52第11章新定義問題之新定義問題

一、單選題

1.定義新運算：對于任意兩個有理數。，b,有/b=/（8—1）,則（—3）*4的值是（）

A.-9B.-27C.27D.9

2.閱讀短文，完成問題：

沸羊羊說：“我定義了一種新的運算，叫※（加乘）運算”，然后他寫出了一些按照※（加乘）運算的運算法

則進行運算的算式：

（+5必（+2）=+7；（―3）※（—5）=+8；（―3）※（+4）=—7；（+5）※（—6）=—H；0X（+8）=8；（-6必0=6.

下列是智羊羊看了這些算式后的思考，其中正確的有（）

A.兩數進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加

B.0和任何數進行※（加乘）運算，或任何數和0進行※（加乘）運算，等于這個數本身

C.（一2）※[0※（一1）]=（—2）※（-1）=3

D.加法交換律在有理數的※（加乘）運算中不適用

3.己知點A在函數！（%>0）的圖象上，點3在直線為=3%+4上，若A、B兩點關于原點對稱,

x

則稱點A、B為函數為、為圖象上的一對“友好點”?請問這兩個函數圖象上的“友好點”對數的情況為（）

A.只有1對B.只有2對C.有1對或2對D.有無數對

4.對于兩個非零有理數a、b定義運算※如下：aXb=^————,則（-3）※（-4）=（）

2b3

33

A.-3B.—C.3D.--

22

5.對于有理數a、b,定義一種新運算“※”，規定：aXb=|a|-|b|-|a-b|,貝|2※（-3）等于（）

A.-2B.-6C.0D.2

6.對于實數尤,V,規定一種運算：x\y=ax+by（a,b是常數），己知243=11,5A（-3）=10,則a,匕

的值為（）

35

A.a=3,b=—B.a=2,b=3C.a=3,b=—D.a=3,b=2

53

7.設以)表示大于工的最小整數，如[3)=4,[-1.2)=-1,則下列結論中正確的是(填寫所有正確結論

的序號)①[0)=0；②比)-%的最小值是0；③[X)-%的最大值是1；④存在實數X,使[%)-x=0.6成

立.()

A.①②B.②③C.③④D.②③④

「尤+2-

8.對于有理數x，我們規定國表示不大于x的最大整數，例如[L2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若==6,

則x的取值可以是()

A.52B.62C.56D.68

9.若定義:f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(l,2)=(-l,2),g(-4,-5)=(-4,5),則g(f(3,-4))的值為()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)

10.若點河，N分別是兩條線段。和〃上任意一點，則線段MN長度的最小值叫做線段。與線段6的“理

想距離已知0(0,0),41,1),5(3,左),。(3,左+2),線段3c與線段。4的“理想距離''為2,則左的取值錯

誤的是()

A.-1B.0C.1D.2

11.若定義新運算4區人=精，貝1(2⑤2慮3的值為()

A.12B.16C.64D.81

12.我們規定這樣一種運算：如果ab=N(a>0,N>0),那么b就叫做以a為底的N的對數，記作：b=logaN,

例如：因為23=8,所以log28=3,那么log381的值為()

A.4B.9C.27D.81

btnq丈,Q2QmJi-*3=（）

13.現規定一種新運算“*”：女口3*2=3-9,貝I]:

113

A.-B.8C.一D.-

682

14.在平面直角坐標系中，對于平面內任一點(。力)，若規定以下三種變換:

①"9)=(—。力).如，/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=伽a).如，g(1,3)=(3,1)；

③h(a,b)=.如，/i(l,3)=(-1,-3).

按照以上變換有：/(g(2,-3))=f(-3,2)=(3,2),那么以(妝5,-3))等于(

A.(—5,—3)B.(5,3)C.(5,-3)D.(-5,3)

15.對于任何一個數，我們規定符號ababx+1x

的意義是=ad—be,按照這個規定計算的

cddx—2x~l

結果是()

A.—2x—1B.—2x+1C.2x+1D.2x-l

二、填空題

16.等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值左稱為這個等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中，

ZA=70°,則它的特征值左=.

17.“！”是基斯頓?卡曼于1808年發明的一種數學運算符號，叫做階乘.自然數幾的階乘寫作加，并且知道:

201

1!=1,21=2x1=2,3!=3x2xl=6,……那么一1等于.

