考點(diǎn)31班場(chǎng)一帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.通過實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)洛倫茲力。能判斷洛倫茲力的方向，會(huì)計(jì)算洛倫茲力的大

小。

新課程標(biāo)準(zhǔn)

2.能用洛倫茲力分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)。了解帶電粒子在勻

強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)及其應(yīng)用。

預(yù)測(cè)此后高考對(duì)本專題會(huì)結(jié)合最新科技及生活實(shí)際，根據(jù)左手定則考查考查

命題趨勢(shì)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型的構(gòu)建與應(yīng)用.以此培養(yǎng)學(xué)生的

物理觀念、科學(xué)思維及科學(xué)態(tài)度

/匕活實(shí)踐類生活和科技等

試題情境

學(xué)習(xí)探究類帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

考向一、對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用

考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

考向三、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題

考向四、“數(shù)學(xué)圓，，方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用

考向一、對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用

(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷速度方向和磁場(chǎng)方向確定的平面。

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。

(3)用左手定則判斷洛倫茲力方向，但一定分清正、負(fù)電荷。

2.洛倫茲力與電場(chǎng)力

洛倫茲力電場(chǎng)力

V/)且V

產(chǎn)生條件電荷處在電場(chǎng)中

不與B平行

大小F=qvB(vJ_B)F=qE

力方向與一定是F，B,正電荷受力與電場(chǎng)方向相同，負(fù)

場(chǎng)方向的關(guān)系F±v電荷受力與電場(chǎng)方向相反

任何情況下可能做正功、負(fù)功，也可能不做

做功情況

都不做功功

作用效果只改變電荷的速度方向，既可以改變電荷的速度大小，也

不改變速度大小可以改變運(yùn)動(dòng)的方向

【典例11（2022年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試）7.如圖所示，一個(gè)立方體空間被對(duì)角平面MNPQ

劃分成兩個(gè)區(qū)域，兩區(qū)域分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)子以某一

速度從立方體左側(cè)垂直。yz平面進(jìn)入磁場(chǎng)，并穿過兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域。下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡在不同坐標(biāo)平面

的投影中，可能正確的是（）

【答案】A

【解析】AB.由題意知當(dāng)質(zhì)子射出后先在MN左側(cè)運(yùn)動(dòng)，剛射出時(shí)根據(jù)左手定則可知在MN受到y(tǒng)軸正方

向的洛倫茲力，即在MN左側(cè)會(huì)向y軸正方向偏移，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，y軸坐標(biāo)增大；在MN右側(cè)根據(jù)左

手定則可知洛倫茲力反向，質(zhì)子在y軸正方向上做減速運(yùn)動(dòng)，故A正確，B錯(cuò)誤；

CD.根據(jù)左手定則可知質(zhì)子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都只受到平行于xOy平面的洛倫茲力作用，在z軸方向上沒

有運(yùn)動(dòng)，z軸坐標(biāo)不變，故CD錯(cuò)誤。

故選Ao

【典例2】（2022貴陽(yáng)摸底）如圖所示,a、b兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直紙面放置，兩導(dǎo)線內(nèi)通有大小相等、方向相反

的電流，O點(diǎn)在紙面與導(dǎo)線平面的交線上且到兩導(dǎo)線距離相等，MN是過O點(diǎn)且垂直于導(dǎo)線平面的豎直線,

一個(gè)帶電粒子從M點(diǎn)以速度v沿MN方向運(yùn)動(dòng)，粒子重力不計(jì)，下列說法正確的是（）

A.粒子沿MN方向先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)

B.粒子沿MN方向一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)

C.粒子偏向MN左側(cè)先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)

D.粒子偏向MN右側(cè)先做減速運(yùn)動(dòng)后做加速運(yùn)動(dòng)

【答案】B

【解析】根據(jù)右手螺旋定則和磁場(chǎng)疊加原理可知，兩通電直導(dǎo)線在直線MN上所產(chǎn)生的合磁場(chǎng)方向始

終沿MN方向，當(dāng)帶電粒子沿MN方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方向正好與合磁場(chǎng)方向平行，則帶電粒子不受洛倫

茲力作用，故粒子將一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B正確.

練習(xí)1、（202。浙江省1月高中學(xué)業(yè)水平考試）下列表示運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力的方向正確的是

（）

?一夕?F?

