重難點03指、對、塞數的大小比較問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用函數的性質比較大小】............................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................2

【題型3特殊值法比較大小】...................................................................3

【題型4作差法、作商法比較大小】............................................................3

【題型5構造函數法比較大小】................................................................3

【題型6數形結合比較大小】..................................................................4

【題型7含變量問題比較大小】................................................................4

【題型8放縮法比較大小】.....................................................................5

?命題規律

1、指、對、塞數的大小比較問題

指數與對數是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數

的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數、對數的互化、運算性質，以

及指數函數、對數函數和幕函數的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函

數的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數.

?方法技巧總結

【知識點1指、對、塞數比較大小的一般方法】

1.單調性法：當兩個數都是指數累或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或募函數的函數值,

然后利用該函數的單調性比較，具體情況如下：

①底數相同，指數不同時，如優，和利用指數函數y=罐的單調性；

②指數相同，底數不同時，如￥和石，利用累函數y=x"單調性比較大小；

③底數相同，真數不同時，如log”玉和log,%,利用指數函數log,X單調性比較大小.

2.中間值法：當底數、指數、真數都不同時，要比較多個數的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；

(2)可以對區間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數法：

構造函數，觀察總結“同構”規律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”

規律，所以可能優先從結構最接近的的兩個數來尋找規律，靈活的構造函數來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數；

(2)指數和幕函數結合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數的性質比較大小】

3

【例1】（2024.湖南衡陽.模擬預測）已知。=3。，3,b=0.3,c=log033,則a,b,c的大小關系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

21

【變式1-1]（2024?四川自貢?三模）已知a=log25b=I?。？，c=0.5,貝!Jc的大小關系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【變式1-21（2024?貴州貴陽?三模）已知a=403）=Qog4a），c=logKIog4），則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

a

【變式1-3]（2024?山東泰安?模擬預測）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,則a,瓦c的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知a=e°\b=1-21g2,c=2-log310,則m0,c的

大小關系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

i

【變式2-1]（2024?陜西銅川?模擬預測）已知a=g）之*=Sg65,c=log56,貝!J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【變式2-2]（2024?山東濰坊?二模）已知a=eT,b=Iga,c=e°,貝!j（）

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

31

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知。=0.5,b=log090.3,c=logi1,貝!Ja,b,c的大小關系為()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【題型3特殊值法比較大小】

-03-06

［例3］（2024.陜西商洛?模擬預測）設a=log050.6,b=O.49-,c=O.6,,則a,b,c的大小關系是

（）

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

b

【變式3-1］（23-24高二下?云南玉溪?期中）已知實數a,hc滿足2。+a=2,2+b=V5,c=log163,則

（）

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【變式3-2］（2024?寧夏銀川?二模）若a=log“，b=（1）4,c=log34,d=［則（）

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

i

【變式3-3］（2024?天津和平?一模）設（J=2,b=logi3—logi9,c=g）3,則有（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【題型4作差法、作商法比較大小】

_1

1

【例4】（2023?四川成都?一模）若a=31b=（|）3,c=logi|?則a，b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【變式4-1】（2023.貴州六盤水.模擬預測）若。=三一=詈，。=?,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式4-2］（2024.四川成都.二模）若a=ln26,b=41n2-ln3,c=（l+ln3）2,則見hc的大小關系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【變式4-3］（2024.全國.模擬預測）若a=2。，,一=3"25,c=logo7OS則a,仇c的大小關系為（

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【題型5構造函數法比較大小】

【例5】（2024?全國?模擬預測）已知a=Ing,b=ln7xln2,c=則（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

1r_

【變式5-1］（2024?全國?模擬預測）設a=5"b=-,c=log5,則a,b,c的大小關系為（）

44

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【變式5-2]（2024.天津和平.一模）已知a=logo20.3,b=log0,30-2,c=log23,則a,b,c的大小關系為（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【變式5-3]（2023?河南?校聯考模擬預測）已知實數見hc滿足小+log2a=0,2023一》=log2023^c=

log7V6,則（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【題型6數形結合比較大小】

【例6】（2024?河南?模擬預測）已知a=Imr,b=log?%c=S?ln2,則a,4c的大小關系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【變式6-1]（2023?江西贛州?二模）若log?%=log4y=logsz<一1，則（）

A.3%<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x

【變式6-2］（2024?全國?模擬預測）已知a=6）=logaha，=logK，則實數a,瓦c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【變式6-3]（2024?廣東茂名?統考一模）已知％y,z均為大于0的實數，且知=3、=logsz,則居y,z大小關

