北京市第四中學2024-2025學年九年級下學期開學測試數學試題

學生須知

1.本練習卷共8頁，共28道小題，滿分100分.練習時間120分鐘.

2.在練習卷和答題卡上準確填寫班級、姓名和學號，

3.答案一律填寫在答題紙上，在練習卷上作答無效.

4.選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其它試題用黑色字跡簽字筆作答.

一、選擇題（共16分，每小題2分）

第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

2.若3a=26（仍W0）,則下列比例式中正確的是（）

a3b2abab

A.-=—B.—=—C.—=—D.—=—

b2a32332

m+2

3.若函數歹=---的圖象在每個象限內y的值隨x值的增大而增小，則加的取值范圍是（）.

x

A.m>-2B.m<-2C.m>2D.m<2

4.觀察下列表格，估計一元二次方程必+3》一5=0的正數解在（）

X-101234

x2+3x—5-7-5-151323

A.—1和0之間B.0和1之間C.1和2之間D.2和3之間

5.如圖,e。過點8、C,圓心。在等腰RtV45C的內部，乙B/C=90。，OA=\BC=6,則e。的半

徑為（）

A

A.V13B.13C.6D.2V13

6.教練將某射擊運動員50次的射擊成績錄入電腦，計算得到這50個數據的平均數是7.5,方差是L64.后

來教練核查時發現其中有2個數據錄入有誤，一個錯錄為6環，實際成績應是8環；另一個錯錄為9環，實

際成績應是7環.教練將錯錄的2個數據進行了更正，更正后實際成績的平均數是無，方差是S2,則（）

A.x<7.5,s2=1.64B,元=7.5,s2<1,64

C,元>7.5,s2<1.64D.元=7.5,52>1.64

7.如圖，拋物線^="2+區+。（。/0）與》軸交于點（%1，0）,（2,0）,其中0</<1,下列四個結論：①

abc<0；@a+b+c>0；③26+3c<0；④不等式ax?+bx+c<-9x+c的解集為0<x<2.其中正

2

C.3D.4

8.點M為等邊三角形4BC內的一點，MB'上AC于點B',W,8c于點H,于點C',

記△M4C'的內切圓半徑為么20,的內切圓半徑為么岫⑷，△MC5'的內切圓半徑為么MM，

的內切圓半徑為么小笈，的內切圓半徑為么“8°，△MC4的內切圓半徑為么給

出下面三個結論：

@^MAC=^MC'+AC'-MA)

②AB'+BC+CA'=AC+BA'+CB'

③r/\MAC+rAMBA'+r/\MCB'=rAMAB'+r/\MBC+rt\MCA

上述結論中，一定正確的序號是（）

c

A.①B.①②C.①③D.①②③

二、填空題(共16分，每小題2分)

9.分解因式：2/—12x+18=.

10.已知二次函數＞=一_?+2%—4的圖象上兩點/(4,%),8(機/2)，若％=%，則加=

1

11.已知a,〃均為銳角，_B|sincr--|+(tan/?-l7)=0,則。+尸=_.

12.若關于x的方程狽2+云+。=()的解是再=3,々=—5,則關于〉的方程

Q(y-1)?+6(y-1)+c=0的解是.

13.在平面直角坐標系中，直線V=G與雙曲線y=2交于點(1,-2)和點2,則點3的坐標為

尤

14.某校學生會在同學中招募志愿者作為校慶活動講解員，并設置了“即興演講”“朗誦短文”“電影片段配

音”三個測試項目，報名的同學通過抽簽的方式從這三個項目中隨機抽取一項進行測試.甲、乙兩位同學

報名參加測試，恰好都抽至獷即興演講”項目的概率是.

15.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1,/、B、C、。均落在格點上.

（1）S&BDC:S&BAC=

(2)點P為8。的中點，過點尸作直線/P8C,過點2作于點過點C作CW，/于點N,則

矩形BCNM的面積為

16.圖1是放在水平桌面上的高腳杯的截面圖，杯體NC5呈拋物線狀(杯體厚度不計)，點C是該拋物線

的頂點，CZ>=6cm,￡尸=2cm,。是￡尸的中點.當高腳杯中裝滿紅酒時，液面48=4cm,此時最大深

度（液面到最低點的距離）為4cm.現將高腳杯繞點尸緩緩傾斜倒出部分紅酒，當傾斜角a=45°時停

止，此時液面為G5,如圖2所示，則此時酒杯內紅酒的最大深度是cm.

圖1圖2

三、解答題（共68分，第17-19題，每題5分，第20-21題，每題6分，第22-23題每題5分，第24題

6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）

17.計算：V3tan60°—A/8+1—V2|—（1—.

18.解方程：%2—6x+2=0-

（2）如圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長分別為c,c+l,c+2,求這三張正方形紙片的面積之和.

