熱點06直線與圓

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2022年，第3題，考察直線方程及圓的方程根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程

2023年，第15題，考察平面上兩點間的距離與函數的幾種形式，同時直線方程可能會與其他知識點如圓

的結合的方程、橢圓等結合考直，形成綜合性問題，故可能

2024年，第3題，考察點到直線的距離及圓的方程會成為命題的重點

熱點題型解讀

題型10與圓有關的最值問題題型1直線的傾斜角與斜率

題型9圓的切線問題題型2求直線的方程

W

題型8圓的弦長問題直線與圓題型3兩條直線的平行與垂直

題型7直線、圓與圓的位置關系題型4兩條直線的交點與距離問題

題型6圓的方程3題型5兩直線的對稱問題及其應用

題型1直線的傾斜角與斜率

IW5

?0既0

（1）求直線的傾斜角，關鍵是依據平面幾何的知識判斷直線向上方向與X軸正向之間所成的角，同時應

明確傾斜角的范圍:0°<?<180°;

（2）解決斜率問題的方法

I

①由傾斜角（或范圍）求斜率（或范圍）,利用定義式k=tana（a中90°）解決.

V--V.

②由兩點坐標求斜率，運用兩點斜率公式k=藍二;求解

-f-2022-4t^&i遍私旃i）"窠旗而箭7譯碼點>亶1營/￡M的關系如圖標.九百諭山京褫窠

看，前加年的年平均產量最高，則機的值為（）

S"

O1234567891011n

A.5B.7C.9D.11

【答案】C

若果樹前n年的總產量邑與n在圖中對應尸點

則前n年的年平均產量也==kOP,即為直線OP的斜率，

nn-0

由圖易得當"=9時，直線。尸的斜率最大.

即前9年的年平均產量最高.

故選：C.

JT

2.(2024?江蘇南通?模擬預測)直線x?tan《+>—2=0的傾斜角為()

713兀_7兀4兀

A.—B.—C.—D.—

510105

【答案】D

jr47r

【詳解】由題意可將原直線方程變形為y=Tan1X+2=tang，+2,

47r

由傾斜角的取值范圍［0,6,所以傾斜角為即A、B、C錯誤.

故選：D.

3.(2024?貴州貴陽?模擬預測)直線4，4的傾斜角分別為&，P，則“a=￡”是“tana=tan.”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】因為直線4，4的傾斜角分別為a，P，

所以ae[O,兀）,4?0,兀），

若tana=tan/?,則a=/,

JT

若a=/=5，貝I]tana,tan夕都不存在，

所以“a=夕”是“tana=tan/7”的必要不充分條件，

故選：B.

4.（2024?吉林長春一模）直線x+2y-4=0與直線3x+y-9=0所成角是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】B

[詳解]直線x+2y-4=0斜率勺=一;，直線3x+y—9=0斜率&=-3,

設兩直線的夾角為0,則tan6=gt

=1,

1+毋2

_&0°<6><90°,所以夕=45。.

故選：B

5.（2024?新疆烏魯木齊?三模）直線小，2的斜率分別為1，2,4，4夾角為夕，則sin26=（）

343

B.-D.

45To

【答案】C

【詳解】設直線4，的傾斜角分別為名p，則tani=l,tan/?=2,e=/7-a；

因此tan6=tan(/—a)=―處2-1_1

1+tan0tanal+2xl-3

2sincos2tan。

所以sin26=2sin0cos0=

sin26)+cos20tan28+1

故選：C

題型2求直線的方程

一般情況下，①已知點和斜率，選擇點斜式方程；②已知兩點坐標，選擇兩點式方程；

③已知斜率和】'軸截距，選擇斜截式方程；④已知兩軸截距，選擇截距式方程

工7563疝泰三澳）一巨而置至謂首獲二5二律存；寶茬3面"￡語莪旗4；喇直甌的周雇算7'5'

A.x-y+2=0B.x-2y+4=0

C.x-y-2=0D.x+2y—4=0

【答案】C

【詳解】因為直線/平行于直線％-y=o,所以直線/可設為％-y+機=0,

因為在y軸上的截距是-2,則過點（0,-2）,代入直線方程得0-（-2）+機=0,

解得加=-2,所以直線/的方程是x-＞-2=0.