系正確的是（）

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【題型7含變量問題比較大小】

【例7】（23-24高三上?天津濱海新?階段練習）設a、b、c都是正數，且4a=6匕=9。，則下列結論錯誤的是

（）

A.c<b<aB.ab-Vbe=acc.4”?9”=4a?9，D.-=---

cba

【變式7-1］（2024?江西?模擬預測）若ae。=blnb（a>0）,則（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

【變式7-2］（2023?全國?模擬預測）已知a,b,c均為不等于1的正實數，SAnc=alnb,\na=bine,則a,瓦c的

大小關系是（）

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）已知正實數a,b,c滿足e。+e-2。=e。+口-b=log23+log86,c+

log2c=2,則〃，Z?,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?陜西西安?模擬預測）若a=0.31L5,b=3g312,c=log26,d=[三,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

i

4

【變式8-1]（2023?河南鄭州?模擬預測）已知a=log35,b=2（|）,c=31og72+log87,貝H（）

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【變式8-2]（2023上?安徽?高二校聯考階段練習）已知a=g-g,b=63,c=log53-]log35,則（）

9

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【變式8-3]（2024?全國?模擬預測）已知a=log8」4,b=log3xe,c=ln2.1,,則（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

?過關測試

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）設a=log62,b=log123,c=log405,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

2.（2024?安徽宿州?一模）已知3m=4,0=2力-3,/7=4血一5,則（）

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

3.（2024?貴州畢節?一模）已知a=31og83,b=-^logil6,c=log43,則a,b,c的大小關系為（）

23

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

0.7zox0.7

?，b=G），c=log式log34）,則（）

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

5.(2024?云南昆明?模擬預測)已知a=而,b=ln2,c=log32,則a,瓦c的大小關系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

a2aq3b5C

6.(2024?陜西寶雞?一模)已知實數a,b,c滿足三=三=Og=2,貝。()

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

7.(2023?湖南永州?一模)已知a=log3H,b='；—--,c=——，則()

10g3TT-l2-lOg37T

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

8.(2023?陜西西安?一模)已知函數/(%)=-2%,若2。=logzb=c,則()

A./㈤</(c)<f(a)B./(a)</(h)</(c)

C.f(a)</(c)<f(b)D./(c)</(h)</(a)

二、多選題

9.(2024.河南洛陽.模擬預測)下列正確的是()

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2n—1

001

c.logi,85<log175D.log33.01>e-

10.(2024.重慶?模擬預測)若b>c>1,0<a<1,則下列結論正確的是()

aa

A.b<cB.log^a>logca

aa

C.cb<bcD.b\ogca>clogba

11.(2024.重慶.一模)已知3a=5匕=15,則下列結論正確的是()

A.Iga>IghB.a+b=ab

C-(1>(乎D.a+b>4

三、填空題

1

12.(2023?北京昌平.二模)3-2,27og25三個數中最大的數是.

1A

13.(2024?北京通州?三模)已知a=2-,b=logif,c=log23,則三者大小關系為______(按從小到大

43

順序)

14.(2023?吉林長春?模擬預測)已知a=log魚?，b=(y)',c=In則a,b,c的大小關系為.

四、解答題

15.（23-24高一?全國?隨堂練習）已知x=Inn,y=log52,z=e~2.

（1）比較x,y的大小；

（2）比較y,z的大小.

16.（23-24高三?全國?對口高考）（1）比較￡1%"與>0,6>0）的大小;

（2）已知a>2,比較log（a-i）a與logja+1）大小

17.(23-24高一?湖南?課后作業)比較a,b,c的大小：

22

(1)已知l<x<2,a=(log2x),b=log2x,c=log2(log2x)；

(2)已知a=log36,b=log510,c=log714.

18.（23-24高一上.廣東江門?階段練習）已知正實數x,y,z滿足3工=4〃=62.

(1)求證：1-1=^；

zx2y

(2)比較3x,4y,6z的大小.

19.（23-24高一上?廣東廣州?階段練習）已知函數/（無）=總

⑴判斷并證明函數f(%)在區間(0,+8)上的單調性;

⑵已知Q==/Qog25),c=/(0.2S),試比較三個數〃，b,c的大小，并說明理由.