20.已知：如圖，V48C中，ABAC=90°,AB=AC,點。是邊上的一個動點（不與8、C點重

合），Z1=45°.

(1)求證：AABDs^DCE；

(2)若AE=EC=1,求的長.

21.已知拋物線y=(x—3)(x+l).

(1)直接寫出該拋物線與x軸的交點坐標為；

(2)畫出它的圖象；

(3)若(加，州),(加+2,%)在拋物線上，且外三%，直接寫出"的取值范圍是.

22.如圖，在四邊形/BCD中，AB=4C,ND=90。,BEL4C于點、F,交CD于點、E,連結區4,若

(1)求證：AABFmLACD；

⑵若BF=7,DE=3,求W的長.

23.在四張完全相同的卡片正面寫上數字1、2、3、4,將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將

抽得卡片上的數字記為。；不透明的袋子中裝有標號為1、2、3的三個小球，這些球除標號外都相同，攪

勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標號記為上

(1)先抽取一張卡片，再摸一個球，求a-6=0的概率：

(2)若規定：當時，甲獲勝；否則，乙獲勝.這樣的規則公平嗎？請說明理由.如果不公平，

能否只將袋子中一個球的標號調整為另一個整數，使得規則公平？寫出一個調整方案.

24.如圖，4B是e。的直徑，M是。4的中點，弦CDL/5于點過點。作￡>￡_LC4交C4的延長

線于點E.

E

(1)連接OD,求440。的度數；

(2)求證：與e。相切；

(3)點尸在弧上，ZCDF=45°,DF交AB于點、N.若DE=6,求7W的長.

25.某公園內人工湖上有一座拱橋(橫截面如圖所示)，跨度N8為4米.在距點N水平距離為d米的地

點，拱橋距離水面的高度為〃米.小紅根據學習函數的經驗，對d和力之間的關系進行了探究.

(1)經過測量，得出了d和力的幾組對應值，如下表.

d/米00.611.82.433.64

〃/米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和力這兩個變量中，是自變量，是這個變量的函數;

(2)在下面的平面直角坐標系xQy中，畫出(1)中所確定的函數的圖象;

3

2

F------:-----;------:-------:-----;——?

O12345T

(3)結合表格數據和函數圖象，解決問題：

①橋墩露出水面的高度AE為米；

②公園欲開設游船項目，現有長為3.5米，寬為1.5米，露出水面高度為2米的游船.為安全起見，公園

要在水面上的C,。兩處設置警戒線，并且CE=￡>/，要求游船能從C,。兩點之間安全通過，則C處

距橋墩的距離CE至少為米.(精確到01米)

26.已知拋物線y=ax?+bx+c過點(1,2),頂點(機,")在拋物線y=x之上.

(1)當"取最小值時，a=；

(2)用含m的式子表示a；

(3)已知點/(—2,￡)、5(-1,y2),C(2)3)在拋物線>=分+及+。上，且為〈外〈為，求加的取

值范圍.

27.在V4BC中，ZACB=90°,AC=BC,5c繞點C順時針旋轉角度a(0。<a<360°)得到

DC.

(1)如圖1,若。=30°,連接4D交8c于點E,若NC=6,求。￡的長；

(2)如圖2,若0。<0<90°,CF平分NBCD交4D于點尸,連接瓦L過點C作CG_LZ。，在射線

CG上取點G使得NBGC=45°,連接8G,請用等式表示線段CG、CF、2尸之間的數量關系并證

明；

(3)如圖3,若BC=8,點尸是線段4g上一動點，將C尸繞點P逆時針旋轉90。得到QP,連接Z0,

M為Z0的中點，當2cA1+C。取得最小值時，請直接寫出V4B祖的面積.

28.在平面直角坐標系中，已知點對于點尸給出如下定義：將點尸向右(a?0)或向左

(a<0)平移后|a|個單位長度，再向上S20)或向下(6<0)平移，回個單位長度得到點p,點P'繞點

"逆時針旋轉90。得到點。，稱點。為點尸關于點M的“左平移旋轉點”.已知點尸(-2,0).

Ar

10>

9>

8L

65432-101234s67X91。x

1)

,卜

一3卜

-4

5〉

6k

備用圖

(1)若點點。為點尸關于點M的“1平移旋轉點”，則點。的坐標為;

(2)若點。(1-后,-1),點。為點尸關于點M的“、回平移旋轉點”，求點M的坐標；

7

(3)若e。的半徑為1,/是e。上一點，點。為點尸關于點M的“一平移旋轉點”，直接寫出尸。長的

4

最大值與最小值.

參考答案

1-8.

