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文檔簡(jiǎn)介
考點(diǎn)31班場(chǎng)一帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1.通過實(shí)驗(yàn),認(rèn)識(shí)洛倫茲力。能判斷洛倫茲力的方向,會(huì)計(jì)算洛倫茲力的大
小。
新課程標(biāo)準(zhǔn)
2.能用洛倫茲力分析帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)。了解帶電粒子在勻
強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)及其應(yīng)用。
預(yù)測(cè)此后高考對(duì)本專題會(huì)結(jié)合最新科技及生活實(shí)際,根據(jù)左手定則考查考查
命題趨勢(shì)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型的構(gòu)建與應(yīng)用.以此培養(yǎng)學(xué)生的
物理觀念、科學(xué)思維及科學(xué)態(tài)度
/匕活實(shí)踐類生活和科技等
試題情境
學(xué)習(xí)探究類帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
考向一、對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用
考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
考向三、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題
考向四、“數(shù)學(xué)圓,,方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用
考向一、對(duì)洛倫茲力的理解和應(yīng)用
(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷速度方向和磁場(chǎng)方向確定的平面。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí),洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)用左手定則判斷洛倫茲力方向,但一定分清正、負(fù)電荷。
2.洛倫茲力與電場(chǎng)力
洛倫茲力電場(chǎng)力
V/)且V
產(chǎn)生條件電荷處在電場(chǎng)中
不與B平行
大小F=qvB(vJ_B)F=qE
力方向與一定是F,B,正電荷受力與電場(chǎng)方向相同,負(fù)
場(chǎng)方向的關(guān)系F±v電荷受力與電場(chǎng)方向相反
任何情況下可能做正功、負(fù)功,也可能不做
做功情況
都不做功功
作用效果只改變電荷的速度方向,既可以改變電荷的速度大小,也
不改變速度大小可以改變運(yùn)動(dòng)的方向
【典例11(2022年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試)7.如圖所示,一個(gè)立方體空間被對(duì)角平面MNPQ
劃分成兩個(gè)區(qū)域,兩區(qū)域分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)子以某一
速度從立方體左側(cè)垂直。yz平面進(jìn)入磁場(chǎng),并穿過兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域。下列關(guān)于質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡在不同坐標(biāo)平面
的投影中,可能正確的是()
【答案】A
【解析】AB.由題意知當(dāng)質(zhì)子射出后先在MN左側(cè)運(yùn)動(dòng),剛射出時(shí)根據(jù)左手定則可知在MN受到y(tǒng)軸正方
向的洛倫茲力,即在MN左側(cè)會(huì)向y軸正方向偏移,做勻速圓周運(yùn)動(dòng),y軸坐標(biāo)增大;在MN右側(cè)根據(jù)左
手定則可知洛倫茲力反向,質(zhì)子在y軸正方向上做減速運(yùn)動(dòng),故A正確,B錯(cuò)誤;
CD.根據(jù)左手定則可知質(zhì)子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都只受到平行于xOy平面的洛倫茲力作用,在z軸方向上沒
有運(yùn)動(dòng),z軸坐標(biāo)不變,故CD錯(cuò)誤。
故選Ao
【典例2】(2022貴陽(yáng)摸底)如圖所示,a、b兩根長(zhǎng)直導(dǎo)線垂直紙面放置,兩導(dǎo)線內(nèi)通有大小相等、方向相反
的電流,O點(diǎn)在紙面與導(dǎo)線平面的交線上且到兩導(dǎo)線距離相等,MN是過O點(diǎn)且垂直于導(dǎo)線平面的豎直線,
一個(gè)帶電粒子從M點(diǎn)以速度v沿MN方向運(yùn)動(dòng),粒子重力不計(jì),下列說法正確的是()
A.粒子沿MN方向先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)
B.粒子沿MN方向一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)
C.粒子偏向MN左側(cè)先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)
D.粒子偏向MN右側(cè)先做減速運(yùn)動(dòng)后做加速運(yùn)動(dòng)
【答案】B
【解析】根據(jù)右手螺旋定則和磁場(chǎng)疊加原理可知,兩通電直導(dǎo)線在直線MN上所產(chǎn)生的合磁場(chǎng)方向始
終沿MN方向,當(dāng)帶電粒子沿MN方向運(yùn)動(dòng)時(shí),其運(yùn)動(dòng)方向正好與合磁場(chǎng)方向平行,則帶電粒子不受洛倫
茲力作用,故粒子將一直做勻速直線運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)B正確.
