浙教版中考數學第一輪專題復習講義

第五單元四邊形

《第20講多邊形與平行四邊形》

【知識梳理】

1.多邊形的概念

(1)定義:在同一平面內，由任意兩條都不在同一條直線上的若干條線段(線段的條數不小于3)t

尾順次相接形成的圖形叫做多邊形.

(2)正多邊形:各邊相等,各內角也相等的多邊形叫做正多邊形.

2.多邊形的內角和與外角和

〃邊形的內角和為的-2)X180。(〃三3);任何多邊形的外角和為360。.

3.多邊形的對角線

n邊形有比且(〃三3)條對角線.

-2----------------

4.平行四邊形的定義和性質

⑴定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)性質定理:

①平行四邊形的對角相等.

②平行四邊形的對邊相等.

③平行四邊形的對角線互相平分.

(3)推論：

①夾在兩條平行線間的平行線段相等.

②夾在兩條平行線間的垂線段相等.

(4)拓展:

①平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點.

②如果一條直線過平行四邊形的對角線的交點，那么這條直線被一組對邊截下的線段以對角線

的交點為對稱中心，且這條直線等分平行四邊形的面積.

5.平行四邊形的判定方法

⑴兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)一組對邊平行并且」^的四邊形是平行四邊形.

(3)兩組對邊分別」^的四邊形是平行四邊形.

(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

(5)兩組對角分別的四邊形是平行四邊形.

6.平行四邊形的面積

⑴平行四邊形的面積=底X高.

(2)同底(等底)同高(等高)的平行四邊形的面積相等.

7.平行四邊形中常用的輔助線的作法

(1)連對角線把平行四邊形問題轉化為全等三角形問題.

(2)有平行線時，作平行線構造平行四邊形.

⑶有中點時，作倍長中線構造平行四邊形.

(4)圖形具有鄰邊特征時(如等腰三角形、等邊三角形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞

鄰邊的公共端點旋轉到另一位置.

【考題探究】

類型一多邊形

[例1][2024?遂寧]佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到一個內角和為1080。的正

多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為(C)

A.360B.4O0

C.450D.6O0

【解析】設這個正多邊形的邊教為〃，由題意得(〃-2)?180°=1080°,斛得〃=8,則360°+8

=45°,

即這個正多邊形的每個外角為45。，故選C.

變式1T[2024?棗莊]如圖，AB,BC,CD是正〃邊形的三條邊，在同一平面內，以3C

為邊在該正〃邊形的外部作正方形3CMN.若NA3N=120。，則”的值為(A)

A.12B.10

C.8D.9

【解析】:四邊形6cMN是正方形，ZNBC=90°.

■:ZABN=120°,:.ZABC=360°—90°—120。=150。，

.?.正”邊形的一個外角為180°-150°=30°,

：.n的值為黑=12.故選A.

變式1—2一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內角和為720。，則原多邊形的邊數

是6或7.

【解析】設內角和為720°的多邊形的邊教是〃，

則（"一2）?180。=720°,解得“=6.

;多邊形過頂點剪去一個角后邊教不變或減少1，

/.原多邊形的邊教是6或7.

類型二平行四邊形的性質

【例2][2024?浙江]如圖，在團A3CD中，AC,BD相交于點O,AC=2,BD=2?過點A

作的垂線，交BC于點E,記3E的長為x,3c的長為y當x,y的值發生變化時，下列代數

式的值不變的是（C）

A.x-\-yB.x-y

C.xyD.f+V

例2答圖

【解析】如答圖，過點。作DFL5C,交5C的延長線于點E

?；AELBC,DF±BC,

：.ZAEB=ZAEC=/BFD=90°.

eg邊形ABCD為平行四邊形，

；.AB=CD,AB//CD,

:.ZABE=ZDCF,

:.AABEmADCF(AAS),

：.CF=BE=x,AE=DF,

工BF=BC+CF=x+y.