21!

18.規定二是一種新運算規則：a?b=a2-b2,例如：2?3=22-32=4-9=-5,則5?[1?(-2)]=.

19.定義一種新運算“*“：xy=2xy-x1,貝!)-1*2=

20.對于任意有理數a,b,c,d,規定一種運算：，[二ad-be,例如J|=5x(-3)-1x2=-17.如

果I：：|=2,那么m=.

21.任何實數。，可用[a]表示不超過。的最大整數，如[4]=4,[73]=b現對72進行如下操作：，這

樣對72只需進行3次操作后變為1.類似地，對81只需進行3次后為1,那么只需進行3次操作后變為1

的所有正整數中，最大的是.

22.現在定義兩種運算“*”和“☆”，對于有理數a,b,有a*b=a+2b—1,a^b=2ab+\,則

(2*3)☆(3^2)的值為.

23.定義新運算：a*b=(a+2)(h-5),貝|5*(—7)=.

24.用“☆”定義一種新的運算：對于任意有理數a和b,規定a☆b=ab?+2ab+a.如：1☆3=lx32+2xlx3+l=16,

則G2)+3的值為.

25.用“※”定義新運算：對于有理數。力都有：a^b=ab-（a+b）,那么當加為有理數時，

⑸※3）=（用含加的式子表示）

26.“便>”定義新運算：對于任意的有理數。和b,都有“應人=尸+1.例如：905=52+l=26-當初

為有理數時，則機位（相位3）等于.

27.定義一種新運算規則如下：對于兩個有理數a,b,aQb^ab-b,若（5。%）。（—2）=-1,則

x=_____

28.對于兩個不相等的實數a也我們規定符號max{a,圻表示中的較大值，如：max{2,4}=4,故

max{3,5}=；按照這個規定，方程max{x,-x}=-------的解為.

29.%、y是一個函數的兩個變量，若當。0爛人時，有（a<b）,貝!!稱此函數為〃上的閉函數.如

函數產一x+5,當20x03時，2<y<3,所以y=—x+5是2sx03上的閉函數，已知二次函數y=N+6x+m是

區運-3上的閉函數，則m的值是.

30.定義一種新的運算：a*6=巴子，如：4*1=4+廣=|,則（2*3）*（—1）=.

三、解答題

31.定義：若a+b=2,則稱。與6是關于1的平衡數.

（1）直接填寫：①5與是關于1的平衡數；

②1-2龍與是關于1的平衡數（用含x的代數式表示）；

③y與________是關于1的平衡數（用含y的代數式表示）；

@z與Z是關于1的平衡數，則Z=.

（2）若a=2x~—3（尤~+x）+3,b=2x—[3x—（4x+x~）+l],先化簡a、b,再判斷.與6是否是關于

1的平衡數.

32.設用符號<a,b>表示a,6兩數中較小的數，用團，切表示a,。兩數中較大的數.試求下列各式的值.

（1）<-5,-0.5>+[-4,2]；

（2）<1,3>+[-5,<-2,7>].

33.若a,6是有理數，定義一種運算“③"：a?b^ab-2a-2b+l,

（1）計算3⑤（—2）的值;

(2)計算［(-4慮2］區(-3)的值；

(3)定義的新運算“③”對交換律是否成立？請寫出你的探究過程.

34.歷史上的數學巨人歐拉最先把關于尤的多項式用/(x)來表示.例如：f(x)^x2+3x-5,當％時,

多項式的值用/(?)來表示.例如％=—1時，多項式無2+3%—5的值記為/(—1)=(-1)2+3x(-1)-5=-7.

(1)已知/(x)=—2/—3x+l,求/(—2)的值;

(2)已知/(x)=ax'+2%2-ax-5,當/0.求a的值;

(3)已知/。)=加+法+7(其中a,6為常數)，若/(—7)=—17,求/(7)的值.

Q+C

35.定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A(a,b),B(c,d),若點T(x,y)滿足％=---,y

="4，那么稱點T是點A,8的三分點.

3

例如：A(-1,5),B(7,7),當點T(x,y)滿足x==吆=2,>=三2=4時，則點T(2,4)是

點A,8的三分點.

