模型32對角互補模型

類型90。的對角互補模型60。、120。的對角互補模型

DFD

圖示

A<A

BCBECBCoxBdEC

條件ZABC=ZADC=90°,BD平分/ABCZABC=120°,ZADC=60°,BD平分/ABC

作法過點D分別作DEXBC于點E,DF±BA交BA的延長線于點F

1.AD=CD;1.AD=CD;

2.AB+BC=V2BD;2.AB+BC=BD;

結論3.Sm邊形ABCO=掃D23.S=V5AD3

結論分析

結論：4。=CD;2,2B+BC=&BD;3.S=^BD3

證明:如圖，過點D分別作DELBC于點E,DF±BA交BA的延長線于點F.

,：BD平分/ABC,DE=DE

,/ZABC=ZADC=90°,.\ZBAD+ZC=180°,

,/ZBAD+ZDAF=180°,.\ZDAF=ZC,

；.AD=CD（結論1）,AF=CE,

，AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.

易證四邊形DFBE為正方形，,BF=BE=號BD,：.AB+BC=BF+BE=（結論2）;

由三角形全等可知$5.?（~BD11=（結論3）.

Jii

結論：AD=CD-,2,AB+BC=BD;3.S=—BD2

328acb4

自主證明：

拓展模型

模型解題三步法

例1如圖在等邊AABC中，點D為BC的中點,E,F分別是AB,AC邊上的點，且乙EDF=120。,

連接AD,則AD平分^BACZEDF+ZBAC=180°=(

若/BDE=45>DF=6,貝?。軧E的長為___.

D

RiU

例2如圖在RtAABC中,NABC=9(r,NC=60o,BD_LAC于點D,以D為頂點作/EDF=9(F,/EDF+NEBC=180。

分別交AB,BC于點E,F,則DE.的值為一.

Br

M2W

題以類解

1.如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點0,點E是AB邊上一點，連接OE作OFLOE,交BC邊于點F,若

AB=2,則四邊形EBF0的面積為

2.如圖.在四邊形ABCD中2DAB=n5o,NBCD=65o,CD=2BC,將線段CA繞點C逆時針旋轉65。,與AB的延長

線交于點E,若ACDA的周長為8,則ACBE的周長為

3.(模型遷移)如圖，在平面直角坐標系中，A(-3,0),B為y軸正半軸上一點,C為y軸負半軸上一點，連接AB,AC,

過點C作CDLCA,且使CD=G4,點D在第一象限，連接BD,若/ABD=90。廁點B的坐標為

4.如圖，已知AABC是等邊三角形，點D,E,F分別是AB,AC,BC邊上的點/EDF=120。,設鼻=n.2+黑=若3,

則n的值為

5.如圖ZABC內接于。O,AD平分NBAC,交0O于點D,交BC于點E,過點A作AFXBC于點F,連接BD.若/

BAC=60。廁等的值為

一題多解綜合與實踐

老師留了一道課后作業：

如圖①，在矩形ABCD中，P為對角線AC的中點,M,N為邊BC,CD上兩動點，且NMPN=90。.求證:翳=與

小明和小聰經過思考和交流后，得出兩種解題思路：

小明:過點P分別作PH1BC于點H,PQ±CD于點Q構造出一對相似三角形，再通過矩形對邊分別平行即可得

證；

小聰:過點P作PGLAC,交BC于點G,通過證明兩對三角形相似即可得證.

⑴請你思考小明和小聰的思路哪種可行。并完成此題的證明；

⑵如圖②，老師在原題的基礎上添加條件:“連接MN,若NMNP=3(T,AB=4,且PC平分NMPNL小敏提出兩個新

問題：①CM與CN是否相等；②DN的長度是多少.

請你解答這兩個問題，并說明理由.

*6■幽

模型展現

自主證明：

如圖，過點D分別作DE^BC于點E,DF±BA交BA的延長線于點F.

.BD平分/ABC,

，DE=DF.

?.zABC=120°,zADC=60°,

.?.zDAB+zDCB=180°.

?.zDAB+zFAD=180°,

..NDCB=NFAD.

?.zF=zDEC,

.“DFA學DEC(AAS),

..AD=CD(結論1),AF=CE,

.-.AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.

VBD平分NABC/ABC=120°,

.?.zDBE=60°,

.,在RbDBE中,BE=-BD,DE=—BD,^±RbBDF中,BF=-BD,DF=—BD,：.AB+BC=-BD+-BD=

222222

X^BD結論

BD（結論2）油三角形全等可知，S四邊形AB。*產形BEDF=2SBDE=15D=32s2(3).

D

BEC

模型解題三步法

例12巡【解析】如解圖，連接AD,過點D分別作DH±AC于點H,DG±AB于點G/sABC為等邊三角

形,，zBAC=60°,/zEDF=12O0,.-.zEAF+zEDF=180°,/.NAED+NAFD=180。,根據60。、120。的對角互補模型

可得：ADEG空ADFH(AAS),，DE=DF=6,過點E作EP±BC于點P,NBDE=45°,，EP=當DE=3&戶NB=6

0°,BE=—EP=2V6.