在RSAEC中，AE2+EC2=AC2,即AF+U-xAnd.①

在RS5FD中，BF2+DF2=BD2,即(*+[)2+。尸=12.②

由②一①，得孫=2.

故選C.

變式2—1［2023?瀘州］如圖，［2ABCD的對角線AC,3。相交于點。，NADC的平分線與邊A3

相交于點P,E是PD的中點，若AD=4,CD=6,則E。的長為（A）

變式2—1圖

A.1B.2

C.3D.4

【解析】'：^ABCD中，AB//DC,AB=CD=6,OD=OB,

ZCDP=ZAPD.

?；。尸平分NAOC,

：.ZCDP=ZADP,

，ZADP=ZAPD,

：.AP=AD=4,：.PB=AB-AP=2.

是尸。的中點，。是5。的中點，

:.E0是ADPB的中位線，

1

:.EO=±PB=1.

2

變式2—2如圖，在回ABCD中，對角線AC,3。相交于點。，AB1AC,于點H.若A3

=2,BC=2?則AH的長為2.

-3一

變式2—2圖

【解析】'：AB±AC,AB=2,BC=2^j3,

：.AC=JBC2~AB2=2V2.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

：

.OA=OC=-2AC=V2.

JL'：AB±AC,：.0B=JoA2+AB2=V6.

11

'：AH±BD,：.-0B?AH=-OA?AB,

22

即［義心?AH=jxV2X2,

解得AH=手.

變式2—3［2024?瀘州］如圖，在回ABCD中，E,R是對角線3。上的點，且DE=3E求證:N1

Z2.

變式2—3圖

證明:?7邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,：.ZADE=ZCBF.

在t^ADE和△CBF中，

(AD=CB,

'：\^ADE=Z.CBF,

\DE=BF,

^ADE^ACBF(SAS),；.Nl=N2.

變式2—4[2024?吉林]如圖，在回ABCD中，。是A3的中點，連結C。并延長，交D4的延長

線于點E.求證:AE=BC.

E

變式2—4圖

證明:,。是A5的中點，：.AO=OB.

,/eg邊形ABCD是平行eg邊形，

：.AD//BC,:./E=/BCO.

ZAOE=ZBOC,

,AAOE之ABOCIAAS),：.AE=BC.

類型三平行四邊形的判定

【例3][2023?杭州]如圖，回ABCD的對角線AC,3。相交于點。，點E,R在對角線3。上,

旦BE=EF=FD,連結AE,EC,CF,FA.

⑴求證泗邊形AECR是平行四邊形.

(2)若AABE的面積等于2,求△CR9的面積.

A，D

BC

例3圖

解:⑴:四邊形ABCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD.

又?.?5E=Ob,OE=OB-BE,OF=OD-DF,

：.OE=OF,

eg邊形AECF是平行eg邊形.

⑵設△ABE的面彳只為Si，AAEO的面積為S2.

'：BE=EF,OE=OF,：.BE=20E,

.S]_BE_)

s2OE

又丁51=2,：.S2=1.

'：OA=OC,OE=OF,ZAOE=ZCOF,

，△AE。/△CFO(SAS),

△CFO的面積等于AAEO的面積，

：.ACFO的面積等于1.

變式3—1[2024?武漢]如圖，在團ABCD中，點E,R分別在邊3C,AD上，AF=CE.

⑴求證:

(2)連結EE請添加一個與線段相關的條件,使四邊形AH所是平行四邊形，并說明理由.

AFD

Z

BE(：

變式3—1圖

解:(1):四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AD=BC,ZB=ZD.

'：AF=CE,

：.AD-AF=BC~CE,：.DF=BE.

在AABE與ACDF中，

(AB=CD,

V/zB=zD,

(BE=DF,

；.AABE義LCDFISAS).

(2)添加BE=CE.理由如下：

?；AF=CE,BE=CE,；.AF=BE.

四邊形ABCD是平行eg邊形，

'.AD//BC,.,.四邊形ABEF是平行四邊形.

