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北京市西城區(qū)2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

他一^繳于

本試卷共6頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答

無(wú)效.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知直線/經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)尸那么直線/的斜率為（）

A—3B.—

,3

C.-D.3

3

22

2.雙曲線^--工=1的離心率為（）

169

345,

A.—B.—C.—D.6

434

3.已知橢圓：+。=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線＞2=2.（2〉0）的焦點(diǎn)重合，則。等于（）

A.2B.3C.4D.6

4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)幺（2,3,5）,5(1,1,2),C(0,a,Z>),若45,C三點(diǎn)共線，則a+6的值為

()

A.-2B.-1C.0D.1

5.12x—的展開(kāi)式中

x的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

6.正四棱錐P-的所有棱長(zhǎng)均為2,則側(cè)面與底面所成角的余弦值為（）

1V2D.3

A.-

B.y2C.

3~T3

7.從數(shù)字1,2,3,4中，可重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)

為（）

A.6B.8C.10D.12

2222

8.已知直線/：歹=左（'—1）,“左二—或左二—一”是“直線/與雙曲線上—匕=1有且僅有一個(gè)公共

3394

點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-2,0）,5（—2,2）,若點(diǎn)P為圓=i上的動(dòng)點(diǎn)，貝I“萬(wàn)+萬(wàn)|

的最大值為（）

A.3B.V13C.5D.272+1

10.在正方體4BCD-451GA中，動(dòng)點(diǎn)P在面4SCD及其邊界上運(yùn)動(dòng)，（方五瓦弓=；,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡為（）

A.橢圓的一部分B.線段

C.圓的一部分D.拋物線的一部分

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

II.已知直線ax-y—3=0與2x+y=0垂直，那么。=.

12.已知（3X-I），=的*4+%/+出無(wú)？+%尤+，貝!］。0+%+。4=.

13.某地出土一古銅斧文物，如圖，銅斧縱截面左右兩邊呈雙曲線形狀.由于年代久遠(yuǎn)，頂部斧刃處兩端有

缺口，現(xiàn)小明測(cè)得銅斧縱截面最窄處A8寬4cm,底部CA寬5cm,AB//CD,底部離最窄處垂直高度為

3cm,斧高12cm.請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，幫小明算算，若原斧刃與45平行，則其長(zhǎng)度為cm.

14.已知曲線＞=|xT|與x軸交點(diǎn)為。，與拋物線C：「=4x交于A、8兩點(diǎn)，則,

/\ABD的面積為.

15.已知M={(x,y)|了=心-+2x+2,0v/v1,1vxv2}是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，點(diǎn)集組成的圖形為

Q,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①(2,10)eM；

②設(shè)點(diǎn)NeM,則直線04的斜率的最大值為4；

③V48GM,區(qū)麗；

④0的面積小于!.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.某餐飲公司給學(xué)校學(xué)生配餐，現(xiàn)準(zhǔn)備了5種不同的葷菜和"種不同的素菜.

(1)當(dāng)"=4時(shí)，若每份學(xué)生餐有1葷3素，共有多少種不同的配餐供學(xué)生選擇？

(2)若每位學(xué)生可以任選2葷2素，要保證至少有200種以上的不同選擇，求"的最小值.

17.如圖，在直三棱柱幺8。-44cl中，AC=BC=1,幺4=2,AC1BC,。是的中點(diǎn).

(1)求直線CD與平面所成角的正弦值;

(2)求點(diǎn)C到平面的距離.

18.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-2,0),5(0,2),且圓心在直線＞=x上.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線后+.v-6=0交于兩點(diǎn)E,尸,

(i)求6的取值范圍;

(ii)若在圓C上存在點(diǎn)。，使四邊形尸為平行四邊形，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求b的值.

19.已知橢圓C：工+匕=1的左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為3,點(diǎn)產(chǎn)(%,%,)在橢圓C上(與點(diǎn)A、8不重

43

合)，過(guò)。(4,0)且與無(wú)軸垂直的直線交直線N尸于點(diǎn)G,交直線AP于點(diǎn)

(1)求橢圓C的短軸長(zhǎng)和離心率；

(2)若線段GH的中點(diǎn)為。，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

20.如圖，在四棱錐P—48co中，PA1^-\^ABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD

=2,BC=4,E為P4的中點(diǎn)，尸為尸C中點(diǎn).