B?2

D

【答案】D

【解析】A圖和B圖中v〃:B,所以電荷所受洛倫茲力為零，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；根據(jù)左手定則可知，C圖中

電荷所受洛倫茲力方向向上，D圖中電荷所受洛倫茲力方向向右，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

練習(xí)2、（2022?大連模擬）真空中豎直放置一通電長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線，俯視圖如圖所示。以導(dǎo)線為圓心作圓，光滑絕

緣管ab水平放置，兩端恰好落在圓周上。半徑略小于絕緣管半徑的帶正電小球自a端以速度vo向b端運(yùn)動(dòng)

過程中，下列說法正確的是（）

A.小球先加速后減速

B.小球受到的洛倫茲力始終為零

C.小球在ab中點(diǎn)受到的洛倫茲力為零

D.小球受到洛倫茲力時(shí)，洛倫茲力方向豎直向外

【答案】C

【解析】根據(jù)安培定則可知，直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感線如圖中虛線所示,

洛倫茲力始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直，故不做功，小球速率不變，A錯(cuò)誤；當(dāng)運(yùn)動(dòng)到ab中點(diǎn)時(shí)，磁感線

與速度方向平行，所受洛倫茲力為零，自a端到中點(diǎn)洛倫茲力豎直向下，中點(diǎn)至b端洛倫茲力豎直向上，B、

D錯(cuò)誤，C正確。

【巧學(xué)妙記】

1.洛倫茲力的特點(diǎn)

(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向，注意區(qū)分正、負(fù)電荷。

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。

(3)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用。

(4)洛倫茲力永不做功。

人—一'■考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.確定圓心

方法一若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力F±v,分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F

的方向，其交點(diǎn)即為圓心，如圖甲。

方法二若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向，則可作出此兩點(diǎn)的連線(即過這兩點(diǎn)

的圓弧的弦)的中垂線，中垂線與過已知點(diǎn)速度方向的垂線的交點(diǎn)即為圓心，如圖乙。

2.確定半徑

。力?(偏向角)

利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑(或圓心角)，求解時(shí)注意以下幾何特點(diǎn)：

粒子速度的偏向角(cp)等于圓心角(a),并等于AB弦與切線的夾角(弦切角0)的2倍(如圖)，即。=a=20

=COto

3.求解時(shí)間

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為a時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間可由下式表

示：

a

t=------為弧長(zhǎng))。

360°

4.運(yùn)動(dòng)軌跡

(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖所示)。

直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)

圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

T1tm

t=5=^

圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

(._9>(.0>2nm2m(Ji—0)

圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=±r=碧

Jiqt)

(2)平行邊界磁場(chǎng)

帶電粒子在平行邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑R與平行邊界距離d之間的關(guān)系如圖所示.

d=7?](l-cos0)

d=2R2d=Rsin0d=H(l+cos0)(/=i?(l-cos0)

甲乙丙丁

(3)圓形邊界磁場(chǎng)

沿徑向射入圓形磁場(chǎng)的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)

R

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑「=布?xì)?/p>

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間1=含7=錯(cuò)^，0+a=90°

O)

(4)三角形邊界的磁場(chǎng)

帶電粒子在三角形邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)常常涉及臨界問題。如圖所示，正AABC區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng),

某正粒子垂直于AB方向從D點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，粒子有如下兩種可能的臨界軌跡:

（1）粒子能從AB邊射出的臨界軌跡如圖甲所示。

（2）粒子能從AC邊射出的臨界軌跡如圖乙所示。

（5）矩形邊界的磁場(chǎng)

帶電粒子在矩形（正方形）邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可能會(huì)涉及與邊界相切、相交等臨界問題，如圖所示。

【典例3】（多選）（2022年遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試）8.粒子物理研究中使用的一種球狀探測(cè)

裝置橫截面的簡(jiǎn)化模型如圖所示。內(nèi)圓區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，外圓是探測(cè)器。兩個(gè)粒子先后從P

點(diǎn)沿徑向射入磁場(chǎng)，粒子1沿直線通過磁場(chǎng)區(qū)域后打在探測(cè)器上的M點(diǎn)。粒子2經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后打在探測(cè)器

上的N點(diǎn)。裝置內(nèi)部為真空狀態(tài)，忽略粒子重力及粒子間相互作用力。下列說法正確的是（）

A.粒子1可能為中子

B.粒子2可能為電子

C.若增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)