變式3—2[2023?揚州]如圖，E,F,G,8分別是團ABCD各邊的中點，連結AR,CE相交于

點M,連結AG,CH相交于點N.

(1)求證:四邊形AMCN是平行四邊形.

(2)若四邊形AMCN的面積為4,求回A3CD的面積.

變式3-2圖

變式3—2答圖

解:(1)TE,F,G,H分別是回A5CD各邊的中點,

：.AH//CF,AH=CF,

eg邊形AFCH是平行ev邊形，

：.AM//CN.

同理可得，四邊形AECG是平行四邊形，

J.AN//CM,

eg邊形AMCN是平行四邊形.

(2)如答圖，連結AC

,:H,G分別是AD,CD的中點，

:.點N是4ACD的重心，CN=2HN,

:.SAACN=|SAACH.

又：CH是△AC。的中線，

S^ACH=^Si,ACD)?*?SAACN=：SA4CD.

5LVAC是團AMCN^ABCD的對角線，

S@AMCN=gSBABCD.

又,/EAMC2V的面積為4,

EL45CD的面積為12.

變式3—3如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,AC±BD,垂足為。，過點。作3。的垂線,

交BC的延長線于點E.

⑴求證泗邊形ACED是平行四邊形.

(2)若AC=4,AD=2,cosZACB=p求3c的長.

變式3—3圖

解:(1)：AC，5O,BDLDE,

：.AC//DE.

,JAD//BC,J.AD//CE,

；?四邊形ACED是平行四邊形.

(2)?.?在團ACE。中，AC//DE,DE=AC=4,CE^AD=2,

：.ZACB=ZDEB,

r)p4

：.cosZACB=cosZDEB=—=：.BE=5,

BE5

：.BC=BE-CE=3.

類型四平行四邊形的開放探究

【例4】問題:如圖，已知在團ABCD中，AB=8,AD=5,ZDAB,NABC的平分線AE,BF分

別與直線CD相交于點E,F,求ER的長.

答案:EF=2.

探究：(1)把“問題”中的條件“A3=8”去掉，其余條件不變.

①當點E與點R重合時，求A3的長.

②當點E與點C重合時，求ER的長.

(2)把“問題”中的條件“A3=8,AD=5f,去掉，其余條件不變，當點C,D,E,R相鄰兩點間

的距離相等時，求”的值.

例4圖

解:⑴①如答圖1.

8邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,BC=AD=5,AB//CD,：.ZDEA=ZEAB.

'：AE平分/DAB,:.ZDAE=ZEAB,

:.ZDAE=ZDEA,：.DE=AD=5.

同理，CF=BC=5.

又?.?點E與點F重合，

；.AB=CD=DE+CF=10.

1B

圖1

②如答圖2.

'：點、E與點C重合，：.DC=DE^AD=5.

又丁Cb=5C=5,點、F與點、D重合,

:.EF=DC=5.

(2)分三種情況討論：

①當點E,F均在線段CD上,且點E在點,F左側時，如答圖3,AD=DE=EF=FC>

.AD_AD_DE_1

''ABCD3DE3'

DEFC

AB

例4答圖3

②當點E,歹均在線段CD上，且點,b在點E左側時，如答圖4,AD=DE=CF.

C??CL—?40AD_2DF_2

ABDC3DF3'

圖4

AB

圖5

例4答圖

③當點E,F均不在線段CD上時，如答圖5,AD=DE=CF.

又?.,FD=DC=CE,—=2.

ABDC

綜上所述，黑的值娛或;或2.

