三角函數與解三角形

一、單選題

1.已知點尸&-是角。終邊上一點，則sin26=()

44-33

A.——B.—C.--D.-

5555

2.若。是第二象限角，3sin2a=tana,則tana=()

A.-75B.—@C.好

D.75

55

3.在下列四個函數中，以兀為最小正周期，且在區間［?兀］上單調遞減的是()

A.^=|sinx|B.y=cosx

X

C.y=tanxD.y=cos—

2

.(71)

4.已知(2J貝Utana=()

=g，

cosa-sina

zB

A.2A/3+1B.C.D.1-73

32

5.在VA3C中，三個內角48,C所對邊分別為a,b,c,/ACS的角平分線為CM交AB于/且a=2,6=石,

c=l,則線段CN=()

26

A.372+76B.3A/2-A/6C.2D.

r

6.已知sin(2x—g)=_g,則cos]

J-2xJ=()

A._BR色C..逅y[6

D.----D.

333~T

7.已知函數/(x)=2"一2一"+asinx+3,且/(m)=6,則/(一“)=()

A.-6B.-3C.0D..3

TT

8.己知VABC的角A,3,C的對邊分別為a,6,c,若。=l,b+c=2,A=一,則sinB+sinC

4

A..B.逑

C.1D.后

23

9.若sir?。=cos。，則cos2。=()

A.百-3B.2-75C.A/5-2D.3-75

10.已知sin[a+g]=,貝ijsin，。-上、

1=(

10；

33_77

A.——B.—c.D.

4499

「，sin(a+/?)-,tana

11.已知.〉曾<=3，則，A=()

sm[a-p)tanp

A.-B.1c.2D.3

c?2b—c

12.己知VABC的內角A,B,C的對邊分別是:a力,且人=3c,——=2,貝g--------------=（）

sinCsinB-smC

A.5B.4c.3D.1

2兀

13.在AABC中，內角A,民C的對邊分別為a,b,c,NBAC=可,c=6,b=4,A/■為8C邊上一點，且AB,

則■=()

D.還

A.3B.3A/3c

-12

14.在VABC中,AB=4,sinC=—,點。在線段AC上,AD=3,BD=M,則5C=()

3

A.3B.3>/3C.3A/5D.6

己知曲線y=e，+t皿在x=°處的切線的傾斜角為0,則義野

15.)

A.-3B.2C.3D.0

16.墻上掛著一幅高為1m的畫，畫的上端到地面的距離為2m,某攝像機在地面上拍攝這幅畫.將畫上端

一點A、下端一點2與攝像機連線的夾角稱為視角（點4B與攝像機在同一豎直平面內），且把最大的視

角稱為最佳視角.若墻與地面垂直且攝像機高度忽略不計，則當攝像機在地面上任意移動時，最佳視角的

正弦值為（）

A.-B.變C.立D.-

3333

17.已知函數"x）=sin,x-胃（。＞0）在04上滿足則。的取值范圍是（）

A.（0,2]B.（0,4]C.（0,6]D.（0,8]

18.若將函數、=0型的圖象上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，再將圖象向右平移/個長度單位，則所得

2

到的曲線的解析式為（）

.（1兀）.C1C

A.j=sin—x——B.y=-sm2%C.y=-cos—xD.y=-cos2x

19.已知角。的頂點在坐標原點，始邊與元軸的非負半軸重合，終邊經過點夕(-3,-4),貝ijsin[e+]j=()

43「34

A.——B.--C.-D.-

5555

20.已知函數〃尤)=2gsin2xcos2%+sin42x-cosMx,則/(%)的最小正周期和最小值分別為()

A.一"\/3—1B.—,—2C.Ji,—A/3—1D.九,一2

22

21.VABC的內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,且:必+上=1,則。為（

sinB+sinCa+c

,7t-兀-2兀c5兀

A.-B.—C.—D.—

6336

22.設P：0<a<l；q：關于x的方程瓜加+（：0牘=〃有實數解，則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

23.已知函數/(x)=2025cos(2x+gj,則/(：]=()

A.0B.-2025C.2025D.4050

24.在VA5c中，內角A,5,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足/一/=,2一上隹兒，貝han2A=()

3

4o/y

A.-B.-*C.20D.2

54

25.已知過原點的直線/的傾斜角為a,若點打1,2)在直線/上，則cos2a-2sin20=()

A.1B.°11

C.--D.

