第06講函數的圖象

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：掌握基本初等函數的圖像..............................................................4

知識點2:函數圖像作法.........................................................................4

解題方法總結...................................................................................6

題型一：由解析式選圖（識圖）..................................................................6

題型二：由圖象選表達式........................................................................8

題型三：表達式含參數的圖象問題...............................................................10

題型四：函數圖象應用題.......................................................................12

題型五：函數圖象的變換.......................................................................15

題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值...................................................16

題型七：利用函數的圖像解不等式...............................................................17

題型八：利用函數的圖像求恒成立問題...........................................................18

題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數.........................................................19

04真題練習?命題洞見...........................................................20

05課本典例?高考素材...........................................................21

06易錯分析?答題模板...........................................................23

易錯點：圖像的變換問題.......................................................................23

答題模板：圖像的變換問題.....................................................................23

考情透視.目標導航

考點要求考題統計考情分析

基本初等函數的圖像是高考中的重要考點之

一，是研究函數性質的重要工具.高考中總以一

2023年天津卷第4題，5分次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對

(1)函數圖像的識別

2022年天津卷第3題，5分數函數、幕函數、三角函數等的圖像為基礎來考

(2)函數圖像的應用

2022年全國乙卷第8題，5分查函數圖像，往往結合函數性質一并考查，考查

(3)函數圖像的變換

2022年全國甲卷第5題，5分的內容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以

及靈活地應用圖像判斷方程解的個數，屬于每年

必考內容之一.

復習目標：

(1)在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.

(2)會畫簡單的函數圖象.

(3)會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.

老占突硒?力理慳宙

知識固本

知識點1:掌握基本初等函數的圖像

（1）一次函數；（2）二次函數；（3）反比例函數；（4）指數函數；（5）對數函數；（6）三角函數.

【診斷自測】函數，（尤）=7上〒的圖象是下列的（）

知識點2：函數圖像作法

1、直接畫

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性（或其他對稱性）、單調性、周期性、凹凸性;

④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）.

2、圖像的變換

（1）平移變換

①函數y=/（x+a）（a>0）的圖像是把函數y=/（x）的圖像沿x軸向左平移。個單位得到的；

②函數y=/（x-a）（a>0）的圖像是把函數y=f（x）的圖像沿x軸向右平移a個單位得到的；

③函數y=f(x)+a(a>0)的圖像是把函數y=/(x)的圖像沿y軸向上平移。個單位得到的；

④函數y=f(x)+a(a>0)的圖像是把函數y=/(無)的圖像沿y軸向下平移a個單位得到的；

(2)對稱變換

①函數y=f(x)與函數y=/(-x)的圖像關于y軸對稱；

函數y=/(x)與函數的圖像關于x軸對稱；

函數y=/(x)與函數y=-/(-工)的圖像關于坐標原點(0,0)對稱；

②若函數/(無)的圖像關于直線x=a對稱，則對定義域內的任意尤都有

/'(a-x)=/(a+x)或/(x)=/(2a-x)(實質上是圖像上關于直線x=a對稱的兩點連線的中點橫坐標

為0,即(”—x)+(a+x)=a為常數);

2

若函數f(X)的圖像關于點(4,6)對稱，則對定義域內的任意尤都有

f{x)=2b—f(2a—x)^f{a—x)=2b—f(a+x)

③y=|/(x)|的圖像是將函數/(x)的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分關于x軸對稱翻

折上來得到的(如圖(a)和圖(b))所示

@y=了(國)的圖像是將函數/(無)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關于y軸對稱得

到函數y=/(W)左邊的圖像即函數y=/(|x|)是一個偶函數(如圖⑻所示).

注：|/(刈的圖像先保留了(X)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關于x軸對稱圖形，然后擦

去x軸下方的圖像得到；而了(忖)的圖像是先保留〃功在y軸右方的圖像，擦去y軸左方的圖像，然后做

出y軸右方的圖像關于y軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.

⑤函數丁=7―(犬)與、=/(x)的圖像關于y=x對稱.

(3)伸縮變換

①y=4f(x)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到

原來的A倍得到.

②y=f(ox)3>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的橫坐標伸長(0<o<1)或縮短(o>1)到

原來的工倍得到.

【診斷自測】若函數y=的定義域為R,則函數y=1)與y=〃ir)的圖象關于()

A.直線x=0對稱B.直線y=o對稱

C.直線尤=1對稱D.直線y=l對稱

解題方法總結

(1)若/'("Z+尤-尤)恒成立，則y=/(x)的圖像關于直線芯=機對稱.

(2)設函數y=f(無)定義在實數集上，則函數y=f(尤-加)與y=f(機-x)(機＞0)的圖象關于直線

x=m對稱.

(3)若ym+x)=f(6-x),對任意xeR恒成立，則y=f(x)的圖象關于直線x=3產對稱.

(4)函數y=/(a+x)與函數y=/(6-x)的圖象關于直線x=對稱.

(5)函數y=f(x)與函數y=/(2a-x)的圖象關于直線x=”對稱.

(6)函數y=/(x)與函數＞=2匕-/(24-x)的圖象關于點(°,6)中心對稱.

