北京市昌平區(qū)東方紅學校

2024-2025學年高三第一學期開學考試數(shù)學試卷

考生注意：

1.本試卷共3頁，三大題21小題；卷面滿分150分.

2.考試時間120分鐘.

3.一律用藍、黑色筆答題，一律答在答題紙上.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分，在每小題的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

L若集合人小eZ|G2},八{+2小3},則…=（）

A.1x|0<%<3}B.|x|-2<%<4}C.{0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由五<2，則0KxW4,

所以A=卜ez|VxW2}={xeZ10WxW4}={0,1,2,3,4},

又5={%卜2Vx<3},

所以A5={0,l,2,3}

故選：C

2.已知復數(shù)2="①（i是虛數(shù)單位），則z的虛部是（）

2+i

A.1B.75C.iD.75i

【答案】A

【解析】

【分析】由復數(shù)的除法運算，代入計算，即可求解.

5+5i史則匕i）=3+i

【詳解】z的虛部是1.

（2+i）（2f

故選：A.

3.二項式［x+工)的展開式中常數(shù)項是()

A.1B.4C.6D.0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項式［x+工］展開式的通項公式，令x的指數(shù)為0,即可求出對應展開式的常數(shù)項.

【詳解】二項式［x+工］展開式的通項公式為4M=C；X4f［L］=C/4-2r,

Ix)\x)

令4—2廠=0,得廠=2,所以展開式的常數(shù)項為c：=6.

故選：C.

4.設q,人是非零向量，則“a=—>或a=6”是—b)=0”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】若a=—6,則a+b=0,所以—》)=0,

若a=6，則”6=0，所以(。+葉(。叫=0,

故由“a=—人或.=人”推得出乂°+今(">)=0"，即充分性成立；

若(a+B>(a—5)=0,則J_『=o，所以.|=忖,

所以由“(a+b》(a—Z?)=0"推不出“a=_b或a=6"，故必要性不成立；

所以“a=—人或a=6”是“(a+今(a—b)=0”的充分不必要條件.

故選：A

5.直線y=x+l被圓(x—2)2+(y—3)2=1所截得的弦長為()

A.1B.73C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓心(2,3)在直線y=x+l上可得結果.

【詳解】由己知得圓心為(2,3),半徑廠=1，

因為圓心(2,3)在直線x—y+l=O上，

所以直線＞=x+l被圓(x—2)2+(y—3)2=1所截得的弦長為2.

故選：C

6.將函數(shù)/(x)=cos(2x-j圖象上的所有點向左平移g個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則()

A.g(x)=cos12x—TjB.g(x)在—!■，!■上單調(diào)遞增

C.g(x)在0,|上的最小值為半D.直線x=:是g(x)圖象的一條對稱軸

【答案】D

【解析】

【分析】由平移變換內(nèi)容得g(x)=dx+g[=sin2x可判斷A；求出g(x)的增區(qū)間可判斷B；依據(jù)2x

的范圍即可求出g(x)的值域即可判斷C；根據(jù)對稱軸方程求解g(x)的對稱軸方程即可判斷D.

【詳解】對于選項A,由題意，可得

g(x)=/1+g)=cos+

71=cos|2x+—|=sin2x,

6I2J

故A錯誤;

jrjr

兀771

對于選項B,4'--+2fer<2x<—+2hr(Z：GZ),=>-----\-kn<x<+kn{kGZ),

44

所以g(x)在一：,(上單調(diào)遞增，故B錯誤;

jr2兀

對于選項C,因為XC0,J,所以2xe0,—,故sin2xe[o,l],

.?.g(x)在0,|上的最小值為0,故C錯誤；

對于選項D,函數(shù)g(x)=sin2x的對稱軸方程為2x=E+三(左eZ),

化簡可得X=」+工僅eZ）,取左=0,可得X=°,

24V74

所以x=:是g（x）圖象的一條對稱軸，故D正確.

故選：D.

