重慶第二外國語學校數學試題（全卷共四個大題滿分：分考試時間：分鐘）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.下列各式正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據元素與集合、集合與集合的關系逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：D.2.命題：“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.【詳解】“，”的否定是，，故選：C3.不等式的解集為（）A.B.第1頁/共14頁C.或D.或【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由，可得，解得，所以不等式的解集為.故選：A.4.已知函數是冪函數，且為奇函數，則實數（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用冪函數的定義及奇函數的概念即可求解.【詳解】由題意得，所以，所以，解得或，當時，，為偶函數，故不符合題意，當時，，為奇函數，故符合題意.綜上所述：.故選：B.5.已知命題、，使得；命題，，則下列關于，真假敘述正確的是（）A.，均為真B.，均為假C.真，假D.假，真【答案】B【解析】【分析】由，則為偶數可判斷；時可判斷.第2頁/共14頁【詳解】若，則為偶數，則，所以不存在，使，故為假命題，若，則，所以，使，故為假命題，所以，均為假命題.故選：B6.已知：，；：，，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.就不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過舉特例及不等式性質可判斷選項正誤.【詳解】當時，，，但，則由不能得到；當，時，，，則由可得到,故是的充分不必要條件.故選：A7.已知函數，若對上的任意實數，（成立，那么實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據是上的減函數，列出不等式組，解該不等式組即可得答案.【詳解】因為函數滿足對上的任意實數恒有成立，所以函數在上遞減，第3頁/共14頁所以，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D.8.已知定義在上的函數，且，函數的圖象關于點中心對，，.則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意可知函數為奇函數，構造函數，推導出函數在區間上單調遞增，且函數為偶函數，分和兩種情況結合函數的單調性可解不等式.【詳解】由于函數的圖象關于點中心對稱，則函數的圖象關于原點對稱，所以，函數是定義在上的奇函數，令，則，所以，函數為偶函數，對于任意、，，都有成立，即.設，則，所以函數在區間上單調遞增，且.①當時，由可得，解得；第4頁/共14頁②當時，由于偶函數在區間上單調遞增，則該函數在區間上單調遞減，且.由可得，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，是假命題的有（）A.若，則B.函數與函數是同一函數C.若函數，則D.集合的子集共有個【答案】ABD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷A選項；利用函數相等概念可判斷B選項；利用函數解析式由內到外逐層計算出的值，可判斷C選項；利用集合子集個數公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，，則、均無意義，A錯；對于B選項，函數的定義域為，函數的定義域為，故函數與函數不是同一函數，B錯；對于C選項，若函數，則，所以，，C對；對于D選項，集合的子集個數為，D錯.第5頁/共14頁故選：ABD.10.已知，，且，則（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性質逐個選項判斷正誤即可．【詳解】對于A，因為，，所以，又所以，所以，當且僅當時取等號，故A錯誤；對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確；對于C，，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，，所以，當且僅當時取等號，故D正確.故選：BCD.已知函數的定義域為，若，，滿足，則稱函數具有性質上的函數具有性質第6頁/共14頁）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根據函數新定義可推得，，恒成立，即，的值域為，滿足，求出，列出不等式求解即可.【詳解】由題意得定義在上的函數具有性質，即，，滿足，即，，恒成立；記函數，的值域為，，則由題意得，當，即時，在單調遞減，則，即，此時不滿足，舍去；當，即時，在時取得最大值，即，即，要滿足，需，解得或，而，故，即實數取值范圍為.故選：CD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.已知函數，則函數的定義域為_______.第7頁/共14頁【答案】【解析】【分析】根據函數解析式有意義可得出關于實數的不等式組，由此可解得原函數的定義域.【詳解】對于函數，有，解得，故函數的定義域為.故答案：.13.已知關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可求出參數的取值范圍.【詳解】解：因為關于的不等式的解集為，所以，解得，即實數的取值范圍是.故答案為：14.設函數（）的最大值為，最小值為，則=__________【答案】4048【解析】【分析】將函數，化簡為，，構造函數，判斷奇偶性，根據奇函數的性質，即可求得答案.第8頁/共14頁【詳解】由題意，，令，，則，即為奇函數，則，結合函數（）的最大值為，最小值為，得，則，故答案為：4048四、解答題：本大題共5小題，共分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，集合.（1）當時，求；（2）設命題，，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】1）當時，求出集合、，利用補集和交集的定義可求得集合；（2）分析可知，是的真子集，根據集合的包含關系可得出實數的取值范圍.【小問1詳解】當時，，且，第9頁/共14頁則或，故或.【小問2詳解】因為是的充分不必要條件，則是的真子集，且，，故，即實數的取值范圍是.16.已知（1）求函數的解析式.（2）設函數，不等式在上有解，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）由可得函數的解析式.（2）利用基本不等式求的最小值，問題轉化為，由此可得的取值范圍.【小問1詳解】∵，∴.【小問2詳解】由題意得，，∵，∴，∴，當且僅當，即時，等號成立，∴當時，，∵不等式在上有解，∴，故，第10頁/共14頁∴實數的取值范圍是.17.某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.據市場調查，雜志的單價每提高0.1就減少2000本.（1）試確定雜志的定價區間使提價后的銷售總收入不低于20萬元？（21最大？【答案】（1）（2）元【解析】1）設雜志提價后的價格，根據題意列出銷售總收入后建立不等式，即可解得結果；（2）設雜志提價后的價格為，列出雜志銷售的利潤表達式，由二次函數的性質求得函數在何處取最大值.【小問1詳解】設雜志提價后的價格是每本（）元，則，即，解得，所以雜志定價位于內，能使提價后銷售總收入不低于20萬元.【小問2詳解】設雜志提價后的價格是每本（）元，則=（所以當時，取得最大值.所以雜志提價后價格為每本元時，雜志銷售的利潤最大.18.已知函數（）是減函數.（1）判斷函數的奇偶性，并證明；（2）解關于的不等式：（）.第11頁/共14頁【答案】（1）奇函數，證明見解析（2）答案見解析【解析】1）利用奇函數的定義即可判斷以及證明結論；（2）根據函數的奇偶性以及單調性將轉化為，討論a與2的大小關系，即可求得答案.【小問1詳解】函數為奇函數證明如下：函數定義域為，又，所以是奇函數【小問2詳解】由已知及（1）知：不等式即，等價于，即，當時，則；當時，則不等式無解；當時，則；綜上，的解集為：當時，不等式解集為，當時，不等式解集為當時，不等式解集為.19.已知函數是定義在上的奇函數，滿足，當時，有（1）求函數的解析式；（2）判斷的單調性，并利用定義證明；（3）若對，都有對恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）第12頁/共14頁（2）在上為增函數，證明見解析（3）【解析】1）根據，求出，，再檢驗即得解；（2）函數在為單調遞增函數，再利用函數的單調性定義證明；（3）分析得到對任意的恒成立，解不等式組即得解.【小問1詳解】函數是定義在上的奇函數，則，即，解得，又因為，即，解得，經檢驗可得，