課時達標檢測(五十七）分類計數原理與分步計數原理、排列與組合[練基礎小題——強化運算能力]1．(2017·天津高考)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個．(用數字作答)解析：一個數字是偶數、三個數字是奇數的四位數有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960(個)，四個數字都是奇數的四位數有Aeq\o\al(4,5)＝120(個)，則至多有一個數字是偶數的四位數一共有960＋120＝1080(個)．答案：10802．世界華商大會的某分會場有A，B，C三個展臺，將甲、乙、丙、丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數為________．解析：因為甲、乙兩人被分配到同一展臺，所以可以把甲與乙捆在一起，看成一個人，然后將3個人分到3個展臺上進行全排列，即有Aeq\o\al(3,3)種分配方法，所以甲、乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數有Aeq\o\al(3,3)＝6種．答案：63．(2017·全國卷Ⅱ改編)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有________種．(用數字作答)解析：因為安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，所以必有1人完成2項工作．先把4項工作分成3組，即2,1,1，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝6種，再分配給3個人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種)．答案：364.如圖所示的幾何體由一個正三棱錐P-ABC與正三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現用3種不同顏色對這個幾何體的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的染色方案共有________種．解析：先涂三棱錐P-ABC的三個側面，然后涂三棱柱ABC-A1B1C1的三個側面，共有3×2×1×2＝12種不同的涂色方案．答案：12[練常考題點——檢驗高考能力]一、填空題1．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數中任取2個不同的數分別作為一個對數的底數和真數，則可以組成不同對數值的個數為________．解析：在8個數中任取2個不同的數可以組成Aeq\o\al(2,8)＝56個對數值；但在這56個對數值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿足條件的對數值共有56－4＝52(個)．答案：522.如圖所示，在A、B間有四個焊接點1,2,3,4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通．今發(fā)現A，B之間電路不通，則焊接點脫落的不同情況有________種．解析：按照焊接點脫落的個數進行分類．若脫落1個，則有(1)，(4)，共2種情況；若脫落2個，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6種情況；若脫落3個，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4種情況；若脫落4個，有(1,2,3,4)，共1種情況．綜上共有2＋6＋4＋1＝13種焊接點脫落的情況．答案：133．現有2門不同的考試要安排在5天之內進行，每天最多進行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案的種數是________．解析：若第一門安排在開頭或結尾，則第二門有3種安排方法，這時共有Ceq\o\al(1,2)×3＝6種安排方案；若第一門安排在中間的3天中，則第二門有2種安排方法，這時共有Ceq\o\al(1,3)×2＝6種安排方案．綜上可得，不同的考試安排方案共有6＋6＝12(種)．答案：124．有5本不同的教科書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是________．解析：據題意可先擺放2本語文書，當1本物理書在2本語文書之間時，只需將2本數學書插在前3本書形成的4個空中即可，此時共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)種擺放方法；當1本物理書放在2本語文書一側時，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種不同的擺放方法，由分類計數原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48種擺放方法．答案：485．“住房”“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”成為現今社會關注的五個焦點．小趙想利用國慶節(jié)假期調查一下社會對這些熱點的關注度．若小趙準備按照順序分別調查其中的4個熱點，則“住房”作為其中的一個調查熱點，但不作為第一個調查熱點的種數為________．解析：可分三步：第一步，先從“醫(yī)療”“教育”“養(yǎng)老”“就業(yè)”這4個熱點中選出3個，有Ceq\o\al(3,4)種不同的選法；第二步，在調查時，“住房”安排的順序有Aeq\o\al(1,3)種可能情況；第三步，其余3個熱點調查的順序有Aeq\o\al(3,3)種排法．根據分步計數原理可得，不同調查順序的種數為Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝72.答案：726．將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數有________種．解析：五個元素沒有限制全排列數為Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得這樣的排列數有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40種．答案：407．某班組織文藝晚會，準備從A，B等8個節(jié)目中選出4個節(jié)目演出，要求A，B兩個節(jié)目至少有一個選中，且A，B同時選中時，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的種數為________．解析：當A，B節(jié)目中只選其中一個時，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960種演出順序；當A，B節(jié)目都被選中時，由插空法得共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝180種演出順序，所以一共有1140種演出順序．答案：11408．4位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：選甲題答對得100分，答錯得－100分，選乙題答對得90分，答錯得－90分，若4位同學的總分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數是________．解析：由于4位同學的總分為0分，故4位同學選甲、乙題的人數有且只有三種情況：①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；③甲：0人，乙：4人．對于①，需2人答對，2人答錯，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種情況；對于②，選甲題的需1人答對，1人答錯，選乙題的也如此，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝24種情況；對于③，與①相同，有6種情況，故共有6＋24＋6＝36種不同的得分情況．答案：369．把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號的，那么不同的分法種數為________(用數字作答)．解析：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號的，相當于將1,2,3,4,5這五個數用3個板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個空位插3個板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4種情況，再對應到4個人，有Aeq\o\al(4,4)＝24種情況，則共有4×24＝96種不同分法．答案：9610．(2017·浙江高考)從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數字作答)解析：法一：分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,6)＝55種不同的選法；第二步，從4人中選出隊長、副隊長各1人，有Aeq\o\al(2,4)＝12種不同的選法．根據分步乘法計數原理知共有55×12＝660種不同的選法．法二：不考慮限制條件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)種不同的選法，而沒有女生的選法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)種，故至少有1名女生的選法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(種)．答案：660二、解答題11．有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數：(1)有女生但人數必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文科代表；(3)某男生必須包括在內，但不擔任數學科代表；(4)某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數學科代表．解：(1)先選后排，可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)種情況，后排有Aeq\o\al(5,5)種情況，則符合條件的選法數為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3))·Aeq\o\al(5,5)＝5400.(2)除去該女生后，先選后排，則符合條件的選法數為Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(4,4)＝840.(3)先選后排，但先安排該男生，則符合條件的選法數為Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360.(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有Ceq\o\al(3,6)種情況，再安排該男生有Ceq\o\al(1,3)種情況，選出的3人全排有Aeq\o\al(3,3)種情況，則符合條件的選法數為Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360.12．用0,1,2,3,4這五個數字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數字的五位數？(1)比21034大的偶數；(2)左起第二、四位是奇數的偶數．解：(1)可分五類，當末位數字是0，而首位數字是2時，有6個五位數；當末位數字是0，而首位數字是3或4時，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個五位數；當末位數字是2，而首位數字是3或4時，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個五位數；當末位數字是4，而首位數