故選：C

2.（2023-24高二下?云南?階段練習）設加＞0,〃＞0,若直線/:加x+,y=2過曲線了=優^+1（。＞0,且

的定點，則,+'的最小值為.

mn

【答案】2

【詳解】因為曲線y=優。+1過定點（L2）,

所以加+"=2,即加;"=］（〃？＞0,o）,則

當且僅當“力=竺勿7時，即優="=1時取"="，所以I上I+上的最小值為2.

mnmn

故答案為：2

3.（2024高三?全國?專題練習）若將直線y=3x—3繞原點按逆時針方向旋轉90。，則所得到的直線的方程

為.

【答案】x+3y—3=0

【詳解】

解析：（解法1）在直線上取點（1,0）,其繞原點按逆時針方向旋轉90。后得到點（0,1）,按逆時針方向旋

轉90。，傾斜角增加90。，故所得直線斜率為一；，從而所求直線方程為x+3y—3=0.

（解法2）在直線上取兩點（1,0）和（0,—3）,它們繞原點按逆時針方向旋轉90。后分別得到點（0,1）

和（3,0）,進而可得所求直線方程為x+3y—3=0.

4.（2024?陜西西安?一模）過點/1,3）,在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為.

【答案］y=3x或x+…=0

【詳解】當直線過原點時，直線V=3x在x軸上的截距和在V軸上的截距相等，則直線方程為y=3x；

當直線不過原點時，設直線方程為±+上=1,則工+之=1,解得。=4,直線方程為x+y-4=0,

aaaa

所以所求直線方程為y=3x或x+y-4=0.

故答案為：y=3x或x+y-4=0

5.(2023?新疆喀什?模擬預測)已知4(1,1),8(5,3),則線段N2的垂直平分線的一般方程為.

【答案】2x+y-8=0

【詳解】因為/(1,1)潭(5,3),所以直線4g的斜率為左=1^=：=],

所以的垂直平分線的斜率為-2,AB的中點坐標為(3,2),

故線段的垂直平分線的方程為：＞-2=-2(x-3),化為一般式為：2x+y-8=0.

故答案為：2x+y-8=0.

題型3兩條直線的平行與垂直

(1)已知直線4：歹=+4與直線l,：y=k2x+b2,

則①。左=左2，且4W此2；②(O左.左2=T.

(2)已知直線1}:Ax+8》+G=0,直線/2:A2X+B2y+C2=0,

則①IJII?_4與=0且B]C?_B2cTw0(或4G—4Gw0)；

②41/20AH+B]B?=0.

1.(2022-23高二工?江嬴江麗而)庵毒嬴:x+y-io威氤2,6)順而矗通)詢i麗，通姮

的方程是()

A.2x—y+2=0B.x+y+2=0C.x—y—2=0D.2x—y—2=0

【答案】c

【詳解】由4方程x+y-2=0可知：/1的斜率為勺=-1,

由題意可知：所以Kj2=-L所以勺=1，

因為4過點(2,0),所以由直線點斜率式方程可知，2的方程為：y-0=l-(x-2),

即x-y-2=0.

故選：C.

2.(2024?四川南充?一模)“機=1”是'直線4：x+(加+1)了+1=0與直線4：(加+l)x-叼-1=0垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若直線4：x+(〃?+l)y+l=0與直線"：(加+l)x-即-1=0垂直，

則lx(m+l)+(m+l)x(-m)=。，解得m=±1,

所以“m=1”是“直線4:x+(機+l)y+1=0與直線l2:(m+1)x-my-1=0垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

3.（2024?上海?三模）已知直線/的傾斜角為且直線/與直線加：x-回+1=0垂直，則。=

2兀

【答案】y

【詳解】直線小：x—6y+l=（^|Jy=gx+g,斜率后=,,

因為直線/、〃?互相垂直，所以直線/的斜率勺=?=-6，

k

2兀

直線/的傾斜角為a,貝Utana=-V^,結合ae［0,兀），可知a=?-.