練習(xí)1、(202。浙江省1月高中學(xué)業(yè)水平考試)下列表示運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中所受洛倫茲力的方向正確的是
()
?一夕?F?
B?2
D
【答案】D
【解析】A圖和B圖中v〃:B,所以電荷所受洛倫茲力為零,選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;根據(jù)左手定則可知,C圖中
電荷所受洛倫茲力方向向上,D圖中電荷所受洛倫茲力方向向右,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D正確。
練習(xí)2、(2022?大連模擬)真空中豎直放置一通電長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線,俯視圖如圖所示。以導(dǎo)線為圓心作圓,光滑絕
緣管ab水平放置,兩端恰好落在圓周上。半徑略小于絕緣管半徑的帶正電小球自a端以速度vo向b端運(yùn)動(dòng)
過程中,下列說法正確的是()
A.小球先加速后減速
B.小球受到的洛倫茲力始終為零
C.小球在ab中點(diǎn)受到的洛倫茲力為零
D.小球受到洛倫茲力時(shí),洛倫茲力方向豎直向外
【答案】C
【解析】根據(jù)安培定則可知,直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁感線如圖中虛線所示,
洛倫茲力始終與小球運(yùn)動(dòng)方向垂直,故不做功,小球速率不變,A錯(cuò)誤;當(dāng)運(yùn)動(dòng)到ab中點(diǎn)時(shí),磁感線
與速度方向平行,所受洛倫茲力為零,自a端到中點(diǎn)洛倫茲力豎直向下,中點(diǎn)至b端洛倫茲力豎直向上,B、
D錯(cuò)誤,C正確。
【巧學(xué)妙記】
1.洛倫茲力的特點(diǎn)
(1)利用左手定則判斷洛倫茲力的方向,注意區(qū)分正、負(fù)電荷。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí),洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中不一定受洛倫茲力作用。
(4)洛倫茲力永不做功。
人—一'■考向二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
1.確定圓心
方法一若已知粒子軌跡上的兩點(diǎn)的速度方向,則可根據(jù)洛倫茲力F±v,分別確定兩點(diǎn)處洛倫茲力F
的方向,其交點(diǎn)即為圓心,如圖甲。
方法二若已知粒子運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)和其中某一點(diǎn)的速度方向,則可作出此兩點(diǎn)的連線(即過這兩點(diǎn)
的圓弧的弦)的中垂線,中垂線與過已知點(diǎn)速度方向的垂線的交點(diǎn)即為圓心,如圖乙。
2.確定半徑
。力?(偏向角)
利用平面幾何關(guān)系,求出該圓的可能半徑(或圓心角),求解時(shí)注意以下幾何特點(diǎn):
粒子速度的偏向角(cp)等于圓心角(a),并等于AB弦與切線的夾角(弦切角0)的2倍(如圖),即。=a=20
=COto
3.求解時(shí)間
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為a時(shí),其運(yùn)動(dòng)時(shí)間可由下式表
示:
a
t=------為弧長(zhǎng))。
360°
4.運(yùn)動(dòng)軌跡
(1)直線邊界(進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性,如圖所示)。
直線邊界,粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
T1tm
t=5=^
圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
(._9>(.0>2nm2m(Ji—0)
圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=±r=碧
Jiqt)
(2)平行邊界磁場(chǎng)
帶電粒子在平行邊界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑R與平行邊界距離d之間的關(guān)系如圖所示.