D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)

【答案】AD

【解析】AB.由題圖可看出粒子1沒有偏轉(zhuǎn)，說明粒子1不帶電，則粒子1可能為中子；粒子2向上偏轉(zhuǎn),

根據(jù)左手定則可知粒子2應(yīng)該帶正電，A正確、B錯(cuò)誤；

C.由以上分析可知粒子1為中子，則無論如何增大磁感應(yīng)強(qiáng)度，粒子1都不會(huì)偏轉(zhuǎn)，C錯(cuò)誤；

D.粒子2在磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力有/3=機(jī)匚

r

mv

解得「=行可知若增大粒子入射速度’則粒子2的半徑增大’粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)',D正確。

故選AD。

【典例4］（2022年6月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試）22.離子速度分析器截面圖如圖所示。半徑

為R的空心轉(zhuǎn)筒P,可繞過。點(diǎn)、垂直xOy平面（紙面）的中心軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度大小可調(diào)），其

上有一小孔S。整個(gè)轉(zhuǎn)筒內(nèi)部存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。轉(zhuǎn)筒下方有一與其共軸的半圓柱面探測(cè)板

Q,板Q與y軸交于A點(diǎn)。離子源M能沿著x軸射出質(zhì)量為m、電荷量為-q（q>0）>速度大小不同的離

子，其中速度大小為vo的離子進(jìn)入轉(zhuǎn)筒，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好沿y軸負(fù)方向離開磁場(chǎng)。落在接地的筒壁或探

測(cè)板上的離子被吸收且失去所帶電荷，不計(jì)離子的重力和離子間的相互作用。

（1）①求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；

②若速度大小為vo的離子能打在板Q的A處，求轉(zhuǎn)筒P角速度（0的大小；

（2）較長(zhǎng)時(shí)間后，轉(zhuǎn)筒P每轉(zhuǎn)一周有N個(gè)離子打在板Q的C處，OC與x軸負(fù)方向的夾角為0,求轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)

動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，C處受到平均沖力F的大小；

6v

（3）若轉(zhuǎn)筒P的角速度小于口，且A處探測(cè)到離子，求板Q上能探測(cè)到離子的其他0,的值（&為探測(cè)點(diǎn)

R

位置和O點(diǎn)連線與x軸負(fù)方向的夾角）。

邕工遐M

【答案】⑴①八%‘②。=*+吸，k=。，1，2,3…；⑵F=器**號(hào).。，

1,2,...；(3)0'=—71,—71

66

【解析】（1）①離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有“%5=誓

則武嗯

qR

7lR

②離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=-

2%

jr

轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度狽=2E+2

2

co—(4Z^+1)fk=0,1,2,3...

（2）設(shè)速度大小為v離子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R',有R=Htan—

2

e

v—tan^

R

離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間「=（兀-。）一

V。

轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度co't'=2mr+0

轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速,度（2小〃兀音+0）節(jié)v

nn=0,1,2,.

動(dòng)量定理廠&=Nmv

a!

廠(2nji+0)Nmv10

F=--------------Stan—,n=0,1,2,.

2(兀一8)兀R2

（4左+l）v(2/771+O'}v6yo

（3）轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1―產(chǎn)n0

K

,,八，5一2〃

其中k=1,0—-----71,n=0,2

6

可得夕=』7r

6

練習(xí)3、（2020?全國(guó)I卷）一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示,

ab為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子,

在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)

間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）

b

771m-5兀m

A?麗B.麗

-471m—371m

r------D------

J3qB2qB

【答案】c

【解析】粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qBv=甲,1=甲，可得粒子在磁場(chǎng)中的周期T=鬻，粒子在磁

AAm

場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=^-T=黑，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無關(guān)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間

越長(zhǎng).采用放縮圓解決該問題，粒子垂直ac射入磁場(chǎng)，則軌跡圓心必在ac直線上，將粒子的軌跡半徑由零

逐漸放大.當(dāng)半徑E0.5R和它1.5R時(shí)，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場(chǎng)中的軌跡為半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等

于半個(gè)周期.當(dāng)0.5R<r<1.5R時(shí)，粒子從半圓邊界射出，逐漸將軌跡半徑從0.5R逐漸放大，粒子射出位置

從半圓頂端向下移動(dòng)，軌跡圓心角從兀逐漸增大，當(dāng)軌跡半徑為R時(shí)，軌跡圓心角最大，然后再增大軌跡

半徑，軌跡圓心角減小，因此當(dāng)軌跡半徑等于R時(shí)軌跡圓心角最大，即軌跡對(duì)應(yīng)的最大圓心角9=兀+號(hào)=*,

4

粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為1=殳=今箸=器故選C.

