第02講二次根式的乘除

題型歸納________________________________________

【題型1二次根式的乘法運算】

【題型2二次根式的除法運算】

【題型3二次根式的乘除法運算】

【題型4最簡二次根式的判定】

【題型5化簡二次根式】

【題型6已知最簡二次根式求參數】

基礎知識,知識梳理理清教材

考點1：二次根式的乘法法則

1.二次根式的乘法法則：Va.Vb=Vab（3>0,Z?>0）

（二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變）

2.二次根式的乘法法則的推廣

（1）7a-Vb-Vc=Vabc（a>0,>0,c>0）

（2）aVb.cTd=ac而">0,cf>0）,即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘

單項式的法則進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數。

3.二次根式的乘法法則的逆用

=^.VZ（a>0,/7>0）（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質）

4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣

Jabcd=Va-Vb-Vc-a>0,Z?>0,c>0,<7>0）

題型分類深度剖析/）

【題型1二次根式的乘法運算】

【典例1]（23-24八年級上?全國?單元測試）

1.計算：

試卷第1頁，共8頁

(1)2A/3X5V15；

⑵欄.而益(a20,620)；

(3)a^^.2^p(a>0,6>0,c>0).

【變式1-1](23-24八年級上?全國?單元測試)

2.計算：

(l)V20xV5

(2)V8XV18

(3)748x712

(4)向欄(aNO)

【變式1-2](23-24八年級上?廣東?單元測試)

3.計算：-T0775X-

35

【變式1-3](24-25八年級上?全國?課后作業)

4.計算：

(l)V8xV18；

(2)Jl2xl()2xgio。；

(3)V2XV5XV10;

(4)^-712x373.

基礎知識,知識梳理理清教材

考點2：二次根式的除法法則

1.二次根式的除法法則

2=*(a20,bN0)(二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變)

2.二次根式的除法法則的推廣

Va+\[b+s/c=J"6〃c(tz>0,6>0,c>0)

試卷第2頁，共8頁

注意:

⑴aNO,b>0時，-~才有意義;

（2）如果被開方數時帶分數，應先化成假分

數

J

題型分類深度剖析

【題型2二次根式的除法運算】

【典例2］（22-23八年級上?全國?單元測試）

5.計算:

(1)5714

(2)2718-372

【變式2-1］（23-24八年級下?全國?課后作業）

6.計算：

（1）7484-76

⑵一士瑞

【變式2-2］（23-24八年級下?江蘇常州?階段練習）

【變式2-31（23-24八年級下?全國?假期作業）

8.計算：

V125

(2)

2小

試卷第3頁，共8頁

【題型3二次根式的乘除法運算】

【典例3](22-23八年級?上海?假期作業)

9.計算：

【變式3-1](23-24八年級上?全國?單元測試)

10.計算：

【變式3-2](23-24八年級下?全國?假期作業)

11.計算：

(1)A/27XV50-V6;

(2)3回8:居；

(4)87^+2而卷(°>0,6>0).

【變式3-3](23-24八年級下?福建福州?階段練習)

12.計算：

試卷第4頁，共8頁

基礎知識,知識梳理理清教材

考點3：最簡二次根式

1.最簡二次根式的概念

(1)被開方數不含分母

(2)被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式

2.化簡二次根式的一般方法

舉

方法

例

A/8=

將被開方數中能開得盡得因數或因式進行開方

若被開方數中含有帶分數，先將被開方數化成假分數

后

若被開方數中含有小數，先將小數化成分數

化去根號下的

分母舄

若被開方數時分式，先將分式分母化成能轉化為平方的形式，再進(a

行開方運算>

0,b

>

試卷第5頁，共8頁

0,c

>

0)

收

(X

被開方數時多項式的要先因式分解>0,

y>0

)

3.分母有理化

（1）分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。

方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。

題型分類深度剖析,

【題型4最簡二次根式的判定】

【典例4】（24-25九年級上?河南新鄉?期末）

13.下列式子中，是最簡二次根式的是（）

A.J12B.C.Jo.5D.V15

【變式4-1］（24-25八年級上?黑龍江大慶?期中）

14.下列根式是最簡二次根式的是（）

______斤

A.瓜B.7^2+/C.D.