d=7?](l-cos0)
d=2R2d=Rsin0d=H(l+cos0)(/=i?(l-cos0)
甲乙丙丁
(3)圓形邊界磁場(chǎng)
沿徑向射入圓形磁場(chǎng)的粒子必沿徑向射出,運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)
R
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑「=布?xì)?/p>
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間1=含7=錯(cuò)^,0+a=90°
O)
(4)三角形邊界的磁場(chǎng)
帶電粒子在三角形邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)常常涉及臨界問題。如圖所示,正AABC區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng),
某正粒子垂直于AB方向從D點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),粒子有如下兩種可能的臨界軌跡:
(1)粒子能從AB邊射出的臨界軌跡如圖甲所示。
(2)粒子能從AC邊射出的臨界軌跡如圖乙所示。
(5)矩形邊界的磁場(chǎng)
帶電粒子在矩形(正方形)邊界的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),可能會(huì)涉及與邊界相切、相交等臨界問題,如圖所示。
【典例3】(多選)(2022年遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試)8.粒子物理研究中使用的一種球狀探測(cè)
裝置橫截面的簡(jiǎn)化模型如圖所示。內(nèi)圓區(qū)域有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),外圓是探測(cè)器。兩個(gè)粒子先后從P
點(diǎn)沿徑向射入磁場(chǎng),粒子1沿直線通過磁場(chǎng)區(qū)域后打在探測(cè)器上的M點(diǎn)。粒子2經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后打在探測(cè)器
上的N點(diǎn)。裝置內(nèi)部為真空狀態(tài),忽略粒子重力及粒子間相互作用力。下列說法正確的是()
A.粒子1可能為中子
B.粒子2可能為電子
C.若增大磁感應(yīng)強(qiáng)度,粒子1可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)
D.若增大粒子入射速度,粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)
【答案】AD
【解析】AB.由題圖可看出粒子1沒有偏轉(zhuǎn),說明粒子1不帶電,則粒子1可能為中子;粒子2向上偏轉(zhuǎn),
根據(jù)左手定則可知粒子2應(yīng)該帶正電,A正確、B錯(cuò)誤;
C.由以上分析可知粒子1為中子,則無論如何增大磁感應(yīng)強(qiáng)度,粒子1都不會(huì)偏轉(zhuǎn),C錯(cuò)誤;
D.粒子2在磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力有/3=機(jī)匚
r
mv
解得「=行可知若增大粒子入射速度’則粒子2的半徑增大’粒子2可能打在探測(cè)器上的Q點(diǎn)',D正確。
故選AD。
【典例4](2022年6月浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試)22.離子速度分析器截面圖如圖所示。半徑
為R的空心轉(zhuǎn)筒P,可繞過。點(diǎn)、垂直xOy平面(紙面)的中心軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(角速度大小可調(diào)),其
上有一小孔S。整個(gè)轉(zhuǎn)筒內(nèi)部存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。轉(zhuǎn)筒下方有一與其共軸的半圓柱面探測(cè)板
Q,板Q與y軸交于A點(diǎn)。離子源M能沿著x軸射出質(zhì)量為m、電荷量為-q(q>0)>速度大小不同的離
子,其中速度大小為vo的離子進(jìn)入轉(zhuǎn)筒,經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好沿y軸負(fù)方向離開磁場(chǎng)。落在接地的筒壁或探
測(cè)板上的離子被吸收且失去所帶電荷,不計(jì)離子的重力和離子間的相互作用。
(1)①求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小;
②若速度大小為vo的離子能打在板Q的A處,求轉(zhuǎn)筒P角速度(0的大小;
(2)較長(zhǎng)時(shí)間后,轉(zhuǎn)筒P每轉(zhuǎn)一周有N個(gè)離子打在板Q的C處,OC與x軸負(fù)方向的夾角為0,求轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)
動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi),C處受到平均沖力F的大小;
6v
(3)若轉(zhuǎn)筒P的角速度小于口,且A處探測(cè)到離子,求板Q上能探測(cè)到離子的其他0,的值(&為探測(cè)點(diǎn)
R
位置和O點(diǎn)連線與x軸負(fù)方向的夾角)。
邕工遐M
【答案】⑴①八%‘②。=*+吸,k=。,1,2,3…;⑵F=器**號(hào).。,
1,2,...;(3)0'=—71,—71
66
【解析】(1)①離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)有“%5=誓
則武嗯
qR
7lR
②離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=-
2%
jr
轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度狽=2E+2
2
co—(4Z^+1)fk=0,1,2,3...