重難點03指、對、塞數的大小比較問題【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用函數的性質比較大小】............................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................2

【題型3特殊值法比較大小】...................................................................3

【題型4作差法、作商法比較大小】............................................................3

【題型5構造函數法比較大小】................................................................3

【題型6數形結合比較大小】..................................................................4

【題型7含變量問題比較大小】................................................................4

【題型8放縮法比較大小】.....................................................................5

?命題規律

1、指、對、幕數的大小比較問題

指數與對數是高中一個重要的知識點，也是高考必考考點，從近幾年的高考情況來看，指、對、幕數

的大小比較是高考重點考查的內容之一，是高考的熱點問題，主要考查指數、對數的互化、運算性質，以

及指數函數、對數函數和幕函數的性質，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函

數的性質與圖象來求解，解題時要學會靈活的構造函數.

?方法技巧總結

【知識點1指、對、幕數比較大小的一般方法】

1.單調性法：當兩個數都是指數累或對數式時，可將其看成某個指數函數、對數函數或幕函數的函數值,

然后利用該函數的單調性比較,具體情況如下:

①底數相同，指數不同時,如〃和煩，利用指數函數y=優的單調性;

②指數相同，底數不同時,如<和其，利用累函數y=x"單調性比較大小;

③底數相同，真數不同時,如log“占和log.9,利用指數函數log”x單調性比較大小.

2.中間值法：當底數、指數、真數都不同時，要比較多個數的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內再利用函數的性質比較大小，借助中間量進行大小關系的判

定.

3.作差法、作商法:

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數不一樣的對數比大小；

(2)作差或作商的難點在于后續變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區間；

(2)可以對區間使用二分法(或利用指對轉化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構造函數法：

構造函數，觀察總結“同構”規律，很多時候三個數比較大小，可能某一個數會被可以的隱藏了“同構”

規律，所以可能優先從結構最接近的的兩個數來尋找規律，靈活的構造函數來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數，利用單調性，放縮底數，或者放縮真數；

(2)指數和募函數結合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數的性質比較大小】

3

【例1】(2024.湖南衡陽.模擬預測)已知a=3°-3,b=0.3,c=log033,則a,b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數函數、對數函數的單調性可得答案.

【解答過程】a=3°，3>3°=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=l°go,33Vlogo.sl=0，/.a>>c.

故選：A.

21

【變式1-1](2024?四川自貢?三模)已知a=log25b=I?。？，c=0.5,則。，b,。的大小關系是()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解題思路】根據對數函數和指數函數的單調性即可判斷.

【解答過程】因為y=log?%在％e(0,+8)上單調遞增，

所以a=log2|<log2l=0即a<0；

因為y=1.2%為增函數，故b=1.2。？>1.2O=1即b>1；

因為y=0.5%為減函數，故0<0.521<0.5°=1即0<c<1,

綜上a<c<b.

故選：A.

【變式1-2](2024?貴州貴陽?三模)已知a=403,力=(log4a)，c=Iog4(log4。)，則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數函數單調性得到a>1,利用指對運算和指數函數單調性得到0<b<1,利用對數函

數單調性得到c<0,則比較出大小.

【解答過程】因為a=40-3>4°=l,b=（log4a尸=0.34<1,且OJ4>0,則0<b<1,

c=log4（log4a）=log40.3<0,

所以a>b>c,

故選：A.

a

【變式1-3]（2024.山東泰安?模擬預測）已知a=log020.3,b=Ina,c=2,則a,b,c的大小關系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】利用對數函數的單調性求得a,b的范圍，根據指數函數的單調性得c的范圍，即可比較大小.

【解答過程】因為y=logo"在（0,+8）上單調遞減，所以logo”<logo.20.3<logo.2（）.2,即0<a<1,

因為y=Inx在（0,+8）上單調遞增，所以InaClnl,即b<0,

因為丫=2丫在R上單調遞增，所以2a>2。，即c>l,

綜上，c>a>b.

故選：D.

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（23-24高三上?天津南開?階段練習）已知a=e°\b=1-21g2,c=2-log310,則a,6,c的

大小關系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解題思路】根據指、對數函數單調性，結合中間值0,1,分析判斷即可.

【解答過程】由題意可得：a=e01>e°=1,

b=l-21g2=1-lg4,且0=Igl<lg4<IglO=1,則0<b<1,

因為logslO>log39=2,則c—2—log310<0,

故選：B.

_1

2

【變式2-1]（2024?陜西銅川?模擬預測）已知a=（J,b=log65,c=log56,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】取兩個中間值1和I，由。=粕>|,匕Vlog66=1,1=log55<CV|即可比較三者大小.

2

【解答過程】a=0=Ve>=|,b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a,

故選：c.

【變式2-2](2024?山東濰坊?二模)已知a=e-1,b=Iga,c=e。，貝！j()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據對數函數和指數函數單調性并結合中間量。和1即可比較大小.