(7)函數平移遵循自變量“左加右減”，函數值“上加下減”.

題型洞察

題型一：由解析式選圖(識圖)

sinx

【典例1-1](2024?安徽淮北?二模)函數的大致圖像為()

cosxl

【典例1-2］（2024?陜西商洛?模擬預測）函數y=xcosx-sinx的部分圖象大致為（）

【方法技巧】

利用函數的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選

出正確答案.

【變式1-1］（2024?天津?二模）研究函數圖象的特征，函數〃到=坐的圖象大致為（）

v7x2+l

【變式1-2］（2024?湖北?模擬預測）函數〃0=/_新_11?2的圖象大致為（）

題型二：由圖象選表達式

【典例2-1】（2024?安徽馬鞍山?三模）已知函數y=/（x）的大致圖象如圖所示，則y=/（x）的解析

式可能為（）

.y

B./(%)=土x'

八9"+1

廠ln(W+l)-X

D./(%)=

(J+l)ln(W+2)

【典例2-2】（2024?寧夏固原?一模）已知函數“X）的部分圖像如圖所示，則/⑴的解析式可能為

（）

B.〃％)=

D."小

【方法技巧】

1、從定義域值域判斷圖像位置；

2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；

3、從周期性判斷圖像循環往復；

4、從單調性判斷大致變化趨勢；

5、從特殊點排除錯誤選項.

【變式2-1］（2024?天津?二模）函數“X）的圖象如圖所示，則“X）的解析式可能為（）

cX——x

B."亍

Dc./\=TInx

【變式2-2]（2024?湖南?二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則函數“X）的解析式可能為

2x2

B.〃尤）=一

W+1

2國

D.小）

尤2-1

【變式2-3]（2024?陜西安康?模擬預測）函數Ax）的部分圖象如圖所示，則/⑺的解析式可能為

xsinxxsinx+x

B./(x)=C./?=

|x|+l|x|+l

題型三：表達式含參數的圖象問題

【典例3-1】（2024?重慶?模擬預測）已知函數“無）=『（尤>0）,a為實數，/（一的導函數為7'（x）,

在同一直角坐標系中，“力與/'（x）的大致圖象不可能是（）

【典例3-2］（多選題）（2024?全國?模擬預測）已知函數"x）=a（x+l）'"（x-l）"（其中

m+n>0,a^0）的部分圖象如圖所示，則（）

A.m>n>0B.m<3nC.m>0>nD.a<0

【方法技巧】

根據參數的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系,

以得出正確選項.

【變式3-1］（多選題）（2024?安徽合肥?一模）函數/（同=/一?（加€陽的圖象可能是（）

【變式3-2］（多選題）函數/（尤）=子^的大致圖象可能是（）

【變式3-3］（多選題）（2024?福建泉州?模擬預測）函數/（*）=m（l+x）-后皿1-2的大致圖像可能為

【變式3-4］（多選題）函數〃尤）=)

題型四：函數圖象應用題

【典例4-1】如圖，長方形ABC。的邊=2,BC=1,。是AB的中點.點尸沿著邊BC,CD與D4

運動，記/BQP=x.將動點尸到AB兩點距離之和表示為無的函數/（x）,則y=/（x）的圖像大致為（）

【典例4-2】(2024?廣東佛山?模擬預測)如圖，點尸在邊長為1的正方形邊上運動，M是8的中

點，當點尸沿A-3-C-M運動時，點尸經過的路程x與△麗的面積，的函數y=/(x)的圖象的形狀大

致是()

AB

【方法技巧】

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.

【變式4-1](2024?安徽?模擬預測)如圖，直線/在初始位置與等邊AABC的底邊重合，之后/開始

在平面上按逆時針方向繞點A勻速轉動(轉動角度不超過60。)，它掃過的三角形內陰影部分的面積S是時

間f的函數.這個函數的圖象大致是()

c

【變式4-2](2024?山東?二模)如圖所示，動點尸在邊長為1的正方形ABCD的邊上沿

Af5f。運動，X表示動點尸由A點出發所經過的路程，y表示的面積，則函數y=/(x)的

C.

~O123x

題型五：函數圖象的變換

【典例5-1】(2024?北京西城?二模)將函數〃x)=tanx的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象再

關于，軸對稱，得到函數g(M的圖象，則gQ)=()

A.1-tanxB.-1-tanxC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

【典例5-2】(2024?遼寧?三模)已知對數函數/(x)=log,x,函數,⑺的圖象上所有點的縱坐標不

變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數g(x)的圖象，再將g(x)的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象

恰好與函數/⑴的圖象重合，則。的值是()

A.-B.|C.昱D.6

233

【方法技巧】

熟悉函數三種變換：(1)平移變換；(2)對稱變換；(3)伸縮變換.