5兀

7.若一圓錐的側面展開圖的圓心角為二，則該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為（）

6

4355

A.-B.-C.—D.—

551213

【答案】c

【解析】

【分析】設圓錐的底面圓半徑為「，母線長為/,利用側面展開圖條件建立/與r的關系式，作出圓錐軸截面

圖，證明并求出線面所成角的余弦值即可.

作出圓錐的軸截面圖S4B,設圓錐的底面圓半徑為乙母線長為/,依題意可得，—l=2nr,

6

r5

即一=一，因頂點S在底面的射影即底面圓圓心。，故母線SB與底面所成的角即Z.SBO.

I12

丁5

在RtzXSQB中，cos/SBO=—=—.

I12

故選：C.

22

8.已知耳,用分別為雙曲線C:=—1=1（?！?］〉0）的左、右焦點，過瑪?shù)闹本€與雙曲線。的左支交

ab

于A,3兩點，若|時|=2閨/=4,|43|=|%|,則雙曲線C的焦距為（）

A.B.C.-D.2.73

332^

【答案】B

【解析】

【分析】利用雙曲線定義、已知條件求出。、|叫|,設'=行天，由余弦定理、

cosZBF^+cosZAF^=0求出c可得答案.

【詳解】如圖，由于|時|=2|耳目=4,|AB|=|%|,

有2a=忸閭—忸耳|=6—2=4,可得。=2,

又由|A閭=|AFj|+2a,可得設c=Ja2+及，

4+4*_364r2-32r2-8

在△A3耳耳中，由余弦定理有COS/B片乙=-----------=--------=------

2x2x2c8c2c

2

1￡.L4r-644c2—48。2—12

在△人與心中，由余弦定理有cosNA^E,=242—

16c4c

又由ZAFF=兀，有cosZAF^=0,

ZBFXF2+12COSZBF{F2+

可得匚U=o,解得c=馬旦，所以雙曲線c的焦距為上叵.

2c4c33

“、（—ci—5]x—2,x>2/、f（x）

9函數(shù)?。?+2""3"<2'若對任意"的"9），都有個「2<0成立，

則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.[-4,-2]

C.（—5,—1]D.[-5,-4]

【答案】A

【解析】

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?qū)θ我?%），都有'〃<0成立,

可得/（九）在R上是單調(diào)遞減的,

—ci—5<0

則—(a—1)22,解得YWaW—1.

22+2(a-l)x2-3a>(-o-5)x2-2

故選：A

10.己知集合A=1—4,—3,—若a,dceA且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)，對數(shù)函

數(shù)y=log/,幕函數(shù)y=X。中至少有兩個函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減的有序數(shù)對S，仇C)的個數(shù)是

()

A.36B.42C.72D.84

【答案】C

【解析】

【分析】分類討論單調(diào)性，結合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.

【詳解】若〉=優(yōu)和〉=108/,%在(。,+8)上單調(diào)遞減，>=必在(0,+8)上單調(diào)遞減增，

則0<a<l,0<b<l,c>0,此時有序數(shù)對(a,6,C)的個數(shù)有：A>CL=18個；

若丁=口工和>=優(yōu)在(0,+co)上單調(diào)遞減，y=log,x在(0,+co)上單調(diào)遞增，

則0<a<l/>l,c<。，此時有序數(shù)對(。,瓦c)的個數(shù)有：C；=18個；

若y=log,x和y=必在(0,+co)上單調(diào)遞減，y=優(yōu)在(0,+co)上單調(diào)遞增,

則0<b<l,a〉l,c<0,此時有序數(shù)對(。，4c)的個數(shù)有：C；C-C；=18個；

若y=a*、y=logb%和y=優(yōu)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

則0<Z?<l,0<a<l,c<0,此時有序數(shù)對(a,6,c)的個數(shù)有：A，C；=18個；

綜上所述：共有18+18+18+18=72個.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于恰當?shù)倪M行分類，做到不重不漏，由此即可順利得解.

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=—二+lnx的定義域是.

x+1

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結果.

x>0

【詳解】由題意得，C，.?.龍〉0

%+1^0

故答案為:(0,+8)

【點睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

12.已知雙曲線。：工一匕=1,則C的右焦點的坐標為；C的焦點到其漸近線的距離是

63

【答案】①.(3,0)②.73

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可得出雙曲線C的右焦點坐標，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直

線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.