2兀

故答案為：y.

4.（2023?江蘇無錫?模擬預測）直線4：辦+夕+1=0與4：x+皎-1=0平行，則實數。=（）

A.a=1B.<7=-1C.a=l或—1D.0

【答案】A

【詳解】因為直線4:ax+y+l=0與4：x+ay-l=0平行，

所以/-1=0且-a-1/0,解得a=l.

故選：A.

5.（2023?山東青島?三模）瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、

垂心在同一條直線上.這條直線被稱為歐拉線.已知ZU5C的頂點/（TO）,8（3,0）,C（3,3）,若直線/：

ax+（/_3）y-9=0與△/8C的歐拉線平行，則實數a的值為（）

A.-2B.-1C.-1或3D.3

【答案】B

【詳解】由ZUBC的頂點4（-3,0）,8（3,0）,C（3,3）知,

十、［（-3+3+30+0+3）/\

△Z5C重心為1-----------,—I,即（1」），

又三角形為直角三角形，所以外心為斜邊中點等］，即1°，（），

1_3

所以可得△NBC的歐拉線方程了-1萬,即尤+2了-3=0,

因為ax+（a?_3）y-9=0與x+2.y—3=0■彳丁，

匕廣I、1aQ2—3—9

所以一=-----。一，

12-3

解得。=-1,

故選：B

題型4兩條直線的交點與距離問題

1.（2024?初康漢?贏贏）已知0<x<a,0<”明若看且只有一組數對（工；田滿足術纂套

Jx?+j?++/+舊+（廣療+J（x-）2+5-°）2V2夜,則實數。的取值集合為.

【答案】{1}

【詳解】平面直角坐標系中,0<x<a,Q<y<a,。（0,0）,/（凡0）,B（a,a）,C（0,a）,P（x,y）,

y/x2+y2++/+J/+（y_q）~++（y-a）~

=\PO\+1PH+\PC\+\PB\=\PO\+\PB\+\PA\+|PC|>\OB\+\AC\^2缶

???有且只有一組數對（x,y）滿足不等式，，。=1,。的取值集合為{1}

故答案為：{1}.

2.（2020?陜西西安?模擬預測）若某直線被兩平行線4：x-y+l=0與/2：x-V+3=0所截得的線段的長為2亞，

則該直線的傾斜角大小為.

【答案】15。和75。

【詳解】因為直線小x-了+1=0與4：x-y+3=0平行,

所以4與4之間的距離"=

設直線/與34的夾角為c（0°<a<90°）,

因為直線/被直線4與4截得的線段長2行,

V2_1

所以sina=解得?=30°.

272-2

因為直線4，4的斜率為1，所以其傾斜角為45。,

所以直線/的傾斜角0的值為15。和75。.

故答案為：15。和75。.

3.（2023?河南開封?模擬預測）△N3C的三個頂點到直線/的距離分別為1,2,3,則該三角形的重心G到

直線/的距離為（答案不唯一，填一個即可）.

【答案】1（答案不唯一）

【詳解】以平面N8C內一點。為原點，建立平面直角坐標系,

c

設”(XQJ,2(X2，%),C(X3，%),則+；+%,%+g+”

設直線/的方程為/苫+為+。=0（43不同時為0）,

不妨設吃用:J肛:。|乜肉；叫:.

y/A2+B2ylA2+B2y/A2+B2

設三角形的重心G到直線/的距離為心與,

Ax^2+^+Bxy1+y2+y±+c

則心_______33________

+B2

1+Byi+C)+(/x,+By2+C)+(/9+Byy+C)|

3X4A2+B2

則當Ax,+By,+C,AX2+8%+C/%+8%+C同號時，dg,取得最大值為3x（1+2+3）=2,

當A.Xy+Byy+C<0,A.X2+By?+C<0,%毛+By§+C>0,

或Axx+或i+C>0,4%2+或2+。>0,AX3+或3+C<0時，

取得最小值為:x（l+2-3）=0,也即/過重心G.