【變式5-1](2024?江西贛州?二模)已知函數/(尤)的圖象的一部分如《左圖，則如下右圖的函數

圖象所對應的函數解析式()

C.y=/(1-2%)D.y=f

【變式5-2](2024?四川南充?二模)已知函數/(x)=e'-eT,則函數y=/(x-l)+1的圖象()

A.關于點(1,1)對稱B.關于點(-M)對稱C.關于點(-1,0)對稱D.關于點

(1，。)對稱

【變式5-3】已知函數/(x)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數是()

D.l-f(-x)

題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值

【典例6-1】(2024?全國?模擬預測)已知函數=若機<“，*m)=f⑻,貝一機

x+3,x<0

的最小值為()

53

A.1B.-C.-D.2

42

【典例6-2］用min{a,6,c}表示a,b,c三個數中的最小值，貝1J函數/(x)=mi“x+l,-；x+4,-x+6：

的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

利用函數圖像求函數的最值，先作出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從圖像上尋找取

得最值的位置，計算出答案，體現了數形結合的思想.

【變式6-1］已知6eR,設函數〃x)=|log2X+2x+6|在區間上的最大值為陷⑻.若

{&|M,(Z7)>2}=R,則正實數r的最大值為.

a,(a>b)貝!J函數/■(x)=max1|x+l],x2-2x+：1的最小值

【變式6-2】對a,Z?GR,記max{a,Z?}二

b,(a<b)

為

題型七：利用函數的圖像解不等式

|log2x|,xe（0,4）

【典例7-1】已知函數〃尤）=31、，則滿足lW〃x）V3的x的取值范圍為（）

--,xe[4,+oo）

~11

A.[0,2]3[4,6]B.u[4.6]

_8?2_

:J。[2,4]

C.D.u[2,6]

_oZ__852_

【典例7-2]（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）已知函數f（x）=，則

3

—,+co

2

/（左）>|廄2乂的解集是（）

B.(1,2)

D.[；]U(1,2)

【方法技巧】

利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍.先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據

題意結合圖像寫出答案.

[yr>o

【變式7-1】已知函數〃尤）=」「Z則不等式/（/（尤））<4/（尤）+1的解集是（）

3x+l,x<0

D.f-plog2

C.(0,2)3

【變式7-2](2024?高三?江西?期中)已知函數〃司=用/+1,g(x)=〃x-2)+l,則不等式

/(x)<g(x)的解集為()

A.(-a>,l)B.(1,2)

C.(1,+co)D.(2,+oo)

題型八：利用函數的圖像求恒成立問題

"二:若對任意的x都有〃(小辦

【典例8-1](2024?北京昌平?二模)已知函數〃力=

恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.[TO]C.[-3,0]D.

|x|+2,x<1X

【典例8?2】已知函數/(%)=2，設aeR,若關于x的不等式/(x)2§+。在R上恒成立，則

XH,XN1

、X

”的取值范圍是()

一2,|0

A.B.[-2,2]

一|在2

C.D.

【方法技巧】

先作出函數的圖像，觀察參數的變化怎樣影響函數的形態和位置關系，找到參數的臨界值，進一步得

出參數的范圍.

【變式8-1]已知函數/(x)的定義域為R,滿足f(x)=2/(x-1),且尤e(0,1]時,“X)=Y_x.若

3

(-00,0,都有則。的取值范圍是()

4

(9'

A.B—00,—

IT-、4」

'7'

C-00,—D.

-\3_一

【變式8?2】(2024?河南新鄉?三模)設函數,⑺的定義域為R,滿足/(x-2)=2/(x),且當

3

%￡(0,2]時，/(x)=x(2-%).若對任意工￡[a,+oo),都有/(%)4三成立，則〃的取值范圍是()

o

75

A.—,+00B.-.4-00

22

35

C.—00,-------D.—co,-----

22

題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數

【典例9-1】(2024?高三?重慶渝中?期中)已知函數無2°,若方程/(》)=屬有兩個

-x2,x<0

不相等的實數根，則實數上的取值范圍是()

A-DB.管C.ITD.1山)

f12x4-3l—1—m%<0

【典例9-2】設函數〃X)=一，若函數“X)恰有3個零點，則實數加的取值范圍為

()

A.(―co,-1)B.(—1,2]C.[2,+00)D.[—1,2)

【方法技巧】

利用函數圖像判斷方程解的個數.由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解

的個數.

【變式9-1]設函數“x)=?,，若/(力-％=0有三個不同的實數根，則實數%的取值范圍是

inX],X〉U

()

A.(0,1)B.(0,+巧C.(0,1]D.[0,+e)

|x2+5x+4|,x<0

【變式9-2](多選題)已知〃x)=<若y=/(x)-a國恰有3個零點，則。的可能值

2|x—2|,x>0

為()

A.0B.1-ID.2

、.rA\a,a<b/、(、

【變式9-3】已知a/eR,定義：mm[a,b\=\,設/(x)=min{2"-a,-x+6-a},xeR.若函數

\b,a>bi)

y=/(x)+依有兩個零點，則實數。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(-1.0)D.(-2,0)

(尤)"(x)Vg(x)

【變式9-4](2024?高三?廣東江門?開學考試)定義函數min{/(x),g(x)}=[g⑺，〃x"g(x)

/z(x)=min{國--2依+〃+2},若〃(x)=0至少有3個不同的解廁實數。的取值范圍是()

A.MB.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]

1.(2023年天津高考數學真題)已知函數的部分圖象如下圖所示，則/