曲靖市2024-2025學年高三年級第一次教學質量監測數學試題卷（本卷滿分150分，考試時間為120分鐘）注意事項：1．答題前、考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，根據集合的交集運算求解.【詳解】，，.故選：B.2.若雙曲線的焦距為4，實軸長為2，則其離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據雙曲線的幾何性質求出得解.【詳解】由題可得，，，所以雙曲線的離心率為.故選：A.3.記為等差數列的前項和，若，，則（）A.42 B.49 C.56 D.72【答案】C【解析】【分析】應用等差數列的性質結合等差數列求和公式計算求解.【詳解】等差數列中，因為，則，則.故選：C.4.已知復數和，滿足，則（）A. B.3 C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據復數的模長平方關系計算求和即可.【詳解】因為復數和，滿足，則，所以，所以.故選：C.5.有一組樣本數據為0，1，2，3，4，5，在其中添加一個數構成一組新的樣本數據，若，則新舊樣本數據的第25百分位數相等的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由百分位數的概念可知，當為1，2，3，4，5時，新的樣本數據的第25百分位數不變，進而求出概率.【詳解】由題意，，，所以原數據和新數據的第25百分位數均為第二個數，所以，當為1，2，3，4，5時，新的樣本數據的第25百分位數不變，所以，新的樣本數據的第25百分位數不變的概率是.故選：D.6.在扇形中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系、若，，為的中點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出與的模，進而得到的三角函數值，再根據為的中點，得到的三角函數值，最后利用三角函數求出的坐標.【詳解】根據向量模的計算公式，若，則.已知，則；，則.

可得.所以.則.

則.

根據半角公式，；

因為，設.；.所以.