(1)已知點C(-l,8),D(1,2),E(4,-2),請說明其中一個點是另外兩個點的三分點.

(2)如圖，點A為(3,0),點82什3)是直線/上任意一點，點T(x,y)是點A,8的三分點.

①試確定y與尤的關系式.

②若①中的函數圖象交y軸于點M，直線/交y軸于點N,當以M,N,B,T為頂點的四邊形是平行四邊形

時，求點5的坐標.

③若直線AT與線段MN有交點，直接寫出/的取值范圍.

36.定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（x,,y）,B（%2，%）,若點T（x,y）滿足x=%：,

K-

y=2i±A,那么稱點T是點A，3的左聯點.例如：A（o,8）,B（3,l）,當點T（x,y）滿足了=寫=1,

k3

QI1

y='」=3時，則T（l,3）是點A，3的3聯點.

（1）已知點C（x,y）是點A（—1,5）,8（10,4）的2聯點，求點C坐標；

（2）已知點展總是點“（1,5）和點N（3,〃）的左聯點，求左和〃的值；

⑶如圖，點。（3,0）,若點E&2/+3）是直線/上任意一點，點T（x,y）是點的3聯點，直線ET交

①直接寫出點H的坐標；

②當AD7H為直角三角形時，求點E的坐標.

37.在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A,B,C的“矩積”，給出如下定義：“橫底”a：任意兩點橫

坐標差的最大值；“縱高”h：任意兩點縱坐標差的最大值；貝『'矩積"S=ah.例如：三點坐標分別為A（1,

-2）,B（2,2）,C（-1,-3）,則“橫底”a=3,“縱高”h=5,“矩積"S=ah=15.已知點D（-2,3）,E

（1,-1）.

（1）若點F在x軸上.

①當D,E,F三點的“矩積”為24,則點F的坐標為；

②直接寫出D,E,F三點的“矩積”的最小值為；

（2）若點F在直線y=mx+4上，使得D,E,F三點的“矩積”取到最小值，直接寫出m的取值范圍是.

備用圖備用圖

38.我們規定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“準箏形”.

用3翻四

圖I

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，ZA+ZC=270°,ZD=30°,=求證：四邊形ABCD是“準

箏形”；

(2)如圖2,在“準箏形”ABCD中，AB^AD,ABAC=ZBCD=60°，BC=4,CD=3,求AC的

長；

(3)如圖3,在AABC中，ZA=45°,ZABC=120°,AB=3—6設。是AABC所在平面內一

點，當四邊形A3CD是“準箏形”時，請直接寫出四邊形A3CD的面積.

39.定義一種新運算：觀察下列各式:

[☆3=lx5+3=8；3^(-1)=3x5-1=14；5^r4=5x5+4=29；4☆(-3)=4x5-3=17

(1)請你算一算：(-3)☆(-6)=；

(2)請你想一想：a表b=;

(3)若〃☆(—，)=5,請計算(a—☆(5a+3。)的值.

40.定義一種新運算：球b=2a—濟.例如：2X5=2x2—5°=3.

（1）求（—2）※（—1）的值；

（2）己知，算式"（—萬）°+卜一若卜］辛；—?"的最終結果是1,“?”部分的值和a※/b#0）相等，且

a=2sin（夕+15°）,求銳角￡的值.

52第11章新定義問題之新定義問題

一、單選題

1.定義新運算：對于任意兩個有理數。，b,有a%=/仍—]),貝i](—3)*4的值是()

A.-9B.-27C.27D.9

【答案】C

【分析】根據定義新運算公式計算即可.

【解答】解：由題意可得(一3)*4

=(-3)2X(4-1)

=9x3

=27

故選C.

【點評】此題考查的是定義新運算，掌握有理數乘方的意義和乘法法則是解題關鍵.

2.閱讀短文，完成問題：

沸羊羊說：“我定義了一種新的運算，叫※(加乘)運算”，然后他寫出了一些按照※(加乘)運算的運算法

則進行運算的算式：

(+5必(+2)=+7；(―3)※(—5)=+8；(―3)※(+4)=—7；(+5)※(—6)=—H；0※(+8)=8；(-6必0=6.