【詳解】在雙曲線C中，a=Ab=5則。=加+加=3,則雙曲線C的右焦點坐標為(3,0),

雙曲線。的漸近線方程為y=土乎x,即x±0y=O,

=W>.

所以，雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為

故答案為：(3,0)；yfi.

【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標準方程求雙曲線的焦點坐標以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，

屬于基礎題.

44

13.在VABC中，若a=2,tanA=——,cosB=~,則b=.

35

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得sinAsinB的值，結合正弦定理，即可求解.

4443

【詳解】因為tanA=——,cosB=—,且A,Be(0,兀)，可得sinA=—,sin_B=—,

3555

c3

又因為a=2,由正弦定理得a=b,所以匕=竺電曰=^=2.

sinAsinBsinA42

5

3

故答案為：一.

2

14.已知兩點K(TO),耳(1,0).點尸(cos。,sin。)滿足|「印=則-P片工的面積是一；。的一

個取值為.

171

【答案】①.一##0.5②.一(答案不唯一)

26

【解析】

【分析】根據(jù)條件求出點尸的軌跡方程，聯(lián)立方程后求點尸的坐標，即可求解面積和角的取值.

122

【詳解】由點P(cos6,sin0)可知，cos6>+sin6?=l；所以點尸在圓必+/=1,

且|尸月|-|尸鳥|=魚，則點P在雙曲線的右支上，其中2a=J5，2c=2,b2=c2-a2=1,則雙曲線

方程為2f_2y2=1,%〉。

fx2+y2=1L-6

聯(lián)立2好-2/=1,解得：12或12；

C11

x〉(_)y=—y=—

122

則「耳工的面積5=3*|483乂=；*2*；=；；

當x=——,y=工時，tan0=——，0=—+2hi,左eZ,

2236

當x=y——■^時，tan0――---，0=----1-2kli,左eZ,

2-236

7T

則其中。的一個取值是

6

1兀

故答案為：一；一(答案不唯一)

26

15.若存在常數(shù)左和6,使得函數(shù)/(%)和g(x)對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：f(x)>kx+b

和g(x)WAx+Z?恒成立或(/(%)<近+/?和g(x)之質(zhì)+/?恒成立)，則稱此直線y=Ax+b為/(%)和

g(x)的“隔離直線”.已知函數(shù)〃x)=d,g(x)="<0),有下列命題：

X-

①直線y=0為/(尤)和g(x)的“隔離直線”.

②若y=—x+匕為/(%)和g(x)的“隔離直線”，則6的范圍為—4,一；.

③存在實數(shù)%,使得/(尤)和g(x)有且僅有唯一的“隔離直線”.

④/(X)和g(x)之間一定存在“隔離直線”,且b的最小值為T.

其中所有正確命題的序號是.

