專題2.8二次函數重難點應用題歸納（六大題型）

_八一重金點麴致蛙儂____________________________________

【題型1運動類-落地類型】

【題型2運動類-最值類型】

【題型3經濟類問題-與一次函數綜合問題】

【題型4經濟類問題■■每每問題】

【題型5面積類問題】

【題型6拱橋類問題】

_國叁型龍用___________________________________________

【模型1：運動類】

（1）落地模型

在落地模型中，球到地面就停止運動了，所以高度和時間都不可能為負，在圖象上

表現為只有第一象限的部分，只需要令y=0,求出兩個x即可

（2）最值模型

在最值模型中，煙花到最高點就引爆，剎車類到最大值就停止運動，這類模型到最

值后就沒有后面的圖形了，只需要化為頂點式，求出頂點即可

【模型2：經濟類】

銷售問題常用等量關系：

利潤=收入-成本；利潤=單件利潤x銷量；利潤=利潤率x成本

【模型3：面積類】

在周長固定的情況下，圍成的矩形是正方形時，面積最大

【模型4：拱橋類】

一般步驟：（D恰當地建立直角坐標系；（2）將已知條件轉化為點的坐標；（3）合理地設

出所求函數關系式；（4）代入已知條件或點的坐標，求出關系式；（5）利用關系式求解問題.

【題型1運動類-落地類型】

【典例1]（2023?方城縣一模）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試

的選考項目.如圖1是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，

行進高度y（機）與水平距離x（機）之間的函數關系如圖2所示，擲出時起

點處高度為當水平距離為3m時，實心球行進至最高點3m處.

3

（1）求y關于x的函數表達式.

（2）根據蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，

實心球從起點到落地點的水平距離大于等于6.70m,此項考試得分為滿分10

分.該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由.

圖1

【變式1-1]（2023?大連模擬）已知實心球運動的高度y（機）與水平距離x（機）

【變式1-2]（2022秋?牡丹區校級期末）校運動會上，某運動員擲鉛球時，他

所擲的鉛球的高/z（加）與水平距離x（M之間的函數關系滿足--A?+2

123

x+1,則該運動員擲鉛球的成績是（）

3

“h（m）

一--。

A.6mB.10mC.8mD.12m

【變式1-3]（2022秋?西華縣期中）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度力

（單位：m）與小球的運動時間/（單位：s）之間的關系式是力=30/-5尸，小

球運動到最高點所需的時間是（）

A.2sB.3sC.4sD.5s

【變式1-4]（2023?靜樂縣一模）2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關注，在半

決賽中，梅西的一腳射門將足球沿著拋物線飛向球門，此時，足球距離地面

的高度人與足球被踢出后經過的時間/之間的關系式為人=-fi+bt.已知足球

被踢出9s時落地，那么足球到達距離地面最大高度時的時間/為（）

A.3sB.3.5sC.4sD.4.5s

【變式1-5]（2023春邛日山縣校級期中）在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運動

路線可以看作是拋物線-*+2x+l的一部分（如圖所示，水平地面為x

44

軸，單位：m）,則下列說法不正確的是（）

A.出球點A離點0的距離是1m

B.羽毛球橫向飛出的最遠距離是3機

C.羽毛球最高達到空m

16

D.當羽毛球橫向飛出旦機時，可到達最高點

2

【變式1-6]（2023?沐陽縣模擬）小敏在今年的校運動會跳高比賽中跳出了滿意

一跳，函數力=3.5/-4.9尸。的單位：s,力的單位：加）可以描述他跳躍時重

心高度的變化，則他起跳后到重心最高時所用的時間是—s.

【題型2運動類-最值類型】

【典例2】（2022秋?樂亭縣期末）飛機著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行

的時間/（單位：s）的函數解析式是s=60-1.5戶，那么飛機著陸后滑行多長

時間才能停下來（）

A.10sB.20sC.30sD.40s

【變式2-1]（2021秋?廈門期末）某種爆竹點燃后升空，并在最高處燃爆.該

爆竹點燃后離地高度力（單位：m）關于離地時間/（單位：s）的函數解析式

是人=20/-5戶，其中/的取值范圍是（）

A.信0B.0WW2C.2WW4D.0WW4

【變式2-21（2023春?青秀區校級期末）某學校航模組設計制作的火箭升空高

度力（機）與飛行時間/（s）滿足函數關系式為力=-尸+14什3,當火箭升空到

最高點時，距離地面m.

【變式2-3]（2023?襄陽模擬）某種型號的小型無人機著陸后滑行的距離S（米）

關于滑行的時間/（秒）的函數解析式是S=-0.25產+8力無人機著陸后滑

行一秒才能停下來.

【變式2-4]（2023?襄城區校級二模）飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關

于滑行時間。（單位：s）的函數解析式是y=60一旦尸，飛機著陸至停下來共

5

滑行—.

【變式2-5]（2022秋?南崗區校級期中）飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）

與滑行時間/（單位：s）函數解析式y=-1.5/2+60%,在飛機著陸滑行中，最

后4秒滑行的距離是—m.

