專題17等腰三角形的核心知識點(diǎn)精講

O復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定.

2.了解等邊三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)及判定.

3.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)及判定.

O考點(diǎn)植理O

考點(diǎn)1:等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形的兩個底角度數(shù)相等

2.|等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡

性質(zhì)

寫成“等腰三角形三線合一”）

3,等腰三角形是軸對稱圖形，有2條對稱軸

1,有兩條邊相等的三角形的等腰三角形

判定

2,有兩個角相等的三角形是等腰三角形

S=!ah,其中a是底邊常，hs是底邊上的高

面積公式

2

考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判定

1.三條邊相等

2,三個內(nèi)角相等，且每個內(nèi)角都等于60°

性質(zhì)3.等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸企

a

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形

2.三個角相等的三角形是等邊三角形

判定

3,有一個角的是60°的等腰三角形是等邊三角形

面積公式5=lah=—是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高

24u

考點(diǎn)3：線段垂直平分線

(1)線段垂直平分線的作圖

1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于工42的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn);

2

2.作直線CD,CD為所求直線

(2)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.

(3)判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

典例引領(lǐng)

【題型1：等腰三角形的性質(zhì)和判定】

【典例1】(2024?江蘇南通?中考真題)綜合與實(shí)踐：九年級某學(xué)習(xí)小組圍繞"三角形的角平分線”開展主題學(xué)

習(xí)活動.

【特例探究】

(1)如圖①，②，③是三個等腰三角形(相關(guān)條件見圖中標(biāo)注)，列表分析兩腰之和與兩腰之積.

等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表

圖序角平分線4。的長NB2D的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積

圖①160°244

圖②145°2V22

圖③

130°———

請補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想.

已知△4BC的角平分線AD=1,AB=AC,ABAD=a,用含a的等式寫出兩腰之和48+4C與兩腰之積

力47之間的數(shù)量關(guān)系：.

【變式思考】

(2)已知△48C的角平分線4。=1,ABAC=60°,用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積48?AC之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析；*車=2cosa,(2)AB+AC=^AB-AC,證明見解析；(3)焉+焉是定值

Atf-ALDMDIN

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值分別計算，再填表即可；再由43=4。=照=高可得結(jié)論；

(2)如圖，延長至E使4E=2C,連接CE,過B作BHLCE于H,延長4。交CE于F,證明aACE為等

邊三角形，AF1CE,^EAF=ACAF=30°,設(shè)AC=AE=CE=2x,EH=a,利用相似三角形的性質(zhì)求

解@二2"一2x,再進(jìn)一步可得48+ac=?48-ac；

2V3x-l

【詳解】解：(1)-^BAD=^CAD=30°,ZO是△ABC的角平分線，AD=1,

：.AD1BC,

MB+AC=迪，AB-AC=~

33

圖序角平分線4。的長N8AD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積

圖①160°244

圖②145°五2V22

130°2V34V34

圖③

—3

如圖，由(1)可得：ADLBC,

A

A

AC八仆AD1

-'-AB=AC=^=^

21

-.AB+AC=—,AB-AC=—r^

cosacosa

AB+AC「

---AB-AC=2COSa-'

(2)猜想：AB+AC=43AB-AC,理由如下：

如圖，延長AB至E使力E=AC,連接CE,過B作B”1CE于H,延長40交CE于尸,

A

F——_ri__cl_____(

HF

?"ZC=60。，ZD平分/BZC,

??.△ACE為等邊三角形，AFICE,AEAF=^CAF=30°f

設(shè)4C=AE=CE=2%,EH=a,

：.CF=EF=x,AF=V3x,而/。=1,

：.DF=百%-1,

-BHICE,AF1CE,

：.BH\\AF,

o八

.'.2LEBH=^EAF=30f4CDFCBH,

；.BE=2a,EH=Sa,

?；ACDF~4CBH,

DF_CF國一1x

即

麗—俞V3a2/一Q'

2^3X2-2X

解得:a=/—

2V3x-l

2怎2—2支4怎

：.AB+AC=4x-2a=4x-

2V3x-l2V3x-l

AB-AC=2x(2x-2d)=4x2-4ax=

：.AB^AC=yf3AB-AC；

即時檢測

1.（2023?海南?中考真題）如圖，一艘輪船在4處測得燈塔M位于4的北偏東30。方向上，輪船沿著正北方向航

行20海里到達(dá)8處，測得燈塔M位于8的北偏東60。方向上，測得港口C位于B的北偏東45。方向上.已知

港口C在燈塔M的正北方向上.