所以

故答案為:1（答案不唯一）.

4.（2023-24高一上?河南周口?開學考試）如圖所示，點A是直線V=x上一點，過點A作。/的垂線交曲線

y=>0）于點3.若|6M「一|/*=8,則左=.

【答案】4

【詳解】由圖可知左＞0,

設小總，則直線":廣，-(X-M，

k

y-----=-(x-m)k

由，m,解得工=>=彳m+丁，

22m

mkmk)

則“'+蘇，萬+茄〉

7

B\m,—到直線X-y=0的距離為,用=

(m

依題意，|。4『_|48「=8,

整理得后=4.

故答案為：4

5.(2023?上海浦東新?模擬預測)設點尸(x,y)滿足"+如+c=0,貝1|“6=2a”是“卜+2y+2|+|x+2y—l|為定

值”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】若k+24+2%,+2了―1|二百嚴2產+(+釬］為定值,

即點P(x,力至！J直線X+2了+2=。，x+2y-l=0兩條直線距離之和為定值，

顯然，這兩條直線平行，如圖，

所以當點尸(x,y)在與這兩條直線平行的直線上時，此時直線辦+勿+。=0滿足且6=2°,

即b=2a,且aw0,6w0,|x+2y+2|+|x+2y-l|為定值，

所以“6=2a”是“卜+2了+21+|x+2＞一1|為定值”的必要不充分條件.

故選：B

題型5兩直線的對稱問題及其應用

（1）直線關于點對稱：轉化為“點關于點”的對稱問題，具體操作為：在/上找兩個特殊點，求出各自關于

A對稱的點，然后求出直線方程；

（2）點關于直線對稱：利用"垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標，一般地：

V一%-1

x-x

設點（X。,%）關于直線加+為+。=0的對稱點（X/）,則＜0

,x'+xnJ+%n

A------^o-+B-~~+c=0

22

I_________________________________________________________________________________________________I

1.（2024?重慶?模擬預測）已知直線l：x+y=O和曲線C:/（x,y）=0,若點尸（"）是曲線C關于

直線/的對稱曲線C的任意點，則點尸(尤',")滿足()

A./(/,/)=0B./(-x；-y)=0

C.f(y',x')=QD.f(-y',-x')=Q

【答案】D

【詳解】設點P（x',X）關于直線/：x+y=0的對稱點為（x,y）,

-一■/

=1

則Ix=—y'

,解得

x+x+Z±￡y=-xf

=0

、22

又點（xj）在曲線。上，所以〃x/）=0,

所以〃-9）=0.

故選：D

2.（2024?湖北?一模）設直線/：x+y-l=0,一束光線從原點。出發沿射線y=20）向直線/射出,

經/反射后與X軸交于點再次經X軸反射后與y軸交于點N.若|荻卜平，則上的值為（）

CID.2

【答案】B

【詳解】如圖，設點。關于直線/的對稱點為4（打,月）,

土+"-1=°r,

22得3=1

則,即N(u),

2(一i)=一1M=i

由題意知V=h（x20）與直線/不平行，故左片-1,

y=kx

x+y-l=0

故直線AP的斜率為kAP=嚀」一=1,

-L-ik

左+1

直線/P的直線方程為：J-1=1（X-1）,

令y=0得X=1-左,故一后,0）,

令x=0得＞=1-。，故由對稱性可得N（0,；T

k\k

由|拓?卜半得（1-左）2+1，-1

解得左+；=￥，得左=,或左=1，

k632

若木=：3,則第二次反射后光線不會與了軸相交，故不符合條件.