【變式4-2］（23-24八年級下?山東德州?期末）

15.下列各式中，是最簡二次根式的是（）

A.72B.收C.V?

D.^8

【變式4-3］（23-24八年級下?青海玉樹?期末）

16.下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V12B.V7C.V03D.

【題型5化簡二次根式】

試卷第6頁，共8頁

【典例5】（24-25九年級上?四川內江?期中）

17.化簡匠的結果是（）

A.5A/2B.472C.3A/2D.6亞

【變式5-11（22-23八年級下?遼寧葫蘆島?階段練習）

18.計算：＞/32=.

【變式5-2]（23-24八年級上?山西太原?期中）

19.將回化成最簡二次根式為.

【變式5-3]（22-23八年級下?河北唐山,期中）

20.將厲化成最簡根式為.

【題型6已知最簡二次根式求參數】

【典例6]（24-25九年級上?福建泉州?期中）

21.已知最簡二次根式分與后是同類二次根式，則x的值為.

【變式6-1]（24-25九年級上?吉林長春?期中）

22.最簡二次根式而與疝與可以合并，則0的值為.

【變式6-2]（24-25九年級上?湖南衡陽?階段練習）

23.如果最簡根式2j4加-1與4j3加+2是同類二次根式,那么％=.

【變式6-3]（23-24八年級下?廣東湛江?階段練習）

24.若風與最簡二次根式血不能合并，則加的值為

、維達加測試

一、單選題

（24-25九年級上?河南南陽?期中）

25.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.B.8C.yf[5D.J2.5

（24-25八年級上?陜西西安?階段練習）

26.計算配十右的結果是（）

試卷第7頁，共8頁

A.4B.2C.3D.V2

（24-25九年級上?河南開封?階段練習）

27.計算AxQ的結果是（）

A.6B.66C.3D.273

（24-25八年級上?重慶?期中）

28.估算Gx后-1的值應在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

二、填空題

（24-25九年級上?吉林長春?期末）

29.計算J話x6的結果為.

（24-25九年級上?吉林長春?期末）

30.計算：V21-V3=.

（23-24九年級上?四川資陽?期末）

31.若也與最簡二次根式二T是同類二次根式，則加=.

三、解答題

（23-24八年級上?全國?單元測試）

J12x-^6

32.計算:

（2024?甘肅蘭州?模擬預測）

33.計算：^242^/3j.

（2023?山東青島?模擬預測）

試卷第8頁，共8頁

1.(1)3075

(2)2a國

(3)2>/6ac

【分析】本題考查二次根式的乘法：

(1)根據二次根式的乘法法則進行計算即可;

(2)根據二次根式的乘法法則進行計算即可；

(3)根據二次根式的乘法法則進行計算即可;

【詳解】(1)解：原式=2x5xV^I?=10x3布=300;

(2)原式=448汕=42通=2a同；

(3)原式==2aJ6c2=2aac.

2.(1)10

⑵12

⑶24

(4)3/

【分析】本題考查了二次根式的乘法，掌握相關運算法則是解題關鍵.

(1)根據二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可；

(2)根據二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可

(3)根據二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可；

(4)根據二次根式的乘法運算法則計算，再化簡即可.

【詳解】(1)解：V20xV5=Vi00=10;

(2)解：V8xV18=V144=12;

(3)解：V48xV12=4V3x2V3=24;

(4)解：，64'=‘9a”=獷.

2V5

20

【分析】此題考查了二次根式的乘法，根據二次根式的乘法法則計算即可.

【詳解】解：-V075X-.(A

35V12

答案第1頁，共13頁

1V5

=—x----

54

_V5

~20

4.(1)12

(2)6000

(3)10

【分析】本題考查了二次根式的乘法運算，二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質及運

算法則是解題的關鍵.