AB33

【課后作業】

1.[2024?云南]一個七邊形的內角和等于（B）

A.54O0B.9OO0

C.98O0D.1080°

2.依據所標數據，一定為平行四邊形的是（D）

3.[2023?十堰]如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架A3CD,然后向左扭動框架，觀察所

得四邊形的變化，下列判斷錯誤的是（C）

A.四邊形ABCD由矩形變為平行四邊形

B.對角線3。的長度減小

C.四邊形ABCD的面積不變

D.四邊形A3CD的周長不變

4.[2024?貴州]如圖，EABCD的對角線AC與3。相交于點O,則下列結論一定正確的是（B）

A,D

0

B"---------------

第4題圖

A.AB=BCB.AD=BC

C.OA=OBD.AC±BD

5.如果將一副三角尺在回ABC。中按如圖所示的方式擺放，Zl=30°,那么N2的度數為（C）

A.550B.650

C.750D.850

4

第5題圖第5題答圖

【解析】如答圖，延長EH,交A5于點N.

易知&EFH是等腰直角三角形，

:.ZFHE=45°,:.ZNHB=ZFHE=45°.

又,.?/1=30°,

:.ZANH=Z1+ZNHB^75°.

四邊形ABCD是平行g邊形，,CD//AB,

,Z2=ZANH=75°.

6.[2023?自貢改編]如圖，小華在一個不完整的正多邊形圖案中，量得一邊與一條對角線的夾角

ZACB=15°,則這個正多邊形的邊數是12.

【解析】:AB=CB,ZACB^15°,

:.ZBAC=15°,:.ZABC=180°—15°-15°=150°.

設這個正多邊形的邊教為n,

則(n—2)xl8OO=150。,解得〃=12,

n

經檢驗，〃=12是原方程的斛，且符合題意.

7.[2023?涼山州]如圖，在平面直角坐標系中，回ABC。的頂點。，A,C的坐標分別是(0,0),

(3,0),(1,2),則頂點3的坐標是(4,2).

8.[2024?威海]如圖，在正六邊形A3CDER中，AH//FG,BILAH,垂足為1.若NERG=20。,

貝ljZABI=50°°

【解析】?.?六邊形ABCDEb是正六邊形，ZAFE=ZBAF=120°.

又丁/后F仃二？。。,

，ZAFG=120°-ZEFG=100°.

'：AH//FG,：.ZFAH=180°-ZAFG=80°,

，ZBAI=120°-ZE4H=40°.

又?：BUAH,：.ZABI=9Q°-ZBAI=50°.

9.[2024?湖北]在回ABC。中，E,R為對角線AC上兩點，5.AE=CF,連結BE,DE求證BE

=DF.

第9題圖

證明:田邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

:.ZBAE=ZDCF.

在ABAE和4DCF中，

(AB=CD,

'：\^BAE=^DCF,

\AE=CF,

MAE等△OCF(SAS),

：.BE=DF.

10.[2023?株洲]如圖，在中，D,E分別為A3,AC的中點，點H在線段CE上，連結

BH,G,尸分別為BH,CH的中點.

⑴求證:四邊形DEFG為平行四邊形.

(2)^DGLBH,BD=3,EF=2,求線段3G的長.

第10題圖

解:(1)TO,E分別為A5,AC的中點，G,F分別為BH,CH的中點,

.?.DE是△△5c的中位線，GF是△H5C的中位線，

11

：.DE//BC,DE=-BC,GF//BC,GF=-BC,

22

：.DE//GF,DE=GF,

四邊形DEFG為平行四邊形.

(2)eg邊形DEFG為平行四邊形，

：.DG=EF=2.

?:DGLBH,：.ZDGB=9Q°,

：.BG=JBD2-DG2=V5.

11.[2024?河北]下面是嘉嘉作業本上的一道習題及解答過程：

已知:如圖，在AABC中，AB=AC,AE平分AABC的外角NC4N,M是AC的中點，連結3M并

延長，交AE于點。，連結CD

求證泗邊形A3CD是平行四邊形.

證明:'.?A3=AC,

第11題圖

/.ZABC=Z3.

?：/CAN=ZABC+Z3,

ZCAN=Z1+Z2,Z1=Z2,

.,.①.

又：N4=N5,MA=MC,

AMA。之△MC3（②）,

：.MD=MB,...四邊形ABC。是平行四邊形.