故左=g,

故選：B

3.（2024?云南昆明?模擬預測）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍

交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河

邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流加,"，其方程分別為2x-y=0,

y=0,將軍的出發點是點“（3,1）,軍營所在位置為3（6,3）,則下列說法錯誤的是（）

A.若將軍先去河流加飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為（1,2）

B.將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是逐

C.將軍先去河流加飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程是相

D.將軍先去河流〃飲馬，再去河流加飲馬，最后返回軍營的最短路程是2折

【答案】ABD

【詳解】對于A,如圖①所示，設點43,1）關于直線2x-y=0的對稱點為4（國,弘）,

"x2=T,

”「3解得4（_1,3）,

由，

2X21A.L±A

22=0

3

所以將軍在河邊飲馬的地點的坐標為C(j3),故A錯誤；

對于B,如圖②所示，因為點4(3,1)關于直線y=0的對稱點為

將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是忸闋=旬6-3＞+(3+以=5,故B錯誤;

對于C,如圖③所示，因為點8(6,3)關于直線y=0的對稱點分別為，5.(6,-3)；

點4(3,1)關于直線2x-y=0的對稱點為4(-1,3),

所以將軍先去河流加飲馬，再去河流〃飲馬，最后返回軍營的最短路程|44|=隔，故C正確;

對于D,如圖④所示，設點3(6,3)關于直線2x-y=0的對稱點分別為為(乙，%)，

^2^x2=-1,

解得當；點關于直線片的對稱點為

由，8(-4(3,1)04(3,-1),

2上一一=o55

22

將軍先去河流〃飲馬，再去河流加飲馬，最后返回軍營的最短路程是區與|='野，故D錯誤.

故選：ABD.

4.(2022-23高三?全國?課后作業)若直線尸辦+2與y=3x-6關于直線＞=x對稱，則實數0=

【答案】|

【詳解】直線＞=3x-6過點(0,-6),

點(0,-6)關于直線y=X對稱點為(-6,0),

依題意可知點(-6,0)在直線了=辦+2上,

所以—6a+2=0,a=—.

3

故答案為：—

5.（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）設直線l:x+y-l=0,一束光線從原點O出發沿射線了=履（》,0）

向直線/射出，經/反射后與x軸交于點M,再次經x軸反射后與J軸交于點N.若

\MN\=^,貝Uk的值為（）

116

【答案】B

【詳解】

如圖，設點。關于直線/的對稱點為“（再,必）,

土+叢-1=0

則:2得%二，即N(U)，

Ax(-1)=-1M=1

由題意知y=Ax（xN0）與直線/不平行，故左片-1,

y=kx

由

x+y-l=0

故直線AP的斜率為kAP=與」一=；,

-L-ik

k+1

直線/尸的直線方程為：y-l=l（x-l）,

k

令歹=0得x=l—左，故"（1一左⑼，

令x=0得故由對稱性可得N（0，[-1],

k\k）

由mi=平得（15+（河哮，即（左+￡|邛+￡|=||,

解得左+；1=?13，得左=2彳或后=：3，

k632

若后=；,則第二次反射后光線不會與歹軸相交，故不符合條件.

故左=:,

故選：B.

題型6圓的方程

確定圓的方程的方法

（1）幾何法：利用圓的幾何性質等，直接求出圓的圓心和半徑，進而得到圓的標準方程.

（2）待定系數法：假設圓的標準方程或者一般方程，由三個獨立條件得到三個方程，解方程組以得到圓

的方程中三個參數即可

________________________________________________________________________________________________I

1.（2023?北京平谷?一模）點M、N在圓C:/+y2+2依+2%一4=0上，且"、N兩點關于直線x-y+1=0

對稱，則圓C的半徑（）

A.最大值為gB.最小值為好C.最小值為mD.最大值為逑

2222

【答案】C

【詳角軍】由+J/+2h+2陽一4=0,得（X+左）2+（y+加）2=左2+加2+4,

所以圓心。為（-左,-加），半徑為廠="2+加2+4,

由題意可得直線％->+1=0經過圓心。（-左「加），

故有一無+加+1=0,即左二根+1,

所以半徑為尸=J左之+加2+4-J（加+1『+加2+4=/2（加+J）+-^>~~~，

當機=一!時，圓。的半徑的最小值為逑.