B4----------------------七

(1)求證：PDA.CD.

(2)設(shè)平面BE尸與平面P4D的交線為/,

(i)求二面角8-/-/的余弦值；

(ii)求直線/與直線尸C所成角的余弦值.

22

21.已知橢圓￡:0+2=1伍〉6〉0)的上頂點(diǎn)為。(0,6),四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形面積為72J5.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線與橢圓￡交于兩點(diǎn)48,交X軸于點(diǎn)0,直線。與直線y=/分別交于點(diǎn)

M,N,線段跖V的中點(diǎn)為P.是否存在實(shí)數(shù)"使得以尸。為直徑的圓總與了軸相切？若存在，求出/的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知直線/經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)尸(1'2)，0(4,3),那么直線/的斜率為()

A.-3

C.-D.3

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)斜率公式求得直線/的斜率.

3-21

【詳解】依題意，直線/的斜率為——=-.

4-13

故選：C

2.雙曲線^匕=1的離心率為（）

169

345

A.—B.—C.—D.

434

【答案】C

【解析】

【分析】求出C的值，即可求出該雙曲線的離心率的值.

22

【詳解】對(duì)于雙曲線上—2=1,0=4,6=3,則0=必薦不再=5,

169

c5

因此，該雙曲線的離心率為e=—=—.

a4

故選：C.

3.已知橢圓工+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線>2=2px（2〉0）的焦點(diǎn)重合，則）等于（）

62

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】由/=2px得出拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸，從得出拋物線與橢圓的右焦點(diǎn)重合，求出橢圓的右

焦點(diǎn)，即可得出拋物線的焦點(diǎn)，從而得解.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€『=2夕x（p>0）的焦點(diǎn)［go］在x軸的正半軸，

所以?huà)佄锞€焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,

又橢圓方程為上+匕=1,所以。2=6力2=2,所以C=J7J=JC=2

62

所以橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0),所以?huà)佄锞€焦點(diǎn)也是這個(gè)，

即孑=2,夕=4.

故選：C

4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)2(2,3,5),8(1,1,2),C(0,a,b),若4瓦。三點(diǎn)共線，則6的值為

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線即可求解.

【詳解】由于方=(一1,—2,—3),府=(一1,。一1,6—2),

由于4民C三點(diǎn)共線，所以a—1=-2,6—2=—3,解得a=-1力=一1,

故Q+b=—2,

故選：A

5.(2x—工］的展開(kāi)式中x的系數(shù)為()

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】D

【解析】

【分析】借助二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于12%-工］,由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)得刀+1

令5—2廠=1解得r=2,

則所求系數(shù)為(-1)2-25-2?C；=80,

故選：D

6.正四棱錐P-483的所有棱長(zhǎng)均為2,則側(cè)面與底面所成角的余弦值為（）

A.-B.yC.—D,—

3223

【答案】D

【解析】

【分析】作出輔助線，證明線面垂直，得到線線垂直，得到/尸￡。即為側(cè)面與底面所成角，求出各邊

長(zhǎng)，得到cos/PEO=^=且.

PE3

【詳解】連接相交于點(diǎn)。，取8c的中點(diǎn)E,連接尸￡,OE,0P,

則0P，平面ABCD,

因?yàn)?Cu平面48CD,所以。尸，3C,

又OE11AB,AB±BC,所以

又OEp[OP=O,OE,OPu平面OPE,

所以平面OPE,

因?yàn)镋Pu平面OPE,所以尸E,

故ZPEO即為側(cè)面與底面所成角,

正四棱錐P-48。的所有棱長(zhǎng)均為2,故BE=CE=T,

由勾股定理得PE=y]PB--BE2=V3，

由=

2

故“E°焉弓瀉

故選：D

7.從數(shù)字1,2,3,4中，可重復(fù)地取出3個(gè)數(shù)字，組成各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)

為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】分別討論和為6的情況，再結(jié)合排列組合概念即可求解；

