1.3.2等比數列的前

n項和第一章

數列北師大版（2019）選擇性必修第二冊學習目標掌握等比數列前

n項和的求和公式理解等比數列的前

n項和公式的推導方法及過程0102掌握等比數列前

n項和的簡單應用03實例分析一天，小林和小明做“貸款”游戲，簽訂了一份合同.從簽訂合同之日起，在一個月（30天）中,小明第一天貸給小林1萬元，第二天貸給小林2萬元，第三天貸給小林3萬元······以后每天比前一天多貸給小林1萬元.小林按這樣的方式還貸：小林第一天只需還1分錢，第二天還2分錢，第三天還4分錢······以后每天還的錢數是前一天的2倍.合同生效了，第一天小林支出1分錢，收入1萬元；第二天，他支出2分錢，收入2萬元；第三天，他支出4分錢，收入3萬元······到了第10天，他共得到55萬元，付出的總數只有10元2角3分.到了第20天，小林共得210萬元，而小明才得到1048575分，共1萬元多一點.小林想：要是合同訂兩個月、三個月那該多好!果真是這樣嗎?實例分析問題

計算小林和小明得到的錢數.解：設30天后，小林得到的錢數為T30（單位：萬元），小明得到的錢數為S30（單位：分），則根據合同，有T30＝1＋2＋3＋···＋30＝

（單位：萬元），S30＝1＋2＋22＋···＋229.①由①式可得，2S30＝2＋22＋···＋229

＋230.②②－①，得S30＝230－1.這可不是個小數目！利用計算器計算，得S30＝l073741823（分）＝1073.741823（萬元）將上述方法推廣到一般的等比數列求和問題的解決過程中.抽象概括

Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－3＋a1qn－2＋a1qn－1①①式的兩邊同乘

q，得

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－3＋a1qn－2＋a1qn－1＋a1qn②①－②得，Sn－qSn＝a1－a1qn，即

Sn（1－q）＝a1（1－qn）．抽象概括

抽象概括知識剖析

思考交流課本上推導等比數列前

n項和的方法，即錯位相減法.

Sn＝a1

b1＋a2

b2＋a3

b3＋···＋an

bn＝a1b1＋a2b1q＋a3b1q2＋···＋anb1qn－1

qSn＝a1b1q＋a2b1q2＋a3b1q3＋···＋anb1qn∴Sn－qSn＝a1b1＋(a2－a1)b1q＋(a3－a2)b1q2＋···＋(an－an－1)b1qn－1－anb1qn思考交流課本上推導等比數列前

n項和的方法，即錯位相減法.由等差數列的定義知

a2－a1＝a3－a2＝···＝an－an－1＝d

∴(1－q)Sn＝a1b1＋db1q＋db1q2＋···＋db1qn－1－anb1qn

＝a1b1＋db1(q＋q2＋···＋qn－1)－anb1qn∴當

q＝1時，Sn＝b1(a1＋a2＋···＋an)＝

例題分析

解：（1）由等比數列的前n項和公式，得（2）因為公比q=，所以例6

五洲電扇廠去年實現利潤

300

萬元，計劃在以后

5

年中每年比上一年利潤增長

10%.

問從今年起第

5

年的利潤是多少？這

5

年的總利潤是多少？（結果精確到

1

萬元）例題分析解：根據題意，可知每年的利潤組成一個首項a1

＝300，公比q＝1＋10%＝1.1的等比數列.所以從今年起第5年的利潤為這5年的總利潤為（萬元）.a6＝a1q6－1＝300×(1＋10%)5＝300×1.15≈483（萬元）；例7

在一個熱氣球在第1min上升了25m的高度，在以后得每1min里，它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能達到125m嗎？例題分析

熱氣球在

nmin里上升的總高度為

所以這個熱氣球上升的高度不能達到125m.例8

如圖，作邊長為

a的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后，再作新三角形的內切圓.如此下午，求前

n個內切圓的面積和.例題分析

因為從第2個正三角形開始，每一個正三角形的邊長是前一個正三角形邊長的

，每一個正三角形內切圓的半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的

，故

例8

如圖，作邊長為

a的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后，再作新三角形的內切圓.如此下午，求前

n個內切圓的面積和.例題分析

因此，前

n個內切圓的面積和為

思考交流

思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n

＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm

＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m

＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn

＝Sn＋qnSm.思考類似于等差數列中的片段和的性質，在等比數列中，你能發現Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數且q＝－1除外)的關系嗎？思考交流

證明

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，并求這個數列的公比．方法一：當q＝1時，Sn＝na1，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，公比為1．

S2n－Sn＝2na1－na1＝na1，S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1，

因為qn為常數，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，公比為qn．思考交流

證明

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，并求這個數列的公比．方法二：Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝qn（a1＋a2＋…＋an），

因為qn為常數，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，公比為qn．結論：等比數列｛an｝的公比q≠－1