控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性引言在前面的課程中已經(jīng)討論了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和勞斯穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)介紹判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種方法－－Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。應(yīng)用這個(gè)判據(jù)，同樣不用求解系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根，就能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。引言而且，根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線還可以直觀地了解系統(tǒng)的穩(wěn)定程度；對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，能夠提示人們改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是一種幾何判據(jù)，它的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的映射定理。復(fù)平面上的圍線映射考慮一個(gè)復(fù)變函數(shù)

S平面上的點(diǎn),按上式映射到F(S)平面上的相應(yīng)點(diǎn);零點(diǎn)將映射到F(S)平面上的原點(diǎn),極點(diǎn)將映射到F(S)平面上的無限遠(yuǎn)點(diǎn),而其它普通點(diǎn)將映射到F(S)平面上除原點(diǎn)外的有限值點(diǎn)。復(fù)平面上的圍線映射

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)sl在s平面上順時(shí)針方向繞封閉曲線C一周時(shí),則在F(s)平面上也將映射出一條閉合曲線

。映射定理C的內(nèi)域中包含的零點(diǎn)數(shù)為Z極點(diǎn)數(shù)為P變點(diǎn)S沿C順時(shí)針繞一周，順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)為N則曲線“包圍”點(diǎn)的定義閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：為在右半平面的零點(diǎn)數(shù)（特征根）。為特征式的零點(diǎn)，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件Nyquist圍線：設(shè)有封閉曲線C,它不經(jīng)過開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn),且順時(shí)針包圍了整個(gè)S右半平面,稱曲線C為Nyquist圍線。設(shè)特征式在右半平面上的零點(diǎn)數(shù)為極點(diǎn)數(shù)為將Nyquist圍線C從s平面映射到平面得到圍線根據(jù)映射定理N為曲線順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為即Go(s)與1＋Go(s)的關(guān)系即平面的曲線向左平移1個(gè)單位得到平面的曲線Nyquist穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件為Nyqusit曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)。開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件為Nyquist曲線逆時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)Po次。根據(jù)映射定理N為曲線順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)即為曲線順時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)的次數(shù)。設(shè)特征式在右半平面上的零點(diǎn)數(shù)為極點(diǎn)數(shù)為（Nyquist圍線內(nèi)部）判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的條件：1）開環(huán)在右半平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)P；

2）GK(jω)正負(fù)全頻曲線。穩(wěn)定判據(jù)的推廣

(w不在全頻率下繪制，只在0+—∞時(shí)繪制)射線的定義和正負(fù)穿次（包括半穿）的定義；射線：起于（-1，j0）點(diǎn)沿實(shí)軸反方向；正穿（逆穿）：ω增大時(shí)曲線從上向下穿過射線；負(fù)穿（順穿）：ω增大時(shí)曲線從下向上穿過射線。半穿的定義：曲線起于射線或終于射線。P為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)，

a為矢量當(dāng)ω

：0+—∞時(shí)的正（逆時(shí)針）穿次數(shù)，

b為矢量當(dāng)ω

：0+—∞時(shí)的負(fù)（順時(shí)針）穿次數(shù)。穩(wěn)定判據(jù)：P=2(a-b)系統(tǒng)右半平面特征根的確定：Z=P-2(a-b)系統(tǒng)純虛根的確定：Nyquist曲線過（-1，j0）的次數(shù)，通過l次，有2l個(gè)純虛根。基于曲線的對(duì)稱關(guān)系G(jω)平面-1，j0開環(huán)有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時(shí)奈氏判據(jù)的應(yīng)用開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)，即坐標(biāo)原點(diǎn)處有極點(diǎn)，其開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為開環(huán)幅相頻率特性在ω=0處，Gk(jω)→∞，曲線不連續(xù)。難以說明是否包圍(-1,j0)點(diǎn)。做如圖所示處理。將坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)劃到了左半平面，可視其為穩(wěn)定根。

mIeR0e0+0-0

也就是說：當(dāng)s沿?zé)o窮小半圓逆時(shí)針移動(dòng)時(shí)，即ω由0→0+變化時(shí)，Gk(jω)沿?zé)o窮大半徑的圓弧順時(shí)針移動(dòng)角：當(dāng)s沿著小半圓移動(dòng)時(shí)，有s=

ejθ，

0。將s=

ejθ代入到式Gk(s)中，得mIeR0e0+0-0

所以：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)坐標(biāo)原點(diǎn)處有極點(diǎn)時(shí)，需畫出ω：0→0+的補(bǔ)充圓弧（稱為輔助線）。方法：從與頻率0+對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開始，順時(shí)針方向補(bǔ)作一個(gè)半徑為無窮大，圓心角為v×π/2角的大圓弧.例控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界的程度說明了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性；用Nquist曲線與(-1,j0)點(diǎn)的相對(duì)位置判斷相對(duì)穩(wěn)定性；以穩(wěn)定裕量（幅值裕量、相角裕量）表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。圖：相對(duì)穩(wěn)定性和暫態(tài)分量的關(guān)系（草圖）在Nyquist圖上表示:

幅值裕量Kg&相角裕量r

定義兩個(gè)頻率：ωg：相角穿越頻率，滿足∠Gk(jωg)=(2k+1)πωc：剪切頻率，滿足A(ωc)=1或L(ωc)=0dB定義穩(wěn)定裕量：幅值裕量，以Kg表示相角裕量，以r表示r=180°+

Gk(jω)=180°+

(ωc)

如圖所示，Kg>1，r>0計(jì)算舉例在Nyquist圖上用Kg&r判斷系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性Kg>1，Gk(jω)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；Kg=1，Gk(jω)曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；Kg<1

，Gk(jω)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。r>0，

(ωc)>-180°，Gk(jω)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定；r=0，

(ωc)=-180°，Gk(jω)曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；r<0，

(ωc)<-180°，Gk(jω)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定的情況系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況開環(huán)頻率特性與閉環(huán)時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能時(shí)，通常將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個(gè)頻段。

低頻段表征了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、

中頻段表征了系統(tǒng)的暫態(tài)性能、

高頻段則反映了系統(tǒng)抗干擾能力。低頻段低頻段對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)低頻段對(duì)數(shù)幅頻穩(wěn)定的系統(tǒng)，低頻段L(ω)的斜率愈小、位置愈高，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的v愈大、K愈大。穩(wěn)態(tài)誤差愈小。中頻段中頻段是指L(ω)在剪切頻率ωc附近（或0dB線附近）的區(qū)段。典型二階系統(tǒng)的頻率指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系。高頻段高頻段是指L(ω)曲線在中頻段以后的區(qū)段這部分特性是由系統(tǒng)中時(shí)