22

故選：C.

2.(2022?北京海淀?一模)已知直線，：辦+勿=1是圓，+/-2》-2/=0的一條對稱軸，則曲的最大值為

()

A.5B.yC.1D.V2

【答案】A

【詳解】由于直線/是圓的對稱軸，所以圓的圓心必定在直線/上，

將圓的一般方程轉變為標準方程：(X-1)2+(^-1)2=2,

圓心為(1,1)，將圓心坐標代入直線/的方程得。+6=1,

b=l-a,ab=a(l-a),

函數了是開口向下，以。=g為對稱軸的拋物線，

所以2m，

故選：A.

3.(2024?吉林?三模)己知曲線C：x2+y2+2〃zx-2y+2=0表示圓，則加的取值范圍是()

A.B.(1,+℃)C.(-1,1)D.(-oo,-l)u(l,+co)

【答案】D

【詳解】圓的標準方程為：(X+機)2+5-球=/-1,

故/>1即"?<T或加>1,

故選：D.

4.(2024?湖南邵陽三模)寫出滿足“點(3,-2)在圓/+/一2工+4了+加=0外部”的一個加的值：m=,

【答案】4(答案不唯一，1(加<5)

【詳解】圓(x-l)2+(了+2)2=5-加，則5-機>0,

由點(3,-2)在圓/+/-2；￡+4了+優=0外部，得3?+(-2了-2x3+4x(_2)+"?>0,

解得1<<5,取=4.

故答案為：4

5.(2024?海南?模擬預測)下列方程中表示圓心在直線>=x上，半徑為V2,且過原點的圓的是()

A.(x-l)2+(^-l)2=V2B.(x-l)2+(j+l)2=V2

C.(l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=2

【答案】D

【詳解】因為圓心在>=x上，所以設圓心為

因為圓的半徑為企，

所以設圓的標準方程為(x-a『=2,

因為該圓過原點，

所以(_療+(_療=2,

解得。=±1,

所以圓心為(U)或(-1,-1),

當圓心為(1,1)時，圓的標準方程為(X-1)2+5-仔=2,D對；

當圓心為時，圓的標準方程為(X+1)2+(/+1)2=2.

故選：D.

題型7直線、圓與圓的位置關系

1元一

!00?0

(1)判斷直線與圓位置關系的兩種方法：

①幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑7,的大小關系判斷；②代數法：根據直線與圓的方程組成的

方程組解的個數來判斷；

(2)判斷圓與圓的位置關系的一般步驟：①將兩圓的方程化為標準方程；②分別求出兩圓的圓心坐標和

半徑。G；③求兩圓的圓心距d；④比較d與房-弓I，6+G的大小；⑤根據大小關系確定圓與圓的位

置關系.

"I1'~4:港莫置行(a+1正+(二T)正2~=詬彘+?=4相前

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】當。=0時，直線為x-y=0,過圓心(0,0),故直線與圓一+必=4相交，

,12al,

當直線m+Dx+(。-1)了+2a=0(。eR)與圓X?+必=4相交時，圓心到直線的距離”=/<-

{(”+1)+("1)

化簡得/+2>0,顯然恒成立，不能推出Q=0,

所以“a=0”是直線(a+l)x+(a-1”+2〃=0(a￡K)與圓％2+。=4相交的充分不必要條件,

故選：A

2.(2024?北京大興?三模)己知直線/：了=h+1與圓C:(x+1)，/=/卜>0),則“V后eR,直線/與圓C

有公共點”是“r>的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】易知圓C：（x+l）2+/=/（r＞0）的圓心為。（一1,0）,半徑為『，

當VLeR,直線/與圓C有公共點時，尸|立恒成立,即（產一1）/+2左+/_INO恒成立，

y]l+k

則/一1＞0且1二4-4（，-1）2?0,解得1-121，即尸之71或--亞（舍去）

所以“VLeR,直線/與圓C有公共點”是“r＞亞”的必要不充分條件，

故選：B.