【詳解】三個(gè)數(shù)字和為6的情況有：222,114,123,

對(duì)于3個(gè)2的排列只有1個(gè)；

對(duì)于1,1,4的排列由C；=3個(gè)，

對(duì)于1,2,3的排列有A；=6個(gè)，

所以這樣的三位數(shù)有10個(gè)，

故選：C

2222

8.已知直線/：y=《（x—1）,“左=—或左=——”是“直線/與雙曲線土一二=1有且僅有一個(gè)公共

3394

點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】將直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)求出左的取值，結(jié)合充分

條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】聯(lián)立《-=1可得（9左2—4）》2_18左2》+9（左2+4）=0（*）,

[94

當(dāng)直線/與雙曲線工-匕=1只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí):

94

2

若9左2—4=0時(shí)，即當(dāng)左=±§時(shí)，方程（*）即為—8x+40=0,解得x=5,合乎題意;

229k2—4w0

若9左2—4wo時(shí)，直線/與雙曲線——匕=1相切時(shí)，則LIo2z4znz2XZ72八，

94A=18k—4(9左—4)(9左+36)=0

解得k=+，

2

22

所以當(dāng)直線/與雙曲線X二-Lv=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的取值集合為[-y一/2,-彳2,2彳，V一2，

94[2332

2222

因此，“左=—或左=--”是"直線/與雙曲線上-匕=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件.

3394

故選：A.

9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4-2,0),8(—2,2),若點(diǎn)尸為圓=i上的動(dòng)點(diǎn)，貝修方+萬(wàn)?

的最大值為()

A.3B.V13C.5D.272+1

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)P(x,y)為圓。：/+「=1上任意一點(diǎn)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得

|28+2P|=J(x+2)2+5+2)2,進(jìn)而利用J(x+2)2+〈+2)2的幾何意義可求得?方+萬(wàn)?的最大值.

【詳解】設(shè)P(x,y)為圓。：/+『=1上任意一點(diǎn)，

因?yàn)?-2,0),3(-2,2),所以43=(0,2),AP=(x+2,y),

所以方+N=(x+2,y+2),所以|赤+/|=J(x+2y+(y+2)2,

J(x+2)2+(y+2)2表示點(diǎn)尸a,j)到點(diǎn)。(-2,-2)的距離，

又C:/+y2=1的圓心。(o,o)到點(diǎn)。(-2,—2)的距離為1=J(O+2)2+(0+2)2=,

又圓=1的半徑為升=1,

所以P(x,y)到點(diǎn)2)(-2,-2)的距離的最大值為d+r=2應(yīng)+1，

所以|方+方]的最大值為2/+1.

故選：D.

10.在正方體4SCO-481GA中，動(dòng)點(diǎn)尸在面48CD及其邊界上運(yùn)動(dòng)，（耳7,不）=；,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌

跡為（）

A.橢圓的一部分B.線段

C.圓的一部分D.拋物線的一部分

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)正方體48CD—4與G2的棱長(zhǎng)為1,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別

為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸（x/,O）（O<x<l,O〈yWl）,由cos4l,不=1結(jié)合空

間數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)得出點(diǎn)P的軌跡方程，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)正方體45CD-的棱長(zhǎng)為1,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則01(0,0,1)、4(1,0,0),設(shè)點(diǎn)尸(x,y,O)(O4x41,0VyVI),

A^=(l,0,-1),印=(x,y,-l),

DiADF+1_V|

cosDxA,D}P=

化簡(jiǎn)得=2x(0〈x〈l,0〈y〈l),

所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為拋物線的一部分.

故選：D.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知直線ax-y-3=0與2x+y=0垂直，那么。=.

【答案】|

【解析】

【分析】由斜率乘積為-1,即可求解；

【詳解】2尤+尸0的斜率為_(kāi)2,

因?yàn)閝x—y—3=0與2x+y=0垂直，

所以ax—>—3=0的斜率為3，

所以a=—,

2

故答案為：y.

12.已知（3x-I）4=%/+%/+%X2++。0,貝九/+。2+。4=.