(1)直接運用二次根式的乘法運算,然后化為最簡二次根式即可;

(2)直接運用二次根式的乘法運算,然后化為最簡二次根式即可;

(3)直接運用二次根式的乘法運算,然后化為最簡二次根式即可;

(4)直接運用二次根式的乘法運算,然后化為最簡二次根式即可;

【詳解】(1)78x718=272x372=12；

(2)V1.2xl02x73X105-V36xl06=6000：

(3)V2XV5XV10=A/2X5X10=10;

(4)-712x373=-V36=-.

442

5.⑴-5應

(2)2

⑶一半

4

(4)一？

【分析】根據二次根式的除法計算法則求解即可.

【詳解】(1)解：原式=一5&^77

=-572;

2_____

(2)解：原式=§8+2

答案第2頁，共13頁

=r3

=2；

⑶解：原式=1小

30

1

2

V2

2

【點睛】此題考查了二次根式的除法，正確掌握二次根式的除法計算法則是解題的關鍵.

6.(1)272

(2)-2072

【分析】本題考查二次根式的除法計算，熟知二次根式的除法法則是解題的關鍵.

(1)根據二次根式的除法法則可解決問題.

(2)根據二次根式的除法法則可解決問題.

【詳解】(1)V48^V6

10nzr

-----xJ72

3

*亞

=-20底

答案第3頁，共13頁

7.41

【分析】根據二次根式的乘除運算法則即可求出答案.

=V2

【點睛】本題考查二次根式的乘除運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的乘除運算法則,

本題屬于基礎題型.

8.(1)4；(2)|；(3)-V14;(4)ab24b.

【分析】(1)根據二次根式的除法運算法則進行計算，可以先化簡再除，也可以先除再化簡.

(1)根據二次根式的除法運算法則進行計算.

(1)根據二次根式的除法運算法則進行計算.

(1)根據二次根式的除法運算法則進行計算.

【詳解】(1)方法一:

方法二：*生

（3）

二—V14.

答案第4頁，共13頁

方法二3

2

二abVb.

【點睛】本題考查二次根式的除法，理解二次根式的性質，掌握二次根式除法運算法則是解

題關鍵.

9.(l)xyzVz

(3)6,Ji5a

J2._2y2

2x2-2/

【分析】(1)根據二次乘法法則計算即可;

(2)根據二次除法法則計算即可;

(3)根據二次乘法法則計算即可;

(4)根據二次除法法則計算即可.

【詳解】(1)解：!\lxyz2-3y[xyz=1x3y/xyz2-xyz=yjx2y2z3=xyzyfz

I1276V6

(2)解:—x--------=-------

韭「33已=|3V3"2-6233

2i

(3)解:15a■A———=15ax--y/15a=6ax“5a

V5a5a

I~6-I12I~6~~x—yI~x—y--y2x2—2y2

(4)解:Xx+y\x-yXx+y12y2(x+^)2x+2y

【點睛】本題主要考查二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘除法法則是解題的關鍵.

10.(1)—

3

⑵-2

-3

【分析】此題考查了二次根式的乘除混合運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則.

(1)根據二次根式的乘除混合運算法則求解即可；

(2)根據二次根式的乘除混合運算法則求解即可.

答案第5頁，共13頁

3

11.(1)15

(2)2076

⑶守

(4)”

b

【分析】本題考查了二次根式的混合運算

(1)根據二次根式乘除法法則計算即可；

(2)根據二次根式乘除法法則計算即可；

(3)根據二次根式乘除法法則計算即可；

(4)根據二次根式乘除法法則計算即可.

【詳解】(1)解：原式=域義偵+后=1宗e+后=15

(2)=3x—xJ45-?—X—

3\53

=2x7600=20A/6；

答案第6頁，共13頁

(3)原式3x(一")x2jgxl5x'|=一35=一？；

(4)原式二4也.」二4H=%瓜

\abbVbb

12.(1)-3V1O

(2)還

8

【分析】此題考查了二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

(1)利用二次根式的性質化簡，再進行乘除運算即可；

(2)先計算括號內的二次根式的除法,再計算二次根式的乘法即可.