（1）填空：N4MB=_度，NBCM=_度；

⑵求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號）;

⑶求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號）.

【答案】⑴30,45

（2）燈塔M到輪船航線的距離為10西海里

⑶港口C與燈塔M的距離為10（百—1）海里

【分析】（1）作交于。，作ME12B交于E,由三角形外角的定義與性質(zhì)可得

乙4MB=30。，再由平行線的性質(zhì)可得N8CM=45。，即可得解；

（2）作CD1AB交AB于D，作ME1AB交AB于E,由（1）可得:乙4=4BMA=30°,從而得到BM=AB=20

海里，再由EM=8M-sinNE8M進(jìn)行計算即可；

（3）作CD14B交2B于D,作ME14B交2B于E,證明四邊形CDEM是矩形，得到CO=EM=10西海

里，DE=CM,由=計算出BE的長度，證明△CDB是等腰直角三角形，得到

CD=BD=1。百海里，即可得到答案.

【詳解】（1）解：如圖，作CD1AB交4B于。，作ME14B交于E,

60

45>

乙DBM=NA+AAMB=30°+^AMB=60°,

.-.AAMB=30°,

■■AB.CM都是正北方向,

.■.AB||CM,

???NDBC=45°,

??.ZBCM=45°,

故答案為：30,45；

（2）解：如圖，作CD1AB交于。，作ME1AB交4B于E,

由（1）可得：ZTI=Z.BMA=30°,

BM=4B=20海里,

在口△BEM中，NEBM=60。，BM=20海里,

???EM=BM-sin^EBM=20Xsin60°=20x毋=10百海里;

二燈塔M到輪船航線2B的距離為10西海里；

(3)解：如圖，作CD14B交2B于。，作ME1AB交力B于E,

CDLAB,MELAB,AB、CM都是正北方向,

四邊形CDEM是矩形,

CD=EM=10西海里，DE=CM,

在中，Z￡BM=6O°,BM=20海里，

BE=BM-COSNEBM=20xcos60°=20x巳=10海里,

,在RtZkCDB中，ZDBC=45°,

??.△CDB是等腰直角三角形，

。。=3。=10西海里，

CM=DE=BD-BE=10?-10=10（西—1）海里，

港口C與燈塔M的距離為10（西一1）海里.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義

與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?江蘇常州?中考真題)如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點(diǎn)，AC,DE相交于點(diǎn)G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

⑴求證：AGEC是等腰三角形；

(2)連接力D,則4。與/的位置關(guān)系是.

【答案】(1)見解析

(2)AD||I

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：

(1)證明△NBC三△DFE,得至IjNACB=NDEF,即可得證；

(2)根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得AG=DG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得至1此乙4。=乙4CB,即可得出

結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在△ABC和△DFE中

(AB=DF

\AC=DE,

(BC=EF

■,AABC=ADFE,

.■./-ACB=/-DEF,

.?.EG—CG,

??.△GEC是等腰三角形；

(2)-AC=DE,EG=CG,

：.AC-CG=DE-EG,

.\AG=DG,

-/-GAD=4GDZ=1(18()O_N4G0)，

1

''^ACE=乙DEF=5(180。一NCGE)，

'：Z.AGD=Z.EGC,

：.Z.CAD=Z.ACB,

：.AD||I.

3.(2024?四川?中考真題)如圖，在四邊形ZBCD中，=90。，連接BD,過點(diǎn)C作CE14B,垂足為E,CE

交BD于點(diǎn)F,Z1=ZX5C.

⑴求證：N2=N3；

(2)若44=45。.

①請判斷線段BC,BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若BC=13,AD=5,求EF的長.