下列是智羊羊看了這些算式后的思考，其中正確的有()

A.兩數進行※(加乘)運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加

B.。和任何數進行※(加乘)運算，或任何數和0進行※(加乘)運算，等于這個數本身

C.(―2)※[0※(—=2)※(-1)=3

D.加法交換律在有理數的※(加乘)運算中不適用

【答案】A

【分析】首先根據※(加乘)運算的運算法則進行運算的算式，歸納出※(加乘)運算的運算法則即可判

斷A；然后根據：0X(+8)=8；(―6必0=6,可得：0和任何數進行※(加乘)運算，或任何數和0進行

X(加乘)運算，等于這個數的絕對值可判斷B；根據總結出的※(加乘)運算的運算法則，以及有理數

的混合運算的運算方法，求出（-2）※［0※（-1）］的值是多少即可判斷C；加法有交換律和結合律，這兩種

運算律在有理數的※（加乘）運算中還適用，并舉例驗證加法交換律適用即可判斷D.

【解答】解：由歸納※（加乘）運算的運算法則：兩數進行※（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并

把絕對值相加，故A正確；

由0和任何數進行※（加乘）運算，或任何數和0進行※（加乘）運算，等于這個數的絕對值，故B錯誤;

由（―2忤［0※（—1）］=（―2忤（+1）=—3,故C錯誤；

加法交換律和加法結合律在有理數的※（加乘）運算中還適用.由※（加乘）運算的運算法則可知：（+5）

X（+2）=+7,（+2）※（+5）=+7,所以（+5）派（+2）=（+2）※（+5）,即加法交換律在有理數

的※（加乘）運算中還適用，故D錯誤.

故選A.

【點評】此題主要考查了定義新運算，以及有理數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順

序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做

括號內的運算，注意加法運算律的應用.

3.己知點A在函數,（%>0）的圖象上，點3在直線%=3x+4上，若人、3兩點關于原點對稱,

x

則稱點A、B為函數%、為圖象上的一對“友好點”.請問這兩個函數圖象上的“友好點”對數的情況為（）

A.只有1對B.只有2對C.有1對或2對D.有無數對

【答案】B

【分析】根據“友好點”的定義知，點A在函數%=-4（%>0）的圖象上關于原點對稱點B一定在直線

X

%=3x+4上，然后進行求解即可.

【解答】解：設點A%,—51,由題意得點在直線％=3x+4上，則有：

-=-3tz+4,整理得：3a2—4a+l=0；

a

解得q=g,%=1，因止匕“友好點”的個數為2對；

故選B.

【點評】本題主要考查反比例函數與一次函數的綜合，熟練掌握函數上點的坐標及“友好點”的定義是解題的

關鍵.

4.對于兩個非零有理數a、b定義運算※如下：aXb=^-----------，則（-3）X（--）=（

2b3

33

A.-3B.—C.3D.--

22

【答案】B

【分析】根據新定義運算代入計算即可.

_2-6+2

_4

-3

-2

故選B.

【點評】本題考查了新定義下的實數運算，正確代入新定義運算中是解題的關鍵.

5.對于有理數a、b,定義一種新運算“※”，規定：aXb=|a|-|b|-|a-b|,則2※（-3）等于（）

A.-2B.-6C.0D.2

【答案】B

【分析】根據aXb=|aHbHa-b|,可以求得所求式子的值.

【解答】解:Va^b=|a|-|b|-|a-b|,

―※（-3）

=|2|-|-3|-|2-(-3)|

=2-3-|2+3|

=2-3-5

=-6,

故選：B.

【點評】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

6.對于實數光,，，規定一種運算：xAy=ax+by（a,b是常數），已知2Z^3=11,5A（-3）=10,則a涉

的值為（）

35一

A.a=3,b=—B.a=2,b—3C.a=3,b=—D.a=3,b—2

53

【答案】C

【分析】根據解方程組，可得答案.

【解答】解：由題意，得

2a+3b=ll,5a-3b=10

解得a=3力=9

3

故選：C

【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用'△y=ax+by（a、b是常數）”得出方程組是解題關鍵

7.設[尤）表示大于x的最小整數，如[3）=4,1-1.2）=-1,則下列結論中正確的是（填寫所有正確結論

的序號）①[0）=0;②[x）-x的最小值是0；③口）-x的最大值是1；④存在實數x,使[無）-x=0.6成

立.（）

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】利用題中的新定義判斷即可.