(2)設(shè)速度大小為v離子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R',有R=Htan—
2
e
v—tan^
R
離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間「=(兀-。)一
V。
轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度co't'=2mr+0
轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速,度(2小〃兀音+0)節(jié)v
nn=0,1,2,.
動(dòng)量定理廠&=Nmv
a!
廠(2nji+0)Nmv10
F=--------------Stan—,n=0,1,2,.
2(兀一8)兀R2
(4左+l)v(2/771+O'}v6yo
(3)轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1―產(chǎn)n0
K
,,八,5一2〃
其中k=1,0—-----71,n=0,2
6
可得夕=』7r
6
練習(xí)3、(2020?全國(guó)I卷)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線所示,
ab為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子,
在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng),這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)
間最長(zhǎng)的粒子,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()
b
771m-5兀m
A?麗B.麗
-471m—371m
r------D------
J3qB2qB
【答案】c
【解析】粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)qBv=甲,1=甲,可得粒子在磁場(chǎng)中的周期T=鬻,粒子在磁
AAm
場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=^-T=黑,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無關(guān),軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間
越長(zhǎng).采用放縮圓解決該問題,粒子垂直ac射入磁場(chǎng),則軌跡圓心必在ac直線上,將粒子的軌跡半徑由零
逐漸放大.當(dāng)半徑E0.5R和它1.5R時(shí),粒子分別從ac、bd區(qū)域射出,磁場(chǎng)中的軌跡為半圓,運(yùn)動(dòng)時(shí)間等
于半個(gè)周期.當(dāng)0.5R<r<1.5R時(shí),粒子從半圓邊界射出,逐漸將軌跡半徑從0.5R逐漸放大,粒子射出位置
從半圓頂端向下移動(dòng),軌跡圓心角從兀逐漸增大,當(dāng)軌跡半徑為R時(shí),軌跡圓心角最大,然后再增大軌跡
半徑,軌跡圓心角減小,因此當(dāng)軌跡半徑等于R時(shí)軌跡圓心角最大,即軌跡對(duì)應(yīng)的最大圓心角9=兀+號(hào)=*,
4
粒子運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為1=殳=今箸=器故選C.
練習(xí)4.(2022湖北荊門調(diào)考)如圖所示,在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,在
xOy平面內(nèi),從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成0角(0<9<兀)、以速率v發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子(重力不計(jì)),則
下列說法正確的是()
A.若。一定,v越大,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短
B.若。一定,v越大,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的角速度越大
C.若v一定,。越大,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短
D.若v一定,0越大,則粒子在離開磁場(chǎng)的位置距0點(diǎn)越遠(yuǎn)
【答案】C
【解析】粒子運(yùn)動(dòng)周期丁=魯,當(dāng)e—定時(shí),粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=?=^T,s2兀
'亍'
由于t、co均與V無關(guān),故A、B錯(cuò)誤.當(dāng)V一定時(shí),由「=翟知,r一定,當(dāng)0從0變至與的過程中,9越
0qz
大,粒子離開磁場(chǎng)的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn);當(dāng)0大于齊寸,0越大,粒子離開磁場(chǎng)的位置距O點(diǎn)越近,故D錯(cuò)誤.故
選c.
