接著向左爬行了2個

單位長度到達-1,第三次接著向右爬行了3個單位長度到達2,第四次接著向左爬行了4個單位長度到達

-2,依此類推，第2012次到達-1006,第2013次到達1007,第2014次到達-1007,第2015次到達1008,

第2016次到達?1008,

則螞蟻最后在數軸上-1008位置，

故選:B.

【點睛】此題考查了數軸，弄清題中的規律是解本題的關鍵.

【考點6有理數的大小比較】

【方法點撥】（I）有理數大小比較注意兩點：（I）兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小；（2）在

數軸上右邊點表示的數總比左邊點表示的數大.

【例6】（2019秋?薊州區期中）如圖，下列關于-。，1的大小關系表示正確的是（）

A.a<\<—aB.—a<a<lC.a<-a<\D.\<-a<a

【分析】首先根據。和-a互為相反數即可確定■。的位置，然后根據數軸上右邊的數大于左邊的數即可判

斷.

【答案】解：在原點的右側，到。的距離與A到0的距離桂等，則。、-a,1在數軸上的位置是：

貝Ua<\<-a.

故選：4.

【點睛】本題考查了有理數大小的比較，正確確定。和■。的位置是解決本題的關鍵.

【變式6-1]（2018秋?杞縣期中）已知。>0,b<0,且|勿>|a|,則a,-a,b,按從小到大的順序排

列（）

A.-b<a<-a<bB.b<-a<a<-bC.a<-a<-b<bD.-a<a<b<-b

l分析】根據有理數比較大小的法則進行比較即可.

【答案】解：b<0,且創>同，

工-b>a>0,b<-〃V0,

：.b<-a<a<-b.

故選:B.

【點睛】本題考查的是有理數的大小比較，熟知有理數比較大小的法則是解答此題的關鍵.

【變式6-2]（2017春?高密市期中）若Ov〃2<l,加、機J一的大小關系是（）

A.in<ni2<—B.ni2<m<一C.—</zz<nrD.—<nV<tn

inmmm

【分析】利用特殊值法進行判斷.

【答案】解：當〃?=工時，陽2=工，_1_=2,

24m

所以w2</??<—.

m

故選:B.

【點睛】本題考查了有理數大小比較：正數大于0,負數小于0;負數的絕對值越大，這個數越小.

【變式6?3】（2019春?泉港區期中）定義：對于任意數。，符號同表示不大于〃的最大整數，例如：[5.8]=5,

[10）=10,[-^J=-4.若⑷=-6,則〃的取值范圍是（）

A.。2?6B.-6<d<-5C.-6<a<-5D.-7VaW?6

【分析】根據同=-6,得出-6Wa<-5,求出--5即可.

【答案】解：???同=-6,

工〃的取值范圍是-6Wa<-5；

故選：B.

【點睛】此題考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是根據題意列出不等式組，求出不等式的解.

【考點7相反數的性質】

【方法點撥】在數軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。

一般地，。和-。互為相反數。。的相反數是0。

a=-。所表示的意義是：一個數和它的相反數相等。很顯然，。=00

【例7】（2019秋?龍亭區校級期中）a-A+c的相反數是.

【分析】一個數的相反數就是在這個數前面添上“-”號，直接去括號即可求得結果.

【答案】解：a-b+c的相反數是-（67-b+c）=~a+b-c.

【點睛】本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“■”號.此題要熟練掌握去

括號法則.

【變式7-1]（2019秋?江漢區期中）若〃?和〃互為相反數，mC〃，且，〃和〃在數軸上所對應的點之間的

距離是4.8,貝卜〃=.

【分析】根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數可得〃=-〃?，再根據數軸上兩點間的距離的表示列式

計算即可得解.

【答案】解：???〃?和〃互為相反數，

.*./1=-m,

/.n-m=-m-，〃=4.8，

解得m=-2.4.

故答案為：-2.4.

【點睛】本題考查了相反數的定義，數軸，熟記概念并根據數軸上兩點間的距離的表示列出穿式是解題的

關鍵.

【變式7-2](2019秋?雨城區校級期中)若-(〃-3)是負數，則a—3是,若-[-3+刃是負數，則a+〃

是.

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得答案.

【答案】解：-(〃-3)=4+3是負數，4-3是正數；

-[-(a+b)]=a+。是負數，

故答案為：正數，負數.

【點睛】本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.

【變式7-3](2019秋?龍口市校級期中)若〃?