555-y

26.函數〃x）=2限os?g-x）

-cos2x一石在0,^-上的值域為()

A.[-1,2]B.[-11]C.[1,2]D.卜2,2]

27.將函數"x)=sin"x+5j的圖象向左平移2個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱，則。的值可能是

()

A.5B.8C.11D.13

28.若函數/(x)=sinGx+gcoss(0>0)圖象的一個對稱中心為點[,則口的最小值為()

A.—B.—C.2D.—

334

29.已知。￡(0,兀)，sin6+cose=g,則下列結論不正確的是()

我色,兀337

A.B.tan6=——C.cos0——D.sin6—cose=一

455

二、多選題

31.如圖是函數〃尤)=2sin(ox+e)/>0，M<3的部分圖象，下列說法正確的是()

A.函數〃x)的周期是兀

B.點是函數圖象的一個對稱中心

C.直線x=毛型是函數圖象的一條對稱軸

D.將函數f(x)的圖象向右平移g個單位長度后，所得圖象對應的函數是偶函數

0

32.已知函數/(x)=2sin(2x-t],貝Ij()

■JT

A.的最小正周期為兀B.在0,-上單調遞增

C.的圖象關于直線苫=聿對稱D.的圖象關于點||,。)對稱

33.已知函數〃x)=sin2x+2cos2],則正確的有()

A.〃尤）的最大值為0+1B.〃尤）的圖象關于直線％=:對稱

C.“X）的圖象關于點（-白力對稱D.『⑺在闈上單調遞增

L44_

34.對于函數/（%）=|sin%|+|cosx|,下列正確的有（）

TT

A.〃尤）是偶函數B.在區間0,-單調遞增

C.Ax）是周期函數且最小正周期為兀D./（》）的圖象關于直線尤=］對稱

35.下列說法正確的是（）

A.函數="T-2（。>0且。*1）的圖象必過定點（1,-1）

2

B.方程log2（3x+l）=log2（X-3）的解集為{-1,4}

Ctan，"=T

D.角。終邊上一點。的坐標是2a）,則cosa=嶼

36.設VABC內角A,且C的對邊分別為a,6,c,則下列條件能判定VABC是等腰三角形的是（）

A.acosA=bcosBB.asmB=bsinC

C.cos（A+C）=cosBD.c=2acosB

JTQ

37.在△ABC中，內角A氏C所對邊分別為a*,c,若2=；,b1=^-ac,則下列說法正確的是（）

34

1229

A.sinA-sinC=-B.a~+c~=—ac

34

C.sin2A+sin2C——D.sinA+sinC=

122

38.對于VABC,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若cosA=cos3,則VABC為等腰三角形

B.若A>B,貝!|sinA>sin3

C.若b=8,c=10,8=60。，則符合條件的VABC有兩個

D.若sin?A+sin"<sin?C，則VABC是鈍角三角形

39.已知VABC中，角AB,C所對的邊分別是a,4c且a=3,b=也,c=6,則下列結論正確的是（）

TT3

A.VABC是銳角三角形B.B=-C.VABC的面積為一D.AB的中線

42

長為6

40.己知角A,B,C是三角形A3C的三個內角，下列結論一定成立的有（）

A.sin（A+B）=sinCB.cos（A+^）=cosC

C.若sinAvsin/,則A<_8D.若sinB=cosA,則VABC是直角三角形

三、填空題

COS（27l-6Z）

41.若。為第三象限角，sin?=-|,則二-

（2）

2sina-cosa

42.已知。是第三象限的角，tan（7t+?）=2,則sintz=

sina+3cosa

2

43.VABC的內角A,B,。的對邊分別為〃，b,c.已知〃=3,c=2,cosA=-,貝lja=.

44.函數/■（x）=2sin［0x-］，0>O）的部分圖象如圖所示，貝1］。=.

45.已知$111（。+月）=285（。一/7）,tana+tan/?=—，則tana?tan；0=

46.在VABC中，若A=；，則（l—taaB）（l-tanC）的值為.

47.4知.：".=2,貝l]tan（2e-：]=_____.

smO+cos。k4J

2sin（7i-（7）+3cos—a

48.若角。滿足tano=-l,則'【2J的值為.

cos（兀+a）

49.在VABC中，AB=1,BC=4,CA=J13,。為BC邊上一點，且NADB=45。，則AO=

50.VABC的三個內角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,若A=g,a=&,c=2,角A的平分線交BC于

D,則AD=

《三角函數與解三角形》參考答案

題號12345678910

答案AAABBBCDBA

題號11121314151617181920

答案CADCAADABB

題號21222324252627282930

答案BABCDADABD

題號31323334353637383940

答案ABABDACABDACBDACDABDBCAC

1.A

【分析】根據角。的終邊經過某點的三角函數值及二倍角公式即可求解.