【解答】解：：[x）表示大于X的最小整數，

.\0<[x）-x<1

①[0）=1；

②[x）-X無最小值；

③[X）-X的最大值是1;

④存在實數X,使[X）-x=0.6成立，

故選：C.

【點評】此題考查了實數的運算，理解新定義實數的運算法則是解本題的關鍵.

「尤+2-

8.對于有理數x，我們規定國表示不大于x的最大整數，例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若—=6,

則x的取值可以是（）

A.52B.62C.56D.68

【答案】B

【分析】根據題意可得5868,再對各項進行判斷即可.

x+2

【解答】?/k=6,

：.6/<-X--+--2-<7r

10

解得58Wx<68

則x的取值可以是62

故答案為：B.

【點評】本題考查了解不等式的問題，掌握解不等式的方法是解題的關鍵.

9.若定義：f(a,b)=(-a,b),g(m,n)=(m,-n),例如f(l,2)=(-l,2),g(-4,-5)=(-4.5),則g(f(3,-4))的值為()

A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)

【答案】B

【分析】直接根據新定義的運算進行求解.

【解答】由題意知，f(3.-4)=(-3,-4),

.?.g(f(3,-4))=g(-3,-4)=(-3,4),

故選B.

【點評】本題是新定義運算，考查點的坐標變化，正確理解新定義運算規則是解題的關鍵.

10.若點河，N分別是兩條線段。和6上任意一點，則線段長度的最小值叫做線段。與線段6的“理

想距離”.已知。(0,0),4(1,1),5(3,4),。(3,左+2),線段3c與線段。4的“理想距離”為2,則左的取值錯

誤的是()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】根據題意可以列出相應的不等式組，從而可以求得k的取值范圍.

【解答】由題意可得，

1+2>1

'k<l

解得,-10仁1,

故D錯誤，

故選D.

【點評】本題考查坐標與圖形性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的不等

式組.

11.若定義新運算aOb=d，則（2⑤2慮3的值為（）

A.12B.16C.64D.81

【答案】C

【分析】根據新定義列出算式計算即可.

【解答】解：=

（2?2）03=22（8）3=43=64,

故選C.

【點評】本題主要考查有理數的混合運算，熟練掌握有理數的混合運算的順序和法則是解題的關鍵.

12.我們規定這樣一種運算：如果ab=N（a>0,N>0）,那么b就叫做以a為底的N的對數，記作：b=logaN,

例如：因為23=8,所以log28=3,那么log381的值為（）

A.4B.9C.27D.81

【答案】A

【分析】先把81轉化以3為底的幕，再根據有理數的乘方的定義和題目所提供的信息，log381等于以3

為底數81的對數.

【解答】解：???34=81，

?,.log381=4.

故選：A.

【點評】本題主要考查新定義下的實數運算以及有理數乘方的理解，讀懂題目信息并靈活運用是解題的關

鍵.

13.現規定一種新運算“*“：a*b="，如3*2=32=9,則量*3=（）

113

A.-B.8C.—D.一

682

【答案】C

【分析】仿照新定義的形式求解即可.

【解答】解：由題意可知：：。%=力，

故選：c.

【點評】本題借助新定義考查有理數的乘方運算，關鍵是能讀懂題意，仿照新定義形式進行運算即可求解.

14.在平面直角坐標系中，對于平面內任一點(。力)，若規定以下三種變換：

①/"=(").如,/(1,3)=(-1,3)；

②g(a,b)=伽a).如，g(1,3)=(3,1)；

③h[a,b)=(-a,詢.如，h(l,3)=(-1,-3).

按照以上變換有：/(g(2,-3))=/(-3,2)=(3,2),那么了(妝5,—3))等于().

A.(—5,—3)B.(5,3)C.(5,—3)D.(—5,3)

【答案】B

【解析】【分析】根據題意的描述，可得三種變換的規律，按此規律化簡/(/I(5,-3))可得答案，注意從

題目中所給的變化范例中找到驗證規律.