【巧學(xué)妙記】
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問題
1.解題關(guān)鍵點(diǎn)
⑴關(guān)注題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等關(guān)鍵
詞語(yǔ),作為解題的切入點(diǎn)。
(2)關(guān)注涉及臨界點(diǎn)條件的幾個(gè)結(jié)論
①粒子剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的
軌跡與邊界相切。
工我一一*3=^考向三、“數(shù)學(xué)圓”方法在電磁學(xué)中的應(yīng)用
題型一“平移圓”模型
粒子源發(fā)射速度大小、方向一定,入射點(diǎn)不同但在同一直線上
的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí),它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
相同,若入射速度大小為則半徑如圖所示
適用條件V0,R—
111
軌跡圓圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上,該直
心共線線與入射點(diǎn)的連線平行
將半徑為R—%°的圓進(jìn)行平移,從而探索粒子的臨界條件,這
界定方法
種方法叫“平移圓”法
題型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型
粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)
磁場(chǎng)時(shí),它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,若入射初
適用條件
速度大小為V0,則圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為R—個(gè)凸,如圖所示
P
如圖,帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P
為圓心、半徑R一戰(zhàn)的圓上
Xxxx
軌跡圓圓
XX/XXQXXXX
心共圓
XX\xJ./X
XXXX
將半徑為R一15°的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),從而探索出
界定方法
臨界條件,這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法
題型三“放縮圓”模型
粒子源發(fā)射速度方向一定,大小不同的同種帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)
適用條件磁場(chǎng)時(shí),這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨
速度的變化而變化
如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景),速度V越大,運(yùn)動(dòng)
半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后,它們運(yùn)動(dòng)軌
跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP,上
XXXXXX
軌跡圓圓心共線P'
XX
x:/x至4\x
XXXXXX
以入射點(diǎn)P為定點(diǎn),圓心位于PP,直線上,將半徑放縮作軌跡圓,
界定方法
從而探索出臨界條件,這種方法稱為“放縮圓”法
題型四“磁聚焦”模型
1.帶電粒子的會(huì)聚
如圖甲所示,大量同種帶正電的粒子,速度大小相同,平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域,如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)
圓半徑相等(R=r),則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出.(會(huì)聚)
證明:四邊形OAOB為菱形,必是平行四邊形,對(duì)邊平行,OB必平行于AO,(即豎直方向),可知從A點(diǎn)
發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn).
2.帶電粒子的發(fā)散
如圖乙所示,有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓心為O,從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子,
以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng),不計(jì)粒子的重力,如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)
半徑相等,則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行.(發(fā)散)
證明:所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形,也是平行四邊形,OiA、
O2B>03c均平行于PO,即出射速度方向相同(即水平方向).
【典例5】(2020?全國(guó)卷m,18)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面,
磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行,其橫截面如圖7所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知
電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi),磁場(chǎng)的磁感
應(yīng)強(qiáng)度最小為()
A3mv-mv
B.一
A?京ae
r3mv-3mv
Jae
【答案】C
【解析】為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi),電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
最大時(shí)軌跡如圖所示,設(shè)其軌跡半徑為r,圓心為M,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B,由幾何關(guān)系有后存+
r=3a,解得r=ga,電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有evB=mE,解得B=鬻,選項(xiàng)C正確。
j1qae
【典例6](多選)(2021?海南高考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系Oxy的第一象限內(nèi),存在垂直紙面向外的勻
強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。大量質(zhì)量為m、電量為q的相同粒子從y軸上的P(0,小L)點(diǎn),以相同的速
率在紙面內(nèi)沿不同方向先后射入磁場(chǎng),設(shè)入射速度方向與y軸正方向的夾角為a(0WaW180。)。當(dāng)式=150。時(shí),
粒子垂直x軸離開磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力。則()
A.粒子一定帶正電
B.當(dāng)a=45。時(shí),粒子也垂直x軸離開磁場(chǎng)
C.粒子入射速率為叫地
D.粒子離開磁場(chǎng)的位置到O點(diǎn)的最大距離為3小L
【答案】ACD
【解析】根據(jù)題意可知粒子垂直x軸離開磁場(chǎng),根據(jù)左手定則可知粒子帶正電,A正確;當(dāng)a=150。時(shí),粒
子垂直x軸離開磁場(chǎng),運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲,
2BL
粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r=需全=26L,洛倫茲力提供向心力qvB=mv,解得粒子入射速率V=^O
UU1111
若a=45。,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙,根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子離開磁場(chǎng)時(shí)與x軸不垂直,B錯(cuò)誤,C正確;粒
子離開磁場(chǎng)的位置距離O點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí),粒子在磁場(chǎng)中的軌跡為半圓,如圖丙,根據(jù)幾何關(guān)系可知(2r)2=(小L)2
2
+xm,解得Xm=34L,D正確。
練習(xí)5.(2022?山東省青島市高三下二模)如圖所示,豎直放置的半環(huán)狀A(yù)BCD區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)
方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T.外環(huán)的半徑Ri=16cm,內(nèi)環(huán)的半徑R2=4cm,外環(huán)和
內(nèi)環(huán)的圓心為O,沿0D放置有照相底片.有一線狀粒子源放在AB正下方(圖中未畫出),不斷放出初速度
大小均為vo=1,6x106m/s,方向垂直AB和磁場(chǎng)的相同粒子,粒子經(jīng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),最后打到照相底片上,經(jīng)
檢驗(yàn)底片上僅有CD區(qū)域均被粒子打到.不考慮粒子間的相互作用,粒子重力忽略不計(jì),假設(shè)打到磁場(chǎng)邊界
的粒子被吸收.