【題型3經濟類問題-與一次函數綜合】

【典例3]（2023春?雙峰縣月考）一個批發商銷售成本為20元/千克的某產品,

根據物價部門規定：該產品每千克售價不得超過90元，在銷售過程中發現的

售量y（千克）與售價x（元/千克）滿足一次函數關系，對應關系如下表：

售價x（元…50607080

/千克）

銷售量y…100908070

（千克）

（1）求y與x的函數關系式；

（2）該批發商若想獲得4000元的利潤，應將售價定為多少元？

（3）該產品每千克售價為多少元時，批發商獲得的利潤攻（元）最大？此時

的最大利潤為多少元？

【變式3-1］（2023春?冷水灘區校級月考）某超市銷售一種商品，成本每千克

40元，規定每千克售價不低于成本，且不高于80元，經市場調查，每天的銷

售量y（千克）與每千克售價x（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表:

售價X（元/千克）506070

銷售量y（千克）1008060

（1）求y與x之間的函數表達式;

（2）設商品每天的總利潤為W（元），求W與x之間的函數表達式（禾4潤=

收入-成本）；

（3）試說明（2）中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為

多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？

【變式3-2］（2023?五華縣校級開學）某經銷商銷售一種產品，這種產品的成本

價為10元/千克，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規定這種產品的銷售

價不高于18元/千克，市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售

價X（元/千克）之間的函數關系如圖所示：

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數關系式.當

銷售價為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該經銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少？

N（千克）

~010—18一米B千克）

【變式3-3］（2023?漢川市校級模擬）湖州素有魚米之鄉之稱，某水產養殖大戶

為了更好地發揮技術優勢，一次性收購了20000版淡水魚，計劃養殖一段時間后

再出售.已知每天放養的費用相同，放養10天的總成本為30.4萬元；放養20

天的總成本為30.8萬元（總成本=放養總費用+收購成本）.

（1）設每天的放養費用是。萬元，收購成本為6萬元，求。和萬的值；

（2）設這批淡水魚放養/天后的質量為機（kg）,銷售單價為y元/依.根據

以往經驗可知：機與/的函數關系為；y與/的

ll00t+15000（50<t<100）'

函數關系如圖所示.

①分別求出當0WW50和504W100時，y與/的函數關系式；

②設將這批淡水魚放養t天后一次性出售所得利潤為W元，求當/為何值時，

W最大？并求出最大值.（利潤=銷售總額-總成本）

【變式3-4］（2023?廣水市模擬）九年級（3）班數學興趣小組經過市場調查整

理出某種商品在第x天（1WXW90,且x為整數）的售價與銷售量的相關信

息如下.已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y（單位：元/件），

每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤為W（單位：元）.

時間X（天）1306090

每天銷售量P1981408020

（件）

（1）求出W與X的函數關系式；

（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；

（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請

【變式3-5］（2023?五華縣校級開學）為了“創建文明城市，建設美麗家園

我市某社區將轄區內的一塊面積為1000療的空地進行綠化，一部分種草，剩

余部分栽花，設種草部分的面積為x（m2）,種草所需費用＞1（元）與x（m2）

k]X(04x<600)

的函數關系式為4,其圖象如圖所示：栽花所需費

k2x+b(6004x41000)

用y2(元)與x(m2)的函數關系式為竺=-O,Olx2-20X+30000(0WJCW1000).

（1）請直接寫出依、近和6的值;

（2）設這塊1000/空地的綠化總費用為卬（元），請利用W與x的函數關

系式，求出綠化總費用W的最大值;

（3）若種草部分的面積不少于700機2,栽花部分的面積不少于100m2,請求

【題型4經濟類問題-每每問題】

【典例4】（2022秋?莘縣校級期末）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售

出20件，每件贏利40元，為了擴大銷售，增加利潤，盡量減少庫存，商場

決定采取適當的降價措施.經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平

均每天可多售出2件；

（1）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

（2）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？

【變式4-1］（2023?廣西模擬）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售

人員經調查發現，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價

每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本.

（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式;

（不需要求自變量取值范圍）

（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷

售單價應定為多少元？

（3）超市的銷售人員發現：當該商品每月銷售量超過某一數量時，會出現所

獲利潤反而減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應定為多

少元？

【變式4-2］（2023?鄂倫春自治旗一模）某商店銷售一種銷售成本為每件40元

的玩具，若按每件50元銷售，一個月可售出500件，銷售價每漲1元，月銷

量就減少10件.設銷售價為每件x元（x>50）,月銷量為y件，月銷售利

潤為w元.

（1）寫出y與x的函數解析式和w與x的函數解析式；

（2）商店要在月銷售成本不超過10000的情況下，使月銷售利潤達到8000

元，銷售價應定為每件多少元？

（3）當銷售價定為每件多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤.

【變式4-3］（2022秋?定遠縣期末）某賓館有客房90間，當每間客房的定價為

每天140元時，客房會全部住滿.當每間客房每天的定價每漲10元時，就會

有5間客房空閑.如果旅客居住客房，賓館需對每間客房每天支出60元的各

種費用.