【答案】A

【答案】C

【答案】A

【答案】C

【答案】A

【答案】B

【答案】C

【答案】D

9.【答案】2(x—3)2

10.【答案】-2

11.【答案】75。

12.【答案】%=4,%=-4

13.【答案】（—1,2）

14.【答案】』

9

15.【答案】①.5:1②.7.5

16.【答案】迪

8

17.【答案】2-6

18.【答案】再=3+77,x2=3-V7

19.【答案】（1）2（2）7

20.【小問1詳解】

證明：???Z8/C=90°,AB=AC,

??.V4BC為等腰直角三角形，

.■.ZB=ZC=45°,

■■.ZBAD+Z3=180°-ZS=135°,

???Z1=45°,

.?.N2+N3=135。，

；?/BAD=Z2,

又???=NC,

/\ABDS/\DCE；

【小問2詳解】

解：?.?Z￡=￡C=1,

AC=AE+EC=2，

由（1）知V4BC為等腰直角三角形，

；.AB=AC=2,BC=y/2AC=2V2>

設BD=x,則。C=20—x，

由（1）知△ABDs/\DCE,

ABBD

'^C~~CE'

2x

解得：x=V2，

■-BD=42■

21.【小問1詳解】

解：當夕=0時，（%—3乂》+1）=0,

解得，再=3,x2=-1,

可得，拋物線與X軸交點為（-1,0）,（3,0）；

【小問2詳解】

解：當x=0時，J=-3,

拋物線與y軸交點為（0,-3）,

由（1）可知，拋物線與X軸交點為（—1,0）,（3,0）；

-1+3

對稱軸為直線x=-------=1,

2

當％=1時，y=-2x2=-4,

二頂點為（1,—4）,

順次連接各點即可得到拋物線圖象.

解得，m=0,

由圖可知mN0時，乂

22.

【小問1詳解】

證明：???EZ平分NDEP,ND=90°,BE上AC,

AF=AD,

?-?AB=AC,

.?.VAftF等VZCD（HL）；

【小問2詳解】

解：由（1）可知：AABF注AACD,AF=AD,

BF=CD=1,

???DE=3,

CE=4,

■：AE=AE,AF=AD,

V4E*VZ￡Q（HL）,

?1"EF=DE=3,

-CF=4CE2-EF2=V7-

23.【答案】（1）-

4

(2)不公平，理由見解析；將標有數字1的小球改成4,理由見解析

24.【小問1詳解】

解：如圖，連接0。，AD,

E

???43是eO的直徑，CDLAB,

垂直平分CD,

〃是。4的中點，

:.OM=-OA=-OD,

22

小八”OM1

cosZ.DOM==—,

OD2

ZDOM=60°,

y.-：OA=OD,

:MOAD是等邊三角形，

.-.^AOD=60°.

故答案為：60；

【小問2詳解】

證明：?.■C0LN8,48是e。的直徑,

:.CM=MD,

是。4的中點，

AM=MO,

又；ZAMC=ZDM0,

:MAMC^/OMD(SAS),

ZACM=ZODM,

CA//OD,

DE1CA,

DELOD,

???0。是半徑，

.〔DE與e。相切.

【小問3詳解】

解：如圖，連接CE,CN,

于初,

;.M是CD中點，

NC=ND,

QZCDF=45°,

ZNCD=ZNDC=45°,

ZCND=90°,

ZCNF=90°,

由（1）可知NAOD=60°,

:.ZACD=-ZAOD=30°,

2

在Rtz\C￡）￡中，ZE=90°,ZECD=30°,DE=6,

CD=DE=12,

sin30°

在RtzXOVD中，ZCND=90°,ZCDN=45°,CD=12,

CN=CD-sm450=6y/2，

由（1）知/G4D=2N0AD=120。，

ZCFD=180°-ACAD=60°,

在RtZiOVF中，ZCNF=90°,ZCFN=60°,CN=672-

:.FN=CN=2A/6.

tan60°

25.【小問1詳解】

解：根據函數的定義，我們可以確定，在d和〃這兩個變量中，d是自變量，力是這個變量的函數;

故答案為：d,h；

【小問2詳解】

解：描點，連線，畫出圖象如圖：

解：①觀察圖象，橋墩露出水面的高度/￡為0.88米；

故答案為：0.88；

②設根據圖象設二次函數的解析式為公。屋+4+0.88,

2.38=a+b+0.88

把（1，2.38）,（3,2.38）代入得：］,

2.38=9a+3b+0.88

a=—0.5

解得:

b=2

???二次函數的解析式為%=-0.5理+24+0.88,

令人=2得：-0.5屋+21+0.88=2,

解得公3.3或公0.7,

???則C處距橋墩的距離CE至少為0.7米.