p
(2)求粒子的比荷V;
(3)若照相底片沿0P放置,求底片上被粒子打到的區(qū)域的長(zhǎng)度.
[解析](1)由左手定則可知,粒子帶正電.
(2)如圖所示,設(shè)粒子的質(zhì)量為m,帶電荷量為q,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,依題意有2R
=RI+R2,R=10cm
由牛頓第二定律qvoBn1^
代入數(shù)據(jù)解得$3.2x107c/kg
(3)若照相底片沿OP放置,則底片上被粒子打到的區(qū)域長(zhǎng)度為MN的長(zhǎng)度,如圖所示,在AOiOM中,
由幾何關(guān)系有OM2=R2—(R—R2)2,解得OM=8cm
MN=R-OM,聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得MN=2cm
練習(xí)6.(2022?北京市豐臺(tái)區(qū)高三上期末)如圖所示,ABCD與MNQP均為邊長(zhǎng)為1的正方形區(qū)域,且A點(diǎn)為
MN的中點(diǎn).ABCD區(qū)域中存在有界的垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng),在整個(gè)MNQP區(qū)域中存在圖示方向的勻
強(qiáng)電場(chǎng).質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為vo的初速度垂直于BC射入正方形ABCD區(qū)域,且都從A
點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng),已知從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子在ABCD區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)始終位于磁場(chǎng)中,不計(jì)電子重力,求:
(1)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向;
(2)要使所有粒子均能打在PQ邊上,電場(chǎng)強(qiáng)度E至少為多大;
(3)ABCD區(qū)域中磁場(chǎng)面積的最小值是多少.
[解析](1)由洛倫磁力提供向心力可得ev0B=-^
由題意則有r=l
解得B=詈,方向?yàn)榇怪奔埫嫦蛲?/p>
(2)沿AN方向進(jìn)入電場(chǎng)的粒子能打在PQ邊上則所有粒子都能打在PQ邊上,在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)
動(dòng),則有eE=ma
1=到2
(3)圖中陰影部分為磁場(chǎng)最小范圍,由幾何關(guān)系可知
Smin=2X
練習(xí)7、(多選)(2022?湖北省武漢市第二中學(xué)高三上模擬)如圖所示,直角三角形邊界ABC內(nèi)存在垂直于紙面
向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,AC長(zhǎng)為2L,AB長(zhǎng)為L(zhǎng)。從AC的中點(diǎn)D連續(xù)發(fā)射不同速率的相同粒
子,方向與AC垂直,粒子帶正電,電荷量為q,質(zhì)量為m,不計(jì)粒子重力與粒子間的相互作用,下列判斷
正確的是()
A.以不同速率入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定不等
B.BC邊上有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度不超過坐L
C.AB邊上有粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度為(小一1)L
D.從AB邊出射的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為器
【答案】BC
【解析】若不同速率入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)都從AC邊射出,則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等,A錯(cuò)誤;如圖甲,
當(dāng)粒子的速度無窮大時(shí)可認(rèn)為粒子不發(fā)生偏轉(zhuǎn)從E點(diǎn)射出,從BC邊上有粒子出射的區(qū)域在BE部分,由幾
何關(guān)系知長(zhǎng)度不超過Ltan30。=坐L,B正確;
由圖乙可知,AB邊上有粒子出射的區(qū)域?yàn)锽F之間,由幾何關(guān)系可知:六=為工,解得r=(2小一3)L,
則BF=L—嬴R=(小一1)L,C正確;從AB邊上出射的粒子在B點(diǎn)射出時(shí)時(shí)間最短,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)
軌跡所對(duì)的圓心角為60。,則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為t=J=^,D錯(cuò)誤。
練習(xí)8、(2022陜西西安八校聯(lián)考)如圖所示,半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感
應(yīng)強(qiáng)度大小為B,磁場(chǎng)邊界上A點(diǎn)有一粒子源,源源不斷地向磁場(chǎng)發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小
相等的帶正電的粒子(重力及粒子間的相互作用不計(jì)),已知粒子的比荷為k,速度大小為2kBr,則粒子在磁
場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()
A
/XX▼XX\
/XXXX?