【解答】解：根據題意，/(/I(5,-3))=/(-5,3)=(5,3)；

故選B.

【點評】本題考查了點的坐標，幾何變換，讀懂題目信息，理解八g、九的變化方法是解題的關鍵.

15.對于任何一個數，我們規定符號&b1+1%

,的意義是,=ad-bc,按照這個規定計算°,的

Caax-2x-i

結果是()

A.—2x—1B.—2%+1C.2%+1D.2%—1

【答案】D

ab

【分析】根據Ld—bc,可以將所求式子化簡，本題得以解決.

ca

x+1x

【解答】解:

x-2x-1

=(x+1)(x-1)-X(x-2)

=x2-l-x2+2x

=2x-l,

故選：D.

【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新規定解答.

二、填空題

16.等腰三角形的頂角與其一個底角的度數的比值上稱為這個等腰三角形的“特征值”.若等腰AABC中,

NA=70°,則它的特征值左=.

414

【答案】一或一

711

【分析】分/A為頂角及/A為底角兩種情況考慮，當/A為頂角時，利用三角形內角和定理可求出底角的

度數，結合“特征值”的定義即可求出特征值k的值；當NA為底角時，利用三角形內角和定理可求出頂角的

度數，結合“特征值”的定義即可求出特征值k的值.

【解答】當NA為頂角時，則底角度數為;義（180。-70。）=55。，

,70°14

貝nrlk=--=——；

55°11

當NA為底角時，則頂角度數為180。一70。><2=40。，

,40°4

k—-----=一；

70°7

4,14

故答案為：一或—.

711

【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，分/A為頂角及NA為底角兩種情況求出“特

征值”k是解題的關鍵.

17.“！”是基斯頓?卡曼于1808年發明的一種數學運算符號，叫做階乘.自然數〃的階乘寫作加，并且知道:

20'

1!=1.2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,……那么一1等于

21!

【答案】—

21

201

【分析】根據題意，可以寫出——的式子，然后化簡即可解答本題.

21!

【解答】解：由題意可得，*20xl9xl8x...xl」,

21!21x20xl9x...xl21

故答案為：—

21

【點評】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

18.規定?是一種新運算規則：a^b—a2-b-,例如：2?3=22-32=4-9=-5,貝!J5?[1?(-2)]=.

【答案】16

【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值.

【解答】解：根據題中的新定義得：原式=5?(1-4)=5?(-3)=25-9=16.

故答案為：16.

【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

19.定義一種新運算"*"：xy-2xy-x~,貝U-l*2=

【答案】-5

【分析】根據新定義運算法則代入即可求解.

【解答】；x*y=2孫-/

.?.-1*2=41=5

故答案為：-5.

【點評】此題主要考查代數式求值，解題的關鍵是根據題意的運算方式即可求解.

20.對于任意有理數a,b,c,d,規定一種運算：力=ad-be,例如J|=5x(-3)-1x2=-17.如

果I一力=2,那么m=.

【答案】-5

【分析】按新定義規則展開，變成方程，解方程即可.

【解答】由I：中=2,

3x4-mx(-2)=2,

12+2m=2,

2m=10,

m=-5,

故答案為：-5.

【點評】本題考查新定義問題，關鍵讀懂新定義的內涵，掌握新定義的規則，會用新定義將等式變成方程

是關鍵.

21.任何實數a,可用［可表示不超過a的最大整數，如［4］=4,［73］=b現對72進行如下操作：，這

樣對72只需進行3次操作后變為1.類似地，對81只需進行3次后為1,那么只需進行3次操作后變為1

的所有正整數中，最大的是.

【答案】255

【分析】根據題意，先設［五］=1,從而求出x的最大正整數值為3；再設［J7］=3,從而求出y的最大

正整數值為15；最后設［五］=15,求出z的最大正整數值即可.

【解答】解：設［五］=1,x為正整數，則1<4<2，

?,.l<x<4,即最大正整數是3；

設［正］=3,y為正整數，則3W4<4,

-,.9<y<16,即最大正整數是15；

設［虛］=15,z為正整數，則15?&<16，

225<z<256,即最大正整數是255.

.??只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是255.

故答案為：255.

【點評】本題考查了估算無理數的大小的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力.