26.【小問1詳解】

解：：頂點（加,〃）在拋物線y=%2上,

???n=m2>0，

???當〃取最小值時，〃=0,m=0,

???頂點坐標為（o,o）,

???6=0,c=0,

將點（1,2）代入y=a/得，〃=2,

故答案為：2；

【小問2詳解】

解：???拋物線歹=。%2+6%+。的頂點（加,加2）,

二拋物線解析式為y=ax2+bx+c=。(x-m)2+m,

將點（1,2）代入得，2=。（1—加廣+加2,

當加=1時，過頂點（1,1）,但此時又過點（1,2）,矛盾，

???加w1

2—m2

???”7一不；

【小問3詳解】

解：???點4（-2,乂）、。（2,8）在拋物線V=Qv2+bx+c=加『+加2上，

-'-y2=Q（加+1）2+加2,必=Q（加+2『+加2,%=4（加一2『+加2,

??.%<必<%，

???a（掰+1）2+加2<〃（加+2『+加2<Q（加一2）2+m2,

整理得2am+〃<4am+4〃<-4am+4a,

2am+a<4am+4aa（2m+3）>0

整理得?

4am+4（2<-4am+4aam<0

2

、［/2—m_廠r-.fa（2m+3）>0C2m+3>0々,3

當。=而二子>0時，由［am<0可z得［m<0，解得一］<加<0，此時

-yj2<m<0；

2

當°=而*<0時，叱或心血，且加W1，由｛磯2*%廣?？傻谩?臚，不等式組無

解；

綜上所述，—也<m<0'

27.【小問1詳解】

解：由旋轉可得/BCD=a=30。，CB=CD=CA,

ACAD=ZCDA,ZT4CL>=900+30°=120°,

ZCAD=ZCDA=ZBCD=30°,

DE=EC,AE=2EC,

在RtzXNEC中，AC2+EC2=AE2，

:.62+EC2=（2ECy,

EC=2百，

DE=EC=26

【小問2詳解】

解：CG=4iCF+BF；

證明：連接8。，2。與CG交于點。，如圖2,

圖2

由旋轉可得/BCD=a,CB=CD=CA,

ZCBD=ZCDB=90°--a,ZACD=90°+a,

2

?：CF平分NBCD,

:.ZBCF=ZDCF=-a,

2

；NBCF義VDCF(SAS),

BF=DF,

NFDB=NFBD,

?/CGIAD,

ZGOD=ZFOC=90°,ZACG=NDCG=-ZACD=45°+-a,

22

ZOCF=ZDCG-ZFCD=45°+-a--a=45°,

22

ZOCF=NOFC=45°,

△OFC是等腰直角三角形，

?-.OC=OF=—CF，

2

???ZFDC=ZOFC-ZFCD=45°--a,

2

ZFDB=ZCDB-ZFDC=(90°-1a)-(45°—ga)=45。，

ZFDB=NFBD=45°,

?/ZBGC=45°,ZGOD=90°,ZFDB=45°,

:.G,B、。三點共線，且VOG。是等腰直角三角形,

OG=OD,

CG=OG+OC=OD+OC=OF+FD+OC=—CF+—CF+BF，

22

整理得CG=V2CF+BF；

【小問3詳解】

解如圖3,過尸作PHJ.ZC交/C于X,交幺。于0,過。作0G,尸H交于G,延長CM交。G

于N,延長CB至E,使CB=BE=8,過A作ZEJ.0G交。G于/，

.??將CP繞點P逆時針旋轉90°得到QP,

CP=QP,NC尸0=90。，

?/QH1PH,PHLAC,

ZCPQ=ZPHC=ZPGQ=90°,AHPC=ZPQG=90°-ZGPQ,

VPHC^V0GP（AAS）,

PH=GQ,GP=CH,

設GP=CH=a,

?：ZACB=90°,AC=BC=8,

AH=AC-CH=S-a,ABAC=AAPH=45°,

AH=PH=GQ=8—a,

:.GH=GP+PH=8=BC,

：.四邊形5cHG是矩形，

???點8在。G上，CBLQG,HC=BG=a,

四邊形ZC8尸是正方形，

BF=AF=8,

?:AH=GQ=8—a,ZAHP=ZPGQ=90°,ZGOQ=ZAOH,

..VZHO咨VQGO(AAS),

OG=OH,OA=OQ,

,。為Z。的中點，

為幺。的中點，

:.M與。重合，SVABM=-SVABQ>

:.MG=MH=OG=OH,

V7WG絲VCNH(ASA),

:.CM=MN,NG=CH=a

CN=2CM,NQ=NG+GQ=8-a+a=8=AC,

四邊形ZC0N是平行四邊形，

CQ=AN,

?:CB=BE=8,CBLQG,

CN=NE,

2CM+CQ=CN+AN=AN+NE>AE,

.,.當A、N、E三點共線時2cM+C0取得最小值，此時V4WV四V￡8N,

：.FN=BN=-BF=4=2a,

2

a=2,

GB=〃=2,GQ=8—Q=6,

??.BQ=G