【答案】①④

【解析】

【分析】根據(jù)“隔離直線”的定義逐個分析判斷即可

【詳解】對于①，因為當x<0時，/(x)=x2>0,g(%)=-<0,所以直線y=。為和g(x)的

JC

“隔離直線”，所以①正確，

對于②，因為廣T+6為/(%)和g(x)的“隔離直線”，所以尤22—X+5恒成立，所以

b<x2+x=(%+—-—，所以匕

(2)44

L?-x+b(x<0)恒成立，所以b2x+L(x<0)恒成立，

XX

因為％+,=一(-%)+—<-2j(-x)--=-2(x<0),當且僅當—x=」-即x=—1時取等號，所以

x__x_V_x一%

b>-2,

綜上一2?6?-工，所以②錯誤，

4

對于③④，設/(x)=%2,g(x)=L(x<0)之間的隔離直線為丁=丘+6,即日+0，

JC

d—Ax—bNO恒成立，所以左2+4bW0，所以640，

因為工〈息+。(*<0),所以扇+桁一1W0(尤<0)恒成立,

x

當左>0時，不合題意，

當左=0,6=。時，符合題意，

b

當左<0時，y=kx2+bx-l,對稱軸x=---<0,

-2k

所以只需滿足廿+4左WO，

所以左24b且/左，

所以44?16〃W—64左，所以7<女<0,

同理可得

所以和g(x)之間一定存在“隔離直線”,且6的最小值為Y,“X)和g(x)之間有無數(shù)條“隔

離直線”，且實數(shù)人不唯一，所以③錯誤，④正確，

故答案為：①④

三、解答題共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.如圖，在三棱柱ABC—中，平面ABC，D,E分別為AC,AG的中點,

AB=BC=布,AC…=2.

(1)求證：ACJ_平面瓦汨；

(2)求直線。石與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵逅

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)4。15。證得4。，平面3/汨；

(2)建立空間直角坐標系D-孫z,平面/WE的一個法向量為加=(2,1,1),DE=(0,0,2),用空間向量

求解直線DE與平面4適所成角的正弦值.

【小問1詳解】

在三棱柱43。-4四。1中，因為平面ABC,ACu平面ABC,所以A&LAC.

又￡>,E分別為AC,的中點，則。E〃AA「所以ACLDE.

因為=為AC中點，所以ACIBD.

又BDDE=D,￡)Eu平面3￡>E,u平面3DE,

所以AC，平面BOE.

【小問2詳解】

由(1)知AC，DE,AC，5。，DEHAA,.

又至上平面人臺。，所以平面ABC.

因為BDu平面ABC,所以。E，B￡),

所以ZM,DE兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標系。-孫z,

則0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,2,0),E(0,0,2),

所以0E=(0,Q,2),AB=(-1,2,0),AE=(-1,0,2).

設平面ABE的一個法向量為m=(x,y,z),

m-AB=0,[-x+2y=0,

則即＜"

m-AE=0,[r+2z=0.

令y=i,貝1]%=2,2=1.于是加=(2』,1).

設直線DE與平面ME所成角為a,則sina=|cos(m,DE)|=吠匹=—.

\m\\DE\6

所以直線DE與平面ABE所成角的正弦值為逅.

6

17.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+e)+cos2x,其中|如＜^.再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已

知，使/(x)存在，并完成下列兩個問題.

(1)求0的值；

JTJT

(2)當xe時，若曲線y=/(x)與直線y=m恰有一個公共點，求加的取值范圍.

63_

條件①：dW=T；

條件②：-1是/(%)的一個零點;

71

條件③：/(0)=/

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】(1)答案見解析

(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)選擇的條件代入計算，結合角的范圍即可利用特殊角的三角函數(shù)值求解e=-B，

6

jr

(2)由和差角公式以及輔助角公式化簡/(x)=sin(2x+—),由整體法即可代入求解.

6

【小問1詳解】

選條件①：/[《]=sin[]+e[+cos；=—lnsi"[]+0]=—|■無意義，所以選條件①時/(x)不存

在，故不能選①，

選條件②.

由題設f(-----)=sin(-------1-(p)+cos(----)=0,所以sin(e——)=—.

126662

因為后<°<^，所以-字所以=

22363o3

所以夕=-，JT

O

選條件③，由題設sine+cosO=sin寺+@+cos].整理得sin(9.)=-1.

以下同選條件②.

【小問2詳解】

由(1)f(x)=sin(2x-^)+cos2x=——sin2xd-—cos2%=sin2x+—

622I6

E、r兀//兀兀c71571

因為——<x<—,所以——W2x+—W-.

63666

于是，當且僅當2X+5=W，即x=2時，/(%)取得最大值1;

626

IT7T711

當且僅當2%+:=—，即％：時，/(%)取得最小值—.

6662

▼c71571兀_p.,71..5711

X+—=—,R即nxn時，/(—)=sin—=—.

oo3362

且當一梟2》+=無時，/（九）單調(diào)遞增，所以曲線y=/（x）與直線,=加恰有一個公共點，則

666'/

11

一一＜機＜一或加=1

22

冽的取值范圍是—g，gju{1}?