【答案】①見解析

(2)@BC=BD,理由見解析；②EF=f|

【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)由余角的性質(zhì)可得41+43=90。，N2+N4BC=90。，根據(jù)Nl=/ABC,可得N2=N3；

(2)①設(shè)N2=N3=x,可求NBFE=90°—x=ADFC,可求48C。=ABDC=45。+*,根據(jù)等腰三角

形的判定可得BC=BD；

②由勾股定理可求28=12,由"AAS"可證△ADB三△E8C,可得BE=4D=5,通過證明

△EFBsaADB,可得黑=黑，即可求解.

AD/ID

【詳解】(1)證明：vCElABf

???"EB=90°=〃，

zl+Z3=90°,N2+N/BC=90。，

???41=Z.ABC,

???Z.2=Z3；

(2)解：①BC=BD,理由如下：

設(shè)z_2=z3=x9

???Z-BFE=90。一%=Z-DFC,

???z4=45°,

???乙CDB=180°-45°-(90°-x)=45°+%,

Z-BCD=z_4+z_2=45°+x,

???Z-BCD=Z.BDC,

BC=BD；

@-：BC=BD=13,AD=5,

???AB=Y/BD2-AD2=V169-25=12,

vBC=BD,Z.A=Z.CEB,z2=z3,

??.△ADB=△EBC(AAS)，

BE=AD=5,

Z-A=乙CEB,z3=z.3,

??.△EFB?AADB,

.EF_BE

,?~AD~'AB"

EF_5

512’

25

???EF=

G弓典例引領(lǐng)

【題型2：等邊三角形的性質(zhì)和判定】

【典例2】(2022?黑龍江?中考真題)△4BC和△4DE都是等邊三角形.

(1)將繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接2D,CE并延長相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸與點(diǎn)/重合)，有

PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立；請證明.

(2)將△ADE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接2D,CE相交于點(diǎn)P,連接P4,猜想線段P4PB、

尸C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

⑶將△2DE繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接3。，CE相交于點(diǎn)P,連接P4猜想線段P/、PB、

尸C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

【答案】⑴證明見解析

⑵圖②結(jié)論：PB^PA+PC,證明見解析

⑶圖③結(jié)論：PA+PB=PC

【分析】(1)由A45C是等邊三角形，得/樂/C,再因?yàn)辄c(diǎn)尸與點(diǎn)/重合，所以尸2=/￡P(guān)C=AC,

尸/=0,即可得出結(jié)論；

(2)在AP上截取BF=CP,連接4F,證明力。三△CAE(SAS),得NABD=NACE,再證明

△CAP^△BAF(SAS),得NG4P=NBAF,AF=AP,然后證明△AFP是等邊三角形，得PF=AP,即

可得出結(jié)論；

(3)在CP上截取CF=8P,連接4尸，證明△BAD三(SAS),得乙48。=乙4CE,再證明

△BXP=ACAF(SAS),得出NC4F=NB2P,AP=AF,然后證明aaFP是等邊三角形，得PF=AP,

即可得出結(jié)論：PA+PB=PF+CF=PC.