（1）請寫出該賓館每天的利潤y（元）與每間客房漲價x（元）之間的函數關

系式；

（2）設某天的利潤為8000元，8000元的利潤是否為該天的最大利潤？如果

是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時客房定價應為多

少元？

（3）請回答客房定價在什么范圍內賓館就可獲得利潤？

【題型5面積類問題】

【典例5】（2022秋?蒙城縣期末）如圖，有長為24機的籬笆，現一面利用墻（墻

的最大可用長度。為10機）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的

寬AB為xm,面積為Sm2.

（1）求S與x的函數關系式及x值的取值范圍；

（2）要圍成面積為45源的花圃，A3的長是多少米？

-----------4-----------*1

A\ID

R'----------------------'c

【變式5-1］（2022秋?莊河市期末）為了改善小區環境，某小區決定要在一塊

一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠

墻，另三邊用總長為40機的柵欄圍住（如圖）.若設綠化帶的3C邊長為工冽，

綠化帶的面積為y源.

（1）求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大為多少？

"

B/

/▲

/

/

/

/

/

/

/2▼5

J

"

【變式5-2]（2023?汶上縣一模）某農場計劃建造一個矩形養殖場，為充分利用

現有資源，該矩形養殖場一面靠墻（墻的長度為10m）,另外三面用柵欄圍

成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24加

設較小矩形的寬為x機（如圖）.

（1）若矩形養殖場的總面積為36源，求此時x的值；

（2）當x為多少時，矩形養殖場的總面積最大？最大值為多少？

【變式5-3]（2023?涼山州模擬）2022年5月，教育部頒布的《義務教育勞動

課程標準》中，要求以豐富開放的勞動項目為載體，培養學生正確的勞動價

值觀和良好的勞動品質.某校為此規劃出矩形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墻

（墻最大可用長度為12米），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄

隔開分成面積相等的兩個區域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不

用木欄），修建所用木欄總長28米，設矩形A3CD的一邊。長為x米.

（1）矩形A3CD的另一邊3c長為一米（用含的代數式表示）；

（2）若矩形A3CD的面積為63/，求x的值；

（3）當x為何值時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米?

~蠢il

【變式5-51（2022秋?孟州市校級期末）為落實國家《關于全面加強新時代大

中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m

長的籬笆墻，圍成I、II兩塊矩形勞動實踐基地.某數學興趣小組設計了兩

種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方

案回答下列問題：

（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在I區中留一個寬度AE

=1機的水池，且需保證總種植面積為32源，試分別確定CG、DG的長；

（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問5c應設計

為多長？此時最大面積為多少？

///』////////

////冷///////A

A

E

【變式5-6］（2023?青山區模擬）在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600cm2

的矩形紙板ABCD如圖1,再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方

形，再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形ERGH,

如圖2.設小正方形的邊長為x厘米.

D

圖2

圖1

(1)若矩形紙板ABCD的一邊長為90cm,

①當紙盒的底面積為1056cm2時，求x的值;

②求紙盒的側面積的最大值;

(2)當EH：EF=7：2,且側面積與底面積之比為9：7時，求x的值.

【變式5-9](2023?青山區模擬)在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600cm2

的矩形紙板ABC。，如圖1,再在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方

形，再把它的邊沿虛線折起,做成一個無蓋的長方體紙盒，底面為矩形ERGH,

如圖2.設小正方形的邊長為x厘米.

(1)若矩形紙板ABCD的一邊長為90cm,

①當紙盒的底面積為1056c病時，求》的值；

②求紙盒的側面積的最大值；

(2)當EH：EF=1：2,且側面積與底面積之比為9：7時，求x的值.

【題型6拱橋類問題】

【典例6】(2023?碑林區校級模擬)某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC,

其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標系(以A3中點為原點，拋物線

對稱軸所在直線為y軸)中，拱橋高度。。=5機，跨度A3=20機.

（1）求拋物線的表達式；

（2）拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H,G分別在拋物線

的左右側上），已知搭建“腳手架”的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF

在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點E與拱橋端點A的距離.

【變式6-1］（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按

如圖所示建立坐標系，得到函數y=，y2,在正常水位時水面寬A3=30米,

y25

當水位上升5米時，則水面寬CD=（）

A.20米B.15米C.10米D.8米

【變式6-2］（2023?豐潤區二模）如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,

當水面在/時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面3加，水面寬6m.如圖（2）

建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（）

【變式6-3］（2023?遵化市二模）如圖是一款拋物線型落地燈筒示意圖，防滑螺

母C為拋物線支架的最高點，燈罩。距離地面L5米，最高點C距燈柱的水

平距離為1.6米，燈柱A3=L5米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈

柱的距離AE為多少米（）

A.3.2B.0.32C.2.5D.1.6

【變式6-4］（2023?榆陽區二模）廊橋是我國古老的文化遺產，如圖是某座下方

為拋物線形的廊橋示意圖.已知拋物線的函數表達式為y=qx2+10,為