海南省?？谑腥A僑中學2024-2025學年高三綜合題（二）數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．2．在中，，則=（）A． B．C． D．3．已知函數（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．4．如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長分別是5，12，13，當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8，則球的體積為()A．1605π3 B．6425．已知i是虛數單位，則1+iiA．-12+32i6．函數的部分圖像大致為（）A． B．C． D．7．雙曲線C：（，）的離心率是3，焦點到漸近線的距離為，則雙曲線C的焦距為（）A．3 B． C．6 D．8．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面個數分別記為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．9．已知實數集，集合，集合，則（）A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．411．已知，是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于兩點.若依次構成等差數列，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．12．某學校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30]，樣本數據分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（）A．56 B．60 C．140 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．春節期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發，為了打贏疫情防控阻擊戰，我省某醫院選派2名醫生，6名護士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫生，3名護士，其中甲乙兩名護士不到同一地，共有__________種選派方法.14．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，如圖是過且垂直于長軸的弦，則的內切圓方程是________.15．已知點是雙曲線漸近線上的一點，則雙曲線的離心率為_______16．某中學數學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學成績的平均數為81，乙組5名同學成績的中位數為73，則x-y的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）求的單調區間；（2）討論零點的個數.18．（12分）已知函數，.（1）判斷函數在區間上的零點的個數；（2）記函數在區間上的兩個極值點分別為、，求證：.19．（12分）（某工廠生產零件A，工人甲生產一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，工人乙生產一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為．己知生產一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.（1）試根據生產一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞；（2）為鼓勵工人提高技術，工廠進行技術大賽，最后甲乙兩人進入了決賽．決賽規則是：每一輪比賽，甲乙各生產一件零件A，如果一方生產的零件A品級優干另一方生產的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產的零件A品級一樣，則兩方都不得分，當一方總分為4分時，比賽結束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率．①寫出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．20．（12分）已知函數在上的最大值為3.（1）求的值及函數的單調遞增區間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.21．（12分）已知函數，其中．（1）討論函數的零點個數；（2）求證：．22．（10分）已知直線的參數方程：（為參數）和圓的極坐標方程：（1）將直線的參數方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）已知點，直線與圓相交于、兩點，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算.2．B【解析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題．3．C【解析】

設，計算可得，再結合圖像即可求出答案.【詳解】設，則，則，由于函數的最小值為0，作出函數的大致圖像，結合圖像，，得，所以.故選：C本題主要考查了分段函數的圖像與性質，考查轉化思想，考查數形結合思想，屬于中檔題.4．A【解析】

設球心為O，三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內切圓的圓心為O1，該圓與邊B【詳解】如圖，設三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設球心為O，則由球的幾何知識得ΔOO1M所以OM=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A．本題考查與球有關的組合體的問題，解答本題的關鍵有兩個：（1）構造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內求出球的半徑，這是解決與球有關的問題時常用的方法．（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內切圓的半徑r=a+b-c5．D【解析】

利用復數的運算法則即可化簡得出結果【詳解】1+i故選D本題考查了復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題。6．A【解析】

根據函數解析式，可知的定義域為，通過定義法判斷函數的奇偶性，得出，則為偶函數，可排除選項，觀察選項的圖象，可知代入，解得，排除選項，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以的定義域為，則，∴為偶函數，圖象關于軸對稱，排除選項，且當時，，排除選項，所以正確.故選：A.本題考查由函數解析式識別函數圖象，利用函數的奇偶性和特殊值法進行排除.7．A【解析】

根據焦點到漸近線的距離，可得，然后根據，可得結果.【詳解】由題可知：雙曲線的漸近線方程為取右焦點，一條漸近線則點到的距離為，由所以，則又所以所以焦距為：故選：A本題考查雙曲線漸近線方程，以及之間的關系，識記常用的結論：焦點到漸近線的距離為，屬基礎題.8．A【解析】

根據題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結合四個選項可知，只有正確.故選：A.本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.9．A【解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.10．C【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為：該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎題.11．D【解析】