【詳解】(1)證明：???A//8C是等邊三角形，

：.AB=AC,

???點(diǎn)P與點(diǎn)/重合，

■■■PB=AB,PC=AC,尸/=0,

：.PA+PB=PC或P4+PC=PB；

(2)解：圖②結(jié)論：PB=PA+PC

證明：在AP上截取BF=CP,連接4F,

???△2BC和△4DE都是等邊三角形，

.-.AB=AC,AD=AE,^BAC=/.DAE=60°

：.Z-BAC+Z-CAD=Z.DAE+Z-CAD,

：.Z-BAD=Z.CAE,

ABAD=ACAE(&4S),

：.Z-ABD=Z.ACE,

??,AC=AB,CP=BF,

/.△CAP=△BAF(SAS)f

.'.Z.CAP=^BAF,AF=AP,

.^CAP+ACAF=Z.BAF+ACAF,

??2凡4P=MAC=60。,

...△AFP是等邊三角形，

：.PF=AP,

：.PA+PC=PF+BF=PB-

(3)解：圖③結(jié)論：PA+PB=PC,

理由：在C尸上截取CF=BP,連接/月

△ABC和△4DE都是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ABAC=^DAE=60°

：.Z-BAC+乙BAE=Z-DAE+/-BAE,

：.Z.BAD=Z.CAE,

△BAD=△CAE(S4S),

=Z.ACE,

-AB=AC,BP=CF,

：.△BAP=△CAF(&4S),

：./LCAF=^BAP,AP=AF,

：.Z-BAF+Z-BAP=Z-BAF+Z-CAF,

.?2凡4尸=NBA。=60。，

...△AFP是等邊三角形，

：.PF=AP,

.-.PA+PB=PF+CF=PC,

即P4+PB=PC.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定

與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

之弓即時檢浦

1.(2024?四川雅安?中考真題)如圖，。。的周長為8兀，正六邊形4BCDEF內(nèi)接于O0.則△04B的面積

為()

A.4B.4V3C.6D.6V3

【答案】B

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及解直角三角形進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：設(shè)半徑為心由題意得，2仃=8兀,

解得r=4,

?.?六邊形4BCDEF是O。的內(nèi)接正六邊形,

360°

=—=60°

6f

'：0A=OB,

:a/ioB是正三角形,

：.OAB=60°,

.,.弦力8所對應(yīng)的弦心距為。Asin60。=等。4=2百,

,SAAOB=5x4x2V3=4V3.

故選：B.

2.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形N5C的頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,4），點(diǎn)B,C均

在x軸上.將△ABC繞頂點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.

【答案】（4,4一竽）

【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.作C'

F1AO,求出。F，C'F的值即可得到答案.

【詳解】解：作。尸，4。，交y軸于點(diǎn)尸,

由題可得：。4=4,

???△ABC是等邊三角形，A01BC,

.?.4。是ABAC的角平分線，

zOXC=30°,

OC=^AC,

在RtZkAOC中，AO2+OC2=AC2,

I2?

即16+（5?1。）=AC2,

解得鳴

AC=AC=竽

OF=AO-AF=4-4。?cos60°=4-—,

3

FC'=AC-sin60°=迪x"=4,

32

...c，（4,4-竽），

故答案為：（4,4-

3.（2022?湖南懷化?中考真題）如圖，在等邊三角形N2C中，點(diǎn)M為N3邊上任意一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)N,

使CN=/M,連接MV交NC于點(diǎn)尸，MHLAC于點(diǎn)、H.

⑴求證：MP=NP；

⑵若求線段尸〃的長（結(jié)果用含。的代數(shù)式表示）.

【答案】⑴見詳解；

（2）0.5a.

【分析】(1)過點(diǎn)用r作MQICN,證明△MQP三△NCP即可；

(2)利用等邊三角形的性質(zhì)推出貝UP//=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ).

【詳解】(1)如下圖所示，過點(diǎn)M作MQIICN,

A

???△ABC為等邊三角形，MQWN,

AMAB“

?.?而=就=1，

則/河=/0,且乙4=60°,

△4MQ為等邊三角形，則MQ=AM=CN,

又?.?M0CN,

:.乙QMP=ACNP,

在△MQP與中，

(上MPQ=4NPC

“MP=MNP

(QM=CN

.-.^MQP=ANCP,

貝l|MP=NP；

(2)???△AMQ為等邊三角形，且⑼/L4C,

；.AH=HQ,

又由(1)得，4MQP三4NCP,

貝”PQ=PC,

；.PH=HQ+PQ=0.5(AQ+CQ)=0.5NC=0.5a.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

e置典例引領(lǐng)

【題型3：線段的垂直平分線】

【典例3】(2024?湖南長沙?中考真題)如圖，在Rt^ABC中，AACB=90°,AB=2后AC=2,分別以點(diǎn)

A,8為圓心，大于"4B的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N,作直線MN分別交ZB,BC于點(diǎn)〃,

E,連接CD,AE.

⑴求CD的長；

(2)求△力CE的周長.

【答案】⑴函

⑵6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，斜中

半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論是解

題關(guān)鍵.

