專(zhuān)題17等腰三角形的核心知識(shí)點(diǎn)精講

O復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定.

2.了解等邊三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定.

3.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及判定.

O考點(diǎn)植理O

考點(diǎn)1:等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)相等

2.|等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)

性質(zhì)

寫(xiě)成“等腰三角形三線合一”）

3,等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有2條對(duì)稱(chēng)軸

1,有兩條邊相等的三角形的等腰三角形

判定

2,有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形

S=!ah,其中a是底邊常，hs是底邊上的高

面積公式

2

考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判定

1.三條邊相等

2,三個(gè)內(nèi)角相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于60°

性質(zhì)3.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有3條對(duì)稱(chēng)軸企

a

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形

2.三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形

判定

3,有一個(gè)角的是60°的等腰三角形是等邊三角形

面積公式5=lah=—是等邊三角形的邊長(zhǎng)，h是任意邊上的高

24u

考點(diǎn)3：線段垂直平分線

(1)線段垂直平分線的作圖

1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于工42的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn);

2

2.作直線CD,CD為所求直線

(2)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

(3)判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

典例引領(lǐng)

【題型1：等腰三角形的性質(zhì)和判定】

【典例1】(2024?江蘇南通?中考真題)綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞"三角形的角平分線”開(kāi)展主題學(xué)

習(xí)活動(dòng).

【特例探究】

(1)如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形(相關(guān)條件見(jiàn)圖中標(biāo)注)，列表分析兩腰之和與兩腰之積.

等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表

圖序角平分線4。的長(zhǎng)NB2D的度數(shù)腰長(zhǎng)兩腰之和兩腰之積

圖①160°244

圖②145°2V22

圖③

130°———

請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想.

已知△4BC的角平分線AD=1,AB=AC,ABAD=a,用含a的等式寫(xiě)出兩腰之和48+4C與兩腰之積

力47之間的數(shù)量關(guān)系：.

【變式思考】

（2）已知△48C的角平分線4。=1,ABAC=60°,用等式寫(xiě)出兩邊之和AB+AC與兩邊之積48?AC之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?海南?中考真題）如圖，一艘輪船在a處測(cè)得燈塔M位于4的北偏東30。方向上，輪船沿著正北方向航

行20海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M位于B的北偏東60。方向上，測(cè)得港口C位于B的北偏東45。方向上.已知

港口C在燈塔M的正北方向上.

北木C

（1）填空：度，NBCM=_度；

⑵求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號(hào)）;

⑶求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.

2.(2024?江蘇常州?中考真題)如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點(diǎn)，AC.DE相交于點(diǎn)G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(2)連接4D,貝必。與/的位置關(guān)系是

3.(2024?四川?中考真題)如圖，在四邊形4BCD中，乙4=90。，連接8D,過(guò)點(diǎn)C作CE1AB,垂足為E,CE

交8。于點(diǎn)F,=

⑴求證：n2=43；

(2)若N4=45。.

①請(qǐng)判斷線段BC,BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

②若BC=13,AD=5,求EF的長(zhǎng).

典例引領(lǐng)

【題型2：等邊三角形的性質(zhì)和判定】

【典例2】（2022?黑龍江?中考真題）△ABC和△4DE都是等邊三角形.

⑴將△力DE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接8。，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)/重合），有

PA+PB=PC（或P4+PC=P8）成立；請(qǐng)證明.

（2）將△力DE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接AD,CE相交于點(diǎn)P,連接力，猜想線段P/、PB、

PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

⑶將△4DE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接RD,CE相交于點(diǎn)P,連接P4猜想線段P4PB、

PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明.

即時(shí)檢淵

1.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，。。的周長(zhǎng)為8兀，正六邊形力BCDEF內(nèi)接于。。.則△OAB的面積

為（）

A.4B.4V3C.6D.6V3

2.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形/2C的頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,4），點(diǎn)B,C均

在x軸上.將△ABC繞頂點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到△力B'C',則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

3.（2022?湖南懷化?中考真題）如圖，在等邊三角形/8C中，點(diǎn)M為48邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N,

使CN=4W,連接兒加交NC于點(diǎn)P,MHLAC于點(diǎn)、H.

⑴求證：MP=NP；

（2）若42=a,求線段PH的長(zhǎng)（結(jié)果用含。的代數(shù)式表示）.

典例引領(lǐng)

【題型3：線段的垂直平分線】

【典例3】（2024?湖南長(zhǎng)沙?中考真題）如圖，在中，ZXCB=90°,AB=2近,AC=2,分別以點(diǎn)

A,8為圓心，大于14B的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N,作直線MN分別交4B,BC于點(diǎn)、D,

E,連接CD,AE.

⑴求CD的長(zhǎng)；

⑵求△2CE的周長(zhǎng).

0力即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點(diǎn)4點(diǎn)B為圓心，大于

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)E,F作直線交4c于點(diǎn)D,連接BD,則△BCD的周長(zhǎng)為

A.7B.8C.10D.12

2.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，在RtaTlBC中，乙4cB=90°,DE垂直平分4B交BC于點(diǎn)D,若△4CD

的周長(zhǎng)為50cm,則2C+BC=（）

3.（2024?廣西?中考真題）如圖，在△4BC中，N4=45。，AOBC.