如圖所示，設依次構成等差數列，其公差為.根據橢圓定義得，又，則，解得，.所以，，，.在和中，由余弦定理得，整理解得.故選D．12．C【解析】

試題分析：由題意得，自習時間不少于小時的頻率為，故自習時間不少于小時的頻率為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．24【解析】

先求出每地一名醫生，3名護士的選派方法的種數，再減去甲乙兩名護士到同一地的種數即可.【詳解】解：每地一名醫生，3名護士的選派方法的種數有，若甲乙兩名護士到同一地的種數有，則甲乙兩名護士不到同一地的種數有.故答案為：.本題考查利用間接法求排列組合問題，正難則反，是基礎題.14．【解析】

利用公式計算出，其中為的周長，為內切圓半徑，再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知，，，，設內切圓的圓心為，半徑為，則，故有，解得，由，或（舍），所以的內切圓方程為.故答案為：.本題考查橢圓中三角形內切圓的方程問題，涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識，考查學生的運算能力，是一道中檔題.15．【解析】

先表示出漸近線，再代入點，求出，則離心率易求.【詳解】解：的漸近線是因為在漸近線上，所以，故答案為：考查雙曲線的離心率的求法，是基礎題.16．【解析】

根據莖葉圖中的數據，結合平均數與中位數的概念，求出x、y的值.【詳解】根據莖葉圖中的數據，得：甲班5名同學成績的平均數為，解得；又乙班5名同學的中位數為73，則；.故答案為：.本題考查莖葉圖及根據莖葉圖計算中位數、平均數，考查數據分析能力，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)求導后分析導函數的正負再判斷單調性即可.(2),有零點等價于方程實數根,再換元將原方程轉化為,再求導分析的圖像數形結合求解即可.【詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調遞減；當時,,所以在單調遞增,所以的減區間為,增區間為.（2）,有零點等價于方程實數根,令則原方程轉化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.本題主要考查了利用導數分析函數的單調性的方法,同時也考查了利用導數分析函數零點的問題,屬于中檔題.18．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）利用導數分析函數在區間上的單調性與極值，結合零點存在定理可得出結論；（2）設函數的極大值點和極小值點分別為、，由（1）知，，且滿足，，于是得出，由得，利用正切函數的單調性推導出，再利用正弦函數的單調性可得出結論.【詳解】（1），，，當時，，，，則函數在上單調遞增；當時，，，，則函數在上單調遞減；當時，，，，則函數在上單調遞增.，，，，.所以，函數在與不存在零點，在區間和上各存在一個零點.綜上所述，函數在區間上的零點的個數為；（2），.由（1）得，在區間與上存在零點，所以，函數在區間與上各存在一個極值點、，且，，且滿足即，，，又，即，，，，，由在上單調遞增，得，再由在上單調遞減，得，即.本題考查利用導數研究函數的零點個數問題，同時也考查了利用導數證明不等式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.19．（1）乙的技術更好，見解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；（2）①直接根據概率的意義可得P0，P8；②設每輪比賽甲得分為，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差數列，根據可得答案.【詳解】（1）記甲乙各生產一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元，隨機變量，的分布列分別為10521052所以，，所以，即乙的技術更好（2）①表示的是甲得分時，甲最終獲勝的概率，所以，表示的是甲得4分時，甲最終獲勝的概率，所以；②設每輪比賽甲得分為，則每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，所以甲得時，最終獲勝有以下三種情況：（1）下一輪得1分并最終獲勝，概率為；（2）下一輪得0分并最終獲勝，概率為；（3）下一輪得分并最終獲勝，概率為；所以，所以是等差數列，則，即決賽甲獲勝的概率是.本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查數列遞推關系的應用，是一道難度較大的題目.20．（1）,函數的單調遞增區間為；（2）.【解析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數的解析式化為正弦型函數解析式形式，根據已知，可以求出的值，再結合正弦型函數的性質求出函數的單調遞增區間;（2）由（1）結合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結合已知是銳角三角形，三角形內角和定理，最后求出的取值范圍.【詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數的單調遞增區間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，解得因此，那么本題考查了降冪