3

例2V3【解析】如解圖，過點D分別作DH±BC于點H,DG±AB于點G.?.在RfABC中/C=60°,BD±

AC,/.ZDBC=30°,—=更ZABC=90°,/.四邊形GBHD為矩形,.GD=BH,NEDF+/EBF=

BH3DG3

90。,根據90。的對角互補模型得:DEG?DFH,：噂=第=6.

DFDH

題以類解

1.1【解析】找模型：是否存在含一組對角互補的四邊形:四邊形EBFO中,zABC+NEOF=180°,是否存在角

度平分:BO平分/ABC抽離模型：如解圖，用模型：根據90°的對角互補模型可得：S勿力戒.口,=.在正方形

四形EBF02

ABCD中/AOB=9（r,OA=OB,，OB=—AB=屆.S皿…=-OB2=1.

J''2四邊形EBFO2

A

DC

第1題解圖第2題解圖

2.4【解析】找模型：是否存在含一組對角互補的四邊形:四邊形ABCD中,zDAB+NBCD=180。.是否存在

角度平分:不存在抽離模型：如解圖，用模型：..線段CA繞點C逆時針旋轉65JZDCBWACE根據對角互補模

型可得:「.?黑=?寢==竿=〈=

ACDASACBE,CD=2BC,?2,??2,???CCDA=8,CCBE4.

3.(0,3)【解析】如解圖，過點C分別作CE±AB于點E,CF±BD交BD的延長線于點F,「NABD=NACD=90°,

.?.zBAC+zBDC=180°,/zBDC+zCDF=180°,/.zCAE=NCDF,^.^NAEC=NDFC,AC=DC,.^.ACAE2ACDF(90°的對

角互補模型),「.CE=CF,「.BC平分NABD,，ZABO=45°,/.AABO為等腰直角三角形,，OB=OA=3,.?.點B的坐標為(0,

3).

A

第3題解圖第4題解圖

4萼或誓【解析】如解圖，過點D作DGIIBC交AC于點G"ABC是等邊三角形,.?.NA=NB=NC=60°,

???DGllBC,..NB=NADG=NC=NAGD=60°/BDG=120°,.“ADG是等邊三角形,..ADMDGINBDGRO。，ZEDF

=120°,zBDF+zGDF=zEDG+zGDF=12O0,.'.zBDF=zGDE,/zB=zAGD=60°,，ADGE-ADBF(60\120°

的對角互補模型)，器=黑,?,噌=器=幾，,?噌+黑=$竦+n=3,化簡得，n2-3n+l=0,解得的=萼，電=

丁,，n的值為萼或等.

5.V3【解析】如解圖，過點D分別作DQ±AB于點Q,DP±AC交AC的延長線于點P,連接CD,-/AD平分NB

AC,/.DQ=PD,-.zBAC=60°,.-.zBAD=zCAD=30°,.-.BD=CD,.-.BD=CD,.-.RbDQB2RtADPC(HL)(60°xl20°的又寸角

互補模型)",.BQ=CKAQ=AF\.AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ

vcos^BAD=—AD,

..5=工=包

cos30°3

AB+AC_2AQ

AD=V3.

6.解:Q)小明和小聰的思路都可行.

第5題解圖

選擇小明的思路：

證明:如解圖①，過點P分別作PH±BC于點H,PQ±CD于點Q,

??四邊形ABCD是矩形，

.?.zDCB=90°,.-.zQPH=90o,

.?.zMPQ+zMPH=90°,

-zMPN=90°,.-.zNPQ+zMPQ=90°,

..NNPQ=NMPH,

?.zPHM=zPQN=90o,

.?.△PHMSAPQN,

.PM_PH

"PN-PQ'

?.?PHllAB,PQllAD,

.PH_PQ

"AB~AD'

.PH_AB

"PQ-AD'

,_PM_AB■

''PN~AD"

或選擇小聰的思路：

證明如解圖②，過點P作PGJ_AC,交BC于點G廁NGPM=NCPN,

zPNC+zPMC=180o,zPMG+zPMC=180o,

.?.ZPMG=ZPNC,.^GPM-ACPN,PNPC,

-.PG±AC,.-.zGPC=90°,

?.zB=90°,zACB=zGCBABC?GPC,,

第6題解圖

(2)解:①CM=CN.

一題多解

解法一：理由：如解圖③，過點C分別作CK±PN于點K,CL_LPM,交PM的延長線于點L,

?.PC平分NKPM/.CK=CL,

X-.zNCK+zKCM=90°,zMCL+zKCM=90°,

..NNCK=NMCL,

X/zCKN=zCLM,

.“CML學CNK(ASA),

.-.CM=C