【解答過程】a=e-1G(0,1),b=Iga=Ige-1=—Ige<0,c=e°=1,

所以b<a<c,

故選：A.

31

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知a=0.5,b=log090.3,c=logi|,貝!Ja,b,c的大小關系為()

32

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】根據指、對數函數單調性，結合中間值分析大小即可.

【解答過程】因為y=0.5久在R上單調遞減，則0.53-1<0卬=|,即a</

又因為y=logo,9%在(0，+8)上單調遞減,則logogO.3>logo_90.9=1,即b>1；

可得c=logii=log32,且y=log?、在(0,+8)上單調遞增，

32

貝嚀=log3V3<log32<log33=1,即*c<1；

綜上所述：a<c<b.

故選：D.

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】(2024.陜西商洛?模擬預測)設a=logo,50.6,b=0.49~0-3,c=0.6-°-6,則a,b,c的大小關系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用幕函數、指數函數、對數函數的單調性，結合特殊值判定即可.

【解答過程】因為y=logo.5%在(0,+8)上單調遞減，tUlog0,5l<log0,50.6<Iog0.50.5,即0Va<1.

因為y=”6在(0,+8)上單調遞增，又0.49-03=07-06=管)°.6,。石-“=(j)*

又|>三>1,所以(|)°‘>(三)°6>1。.6,故c>b>L所以c>b>a.

故選：A.

【變式3-1](23-24高二下?云南玉溪?期中)已知實數滿足2。+。=2,2匕+b=遮，c=log163,則

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對數函數單調性得c<I，構造函數/(x)=2x+x,xeR,由函數的單調性得[<a<b及,

即可得出判斷.

【解答過程】由對數函數單調性得，c=log163<log164=log16162=

構造函數/(%)=2X+x,xeR,貝！]/(a)=2。+a=2,f(b)=2b+b—

因為y=2X和y=X單調遞增，所以/(x)單調遞增，

因為2<花,即f(a)<f(b),所以a<b,

又/?(|)=2，+[=噌<2,所以/(a)〉”》，即a>|,

所以c<a<b,

故選：A.

【變式3-2](2024.寧夏銀川?二模)若a=log￡,b=(|)tc=log3td=1則()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解題思路】根據指數函數和對數函數的單調性判斷即可.

43；

【解答過程】因為a=log|5=log3>log3=1，(/<(1)<(0°=(<b<1,

1

log34<log3=0=>c<0,

所以a>b>d>c.

故選：A.

_i

【變式3-3](2024?天津和平?一模)設(J=2,b=logi3-logi9,c=%則有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據指數函數與對數函數的性質，借助特殊值0,可得a最小，再利用〃>c3得出大小.

【解答過程】由0=2可得a=logi2<logil=0,

_i]

3

b=logi3—logi9=logi-=log23>1,c==23=V2>0,

2223\2?

下面比較b,c,

323

因為32>(25)=8,所以3>2*

32

所以b=log23>log222=

而《3=（遮『=2v（I）=孑，故cv',所以c<b,

綜上，b>c>a.

故選：B.

【題型4作差法、作商法比較大小】

【例4】（2023?四川成都?一模）若a=3F,匕=（|）:c=logN|,貝!］a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解題思路】先根據指對函數的單調性可得0<a<l,0<b<l,c>1,再作商比較a,b的大小，從而可

求解.

【解答過程】因為0<a=<3。=1,0<b=（j）-5<（|）°=1,

nq-T1.1111Z11、12/1、12/lx121

令三=—=3一差x2"3=3五x2"3,而（3后x2可=（3五）x（2可=3X2-4=^<1,即3五x

（2）

2~3<1,所以a<b,

又因為c=logij=logi^>logi^>logij=1,所以c>b>a.

故選：D.

【變式4-1］（2023.貴州六盤水.模擬預測）若。=三一=詈，。=?,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結合對數函數y=Inx的單調性分別判斷a,6和a,c的大小關系，即可判斷出a,b,c

的大小關系.

【解答過程】因為b—a=詈一券21n3-31n2In9-ln8>0,所以b>a；

66

下、—八匚、

又7因m為i.c-a=-In5——ln-2=2-1n5—-5-1n2=l-n25-ln-32<0,所以a>c；

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式4-2］（2024?四川成者B?二模）若a=ln26,b=41n2Jn3,c=（l+ln3）2,貝b,b,c的大小關系是（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解題思路】作差法比較a,b的大小，利用對數的性質比較a,c的大小.