【答案】136

【解析】

【分析】通過(guò)賦值法即可求解；

【詳解】令X=l,可得：2,=%+。3+。2+%+。0，

再令X——1,可得：4，=%—+。2—%+“o，

兩式相加可得：2（4+電+。4）=272,

所以+。2+。4=136,

故答案為：136

13.某地出土一古銅斧文物，如圖，銅斧縱截面左右兩邊呈雙曲線形狀.由于年代久遠(yuǎn)，頂部斧刃處兩端有

缺口，現(xiàn)小明測(cè)得銅斧縱截面最窄處N8寬4cm,底部CO寬5cm,ABIICD,底部離最窄處垂直高度為

3cm,斧高12cm.請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)，幫小明算算，若原斧刃與平行，則其長(zhǎng)度為cm.

【答案】V97

【解析】

【分析】以4B所在直線為X軸，垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得雙曲線方程，令y=9,可

求結(jié)論.

【詳解】以48所在直線為x軸，垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由題意|4B|=2a=4,Z)(|,-3),所以a=2,

22

因雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，所以設(shè)雙曲線的方程為土-4=1（6〉0）,

4b2

522°

又點(diǎn)。g,—3）在雙曲線上—1=1S〉O）上，所以2（—3）2，解得〃=16,

24b=1

4b2

所以雙曲線方程為工-E=l,因?yàn)楦?2cm,

416

x29297./ay

令y=9,得上—a=1,所以一9=一，解得》=±業(yè)，

41642

所以E-平,9，尸］獸，9］，所以忸尸|=歷.

故答案為：病.

14.已知曲線y=|xT|與無(wú)軸交點(diǎn)為。，與拋物線C:/=4x交于A、8兩點(diǎn)，則=

/\ABD的面積為.

一71一

【答案】-②.4

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)曲線—的方程，可得出可得出NZQ8的大小，設(shè)點(diǎn)N(X],%)、5(X2,J2),

聯(lián)立曲線歹=|x-1|與拋物線。的方程，利用韋達(dá)定理、拋物線的焦半徑公式結(jié)合三角形的面積公式可求得

/\ABD的面積.

【詳解】在曲線>=|x—"的方程中，令歹=|x—1|=0,解得x=l,即點(diǎn)￡)(1,0),如下圖所示:

易知拋物線C的焦點(diǎn)為。(1,0),

曲線>=|x—l|的方程可化為y=,一1|=(,

7T

則幻0=-1，kB￡>=1，所以，左"/應(yīng))=-1，則/405=耳，

設(shè)點(diǎn)N(X],yJ、8(乙,%)，聯(lián)立"可得必―6x+l=0，A=(-6)2-4>0,

y=4x

由韋達(dá)定理可得%+々=6,玉、2=1，

%皿=fz外忸4=+1)(々+1)="/+y/+1=1±|±1=4,

兀

故答案為：—；4.

2

15.已知M={(x/)|y=f(x-以+2x+2,0Mfm1,"xv2}是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，點(diǎn)集組成的圖形為

Q,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①(2,10)eM；

②設(shè)點(diǎn)NeM,則直線ON的斜率的最大值為4；

③區(qū)麗；

④。的面積小于：.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】由題意可得M={(x/)|2x+2VyVx2+3,ivxV2},作出點(diǎn)集組成的圖形0,再結(jié)合圖象分析

各個(gè)選項(xiàng)即可.

［詳解］M={(x,j)|j；=r(x-l)2+2x+2,0<r<l,l<x<2}

=^(x,j)|2x+2<j<x2+3,1<x<2j-,

對(duì)于①，因?yàn)?0>22+3=7,所以(2,10)任/,故①錯(cuò)誤；

7

對(duì)于②，因?yàn)樽驩Q=4,*=2，

由圖知，當(dāng)點(diǎn)A位于點(diǎn)。處時(shí)，直線04的斜率最大，最大值為4,故②正確；

對(duì)于③，由圖可知?dú)w|。閔=&7?=而，故③正確；

對(duì)于④，由圖知，。的面積S<S“DEF=%,故④正確.

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：化簡(jiǎn)M={(x/)|2x+2〈yWx2+3,i〈xW2},作出點(diǎn)集組成的圖形。，是解決

本題的關(guān)鍵.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.某餐飲公司給學(xué)校學(xué)生配餐，現(xiàn)準(zhǔn)備了5種不同的葷菜和〃種不同的素菜.