Ef

【詳解】(1)解：

g2KA手

=3氐|一竽)壺

=_3g處二

32V6

=一3后速xf

32V6

=-3回

⑵當E右)

=近[區1±)

2b[\2a\3bj

_技1b.4

yf3a1b3b

V2^XT

_43aby[6a

2b4a

_3后

~~8~

答案第7頁，共13頁

13.D

【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數

的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因

式.根據最簡二次根式的定義進行判斷.

【詳解】解：解:A、灰=26，被開方數含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，選

項不符合題意；

B、b*被開方數含分母，不是最簡二次根式，選項不符合題意；

c、，被開方數不是整數，不是最簡二次根式，選項不符合題意；

2

D、而是最簡二次根式，選項不符合題意；

故選：D.

14.B

【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開

方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式.據此進行判斷即可.

【詳解】A、&=2e,被開方數里含有能開得盡方的因數4,故不是最簡二次根式，本選

項不符合題意；

B、正”符合最簡二次根式的條件，故是最簡二次根式，本選項符合題意；

c、A=被開方數里含有分母，故不是最簡二次根式，本選項不符合題意；

D、亞方=聲回，被開方數里含有能開得盡方的因式故不是最簡二次根式，本選

項不符合題意；

故選：B.

15.A

【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式的被開方數不含分母，不含能開方

開的盡的因式和因數，解決本題的關鍵是根據最簡二次根式的定義進行判斷.

【詳解】解：A、亞被開方數中不含分母，不含能開的盡方的因數，也是最簡二次根式,

故A選項符合題意；

B、E被開方數中含有分母，?不是最簡二次根式，故B選項不符合題意；

答案第8頁，共13頁

c、a中的4能開的盡方，〃不是最簡二次根式，故c選項不符合題意；

D、網可以寫成A3,其中的4能開的盡方，能不是最簡二次根式，故D選項不符合題

JQJ、?

故選：A.

16.B

【分析】本題主要考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵.

根據最簡二次根式的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A.屈=2拒,故舊不是最簡二次根式；

B.近是最簡二次根式；

C.限=京=得，故國不是最簡二次根式；

D.g=半，故R不是最簡二次根式；

故選：B.

17.B

【分析】本題主要考查二次根式的性質，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵；因此此題

可根據二次根式的性質進行求解.

【詳解】解：V32=716x2=472,

故選B.

18.40

【分析】由卮=忑有3=屈乂也,即可得到答案.

【詳解】解：V32=716x2=V16xV2=4^/2,

故答案為：472

【點睛】本題考查的是化為最簡二次根式，掌握二次根式的化簡方法是解本題的關鍵.

19.46

【分析】本題考查的是最簡二次根式，熟練運用二次根式的性質是解題的關鍵.直接利用二

次根式性質化簡即可.

【詳解】解：V48=716x3=473.

答案第9頁，共13頁

故答案為：3

20.36

【分析】根據二次根式的性質進行化簡即可.

【詳解】解：V27=3>/3；

故答案為：3^3.

【點睛】本題考查二次根式的性質，解題的關鍵是掌握二次根式的性質.

21.2

【分析】本題主要考查的是同類二次根式的定義，掌握同類二次根式的定義是解題的關

鍵.一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個

二次根式叫做同類二次根式.根據最簡二次根式、同類次根式即可求得x的值.

【詳解】解：??,最簡二次根式與與否是同類二次根式，

?，?x+3=5,

解得尤=2,

故答案為：2.

22.3

【分析】本題考查最簡二次根式和同類二次根式，根據同類二次根式的被開方數相等列方程

求解即可

【詳解】解：??,最簡二次根式岳與而5可以合并，

???岳與石是同類二次根式，

???2a=a+3,解得〃=3,

故答案為：3.

23.3

【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數相同的

二次根式叫做同類二次根式.根據最簡二次根式及同類二次根式的定義列方求解.

【詳解】解：??,最簡二次根式國二T與7^X1是同類二次根式，

/.4m-1=3加+2,

解得：加=3,

答案第10頁，共13頁

故答案為：3.

24.1

【分析】本題考查最簡二次根式與同類二次根式，解題關鍵是理解同類二次根式的概念.根

據兩個根式能夠合并，化簡后它們的被開方數相同解答即可.

【詳解】解：???瓦=3近，最