\XXXX!
\XXXX/'
AkBB-2kB
兀兀
C3kBD.4kB
【答案】C
【解析】粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R=^=鬻=2r,周期為T=鬻虛,當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)
間最長(zhǎng)時(shí),其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大,此時(shí)弦長(zhǎng)最大,弦長(zhǎng)最大值為磁場(chǎng)區(qū)域圓的直徑2r,根據(jù)幾何關(guān)系
T兀
可得軌跡所對(duì)圓心角為60。,故tmax=%=菽,選項(xiàng)C正確.
練習(xí)9.(多選)(2022?山東省日照市高三下二模)如圖所示,紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向
外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一束質(zhì)子在紙面內(nèi)以相同的速度射向磁場(chǎng)區(qū)域,質(zhì)子的電荷量為q,
質(zhì)量為m,速度為v=喈,則以下說法正確的是()
A.對(duì)著圓心入射的質(zhì)子,其出射方向的反向延長(zhǎng)線一定過圓心
B.對(duì)著圓心入射的質(zhì)子,其在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短
C.所有質(zhì)子都在磁場(chǎng)邊緣同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)
D.所有質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都相同
【答案】ACD
【解析】首先可以確定朝著圓心射入的質(zhì)子,其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供:Bqv=m?,
將速度代入,解得:r=R,那么由幾何關(guān)系知道該質(zhì)子最后沿著0C方向從0點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出磁場(chǎng),
故A正確;再假設(shè)從任意點(diǎn)E水平射入的質(zhì)子,其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為D,由幾何知識(shí)可知四邊形DEOC
是菱形,所以DC=OE=R,所以從任意點(diǎn)水平入射的質(zhì)子也從。點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出,故C正確;質(zhì)子
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的速率v相同,質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡越長(zhǎng),質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng),對(duì)著圓心入射的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)
軌跡不是最短,因此對(duì)著圓心入射的質(zhì)子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不是最短的,故B錯(cuò)誤;根據(jù)以上分析可知,
所有質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都相同,故D正確.
【巧學(xué)妙記】
分析方法
⑴數(shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合:如利用"矢量圖""邊界條件"等求臨
界值,利用"三角函數(shù)""不等式的性質(zhì)""一元二次方程的判別式”等
求極值。
⑵一個(gè)“解題流程",突破臨界問題。
女一考向四、帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問題
類型1帶電粒子的電性不確定形成多解
如果粒子的電性不確定,帶電粒子可能帶正電荷,也可能帶負(fù)電荷,在相同的初速度下,正、負(fù)粒子
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同,形成多解。如圖所示,帶電粒子以速度V垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),若帶正電,其軌跡
為a;若帶負(fù)電,其軌跡為b。
類型2磁場(chǎng)方向不確定形成多解
有些題目只知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,而不知其方向,此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向
不確定而形成的多解。
如圖所示,帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng),若B垂直紙面向里,其軌跡為a;若B垂直紙面
向外,其軌跡為b。
類型3臨界狀態(tài)不唯一形成多解
帶電粒子在洛倫茲力作用下在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀,因此,它可能穿過去,
也可能轉(zhuǎn)過180。從入射界面這邊反向飛出,從而形成多解,如圖所示。
類型4運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解
帶電粒子在組合場(chǎng)或交變場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)往往具有周期性,從而形成多解,如圖所示。
【典例7](多選)(湖北省2022年普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試)8.在如圖所示的平面內(nèi),分界線SP將寬
度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分,一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),另一部分充滿方向垂直于紙
面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的
正離子,離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30。角。已知離子比荷為k,不計(jì)重力。若離子從P點(diǎn)射
出,設(shè)出射方向與入射方向的夾角為仇則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)0角的可能組合為()
;XXXX;
;XXXX;
L*5
1
A.-kBL,0°B.|kBL,0°C.kBL,60°D.2kBL,60°
3
【答案】BC
【解析】若粒子通過下部分磁場(chǎng)直接到達(dá)P點(diǎn),如圖
根據(jù)幾何關(guān)系則有R=L
v2
qvB-m—
R
可得v=-kBL
m
根據(jù)對(duì)稱性可知出射速度與SP成30。角向上,故出射方向與入射方向夾角為0=60。。
當(dāng)粒子上下均經(jīng)歷一次時(shí),如圖
因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B,則根據(jù)對(duì)稱性有尺=,乙
2
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m~~
可得v="人=^kBL
2m2
此時(shí)出射方向與入射方向相同,即出射方向與入射方向的夾角為0=0。。
通過以上分析可知當(dāng)粒子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí),需滿足
_qBL1
v—7--------7——--------kBL(口=1,2,3)
2n-l.......