練習(xí)4.（2022湖北荊門調(diào)考）如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,在

xOy平面內(nèi)，從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成0角（0<9<兀）、以速率v發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子（重力不計(jì)），則

下列說法正確的是（）

A.若。一定，v越大,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

B.若。一定，v越大,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的角速度越大

C.若v一定,。越大，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短

D.若v一定，0越大,則粒子在離開磁場(chǎng)的位置距0點(diǎn)越遠(yuǎn)

【答案】C

【解析】粒子運(yùn)動(dòng)周期丁=魯,當(dāng)e—定時(shí),粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=?=^T,s2兀

'亍'

由于t、co均與V無關(guān)，故A、B錯(cuò)誤.當(dāng)V一定時(shí)，由「=翟知，r一定，當(dāng)0從0變至與的過程中，9越

0qz

大，粒子離開磁場(chǎng)的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn)；當(dāng)0大于齊寸，0越大,粒子離開磁場(chǎng)的位置距O點(diǎn)越近，故D錯(cuò)誤.故

選c.

【巧學(xué)妙記】

帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題

1.解題關(guān)鍵點(diǎn)

⑴關(guān)注題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等關(guān)鍵

詞語(yǔ)，作為解題的切入點(diǎn)。

(2)關(guān)注涉及臨界點(diǎn)條件的幾個(gè)結(jié)論

①粒子剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的

軌跡與邊界相切。

工我一一*3=^考向三、“數(shù)學(xué)圓”方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用

題型一“平移圓”模型

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線上

的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

相同，若入射速度大小為則半徑如圖所示

適用條件V0,R—

111

軌跡圓圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直

心共線線與入射點(diǎn)的連線平行

將半徑為R—%°的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這

界定方法

種方法叫“平移圓”法

題型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)

磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射初

適用條件

速度大小為V0,則圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R—個(gè)凸，如圖所示

P

如圖，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P

為圓心、半徑R一戰(zhàn)的圓上

Xxxx

軌跡圓圓

XX/XXQXXXX

心共圓

XX\xJ./X

XXXX

將半徑為R一15°的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),從而探索出

界定方法

臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

題型三“放縮圓”模型

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)

適用條件磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨

速度的變化而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度V越大，運(yùn)動(dòng)

半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌

跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP，上

XXXXXX

軌跡圓圓心共線P'

XX

x:/x至4\x

XXXXXX

以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP，直線上，將半徑放縮作軌跡圓，

界定方法

從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

題型四“磁聚焦”模型

1.帶電粒子的會(huì)聚

如圖甲所示，大量同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)

圓半徑相等（R=r）,則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出.（會(huì)聚）

證明：四邊形OAOB為菱形，必是平行四邊形，對(duì)邊平行，OB必平行于AO,（即豎直方向），可知從A點(diǎn)

發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn).

2.帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓心為O,從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子,

以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)

半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行.（發(fā)散）

證明：所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，OiA、

O2B>03c均平行于PO,即出射速度方向相同（即水平方向）.

【典例5】（2020?全國(guó)卷m,18）真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面,

磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖7所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知

電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感

應(yīng)強(qiáng)度最小為（）

A3mv-mv

B.一

A?京ae

r3mv-3mv

Jae

【答案】C

【解析】為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r,圓心為M,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B,由幾何關(guān)系有后存+

r=3a,解得r=ga,電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有evB=mE，解得B=鬻，選項(xiàng)C正確。

j1qae

【典例6］（多選）（2021?海南高考）如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oxy的第一象限內(nèi)，存在垂直紙面向外的勻

強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。大量質(zhì)量為m、電量為q的相同粒子從y軸上的P（0,小L）點(diǎn)，以相同的速

率在紙面內(nèi)沿不同方向先后射入磁場(chǎng)，設(shè)入射速度方向與y軸正方向的夾角為a（0WaW180。）。當(dāng)式=150。時(shí),