(1)當(dāng)"=4時(shí)，若每份學(xué)生餐有1葷3素，共有多少種不同的配餐供學(xué)生選擇？

(2)若每位學(xué)生可以任選2葷2素，要保證至少有200種以上的不同選擇，求〃的最小值.

【答案】(1)20

(2)7

【解析】

【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出不同的選擇方法種數(shù)；

（2）利用組合計(jì)數(shù)原理可得出每位學(xué)生的不同選擇方法種數(shù)，結(jié)合題意可得出關(guān)于〃的不等式，由此可

求得正整數(shù)”的最小值.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)“=4時(shí)，學(xué)校共有5種不同的葷菜和4種不同的素菜，

若每份學(xué)生餐有1葷3素，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，

不同的選擇方法為C；C：=5x4=20（種）.

【小問(wèn)2詳解】

從5種不同的葷菜和〃種不同的素菜中，任取2葷2素，不同的選擇方法為C；C：（種）.

由題意，得C；C；2200,整理可得〃（〃-1）240,

因?yàn)椤╡N*，所以”27,所以"的最小值為7.

17.如圖，在直三棱柱幺中，AC=BC=1,44]=2,AC±BC,。是幺4的中點(diǎn).

（1）求直線CD與平面所成角的正弦值；

（2）求點(diǎn)C到平面的距離.

【答案】（1）必

3

⑵旦

3

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，再求平面3G。的法向量結(jié)合公式求解線面角正弦即可;

（2）應(yīng)用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

由CG，平面4BC,ACLCB,可得C4C8,CG兩兩垂直,

所以以。為原點(diǎn)，C4C8,CG所在直線分別為x軸，》軸，z軸,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),￡>(1,0,1),8(0,1,0),G(0,0,2),

所以函=(1,0,1),平=(1,0,—1),率=(0,1,-2).

設(shè)平面BC\D的法向量為機(jī)=(x,y,z),

令x=l,則>=2,2=1,于是加=(1,2,1),

設(shè)直線CD與平面BCAD所成角為3,

—*—?ICD,wI\[3

則sin?=|cos<CD,根>|='―,

\CD\-\m\3

所以直線CD與平面BCQ所成角的正弦值為巨.

3

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)樨?(0,0,2),

所以點(diǎn)C到平面BCXD的距離為回曰=￡.

18.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4-2,0),8(0,2),且圓心在直線>=x上.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C與直線后+y-6=0交于兩點(diǎn)E,尸，

(i)求b的取值范圍；

(ii)若在圓C上存在點(diǎn)。，使四邊形。￡。尸為平行四邊形，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求b的值.

【答案】(1)x2+y2=4

(2)(i)(-4,4)；(ii)b=±2

【解析】

【分析】(1)先設(shè)圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離計(jì)算求參，即可得出圓的方程；

(2)(i)根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑得出范圍；(ii)根據(jù)平行四邊形結(jié)合已知得出菱形，再應(yīng)用點(diǎn)到

直線距離為1得出參數(shù).

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)圓心C在直線>=x上，設(shè)圓心C(a,a).

因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)/(—2,0),5(0,2),所以|C4|=|CB|,

所以“a+2)2+a?=J.?+(a-2>,解得a=0.

所以圓心C(0,0),所以圓C的方程為《+/=4.

【小問(wèn)2詳解】

\-bI

(i)由題意，——j-<2,所以|6|<4,

即—4<6<4,所以b的取值范圍是(—4,4).

(ii)因?yàn)樗倪呅?￡￡中為平行四邊形，又因?yàn)閨。￡|=|。尸1，所以O(shè)EDF為菱形.

\-b\

因?yàn)閨OD|=2,所以點(diǎn)。到直線斯的距離為j=1,

所以6=±2,符合題意.

19.已知橢圓C：工+或=1的左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)尸(須),九)在橢圓C上(與點(diǎn)A、3不重

43

合)，過(guò)。(4,0)且與x軸垂直的直線交直線NP于點(diǎn)G,交直線AP于點(diǎn)

(1)求橢圓C的短軸長(zhǎng)和離心率；

(2)若線段G//的中點(diǎn)為。，求點(diǎn)P坐標(biāo).