【解析】依題意可得tan6=—=-2

2sincos2tan。4

所以sin20=2sincos0=

sin20+cos201+tan205

故選：A.

2.A

【分析】由已知根據二倍角公式和同角三角函數的基本關系可得COS?a=，，由a是第二象限角，可得

6

sine=叵，即可求解.

6

.sincc

【解析】由3sin2a=tan。得6sinacosa=-------

cosa

因為sinawO,所以cos?a=!，

6

因為。是第二象限角，所以cosa=-逅,

6

grpi.^30

所以sina=-----，

6

sinaq

所以tana=------=一。5.

cos。

故選：A.

3.A

【分析】根據三角函數的性質及函數圖象的變換一一判斷即可.

【解析】對A：對A：y=Mnx|的圖象是由y=sinx的圖象將x軸下方的圖象關于r軸對稱上去,

工軸及工軸上方部分不變所得，其函數圖象如下所示:

答案第7頁，共18頁

2

>

3兀-兀■匹1。匹兀3兀2兀

T2-1：2x

-Z~2

則y=Mnx|的最小正周期為兀，且在(手兀上單調遞減，故A正確;

對B：y=cosx的最小正周期為2兀，故B錯誤；

對c：y=tanx的最小正周期為兀，但是在(右，上單調遞增，故C錯誤;

2K_

對D：y=cos5的最小正周期為丁二，故D錯誤.

22

故選：A.

4.B

【分析】利用誘導公式結合齊次式問題分析求解即可.

【解析】因為sm匕+cj?Osa1二6,解得tana=l-3.

cosa—sinacosa-sina1-tancr

故選：B.

5.B

【分析】由余弦定理求出44cB=?,再由4ACB=SAACM+S.BCM代入三角形的面積公式即可得出答案.

O

，麗士G士工用r/日/.cna2+b2-c24+3-15/3

【斛析】由余弦定理可得：cosZACB=----------=---尸——=——,

2ab2xJ3x22

因為ZACBe(O,7T),所以ZAC8=:

71

因為CM為4CB的角平分線，所以NACM=/BCM==,

71.(7171、.717171.71V6-V2

——=sin-----=sin—cos----cos—sin—=--------

12U6J46464

所以SMCB=^^ACM+S/CM，

蛆UX&2XL=LX5CM.巫-母+=x2.CM乖-6，

222424

可得：CM=3A/2-A/6.

故選：B.

6.B

答案第8頁，共18頁

【分析】根據三角函數的誘導公式化簡即可.

【解析】因為sin[2x—=—

貝ljcos-2xj=cos(2x-

「(c5兀)71

=cosLI2x---6-+J—2j

.5叫—石

=-sin2x----=—.

I6J3

故選：B.

7.C

【分析】計算得/(-附+/(附=6即可得到.

【角軍析】因為/(加)=6,f(rri)=2m-2~m+asinm+3,

mm

設/(-m)=2--2-asmm+3=t,

則/(-m)+f(m)=2~m一2"—Qsinm+3+2機一2~m+asinm+3=6=t+6,解得t=Q.

故選：C.

8.D

【分析】應用正弦定理計算求解.

IT

【解析】因為。=l,b+c=2,A=:，

4

12

由正弦定理.：+c得V2sinB+sinC,

sinAsinB+sinC—

2

所以sinB+sinC=A/2.

故選：D.

9.B

【分析】根據同角三角函數基本關系求出cos。的值，再根據二倍角公式求出COS29即可.

【解析】因為sin2e=cos6=l-cos?。，所以3$。=避~~-.

2

又因為cos2夕=2cos2。-1=2-75.

故選：B.

答案第9頁，共18頁

10.A

【分析】利用換元法結合三角函數的二倍角公式求解即可.

【解析】令￡+1=力則a=sin/=￥，2”親=21一3-卡=2"：

sin12■一=-cos2/=-^l-2sin2^=2sin2^-l=2x-1=一拼.

故選：A.

11.C

【分析】根據兩角和與差的正弦公式進行化簡求值即可.

【解析】由于sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin4，sin(a-4)=sinacos4—cosasin；0,

那么sincrcos/?+coscrsin/?=3sinacos6一3cosasin/,

).八八.cJana_

4coscrsinp=zsintrcosp,貝U------=2,

tan/7

故選：C.