3.（2024?江西景德鎮?一模）已知。6：/+/一2"-1+/=0與oC2：（x-l）2+（y+l）2=r2（r＞o）,若存在

實數。的值使得兩圓僅有一條公切線，則「的最小值為.

【答案】2

【詳解】因為。。1：（工一療+必=1,

.?.0（4,0）,半徑為1,

因為。。2：（%—1）+（y+i）=廠，

.-.C2（l,-1）,半徑為，，

若兩圓僅有一條公切線，即兩圓相內切，

??.Qc|=IT，

由于|GC21=J（aT）+l21，故,一1|21,

解得即『的最小值為2,

故答案為：2.

4.（2022-23高二上?河南洛陽?階段練習）設有一組圓Q:（x-左y+3-廚2=左2（左＞0）,若圓q上恰有兩點

到原點的距離為1,則上的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（V2-1,V2+1）C.（0,V2+l）D.（&-1,0+2）

【答案】B

【詳解】圓Q：（x-肩,+3-斤）2=^（左＞o）,其圓心為色㈤,半徑為r

因為圓。上恰有兩點到原點的距離為1,所以圓x2+/=i與圓q有兩個交點.

因為圓心距為JF+A所以1-左＜也發＜4+1,解得逝-1〈人＜血+1.

故選：B

5.（2024?四川綿陽?模擬預測）已知直線/：x-y+加=0,圓C:/+/-6無一2＞-15=0,則"與C有公共點”

是“-2-5血＜相＜5血-2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【詳解】圓C：x?+/-6x-2y-15=0,即（x-3），+（y-l/=25,圓心為C（3,l）,半徑r=5,

|3-l+m|__

若/與C有公共點，則"+（_1）尸,解得-2-5&W加<-2+5血，

所以由“/與C有公共點”推不出“-2-5后〈加<5后-2"，故充分性不成立；

由-2-5也<加<5后-2推得出/與C有公共點，故必要性成立；

所以“/與C有公共點”是“-2-5V2<m<5近-2”的必要不充分條件.

故選：B

題型8圓的弦長問題

由于半徑八弦長距&弦長/的一半構成直角三角形，所以利用/+[]=/求解

L-2024-7tM^^=S777:3雪羨：”（二獷+7=4^17-施瓦而

值為,寫出滿足“△/3C面積最大”的k的一個值______.

【答案】21（±1均可）

[詳解]直線丘_,+左=0,貝Mx+l汝—>=0,令，解得，

卜=0n

所以直線質->+左=0恒過點（-1,0）,

OC：（x-l）2+y2=4的圓心為C（l,0）,半徑r=2,

顯然點（-1,0）在。C上，

2用_____

圓心0（1,0）到直線的距離1=方\,I/同=2"-屋，

貝US.ABC=~j\AB\d=J"/.d=J/（4一屋）<+；I

當且僅當屋=4-/，即屋=2時取等號，

即4=2,解得左=一1或左=1.

發2+1

故答案為：2；1（±1均可）

2.（2024?北京石景山?一模）直線”質+1與圓/+（y+l）2=16相交于48兩點，則線段的長度可能為

（）

A.5B.7C.9D.14

【答案】B

【詳解】直線丁=h+1恒過點（0,1）,且點（0,1）在圓/+（了+1『=16內，

當點（0,1）是弦48的中點時,此時弦長最短，圓心（0,-1）和點（0,1）的距離為2,此時弦長H同=2而二=46,

最長的弦長是直徑為8,

所以弦長的取值范圍是[4百,8],其中只有B成立.