(1)由題意得MN是線段2B的垂直平分線，故點(diǎn)。是斜邊的中點(diǎn).據(jù)此即可求解；

(2)根據(jù)瓦4=EB、△4。￡1的周長=2。+。￡1+￡；4=4。+。￡'+￡8=4。+8。即可求解；

【詳解】(1)解：由作圖可知，MN是線段48的垂直平分線，

在RtAABC中，點(diǎn)。是斜邊力B的中點(diǎn).

...C￡)=|^=|x2V5=V5.

(2)解：在RtzXABC中，BC=^AB2-AC2=J(2V5)2-22=V16=4.

???MN是線段的垂直平分線，

：.EA=EB.

：.△2CE的周長=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.

緘與即時檢測

1.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點(diǎn)4點(diǎn)B為圓心，大于

的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)E,F作直線交4C于點(diǎn)D,連接BD,則△BCD的周長為

A.7B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖一作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證明4。=BD,根據(jù)△BCD

的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,即可求出答案.

【詳解】解：由作圖知，EF垂直平分力B,

AD=BD,

BCD的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,

■.■AB=AC=6,BC=4,

??.△BCD的周長=6+4=10,

故選：C.

2.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，在RtaTlBC中，乙4cB=90°,DE垂直平分48交BC于點(diǎn)D,若△47。

的周長為50cm,則2C+BC=（）

C/D

A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm

【答案】C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得2D=BD,進(jìn)而可得△力CD

的周長=AC+CD+4。=AC+CD+BD=AC+BC=50cm,即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：垂直平分4B,

.?.AD=BD,

■,△2CD的周長=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm,

故選：C.

3.（2024?廣西?中考真題）如圖，在△4BC中，N4=45。，AOBC.

⑴尺規(guī)作圖：作線段力B的垂直平分線/,分別交48,4C于點(diǎn)。，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法,

標(biāo)明字母）

⑵在（1）所作的圖中，連接8E,若48=8,求BE的長.

【答案】⑴見詳解

（2）472

1

【分析】（1）分別以/、8為圓心，大于豺B為半徑畫弧，分別交力B,4C于點(diǎn)。，￡,作直線DE,則直

線I即為所求.

（2）連接BE,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出BE=AE,由等邊對等角可得出NEBA=乙4=45。，由

三角形內(nèi)角和得出NBE力=90。，則得出△力BE為等腰直角三角形，再根據(jù)正弦的定義即可求出BE的長.

【詳解】（1）解：如下直線/

（2）連接BE如下圖:

???DE為線段4B的垂直平分線,

：.BE—AE,

.'.^LEBA=NA=45°,

：.^BEA=90°,

.?.△ABE為等腰直角三角形,

..BE

---SmA=^=T'

：.BE=AB.[=8x1=4V2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理以及正弦的定義.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

O好題沖關(guān)O

基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2024,河南信陽?三模）中國的風(fēng)箏已有2000多年的歷史.相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是

人類最早的風(fēng)箏起源.后來魯班用竹子，改進(jìn)墨翟的風(fēng)箏材質(zhì)，直至東漢期間，蔡倫改進(jìn)造紙術(shù)后，坊

間才開始以紙做風(fēng)箏，稱為"紙鶯如圖是一個風(fēng)箏骨架的示意圖，已知4C1DE,且4。=根,

AD=CD,4D與47的夾角為a,則該骨架中4C的長度應(yīng)為（）

A.mcosaB.

【答案】C

【分析】根據(jù)a的余弦值解直角三角形可求得4B的長度，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求AC的長度.

本題考查解直角三角形的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】/-A-a^.AC1DE,

ABAB

一

???cosa=—AD=m

???AB—mcosa,

???AD=CDS.AC1DE,

AC=2AB=2nleosa.

故選C.

2.（2024?山東濟(jì)南?一模）如圖，已知EF||CD,BC=DC,乙48尸=30。，貝此。的度數(shù)為（）

A.50°B.75°D.65°

【答案】B

【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，先求解

/.EBC=^ABF=3Q°,再證明“=NEBC=30。，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可

得答案.