粒子垂直x軸離開磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力。則（）

A.粒子一定帶正電

B.當(dāng)a=45。時(shí)，粒子也垂直x軸離開磁場(chǎng)

C.粒子入射速率為叫地

D.粒子離開磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的最大距離為3小L

【答案】ACD

【解析】根據(jù)題意可知粒子垂直x軸離開磁場(chǎng)，根據(jù)左手定則可知粒子帶正電，A正確；當(dāng)a=150。時(shí)，粒

子垂直x軸離開磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲，

2BL

粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r=需全=26L,洛倫茲力提供向心力qvB=mv，解得粒子入射速率V=^O

UU1111

若a=45。，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙，根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子離開磁場(chǎng)時(shí)與x軸不垂直，B錯(cuò)誤，C正確；粒

子離開磁場(chǎng)的位置距離O點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的軌跡為半圓，如圖丙，根據(jù)幾何關(guān)系可知（2r）2=（小L）2

2

+xm,解得Xm=34L,D正確。

練習(xí)5.（2022?山東省青島市高三下二模）如圖所示，豎直放置的半環(huán)狀A(yù)BCD區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)

方向垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T.外環(huán)的半徑Ri=16cm,內(nèi)環(huán)的半徑R2=4cm,外環(huán)和

內(nèi)環(huán)的圓心為O,沿0D放置有照相底片.有一線狀粒子源放在AB正下方（圖中未畫出），不斷放出初速度

大小均為vo=1,6x106m/s,方向垂直AB和磁場(chǎng)的相同粒子，粒子經(jīng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，最后打到照相底片上，經(jīng)

檢驗(yàn)底片上僅有CD區(qū)域均被粒子打到.不考慮粒子間的相互作用，粒子重力忽略不計(jì)，假設(shè)打到磁場(chǎng)邊界

的粒子被吸收.

p

(2)求粒子的比荷V；

(3)若照相底片沿0P放置，求底片上被粒子打到的區(qū)域的長(zhǎng)度.

［解析］(1)由左手定則可知，粒子帶正電.

(2)如圖所示，設(shè)粒子的質(zhì)量為m,帶電荷量為q,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,依題意有2R

=RI+R2，R=10cm

由牛頓第二定律qvoBn1^

代入數(shù)據(jù)解得$3.2x107c/kg

(3)若照相底片沿OP放置，則底片上被粒子打到的區(qū)域長(zhǎng)度為MN的長(zhǎng)度，如圖所示，在AOiOM中，

由幾何關(guān)系有OM2=R2—(R—R2)2,解得OM=8cm

MN=R-OM,聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得MN=2cm

練習(xí)6.(2022?北京市豐臺(tái)區(qū)高三上期末)如圖所示，ABCD與MNQP均為邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域，且A點(diǎn)為

MN的中點(diǎn).ABCD區(qū)域中存在有界的垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在整個(gè)MNQP區(qū)域中存在圖示方向的勻

強(qiáng)電場(chǎng).質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為vo的初速度垂直于BC射入正方形ABCD區(qū)域，且都從A

點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，已知從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子在ABCD區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)始終位于磁場(chǎng)中，不計(jì)電子重力，求：

(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；

(2)要使所有粒子均能打在PQ邊上，電場(chǎng)強(qiáng)度E至少為多大;

(3)ABCD區(qū)域中磁場(chǎng)面積的最小值是多少.

［解析］(1)由洛倫磁力提供向心力可得ev0B=-^

由題意則有r=l

解得B=詈，方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲?/p>

(2)沿AN方向進(jìn)入電場(chǎng)的粒子能打在PQ邊上則所有粒子都能打在PQ邊上，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)

動(dòng)，則有eE=ma

1=到2

(3)圖中陰影部分為磁場(chǎng)最小范圍，由幾何關(guān)系可知

Smin=2X

練習(xí)7、(多選)(2022?湖北省武漢市第二中學(xué)高三上模擬)如圖所示，直角三角形邊界ABC內(nèi)存在垂直于紙面

向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,AC長(zhǎng)為2L,AB長(zhǎng)為L(zhǎng)。從AC的中點(diǎn)D連續(xù)發(fā)射不同速率的相同粒