（1）尺規(guī)作圖：作線段力B的垂直平分線/,分別交力B,AC于點(diǎn)D,E：（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法,

標(biāo)明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接BE,若AB=8,求BE的長(zhǎng).

o好題沖關(guān)o

.弓基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2024?河南信陽(yáng)?三模）中國(guó)的風(fēng)箏已有2000多年的歷史.相傳墨翟以木頭制成木鳥(niǎo)，研制三年而成，是

人類(lèi)最早的風(fēng)箏起源.后來(lái)魯班用竹子，改進(jìn)墨翟的風(fēng)箏材質(zhì)，直至東漢期間，蔡倫改進(jìn)造紙術(shù)后，坊

間才開(kāi)始以紙做風(fēng)箏，稱(chēng)為"紙鶯如圖是一個(gè)風(fēng)箏骨架的示意圖，已知4C1DE,且力。=小，

AD=CD,4D與47的夾角為a,則該骨架中4C的長(zhǎng)度應(yīng)為（）

A.mcosaB.mtanaC.2mcosaD.2mtana

2.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖，已知EFIICDBC=DC/ABF=30。，貝此D的度數(shù)為（）

3.（23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，點(diǎn)2、B、C都在半徑為2的。。上，ZC=30°,則弦的長(zhǎng)為

A.2B.1C.4D.

4.（2022?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊AA8C中，AD1BC,垂足為。且4。=百，貝必8的長(zhǎng)為（）

A.1B.V3C.2D.2V3

5.（23-24八年級(jí)上,浙江溫州?期中）如圖，在△ABC中，分別以8為圓心，大于線段4B長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)

為半徑作弧，相交于點(diǎn)D,E,連結(jié)DE,交BC于點(diǎn)P.若4C=3,△ACP的周長(zhǎng)為10,貝UBC的長(zhǎng)為（）

A.6B.7

6.（2024八年級(jí)下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）甲、乙、丙三地如圖所示，若想建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)倉(cāng)，使其到甲、乙、

丙三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉(cāng)的位置應(yīng)選在（）

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三邊中線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

1

7.（2024?海南省直轄縣級(jí)單位?一模）如圖，在△ABC中，"=40。，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于/C的

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，作直線MN,交邊/C于點(diǎn)連接貝IjNDBC的度數(shù)為（）

A.100°B.80°

8.（2024?湖南?二模）如圖，在N兩個(gè)小木塊之間恰好放入一個(gè)等腰直角三角板4BC.已知木塊"，N

的高分別為6cm,16cm,點(diǎn)4,3分別與兩木塊的頂端重合，點(diǎn)。在DE上，則兩木塊之間的距離為

B

DCE

A.22cmB.14cmC.11cmD.10cm

9.（2024?江蘇宿遷?一模）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和6,則第三邊的長(zhǎng)度為.

10.（23-24八年級(jí)上?福建龍巖?期中）如圖，點(diǎn)P在正五邊形2BCDE內(nèi)，滿(mǎn)足PA=PE,PD=AB,則“EP

的度數(shù)是.

/--------'B

11.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形力BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)C為圓心，BC

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接DE.

⑴求證：AC||DE；

(2)若4B=4,AABC=60°,求△BDE的周長(zhǎng)和面積.

鉗能力提升

1.（2024,湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)N在等邊△48C的邊BC上，CN=6,射線BD1BC,垂足為8,P

是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，又是線段4C上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MP+NP的值最小時(shí)，CM=7,貝必C的長(zhǎng)為.

2.（2024,廣東深圳,模擬預(yù)測(cè)）如圖，AO1OM,AO=6,8為射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以力法。8為直角

邊，2為直角頂點(diǎn)，在。M兩側(cè)作等腰RtzXABC,等腰Rt^BD。，連接CD交。M于點(diǎn)尸.當(dāng)3在。“上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB的長(zhǎng)度為

3.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB^AC,將△28C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△?!￡）￡BC,

DE相交于。，^ACE=60°.

E

A

B

⑴判斷△ABD的形狀;

⑵求NC。。的度數(shù).

4.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）如圖①，在Rt△力BC中，AB^AC=3,NB2C=90。，點(diǎn)。在B4邊上，連接

CD,點(diǎn)E在射線CD上，連接4E.

（1）如圖，將4E繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到4F,連接BE,CF.求證：a/lBE三

（2）若點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，連接EF,求EF的最小值；

（3汝口圖②，若BE1CE于點(diǎn)EHE=VL求BE的值.

真題感知

1.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△力DE,點(diǎn)、B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為點(diǎn)。，E,連接CE,點(diǎn)。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,貝。4。的長(zhǎng)為（）

BA

A.V5B.V10C.2D.2V2

2.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt^ABC中，AACB=90°,以點(diǎn)/為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交力B于

1

點(diǎn)。，再分別以5,。為圓心，大于匏。的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M,N兩點(diǎn)，作直線MN分別交A8

于點(diǎn)E,若AD=3,BE=1,則BC的長(zhǎng)為（）

C.4.5

3.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?二模）如圖，在△48C中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8、C為圓心，以

大于裴C長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N；②作直線MN交邊于點(diǎn)E.若4C=5,

BE=4,ZB=45°,貝MB的長(zhǎng)為（）

6C.7D