【詳解】解：心8F=30°,

：.Z-EBC=/.ABF=3G°,

■.-EFWCD,

.?2C=NEBC=30°,

：CB=CD,

1

??/D=乙CBD=-x(180°-30°)=75。；

故選B

3.（23-24九年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，點(diǎn)4B、C都在半徑為2的。。上，NC=30。，則弦力B的長為

(

A.2B.1C.4D.|TT

【答案】A

【分析】本題主要考查圓周角定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)圓周角定理可得2408=60。，從

而得△028是等邊三角形，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：?.?"=30。,

^AOB=2x30°=60°,

?JOA=OB,

：.△04B是等邊三角形,

：.AB=OA=OB=2,

故選：A.

4.（2022?福建廈門?模擬預(yù)測）如圖，在等邊A4BC中，ADLBC,垂足為D且4D=百，則4B的長為（）

A.1B.V3D.2V3

【答案】C

【分析】先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到乙4DC=90。，NC4D=30。，再設(shè)CD=X,在上△/4CO中利用勾股定

理計算即可.

【詳解】?.?等邊中，ADVBC,

；DC=90"

ACAD=^BAD=60°4-2=30",

AB=AC,

設(shè)CZ)=x,貝l]/C=2x,

在RtAACD中,

（V3）2+x2=（2x）2

解得：x=±l（舍負(fù)），

?AC-2.

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì).

5.（23-24八年級上?浙江溫州?期中）如圖，在△48C中，分別以48為圓心，大于線段4B長度一半的長

為半徑作弧，相交于點(diǎn)D,￡,連結(jié)交BC于點(diǎn)P.若4C=3,△4CP的周長為10,貝UBC的長為（）

【答案】B

【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由作圖

可知DE垂直平分48,則有BP=4P,然后問題可求解.

【詳解】解：???DE垂直平分力B,

：.BP=AP,

■,-AC=3,aACP的周長為10,

■,AP+PC=7,即BP+PC=7,

故選：B.

6.（2024八年級下?全國?專題練習(xí)）甲、乙、丙三地如圖所示，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到甲、乙、

丙三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三邊中線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可，掌握線段

的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???中轉(zhuǎn)倉到甲、乙、丙三地的距離相等,

???中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)上,

故選：B.

7.（2024?海南省直轄縣級單位?一模）如圖，在△A8C中，ZC=4O°,分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于軟C的

長為半徑畫弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，作直線MN,交邊4C于點(diǎn)。，連接BD,貝此。BC的度數(shù)為（）

A.100°B.80°

【答案】D

【分析】本題考查垂直平分線的判定和性質(zhì)，理解垂直平分線的畫法，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題

的關(guān)犍.

【詳解】解：根據(jù)題意作圖可知MN是線段8c的垂直平分線,

??,DB—DC,

.?2C=NDBC=40。,

故選：D.

8.（2024?湖南?二模）如圖，在M,N兩個小木塊之間恰好放入一個等腰直角三角板2BC.已知木塊N

的高分別為6cm,16cm,點(diǎn)4,2分別與兩木塊的頂端重合，點(diǎn)C在DE上，則兩木塊之間的距離為

（

A.22cmB.14cm10cm

【答案】A

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)等；由等腰三角形的性質(zhì)得

AC=CB,NACB=90。，由AAS得△ACD三△CBE,由全等三角形的性質(zhì)即可求解；掌握等腰三角形的

性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得

AD—6cm,BE=16cm,

乙4DC=4CEB=90。，

???乙4CD+“AD=90。，

???△/CB是等腰直角三角形，

AC=CB,

匕ACB=90。,

/.^ACD+乙BCE=90°,

???Z.CAD=乙BCE,

在△AC。和△CBE中

(Z-ADC=乙CEB

{Z-CAD=乙BCE,

IAC=CB

??.AACD=ACBE(AAS),

AD=CE=6,

CD=BE=16,

DE=CD+CE

=16+6

=22(cm)；

故選：A.

9.(2024?江蘇宿遷?一模)已知等腰三角形的兩邊長分別為2和6,則第三邊的長度為.