子，方向與AC垂直，粒子帶正電，電荷量為q,質(zhì)量為m,不計(jì)粒子重力與粒子間的相互作用，下列判斷

正確的是()

A.以不同速率入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定不等

B.BC邊上有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度不超過坐L

C.AB邊上有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度為(小一1)L

D.從AB邊出射的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為器

【答案】BC

【解析】若不同速率入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)都從AC邊射出，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，A錯(cuò)誤；如圖甲，

當(dāng)粒子的速度無窮大時(shí)可認(rèn)為粒子不發(fā)生偏轉(zhuǎn)從E點(diǎn)射出，從BC邊上有粒子出射的區(qū)域在BE部分，由幾

何關(guān)系知長(zhǎng)度不超過Ltan30。=坐L,B正確；

由圖乙可知，AB邊上有粒子出射的區(qū)域?yàn)锽F之間，由幾何關(guān)系可知：六=為工，解得r=（2小一3）L,

則BF=L—嬴R=（小一1）L,C正確；從AB邊上出射的粒子在B點(diǎn)射出時(shí)時(shí)間最短，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

軌跡所對(duì)的圓心角為60。，則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為t=J=^,D錯(cuò)誤。

練習(xí)8、（2022陜西西安八校聯(lián)考）如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感

應(yīng)強(qiáng)度大小為B,磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒子源，源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向（均平行于紙面）且速度大小

相等的帶正電的粒子（重力及粒子間的相互作用不計(jì)），已知粒子的比荷為k,速度大小為2kBr,則粒子在磁

場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為（）

A

/XX▼XX\

/XXXX?

\XXXX!

\XXXX/'

AkBB-2kB

兀兀

C3kBD.4kB

【答案】C

【解析】粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R=^=鬻=2r,周期為T=鬻虛，當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)

間最長(zhǎng)時(shí)，其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，此時(shí)弦長(zhǎng)最大，弦長(zhǎng)最大值為磁場(chǎng)區(qū)域圓的直徑2r,根據(jù)幾何關(guān)系

T兀

可得軌跡所對(duì)圓心角為60。，故tmax=%=菽，選項(xiàng)C正確.

練習(xí)9.（多選）（2022?山東省日照市高三下二模）如圖所示，紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向

外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一束質(zhì)子在紙面內(nèi)以相同的速度射向磁場(chǎng)區(qū)域，質(zhì)子的電荷量為q,

質(zhì)量為m,速度為v=喈，則以下說法正確的是（）

A.對(duì)著圓心入射的質(zhì)子，其出射方向的反向延長(zhǎng)線一定過圓心

B.對(duì)著圓心入射的質(zhì)子，其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短

C.所有質(zhì)子都在磁場(chǎng)邊緣同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)

D.所有質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都相同

【答案】ACD

【解析】首先可以確定朝著圓心射入的質(zhì)子，其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供：Bqv=m?,

將速度代入，解得：r=R,那么由幾何關(guān)系知道該質(zhì)子最后沿著0C方向從0點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，

故A正確;再假設(shè)從任意點(diǎn)E水平射入的質(zhì)子,其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為D,由幾何知識(shí)可知四邊形DEOC

是菱形，所以DC=OE=R,所以從任意點(diǎn)水平入射的質(zhì)子也從。點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出，故C正確；質(zhì)子

在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的速率v相同，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡越長(zhǎng)，質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)著圓心入射的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)

軌跡不是最短，因此對(duì)著圓心入射的質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不是最短的，故B錯(cuò)誤；根據(jù)以上分析可知,

所有質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都相同，故D正確.

【巧學(xué)妙記】

分析方法

⑴數(shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合:如利用"矢量圖""邊界條件"等求臨

界值，利用"三角函數(shù)""不等式的性質(zhì)""一元二次方程的判別式”等

求極值。

⑵一個(gè)“解題流程"，突破臨界問題。

女一考向四、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題

類型1帶電粒子的電性不確定形成多解

如果粒子的電性不確定，帶電粒子可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。如圖所示，帶電粒子以速度V垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若帶正電，其軌跡

為a；若帶負(fù)電，其軌跡為b。

類型2磁場(chǎng)方向不確定形成多解

有些題目只知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而不知其方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向