此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為0=60°;
當(dāng)粒子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí),需滿足丫=a=上?(n=l,2,3……)
2nmIn
此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為0=0%
故可知BC正確,AD錯(cuò)誤。
故選BC。
【典例8】(2022?東北三省四市教研聯(lián)合體4月模擬二)如圖所示,寬度為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為
B,MM,和NN,是它的兩條邊界。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子沿圖示方向垂直磁場(chǎng)射入。要使粒
子不能從邊界NN,射出,則粒子入射速率v的最大值可能是多少?
【答案】(2+陋)等(q為正電荷)或(2—也)嘿(q為負(fù)電荷)
【解析】題目中只給出粒子“電荷量為q”,未說明是帶哪種電荷,所以分情況討論。
若帶電粒子帶正電荷,當(dāng)粒子入射速率最大時(shí),軌跡是圖中與NN相切的:圓弧,
則軌跡半徑R=^
Bq
又d=R—Rsin45。
抽汨2+V^Bqd
解得丫=---m------
3
若帶電粒子帶負(fù)電荷,當(dāng)粒子入射速率最大時(shí),軌跡是圖中與NN相切的彳圓弧,
則軌跡半徑
Bq
又d=R'+R'sin45°
2—也Bqd
解得v'=
X
X
練習(xí)10、(2022?廣東省汕頭市高三二模)如圖所示,邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的
勻強(qiáng)磁場(chǎng),三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外,兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,頂點(diǎn)A處有一粒子源,粒
子源能沿/BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、帶電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒
子間的相互作用,則粒子能通過B點(diǎn)時(shí)發(fā)射的速率丫。為()
A2qBL3qBL2qBLqBL
m2m3m7m
【答案】D
【解析】粒子帶正電,且經(jīng)過B點(diǎn),其可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,
O1xX°2XXXXX
xx460xxx
X
XX
XX
XXXfixXxCx
所有圓弧所對(duì)圓心角均為60°,所以粒子運(yùn)動(dòng)半徑r=W(n=1,2,3,…),粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng),洛
倫茲力提供向心力,有qvoB=mT",解得vo=*^=^^(n=1,2,3,…),故A、B、C錯(cuò)誤,D正確。
練習(xí)11、(多選X2022?北京市朝陽(yáng)區(qū)校際聯(lián)考)如圖所示,一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里,且
范圍足夠大.紙面上M、N兩點(diǎn)之間的距離為d,一質(zhì)量為m的帶電粒子(不計(jì)重力)以水平速度vo從M點(diǎn)
垂直進(jìn)入磁場(chǎng)后會(huì)經(jīng)過N點(diǎn),已知M、N兩點(diǎn)連線與速度vo的方向成30。角.以下說法正確的是()
xx
XX
XXX
A.粒子可能帶負(fù)電
B.粒子一定帶正電,電荷量為端
dD
C.粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間可能是二
3Vo
D.粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的時(shí)間可能是當(dāng)
3Vo
【答案】BCD
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