【答案】(1)2百，1

⑵網(wǎng)或(>|)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)方程可得進(jìn)而可得橢圓C的短軸長(zhǎng)和離心率；

(2)求直線/P、AP的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)G、〃的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為J

0=2

22

由橢圓方程上+2=1可得｛6=相，

43,---------

C=J/=1

C1

所以橢圓的短軸長(zhǎng)26=26，離心率e=—=二.

a2

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：直線/尸的方程為y=$7(x+2)，

x0+2

令x=4,得了=-^,即G(4,-^).

x0+2x0+2

直線BP的方程為J(x-2),

x0-2

令x=4,得了=即8(4,^^),

%-2x0-2

因?yàn)镚8的中點(diǎn)為。(4,0),則&、=-二

若為=0,則尸(±2,0),與48重合，舍去；

若為w0，貝13(x0—2)=—(x0+2),解得x0=1,

將飛=1代入5+。=1,得％,=±3,即尸11，3或尸1，V

或遙

綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為

20.如圖，在四棱錐P—48co中，尸幺，平面48CD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD

=2,5c=4,E為P4的中點(diǎn)，尸為尸C中點(diǎn).

(1)求證：PDLCD；

(2)設(shè)平面BE尸與平面尸4D的交線為/,

(i)求二面角8-7-/的余弦值；

(ii)求直線/與直線尸C所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)(i)也；(ii)叵

617

【解析】

【分析】(1)由已知可得「幺LCD,又ADLCD,進(jìn)而可得平面尸Z。，可證結(jié)論；

(2)(i)取8C的中點(diǎn)連接4W,可證4W;4D,4P兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，所在

直線分別為x軸，7軸，z軸，立空間直角坐標(biāo)系，求得平面尸4D和5所的一個(gè)法向量，利用向量法可

求二面角2-/-/的余弦值；(ii)設(shè)平面PD=G,平面3￡口口尸/=石，交線/即為直線EG,

設(shè)G(0,i")/w0,利用向量法可求得G的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量的夾角公式可求得直線/與直線尸C所成角

的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槭矫鎆5CD,因?yàn)镃Du平面幺5c3,所以尸2LCD,

又因?yàn)?0LCD,ADcPA=4,40,尸2<=平面尸/。，

所以平面尸40,又PQu平面040,所以CDLPD.

【小問(wèn)2詳解】

(i)取8c的中點(diǎn)M,連接

因?yàn)?c=4,AD=2,AD//BC,ADLCD,

所以四邊形ZDCM為矩形，

所以/40.

又因?yàn)?尸上平面Z5C。，

可得ZW,40,AP兩兩垂直，

所以以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，》軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則40,0,0),5(2-2,0),C(2,2,0),Z>(0,2,0),P(0,0,2).

因?yàn)椤?尸分別為尸4PC中點(diǎn),

所以￡(0,0,1),尸(1,1,1),

所以麗=(2,-2,-1),而=(1/,0),Z)C=(2,0,0),

DC=(2,0,0)是平面PAD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),

EB-n=0[2x-2y-z=0

〈一,即〈"c，

EF-n=01x+V=0

令x=l,貝=z=4,于是〃=(1,一1,4),

n-DC_V2

所以瓦。。=

cos可詞：'

因?yàn)槎娼荁-1-A為銳二面角，

所以二面角8-/-/的余弦值為注.

6

(ii)設(shè)平面PD=G,

因?yàn)槠矫嫣c平面尸40的交線為/,平面3蝦口尸/=石，

所以交線/即為直線EG.

設(shè)G(0,i,j)/=0,則的=(0,—1).

因?yàn)楹蟛唬瑤?/p>

所以西寄=-i+4(/-l)=0,

所以i=4C/-l)/#0,_/#ie

因?yàn)镚在直線PQ上，

所以『+/=2.②

由①②解得，=《4,，=■6!，

46

所以G(0,—,y),

----41

所以EG=(O，M，R.

因?yàn)榻?(2,2,-2)，

設(shè)直線I與直線PC所成角為a,

,一一1\EG-PC

F)\以COb(JC—COSLU,15—?------k------._',?

11\EG\\PC17

所以直線/與直線尸C所成角的余弦值為叵.