不確定而形成的多解。

如圖所示，帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若B垂直紙面向里，其軌跡為a；若B垂直紙面

向外，其軌跡為b。

類型3臨界狀態(tài)不唯一形成多解

帶電粒子在洛倫茲力作用下在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過去,

也可能轉(zhuǎn)過180。從入射界面這邊反向飛出，從而形成多解，如圖所示。

類型4運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解

帶電粒子在組合場(chǎng)或交變場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有周期性，從而形成多解，如圖所示。

【典例7］（多選）（湖北省2022年普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試）8.在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬

度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，另一部分充滿方向垂直于紙

面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的

正離子，離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30。角。已知離子比荷為k,不計(jì)重力。若離子從P點(diǎn)射

出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為仇則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)0角的可能組合為（）

;XXXX;

；XXXX；

L*5

1

A.-kBL,0°B.|kBL,0°C.kBL,60°D.2kBL,60°

3

【答案】BC

【解析】若粒子通過下部分磁場(chǎng)直接到達(dá)P點(diǎn)，如圖

根據(jù)幾何關(guān)系則有R=L

v2

qvB-m—

R

可得v=-kBL

m

根據(jù)對(duì)稱性可知出射速度與SP成30。角向上，故出射方向與入射方向夾角為0=60。。

當(dāng)粒子上下均經(jīng)歷一次時(shí)，如圖

因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B,則根據(jù)對(duì)稱性有尺=,乙

2

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m~~

可得v="人=^kBL

2m2

此時(shí)出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為0=0。。

通過以上分析可知當(dāng)粒子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿足

_qBL1

v—7--------7——--------kBL（口=1,2,3）

2n-l.......

此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為0=60°；

當(dāng)粒子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿足丫=a=上?（n=l,2,3……）

2nmIn

此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為0=0%

故可知BC正確，AD錯(cuò)誤。

故選BC。

【典例8】（2022?東北三省四市教研聯(lián)合體4月模擬二）如圖所示,寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B,MM，和NN，是它的兩條邊界。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場(chǎng)射入。要使粒

子不能從邊界NN，射出，則粒子入射速率v的最大值可能是多少？

【答案】（2+陋）等（q為正電荷）或（2—也）嘿（q為負(fù)電荷）

【解析】題目中只給出粒子“電荷量為q”，未說明是帶哪種電荷，所以分情況討論。

若帶電粒子帶正電荷，當(dāng)粒子入射速率最大時(shí)，軌跡是圖中與NN相切的：圓弧，

則軌跡半徑R=^

Bq

又d=R—Rsin45。

抽汨2+V^Bqd

解得丫=---m------

3

若帶電粒子帶負(fù)電荷，當(dāng)粒子入射速率最大時(shí)，軌跡是圖中與NN相切的彳圓弧，

則軌跡半徑

Bq

又d=R'+R'sin45°

2—也Bqd

解得v'=

X

X

練習(xí)10、（2022?廣東省汕頭市高三二模）如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,頂點(diǎn)A處有一粒子源，粒

子源能沿/BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為m、帶電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒

子間的相互作用，則粒子能通過B點(diǎn)時(shí)發(fā)射的速率丫。為（）

A2qBL3qBL2qBLqBL

m2m3m7m

【答案】D

【解析】粒子帶正電，且經(jīng)過B點(diǎn)，其可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,

O1xX°2XXXXX

xx460xxx

X

XX

XX

XXXfixXxCx

所有圓弧所對(duì)圓心角均為60°,所以粒子運(yùn)動(dòng)半徑r=W（n=1,2,3,…），粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛

倫茲力提供向心力，有qvoB=mT",解得vo=*^=^^（n=1,2,3,…），故A、B、C錯(cuò)誤，D正確。

練習(xí)11、（多選X2022?北京市朝陽(yáng)區(qū)校際聯(lián)考）如圖所示，一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，且

范圍足夠大.紙面上M、N兩點(diǎn)之間的距離為d,一質(zhì)量為m的帶電粒子（不計(jì)重力）以水平速度vo從M點(diǎn)

垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后會(huì)經(jīng)過N點(diǎn)，已知M、N兩點(diǎn)連線與速度vo的方向成30。角.以下說法正確的是（）

xx

XX

XXX

A.粒子可能帶負(fù)電

B.粒子一定帶正電，電荷量為端

dD

C.粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間可能是二

3Vo

D.粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間可能是當(dāng)

3Vo

【答案】BCD