若以上解答過程正確，①，②應分別為（D）

A.N1=N3,AASB.Z1=Z3,ASA

C.N2=N3,AASD.N2=N3,ASA

【解析】'：AB=AC,：.ZABC=Z3.

VZCAN=ZABC+Z3,ZCAN=Z1+Z2,Z1=Z2,.*.Z2=Z3.

是AC的中點，：.MA=MC.

fz2=z3,

在△MAO和△MC5中，"：\MA=MC,

（乙4=25,

A2WA￡>^AMCB（ASA）,:.MD=MB,

eg邊形ABCD是平行eg邊形，

，①，②分別為N2=N3,ASA.

12.[2024?安徽]在凸五邊形A3CDE中，AB=AE,BC=DE,R是CD的中點.下列條件中，不

能推出AR與CD一定垂直的是（D）

A./ABC=/AEDB.ZBAF=ZEAF

C.ZBCF=ZEDFD.ZABD=ZAEC

【解析】如答圖，連結AC,AD.

第12題答圖

'：AB=AE,ZABC=ZAED,BC=DE,

:.^ABC^△AEO(SAS),：.AC=AD.

VF是AO的中點，：.AF±CD,所以選項A不合題意.

如答圖，連結BF,EF.

'：AB=AE,ZBAF=ZEAF,AF=AF,

：.^ABF^△AEF(SAS),

：.ZAFB=ZAFE,BF=EF.

又,：BC=ED,CF=DF,

：.4BFC空AEFD(SSS),

：.ZBFC=ZEFD,

:.ZBFC+ZAFB=ZEFD+ZAFE,

即ZAFC=ZAFD=90°,

：.AF±CD,所以選項B不合題意.

?:/BCF=ZEDF,:.易證ABFC/AEFD(SAS),

:.BF=EF,:.易證AABF^AAEF(SSS),

:.ZBFC+ZAFB=ZEFD+ZAFE,

即ZAFC=ZAFD=90°,

：.AF±CD,所以選項C不合題意.

選項D的條件無法抽出全等，故證不出AF.LCD,所以選項D符合題意.

13.[2023?聊城]如圖，在團ABCD中，3c的垂直平分線E。交AD于點E,交3c于點。，連結

BE,CE,過點C作CE//3E,交E。的延長線于點E連結3E若AD=8,CE=5,則四邊形

3RCE的面積為24.

AED

第13題圖

【解析】:四邊形AbCD是平行四邊形，40=8,

^.BC=AD=8.

???￡F是線段BC的垂直平分線，

1

：.EF±BC,OB=OC=-BC=4.

2

'：CE=5,：.0E=JcE2-OC2=3.

CF//BE,：.Z0CF=Z0BE.

左△OCF和△OBE中，

(乙C0F=LB0E,

'：\oC=OB,

［乙0CF=^0BE,

OCF沼△0BE(ASA),

：.0E=0F=3,

-1111

：.S.也而BFCE=SABCE+sABFC=：BC?OE+^BC?OF=jx8X3+1X8X3=24.

14.［2024?浙江模擬］如圖，在AABC中，ZACB=90°,D為BC上一點，且BD=2CD,連結

AD.E,R分別為A。，A3的中點，連結。EEF,EC,CF,ED與RC相交于點O

⑴求證泗邊形ECDR是平行四邊形.

(2)若。歹=5,tanZCFE=|,求AD的長.

第14題圖

解F分別為AD,A5的中點,

1

：.EF//BD,EF=±BD,

2

：.EF//CD,BD=2EF.

,:BD=2CD,：.EF=CD,

四邊形ECDF是平行四邊形.

(2)由(1)知四邊形ECDF是平行?7邊形，

：.CF=20F,ZCFE=ZBCF.

又?；0F=5,ACF=10.

,：F為A5的中點，

：.AB=2CF=20,CF=BF,

：.ZBCF=ZB,：.ZB=ZCFE,

AC4

tanNCFE=tanB=--=—.

BC3

設AC=4a,則BC=3a.

根據勾股定理，＜AB^AC^+BC