22.現在定義兩種運算“*”和“☆”，對于有理數a,b,有a*b=a+2b—1,a^b=2ab+i,則

（2*3）☆（3^2）的值為.

【答案】183

【分析】根據題目中定義的運算方法進行計算即可.

【解答】解：（2*3）翁（3+2）

=（2+2x3-1）前3時

=7近3公）

=2x7x（3^2）+l

=14x（2x3x2+l）+l

=14x13+1

=183,

故答案為：183.

【點評】本題考查了新定義下的實數運算，理解題意是解題關鍵.

23.定義新運算：。*匕=(。+2)3—5),貝"5*(—7)=.

【答案】-84

【分析】根據新的定義計算即可.

【解答】解：5*(-7)=(5+2)(-7-5)=-84,

故答案為：-84.

【點評】本題考查有理數的混合運算，解題的關鍵是理解題意，學會根據新的定義計算.

24.用“☆”定義一種新的運算：對于任意有理數a和b,規定aM=ab2+2ab+a.$0：1☆3=lx32+2xlx3+l=16,

則(-2)仝3的值為.

【答案】-32

【分析】讀懂題意，理解“☆”運算的含義，發現-2與a對應，3與b對應，把a=-2,b=3代入ab?+2ab+a求

值即可.

【解答】比較a^b、(-2*3得

a=-2,b=3,把之代入得

a☆b=ab2+2ab+a=(—2)x32+2x(—2)x3+(—2)—32.

故答案為：-32.

【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

25.用“※”定義新運算：對于有理數。力都有：a^b=ab-{a+b),那么當加為有理數時，

(w※3)=(用含加的式子表示)

【答案】2m-5

【分析】各式利用題中的新定義計算即可求出值.

【解答】解：根據題中的新定義得：辰6=3m-(m+3)=2m—3；

2※(加X3)==2派(2m-3)=2(2m-3)-(2+2m-3)=2m-5,

故答案為：2m-5

【點評】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

26.“③”定義新運算：對于任意的有理數a和6,都有a(8)人=尸+1.例如：905=52+l=26,當機

為有理數時，則機位(相位3)等于.

【答案】101

【分析】根據“③”的定義進行運算即可求解.

【解答】解：m?(m?3)=m?(32+l)=m010=102+1=101.

故答案為：101.

【點評】本題考查了新定義運算，理解新定義的法則是解題關鍵.

27.定義一種新運算規則如下：對于兩個有理數a,b,aOb=ab—b,若(5。%)。(—2)=-1,則

x=______

【答案】:

O

【分析】根據給定新運算的運算法則可以得到關于X的方程，解方程即可得到解答.

【解答】解：由題意得：(5x-x)0(—2)=—1,

3

-2(5x-x)-(-2)=-1,/.-8x+2=-L解之得：x=—,

8

3

故答案為一.

8

【點評】本題考查新定義下的實數運算，通過閱讀題目材料找出有關定義和運算法則并應用于新問題的解

決是解題關鍵.

28.對于兩個不相等的實數a,。，我們規定符號max{a,。}表示a,。中的較大值，如：max{2,4}=4,故

max{3,5}=；按照這個規定，方程max{x,-x}=-----的解為.

【答案】5—1—逝或1

【分析】按照規定符號可求得max{3,5}=5；根據%與一%的大小關系化簡所求方程，求出解即可.

【解答】max{3,5}=5；

故答案為:5；

2x-1

當犬〉—犬，即%>0時，方程化簡得：％=-----,

x

去分母得：f=2x—1,

整理得：犬―2x+l=0，即（％—1『=0

解得：x=l,

經檢驗：X=1是分式方程的解；

2r-1

當尤<—x,即％<0時，方程化簡得：—x=----,

X

去分母得：—f=2x—1，

整理得：X2+2x-l=0>

解得：兀=一1+應（不合題意，舍去）或T一夜，

經檢驗：x=-1-0是分式方程的解；

故答案為：—1—0或1.

【點評】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗根.弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

29.x、y是一個函數的兩個變量，若當。三爛6時，<a<y<bCa<b）,則稱此函數為aWxWb上的閉函數.如

函數y=—x+5,當2WxW3時，2<y<3,所以y=—x+5是2WxW3上的閉函數，已知二次函數y=x?+6尤+m是

t<x<-3上的閉函數，則m的值是.