【答案】6

【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，結(jié)合三角形

的三邊關(guān)系，求解即可.

【詳解】解：當(dāng)2為腰長時：2+2<6,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

??.6為腰長，

???第三邊的長度為6；

故答案為：6.

10.(23-24八年級上?福建龍巖?期中)如圖，點(diǎn)P在正五邊形力BCDE內(nèi)，滿足P4=PE,PD=AB,則N4EP

的度數(shù)是.

A。

【答案】36。/36度

【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和公式及等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，屬于簡單試題.

首先可根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出每個內(nèi)角的度數(shù)，然后求出NR4D,即可求出乙4EP.

【詳解】解：根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得，

正五邊形4BCDE的內(nèi)角和=180°X（5-2）=540°,

則N/ED=M=108。，

AE—DE,

???Z.EAD=Z.EDA,

vPA=PE,

，匕EAD=^PEA=36°.

故答案為：36。.

11.（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖，在菱形2BCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，以點(diǎn)C為圓心，BC

長為半徑畫弧交的延長線于點(diǎn)E,連接。E.

（1）求證：AC||DE；

（2）若AB=4,^ABC=60°,求△BDE的周長和面積.

【答案】⑴證明見解析；

（2）48。后的周長是12+4百，面積是8省.

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到4D=BC,AD||CE,再根據(jù)作圖得到BC=CE=AD,證明四邊形

ACED是平行四邊形即可得到力C||DE-

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到CE=BC=A8=4,4CBD=30。，^BAC=^CAD=60°,根據(jù)平行四邊形的

性質(zhì)得到DE=4C=4,ZC￡D=/.CAD=60°,進(jìn)而求得△BDE的三邊長即可求解.

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCO是菱形，

：.AD=BC,AD||BC,即4。||CE,

???以點(diǎn)。為圓心，BC長為半徑畫弧交BC的延長線于點(diǎn)E,

:.BC=CE=AD,

-AD||CE,

.?.四邊形4CED是平行四邊形，

：.AC||DE；

（2）解：?.?四邊形48CD是菱形，AB=4,乙48C=60。，

.-.CE=BC=AB=4,ACBD=30°,Z.BAC=^CAD=60°,

△ABC為等邊三角形，BE=BC+CE=8,

.-.AC=AB=4,

???四邊形4CED是平行四邊形，

.-.DE=AC=4,^CED=ACAD=60°,

；/BDE=18O°-ZCBD-Z.C￡D=90°,

-BD=^BE2-DE2=V82-42=4百，

△BDE的周長=DE+BE+BD^4+8+4百=12+4百,

S^BDE=5石.5D=|x4x4V3=8V3.

力能力提升

1.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)N在等邊△ABC的邊BC上，CN=6,射線BD1BC,垂足為8,P

是射線BD上一動點(diǎn)，M是線段4C上一動點(diǎn)，當(dāng)MP+NP的值最小時，CM=7,貝！JAC的長為.

【答案】10

【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)及解直角三角形是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)

軸對稱的性質(zhì)找出最短路徑，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】解：作點(diǎn)N關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E,過E作EM14C于M',交BD于P',連接EP,

■:BD1BC,

??.EP=NP,

??.MP+NP=MP+EP>EM',

則當(dāng)￡、P、M三點(diǎn)共線，且M'和M重合時，MP+NP的值最小,

在等邊△NBC中，有NC=60。，AC^BC,

/.CEM'=30°,

設(shè)BE=BN=x,

則：2久+6=2X7,

解得：%=4,

AC=BC=CN+BN=10,

故答案為：10.

2.(2024?廣東深圳,模擬預(yù)測)如圖，AO1OM,AO=6,8為射線OM上的一個動點(diǎn)，分別以為直角

邊，8為直角頂點(diǎn)，在。M兩側(cè)作等腰口△ABC,等腰RtZXBDO,連接CD交。M于點(diǎn)P.當(dāng)8在。M上

運(yùn)動時，PB的長度為.