18.在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上（含9.50m）的同

學將獲得優(yōu)秀獎.為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到

如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（2）設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；

（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）

7

【答案】（1）0.4（2）j

（3）丙

【解析】

【分析】（1）由頻率估計概率即可

（2）求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.

（3）計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.

【小問1詳解】

由頻率估計概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為。4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為0.4

【小問2詳解】

設甲獲得優(yōu)秀事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件42,丙獲得優(yōu)秀為事件4

---------3

尸（X=0）=尸（444）=0.6x0.5x0.5=—,

尸（X=1）=尸（A4A）+P（44A）+尸（444）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

p（x=2）=p（44&）+p（a44）+P（A4A）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——

20

P(X=3)=P(A44)=0.4x0.5x0.5=.

???X的分布列為

X0123

3872

P

20202020

【小問3詳解】

丙奪冠概率估計值最大.

因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為工，甲獲得9.80的概率為工,

410

乙獲得9.78的概率為士.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.

19.已知橢圓E:三+斗=1（?！怠！?）的一個頂點為A（0,l）,焦距為26.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）過點尸（-2,1）作斜率為左的直線與橢圓E交于不同的兩點8,C,直線AB,AC分別與x軸交于點

N,當|MN|=2時，求％的值.

V-2

【答案】（1）—+/=1

(2)k=Y

【解析】

b~\

【分析】（1）依題意可得2c=26,即可求出。，從而求出橢圓方程;

c2=a2-b2

（2）首先表示出直線方程，設3（無C（x2,y2）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由直線

AB.AC的方程，表示出為、根據(jù)|八四|=|/—x"|得到方程，解得即可;

【小問1詳解】

解：依題意可得6=1,2c=26，又02="一加，

所以a=2,所以橢圓方程為三+＞2=1；

4

【小問2詳解】

解：依題意過點尸(―2,1)的直線為y—1=左(％+2),設3(不%)、C(%,%),不妨令

-2<Xj<x2<2,

y-1=%(%+2)

由＜X221消去y整理得(1+4左2)V+06左2+8左)龍+16左2+16左=0,

—+y-=1

[4'

所以A=(1642+8左『一4(1+4/)06/+16左)>0,解得左<0,

1642+8左1642+16左

所以/+X,=—X1?X,=------；—

1+442121+442

直線的方程為y—1=2^尤，令y=。，解得稅=產(chǎn)

石1-X

1%—1XQ

直線AC的方程為＞一1=二一％,令y=。，解得XN=L

x21一%

所以|MN|=E-拓|=尸一-

i-y2if

_x2再

—1—[.(％2+2)+1]―1—[.(％1+2)+1]

_左(冗2+2)Z(玉+2)

(々+2)%—々(％+2)

k(x?+2)(須+2)

2|石一司=2

[磯馬+2)(%+2)'

所以上一百=網(wǎng)(七+2)(玉+2),

即J（X］+々）~-4石々=陽［々石+2（%+f）+4］

2

Bn\（1642+8左丫,16k+16k⑺「16%2+16kJ16k2+8公

即』--------丁-4x-------=^------+2--------廠

l+4k2）1+4F111+4公11+4左2J

即］+'J（242+1）2_0+4左2）①+上）+16左一206左2+8左）+4（1+4k2）］

整理得8Q=4閥，解得左=T

20.已知函數(shù)/■(無)=e」n(l+x).

(1)求曲線y=/(%)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)設g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性;

(3)證明：對任意的s,/e(0,+8),<f(s+t)>f(s)+f(t).

【答案】(1)V=x

(2)g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；

(3)令鞏x)=/(x+f)-/(x),(xj>0),即證鞏％)>m(0),由第二問結論可知〃7(x)在［0,+8)上

單調(diào)遞增，即得證.

【小問1詳解】

解：因為/(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切點坐標為(0,0),

X/,(x)=eJ;(ln(l+x)+-1-),

1+x

切線斜率左=/'(0)=1

???切線方程為：丁=%

【小問2詳解】

解：因為g(x)=/'(x)=e*(ln(l+%)+」一),

1+x

21

所以g'(x)=e*(ln(l+x)+---------r),

1+x(1+x)

令3i(l+x)+占-.’