【答案】5

【分析】先求得二次函數的對稱軸為％=-3,a=l>Q,根據二次函數的性質可知=三在區間

fWxW—3上y隨x的增大而減小，然后將X=—3和％=分別代入二次函數的解析式，得到方程組，從而

可求得m的值；

b6

【解答】???元=——=——=—3,〃=1>0,

2a2

???二次函數丁=九2+6犬斗加在區間，4工<—3上丫隨x的增大而減小.

?..二次函數y=d+6x斗機是區間MxW—3上的“閉函數”，

，當％=—3時，y=m-9；當％=/時，y^t2+6t+m.

m-9=t

/+6：+加=—3'

t=—3|7=—4

解得：</或1u，

m=bym—5

t<—2

t=-4

m=5

故答案為：5.

【點評】本題綜合考查了二次函數圖象的對稱性和增減性，關鍵是理解閉函數的定義并利用閉函數的定義

得出方程組.

30.定義一種新的運算：子，如：4*l=4+；xl=|,貝|]（2*3）*（—1）=.

【答案】-

2

【解析】【分析】利用題中的新定義計算即可得到結果.

【解答】利用題中的新定義：

(2*3)*(-1)=^^*(-1)

v7442

故答案為：一

2

【點評】本題為考查有理數的運算的變式題型，正確理解新定義計算以及熟練掌握有理數運算法則是解答

本題的關鍵.

、解答題

31.定義：若a+b=2,則稱。與6是關于1的平衡數.

（1）直接填寫：①5與是關于1的平衡數；

②1-2尤與是關于1的平衡數（用含x的代數式表示）；

③y與是關于1的平衡數（用含y的代數式表示）；

④z與z是關于1的平衡數，則z=.

（2）若。=212-3（/+尤）+3,ZJ=2X-F3X-（4X+X2）+1],先化簡以b,再判斷0與6是否是關于

1的平衡數.

【答案】(1)①—3；②l+2x；@2—y；④1；(2)a=—%2—3%+3，Z?=x2+3x-1>曲是關于1的

平衡數.

【分析】(1)根據平衡數的定義求解即可.

(2)先對a、b化簡，再判斷a+〃是否等于2即可.

【解答】解：⑴①：5+(-3)=2,

???5與-3是關于1的平衡數，

故答案為-3；

②由題得：2-(l-2x)=l+2x,

故答案為l+2x；

③y+(2-y)=2,

故答案為2-y；

④z+z=2,

2z=2，

z=1，

故答案為1；

(2)化簡a=f：2-3x+3

b=%2+3x—1

因為a+b=2,所以ab是關于1的平衡數.

【點評】本題主要考查整式的加減，理解題目中所給平衡數的定義是解題的關鍵.

32.設用符號表示a,b兩數中較小的數，用伍，切表示a,6兩數中較大的數.試求下列各式的值.

(1)<-5,-0.5>+[-4,2]；

(2)<1,3>+[-5,<-2,7>].

【答案】(1)-3；(2)-1.

【分析】(1)首先比較出-5與-0.5,以及-4與2的大小關系，求出<-5,-0.5>、[-4,2]的值各是多少；然

后把它們相加即可.

(2)比較出1與3,以及-2與7的大小關系，求出<1,3>、<-2,7>的值各是多少，進而求出<1,3>

+[-5,<-2,7>]的值是多少即可.

【解答】(1)v-5,-0.5>+[-4,2]

=-5+2

=-3；

(2)<1,3>+[-5,<-2,7>]

=1+[-5,-2]

=1+(-2)

=-1.

【點評】本題主要考查了有理數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①正數都大于0;

②負數都小于0;③正數大于一切負數；④兩個負數，絕對值大的其值反而小.

33.若。，人是有理數，定義一種運算“g"：a?b=ab-2a-2b+1,

(1)計算3⑤(—2)的值；

(2)計算[(-4)區2]③(-3)的值；

(3)定義的新運算“③”對交換律是否成立？請寫出你的探究過程.

【答案】(1)-7；(2)22；(3)定義的新運算“③”對交換律成立，過程見解析

【分析