【答案】3

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，

構(gòu)造全等三角形,靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析或解答.過點(diǎn)E作CN1BM,首先證明△480三△BCN(AAS)

，再證△BPD三△MPC(AAS),即可解決問題；

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作CN1BM,垂足為點(diǎn)N,

AAOB=/.ABC=/.BNC=90°,AB=BC,BD=BO,

.-.乙ABO+乙BAO=/.ABO+乙NBC=90°,

.-.ABAO=乙NBC

在△AB。與△8CN中，

(^BAO=乙NBC

\AAOB=^BNC

(AB=BC

ABO三△BCN(AAS),

：.BO=NC,BN=AO,

BO=BD,

BD=NC,

在△BPD與△可p(?中，

(ADBP=乙CNP

]Z-DPB=乙CPN,

IBD=NC

BPD=△NPC(AAS),

BP=NP=3BN,

BN=AO=6,

11

BP=-XO=-x6=3,

22

故答案為：3.

3.(2024?湖北?模擬預(yù)測)如圖，在△TIBC中，AB=AC,將△4BC繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE,BC,

DE相交于O,乙4cE=60。.

E

B

⑴判斷△力BD的形狀；

⑵求NC。。的度數(shù).

【答案】⑴△48。是等邊三角形，理由見解析

⑵120。

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前后的圖形

是全等形是解題的關(guān)鍵.

(1)由旋轉(zhuǎn)可得2B=aD=aC=/lE,^BAD=/.CAE,然后根據(jù)乙4CE=60。，得到△ACE是等邊三角

形，進(jìn)而得到N82D=60。，得到結(jié)論；

(2)設(shè)4。。。=久。，然后表示==的度數(shù)，然后利用四邊形的內(nèi)角和和對頂

角相等解題即可.

【詳解】(1)△ABD是等邊三角形，理由為：

由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD,AC=AE,ABAD=ACAE,

5L-：AB=AC,

.-.AB=AD=AC=AE,

又?.24CE=60°,

.?.△4CE是等邊三角形，

.-.^BAD=^CAE=60°,

即△ABD是等邊三角形；

（2）設(shè)N&W=x。，

■.Z-BAC=/.DAE=60°+x°,

=AD=AC=AE,

■./.ABC=乙AED=----------------=60°--%0,

在四邊形2E0B中，

乙COD=乙BOE=360°-^BAE-^ABC-^AED=360°-（60°+x°+60。）-（60。-#）-（60。-#）=120°.

4.（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）如圖①，在RtZ\48C中，AB=AC=3,NBAC=90。，點(diǎn)。在84邊上，連接

CD,點(diǎn)E在射線CD上，連接4E.

⑴如圖，將4E繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AF,連接BE,CF.求證：AABE三AACF；

（2）若點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，連接EF,求EF的最小值；

⑶如圖②，若BE1CE于點(diǎn)E/E=VL求BE的值.

【答案】（1）證明見解析；

3V10

/（n2X）—;

⑶BE=2V2-1-

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到=AEAF=90°,利用等式的性質(zhì)得到NB4E=NC4F,再利

用全等三角形的判定定理解答即可；

（2）利用勾股定理求得DC,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△力EF是等腰直角三角形，則當(dāng)AE最小時，EF最小;

利用垂線段最短可知：當(dāng)4E1CD時，4E最小，利用三角形的面積公式求得4E,則結(jié)論可求；

（3）過點(diǎn)N作4F14E交CD于點(diǎn)F,利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到BE=CF,設(shè)BE=CF=x,則

EC=x+2,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：?.YE繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到4/，

AE=AF,NEAF=90°.

???ABAC=90°,

Z.BAC=Z.EAF,

/-BAC-/.EAC=^EAF-AEAC.

Z.BAE=Z.CAF.

在和中，

(AB=AC

]ABAE=ACAF,

IAE=AF

??.△ABE=△ACF(SAS);

(2)解：???在RtaABC中，4B=/C=3,點(diǎn)。是ZB的中點(diǎn),

AD=BD==I，

-''CD—JAD2+AC2=J??+0—

連接EF,則△AEF是等腰直角三角形，如圖，

則當(dāng)EF最小時，4E最小,

垂線段最短,

.??當(dāng)AE1CD時，4E