則〃(x)=」------二+="^=上鄉(xiāng)〉0,

1+x(l+x)~(1+x)、(1+X)3

h(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

：.h{x}>/z(0)=1>0

g'(尤)>0在［。,+8)上恒成立，

g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

解：原不等式等價于/(5+0-/")>/⑺一f(0),

令zn(x)=/(無+/)-/(尤)，(%,?>0),

即證機(%)>m(0),

'/m{x)=于(x+?)-/(x)=ex+zln(l+x+t)-exln(l+x)，

QX+,QX

m\x)=cx+,ln(l+x+0H-------QXln(l+x)----=g(x+/)-g(x),

1+x+t1+x'

由(2)知8。)=/口)=6':(111(1+；0+白)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

g(x+f)>g(x),

m(x)>0

M(X)在(o,+8)上單調(diào)遞增，又因為x,/>0,

m(x)>m(0),所以命題得證.

21.已知｛a“｝是無窮數(shù)列.給出兩個性質(zhì):

①對于｛4｝中任意兩項4?嗎(，>/),在｛凡｝中都存在一項。加，使」~=%；

aj

2

②對于｛%,｝中任意項a“(〃..3),在｛%｝中都存在兩項如，。/(4〉0.使得4=".

al

(1)若。"="("=1,2,「)，判斷數(shù)列｛4｝是否滿足性質(zhì)①，說明理由；

(11)若4=21(〃=1,2,),判斷數(shù)列｛%｝是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；

(III)若｛4｝是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：｛4｝為等比數(shù)列.

【答案】(I)詳見解析；(H)詳解解析；(III)證明詳見解析.

【解析】

【分析】(I)根據(jù)定義驗證，即可判斷；

(II)根據(jù)定義逐一驗證，即可判斷；

2

(III)解法一：首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，然后證明為=&,最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列

即可.

解法二：首先假設數(shù)列中的項數(shù)均為正數(shù)，然后證得％，/，％成等比數(shù)列，之后證得％,外,%，%成等比

數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.

29

22

(II)QVz,jeN*,i>j,d=2⑵tz,2i-jeN*:.生=｛an｝具有性質(zhì)①；

ajaj

2

nl

QV"eN*,"23日左=〃一1,/=〃一2,生=產(chǎn)a=2-=an,:.｛a,,｝具有性質(zhì)②;

ai

(III)解法一

首先，證明數(shù)列中的項數(shù)同號，不妨設恒為正數(shù)：

顯然見wO(〃N*),假設數(shù)列中存在負項，設乂=max｛川4<0｝,

第一種情況：若M=1,即/<0<。］<出<%<,，

22

由①可知：存在叫，滿足4=—<0,存在加2，滿足&<0，

1

ax4

由No=1可知&=幺，從而a,=%，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設不成立.

%q

al

第二種情況：若乂22,由①知存在實數(shù)加，滿足〃〃二』<（）,由N。的定義可知：m<N0,

a｛

22

a

另一方面，am=—>—=Nn>由數(shù)列的單調(diào)性可知：加>No，

這與No的定義矛盾，假設不成立.

同理可證得數(shù)列中的項數(shù)恒為負數(shù).

綜上可得，數(shù)列中的項數(shù)同號.

2

其次，證明為=&■:

利用性質(zhì)②：取〃=3,此時％="（左>/），

由數(shù)列的單調(diào)性可知ak>a,>Q,

而。3=4,工〉W，故左<3,

%

2

此時必有k=2,1=1,即生=二，

ax

最后，用數(shù)學歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列:

假設數(shù)列｛??｝的前左（左>3）項成等比數(shù)列，不妨設&=（1WsWk）,

其中弓〉。,“〉：!，（％<0,0<q<l的情況類似）

2

由①可得：存在整數(shù)加，滿足=—^=4不>以，且。機=%■>以+i（*）