故選：B.7.已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，過棱作球的截面，則所得截面面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出三棱錐外接球的半徑，取的中點，當垂直截面時，截面的面積最小，此時截面圓的直徑為長，當截面過球心時，截面圓的面積最大，即可得解.【詳解】如圖，作平面，垂足為，取中點，外接球的球心為，連接，易得為的中心，則，所以，設外接球半徑為，則，即，解得，當垂直過的截面時，截面的面積最小，此時截面圓的直徑為長，最小面積為，當截面過球心時，截面圓的面積最大，最大面積為，故截面面積的取值范圍是.故選：B.8.已知是函數的零點，是函數的零點，則的值為（）A. B. C. D.2025【答案】D【解析】【分析】根據題意可得，利用函數得單調性可得，運算得解.【詳解】由題可得，可得，因為函數在上單調遞增，所以，則.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是由題得到，構造函數并根據單調性得到.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則（）A.的最小正周期為 B.在上單調遞增C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點對稱【答案】ABD【解析】【分析】根據給定的函數解析式，結合正弦函數的性質，逐項判斷作答.【詳解】對于A，的最小正周期為，故A正確；對于B，，，由的單調性可知，在上單調遞增，故B正確；對于C，將代入解析式得，所以不是的對稱軸，故C錯誤；對于D，當時，，所以的圖象關于對稱，故D正確.故選：ABD.10.若的展開式的各二項式系數之和為32，則（）A.B.展開式中只有第三項的二項式系數最大C.展開式中項的系數為1960D.展開式中系數為有理數的項共有2項【答案】AC【解析】【分析】由題設得即可求解n判斷A；由得二項式系數最大的是即可求解判斷B；求出展開式的通項公式，再令即可求解判斷C；由通項公式令即可求解判斷D.【詳解】對于A，由題意得，故A正確；對于B，因為，所以展開式中的二項式系數最大的是，分別為展開式中的第三項和第四項的二項式系數，故B錯誤；對于C，的展開式的通項公式為，令，則，即展開式中項系數為1960，故C正確；對于D，因為的展開式的通項公式為，所以若，則時，對應的項為，均為有理項，所以展開式中系數為有理數的項共有3項，故D錯誤.故選：AC11.“臉譜”是中國戲劇中特有的化妝藝術．“臉譜”圖形可近似看作如圖所示的由半圓和半橢圓組成的曲線．若半圓的方程為，半橢圓的方程為，則下列說法正確的是（）A.若點在半圓上，點在半橢圓上，且，則面積的最大值為30B.若，，是半橢圓上的一個動點，則的最小值是C.若、是半橢圓上的動點，（異于坐標原點）是線段的中點，則D.若曲線在點處切線為，半橢圓的焦點為，過點作直線的垂線，垂足為，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，易得，，從而求解判斷；對B，由橢圓定義可得到，由基本不等式可以得到，結合余弦定理即可求出的最小值；對C，設，，，將點的坐標代入橢圓方程，利用點差法求解判斷；對D，求出曲線在點處的切線方程，進而求出直線的方程，求出點的坐標，求出.【詳解】對于A，因為點在半圓上，點在半橢圓上，為坐標原點，，則，，，當點在長軸的端點時，的面積最大，最大值為30，故A正確；對于B，因為是半橢圓上上一點，所以，，當且僅當時，即點在短軸頂點時等號成立，故B錯誤；對于C，設，，，則，，又，兩式相減得，則，即.故C正確；對于D，由橢圓在點處的切線方程為，所以曲線在點處的切線方程為，即，則切線的斜率為，點，所以直線的斜率為，直線的方程為，聯立方程，解得，即，，故D正確.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題選項D解題的關鍵是求出橢圓在點處的切線方程，進而求出點的坐標.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線：與：平行，則與間的距離為__________．【答案】【解析】【分析】由兩直線平行可求得，再由平行線間的距離公式代入計算可得結果.【詳解】由與兩直線平行可得，解得；即可得：，所以與間的距離為.故答案為：13.在棱長為1的正方體的頂點中任取兩個不同的點，則這兩點間的距離的均值為__________．【答案】【解析】【分析】立方體的個頂點中任意選擇個作為線段的端點共有種可能，結合各種不同的長度線段的條數可以計算得到線段長度的均值.【詳解】立方體的個頂點中任意選擇個作為線段的端點共有種可能，其中有條棱，長度為，12條線段為立方體的個表面的對角線，長度為，另有四條線段為立方體的體對角線，長度為，根據均值的定義，計算均值為.故答案為：14.已知，函數，若，使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】首先作出的圖象，即可求出在的取值范圍，依題意可得，結合圖象可得的解集，即可得解.【詳解】因為，則定義域為，所以的圖象是取與圖象位于下方的部分，作出的圖象如下所示（實線部分）：當時，顯然在上單調遞減，且；因為，使得關于的不等式成立，所以，令，解得，結合圖象可得的解集為或，即實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是畫出的圖象，結合圖象得到的解集.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知拋物線：的焦點為．過點的直線與拋物線相交于A，兩點，且，線段中點的橫坐標為．（1）求拋物線的方程；（2）若直線的傾斜角為銳角，為坐標原點，求外接圓的一般方程.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設，，由焦點弦長公式結合中點坐標公式即可求出p得解；（2）由題設設直線的方程為，與拋物線方程聯立依次求出和即可求出m，進而求出點A、B，再設外接圓的一般方程列出方程組即可計算求解.【小問1詳解】設，，則，，拋物線的方程為．【小問2詳解】由題意可知直線不與軸重合，又，故可設直線的方程為，由，得，故．又，故．直線的傾斜角為銳角，，將帶入，解得或，不妨設點A在軸下方，則，，設外接圓的一般方程為，則，解得，所以外接圓的一般方程為．16.已知函數，設銳角三個角，，的對邊分別為，，．（1）若，，，求的值；（2）將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若，，，求的取值范圍．【答案】（1），．（2）．【解析】【分析】（1）由二倍角和輔助角公式求得，再結合正、余弦定理即可求解；（2）根據圖像變換確定，求出，然后得到，進而利用三角函數的性質可求解.【小問1詳解】．，．又，故，，故．，由正弦定理得．又，由余弦定理得．，．【小問2詳解】由題意可知，．且，．．為銳角三角形，,，，即的取值范圍是．17.在四棱錐中，平面，，．（1）若，為的中點，且平面，求的長；（2）若，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】（1）4（2）．【解析】【分析】（1）取的中點為，易證，由平面，可得，四邊形為平行四邊形，得得解；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，求出平面和平面一個法向量結合二面角的大小為，求出，由運算得解.【小問1詳解】如圖，取的中點為，連接，，則，且．，．平面，平面，平面平面，．又，四邊形為平行四邊形．，又，．【小問2詳解】平面，平面，，又，，且平面，平面，平面，．如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，則，，，．，，設平面的一個法向量為，則，令，則，故．又，，設平面的一個法向量為，則，令，可得，故．二面角的大小為，所以，，，即．，即三棱錐的體積為．18.已知函數．（1）當時，求在處的切線方程；（2）討論的單調性；（3）若有兩個零點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）．【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義，求出切線斜率和切點坐標，即得切線方程；（2）函數求導分解因式后，對參數分類討論導函數的符號即得原函數的單調性；（3）根據（2）的結論，對參數分類，分析函數的單調性，極值以及圖象變化趨勢，結合特殊值，即可得解.【小問1詳解】當時，，，．又，故在處的切線方程為：．【小問2詳解】．當時，，故在上單調遞增；當時，令，得，令，得，故在上單調遞減，在上單調遞增．綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．【小問3詳解】當時，在上單調遞增，不符合題意，故．由（2）知，當時，．有兩個零點，．又，．令，則，在上單調遞減，且，當時，，即．又，在上有一個零點；，．當時，，在上有一個零點．綜上所述，有兩個零點時，的取值范圍是．【點睛】關鍵點點睛：本題第三問解題的關鍵是由（2）得，，構造函數利用導數研究零點.19.當今社會，每天都有海量信息通過網絡等渠道快速傳播，雖提供了豐富知識和多樣視角，但也存在信息過載、虛假信息等問題，需要我們謹慎篩選辨別．信息論之父香農（C.E.Shannon）在1948年發表的論文《通信的數學理論》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小與信息中每個符號（數字、字母或單詞）的出現概率或者說不確定性有關，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算“信息熵”的數學表達式，從而解決了對信息的量化度量問題．設隨機變量的所有可能取值為1，2，…，，且，，定義的“信息熵”為．（1）當時，求的值；（2）當時，若，探究與是正相關還是負相關，說明理由；（3）若，，，求此時的．【答案】（1）0（2）