【解答過程】a=ln26=(ln2+ln3)2,c=(Ine+ln3)2

因為ln2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=ln26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

則a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即b<a,

所以b<a<c.

故選：D.

【變式4-3](2024?全國?模擬預測)若a=2°”,|=3025,c=logo^OS則a,5c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】利用指數函數的單調性以及對數函數單調性可判斷a,c范圍，比較它們的大小；利用作商法比

較a,b的大小，即可得答案.

【解答過程】因為函數y=2%在R上單調遞增，所以a=20-4<20-5=V2.

111

又:殘=(募款=(舒M瑞茄>】，所以…〈正

因為0.52=0.25<0.343,故0.5<V0343=O.7i,y=logo^x在(0,+8)上單調遞減，

3o

所以logo,7(),5>log070.72=->yj2,所以a<c,

所以實數a,b,c的大小關系為b<a<c,

故選：B.

【題型5構造函數法比較大小】

【例5】(2024.全國.模擬預測)已知a=Ing,b=ln7Xln2,c=則()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】根據0<ln2<1得至Uc的值最大，然后構造函數f(x)=(1-ln2)lnx-ln2,根據/(%)的單調

性和"8)<0得到a<b.

【解答過程】因為0<ln2<l,所以a=ln7-ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比較a,6的大小.

構造函數/'(x)=Inx—ln2—Inx-ln2=(1-ln2)lnx—ln2,

顯然f(x)在(0,+8)上單調遞增.

因為/'(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=f(7)<f(8)<0,所

以a<b,所以a<b<c.

故選：C.

.1耳-

【變式5-1］（2024.全國.模擬預測）設a=5"b=-,c=log5,則mb,c的大小關系為（）

44

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】利用常見函數的單調性比較大小即可.

【解答過程】先比較a和b,構造函數y=/在上（0,+8）單調遞增，

??.（*4=5>黑=（1，??/>：，即a>b;

44

又?「4b=5,4c=410g45=log45,且4、=4x256>5=625,

45

4c=log45<log44=5=4b,:?b>c,

.\a>b>c.

故選：A.

【變式5-2］（2024.天津和平.一模）已知a=\og020^,b=\ogQ30.2,c=log23,則a,b,c的大小關系為（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】利用對數函數的單調性結合二次函數的性質即得.

【解答過程】v0<a=log020.3<1,&=log030.2>1,c=log23>1,

又2=log030.2-log32=?臀=21g2,

cbU.3bJlg3-llg31g23Tg3

因為函數/(%)=/一%=(x—|)2一$在(0,9上單調遞減，且/(0)=0,又因為1>lg3>lg2>0,

所以f(lg3)<f(lg2)<0,所以罌<1，即靄需<1，所以?<1，

/Ug3Jlg^3-lg3C

???b<c,即a<b<c.

故選：C.

【變式5-3](2023?河南?校聯考模擬預測)已知實數見hc滿足小+log2。=0,2023f=log2023^c=

log7V6,貝！J()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構造函數法，結合函數的單調性確定正確答案.

【解答過程】設/(%)=%2+log2X,/(%)在(0,+8)上單調遞增，

又4)=一汴0,/(1)=1>0,所以|<a<l；

設9")=島)"一1Og2023久，9(%)在(0,+8)上單調遞減,

[/i\2023

又9(1)=康>0,9(2023)=(康)-K0,所以1<b<2023,

因為c=log7V6<log7V7=I，所以c<

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【題型6數形結合比較大小】

【例6】(2024?河南?模擬預測)已知Q=In%)=log37T,c=Siln2,則a,b,c的大小關系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】

利用對數函數和指數函數，幕函數的性質求解.

【解答過程】ve<3<7T,a=loge7T>log37r=b>log33=1,即a>b>1,

a=InTT=c=V^ln2=ln2訴,

下面比較(S?)2與2近的大小，構造函數y=%2與y=2X,

由指數函數y=2%與幕函數y=/的圖像與單調性可知，

當%6(0,2)時，x2<2X；當%G(2,4)時,x2>2X

由％=乃€(0,2),故<2后，故In兀<ln2訴，即aVc,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式6-1](2023?江西贛州?二模)若log?%=log4y=logszV-1,則()

A.3%<4y<5zB.4y<3%<5zC.4y<5z<3%D.5z<4y<3x

【解題思路】設log3%=log4y=logsz=znV-1,得到％=3，y=4，z=5血，畫出圖象，數形結合得到

答案.

mmm

【解答過程】令log?%