故選：B

3.（2022-23高三上?北京海淀?期末）已知直線x-y+〃?=0與圓。：x?+r=1相交于兩點，且/UOB

為等邊三角形，則實數十的值為（）

A.立B.逅C.土立D.土逅

2222

【答案】D

【詳解】由題意可知，圓。：f+/=i的圓心坐標為。（0,0）泮徑為-1,

因為直線x-y+M=0與圓。：/+了2=1相交于兩點，且ZUOB為等邊三角形，

所以A/OB的邊長為1,

則圓心。（0,0）到直線x-V+加=0的距離為J1-,

即小叫0解得加=±亞

V222

所以實數加的值為土逅.

2

故選：D.

4.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）已知圓C:/+/=i,直線/：x+y+2=0,尸為直線/上的動點，過點尸作

圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則直線過定點.

【答案】

【詳解】根據題意，尸為直線/：x+y+2=0上的動點，設尸的坐標為伍-2-），

過點尸作圓C的兩條切線，切點分別為A,B,則尸/工/C,PB1BC,

則點A、B在以尸。為直徑的圓上，

又由C（0,0）,則以PC為直徑的圓的方程為x（xT）+j（j+2+/）=0,

變形可得：x~+y1—tx+（t+2）y—0,

[x2+y2=1/、

則有〈22,〃_n>可得：1-x+（t+2）y=0,

x+y—Zx+（，+2）y=0

變形可得：l+2yT（x-y）=0,即直線的方程為l+2yT（x-y）=0,

7

:,故直線過定點

x

故答案為：

5.（2024?全國?模擬預測）M點是圓C:（X+2）2+/=1上任意一點，4B為圓G:（x-2）2+_/=3的弦,且

|AB|=272,N為48的中點，則1MM的最小值為（）

D.47

【答案】B

【詳解】圓C：（x+2r+/=i的圓心為C（一2,0）,半徑為，=1,

圓G：（x-2>+/=3的圓心為G（2,0）,半徑為4=百.

如圖所示，由弦長公式知|/同=2，7不W=2后，

解得CM=1,

所以點N在以G（2,0）為圓心、1為半徑的圓上，

由圖可知，1的1的最小值為=-1=2.

故選：B.

題型9圓的切線問題

求切線方程的常用方法：

（1）求過圓上一點（5，%）的圓的切線方程的方法

先求切點與圓心的連線所在直線的斜率左，再由垂直關系知切線的斜率為一;，由點斜式方程可得切線方

k

程.若左=0或左不存在，則切線的斜率不存在或為o,從而可直接得切線方程為x=x°或y=

（2）求過圓外一點（七,%）的圓的切線方程的方法

設切線方程為歹一為=k（x-%）,由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得左，切線方程即可求出.

I

注意：過圓外一點的切線必有兩條，當求得的左值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可由數

形結合求出.

1.（2023?北京門頭溝?一模）若點M是圓C:x2+y2-4x=0上的任一點，直線/:x+y+2=0與x軸、了軸

分別相交于A、3兩點,則的最小值為（）

71717171

A.—B.-C.-D.一

12436

【答案】A

【詳解】如下圖所示：

直線/的斜率為-1,傾斜角為『故皿”和

圓C的標準方程為（X-2『+V=4,圓心為C（2,0）,半徑為廠=2,

易知直線/交x軸于點-2,0）,所以，|/C|=4,

由圖可知，當直線與圓C相切，且切點位于x軸下方時，NM48取最小值,

1■JT

由圓的幾何性質可知M|CM|=2=-|^C|,則/。〃=

26

t^ZMAB>ZOAB.

64612

故選：A.

2.（2023?北京西城?模擬預測）已知圓O:/+/=i,過直線3x+4y-10=0上的動點尸作圓。的一條切線,

切點為A,則|/訓的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】C

【詳解】如圖所示:連接尸。，則|尸/『=|尸。『-嚴，

當|尸。|最小時,向最小，盧。仁=卡生=2,

故『訓的最小值為疹=7=6.

故選：c.

3.(2023?北京通州?三模)過直線了=x上的一點P作圓(x-5)2+。-=2的兩條切線4,4，切點分別為4B,

當直線4，4關于＞=》對稱時，線段4的長為()

A.4B.2亞