12.A

【分析】根據正弦定理即可求解.

hchr

【解析】由正弦定理，^—=^—=2,于是sin5=z，sinC=%,結合辦=3~

sinBsinC22

2b—c_2b-c_4b-2c_4.3c-2c_5

于是sinB-sinC^_￡b-c3c-c.

2~2

故選：A

13.D

【分析】由S/BCUSAMM+SAAMC即可求解;

【解析】

根據題意得ZCAM=與一g=丁，

326

則,x6x4sin，^=L-6,AM-sin—+—?4-AM-sin—,解得AM=之叵.

2322262

故選：D

14.C

答案第10頁，共18頁

【分析】利用余弦定理結合同角三角函數的基本關系得到sinA=巫，再利用正弦定理求解邊長即可.

4

【解析】在中，因為AB=4,AD=3,BD=M,

所以由余弦定理可得cosA=4'+3=_L,

2x4x34

而Ae(0,兀)，貝|sinA>0,由同角三角函數的基本關系得sinA=巫，

4

4BC

在VABC中，由正弦定理可得逅一逅，解得5。=36，故C正確.

T丁

故選：C

15.A

【分析】求導，由導數的幾何意義得到。，再結合同角三角商的關系即可求解；

【解析】Vyr=ex+—、-,?,?曲線>=?"+121比在尤=0處的切線的斜率為2,即tan9=2.

cosX

.l+sin2^(sin9+cos6)2sin+cos0tan^+1.

\-/r===-3,

cos2^(cos9+sing(cos6-sin9)cos6-sing1-tan。

故選：A

16.A

【分析】根據題意建立幾何模型，求解正弦值最大轉化成求解正切值最大，結合基本不等式求解最大值即

可.

【解析】

如圖所示：NACB最佳視角，且NAC8e10,當/ACB最大時，sin/AC3最大,

tanZACD-tan/BCD

且tanZACB最大，又tanZACB=tan(ZACD-/BCD)

1+tanZAC￡>xtan/BCD

21

又設OC=羽所以tan/ACD=—,tanZBCD=—,

xx

21￡

tanZACD-tan/BCD_xx_x_1<1_V2

1+tanZACDxtanZBCD,,21222夜4

i—x-1——x-\—

XXXX

答案第11頁，共18頁

當且僅當尤=2,尤=夜時取等號，

X

sinZACBA/2

此時，cosZACB-4,sinZACB>0,

sin2ZACB+cos2ZACB=1

解得：sinZACB=1.

故選：A.

17.D

【分析】先求出s-g等-g],再結合正弦函數的圖象性質可得J〈竿Jvg,即可得解.

o|_oooj6666

?A73_Lr*.[八兀)—t?—F/口兀兀G)TL兀

【解析】由XW0)—,且。>0,可得口工一工￡--—，

oJoLooo

.?/\1t兀〃?兀7T,7兀_

由于-彳，則一;<二---<—,可rZ得c30<oV8.

26666

故選：D

18.A

【分析】根據三角函數圖象變換以求得正確答案.

【解析】函數y=sin%的圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍得到y=sin；x,

再將圖象向右平移|■個長度單位得到片sin；Hsin()[.

故選：A

19.B

【分析】利用三角函數的定義求出cos。，再由誘導公式計算可得.

-33

【解析】因為角。的終邊經過點「(TV),所以cos"j_sy+u=”,

所以sin,+5]=cosO=_g.

故選：B

20.B

【分析】利用三角恒等變換得到〃x)=2sin(4x-胃，利用T=怖求出最小正周期，整體法求出最小值.

【解析】/(X)=\/3sin4x+(sin?2x+cos?2%)(sin?2%-cos22%)

=V3sin4x-cos4x=2sin4x--,

答案第12頁，共18頁

故“X)的最小正周期為中=5

TTJIJTI

當4x——=----F2kii,kGZ,即冗=----+—E,左$Z時，

62122

/(X)取得最小值，最小值為-2.

故選：B

21.B

【分析】根據正弦定理把條件式.「江「+上=1，化為=+—也=1，整理后利用余弦定理可求得所

sinB+sinCa+cb+ca+c

求角的余弦值，從而求角.

【解析】由正弦定理和-----------1-----=1,可得——二]

sinB+sinCa+ca+c

所以/+々c+/+be=ab+ac+Z?c+/,所以。2+/_。2="，

由余弦定理，可得cosC=，+"-U=L因為O<c<7t,所以C=E.

lab23

故選：B.

22.A

【分析】先結合輔助角公式及正弦函數性質求出4對應的范圍，然后結合充分必要條件的定義即可判斷.

【解析】因為瓜inx+cosx=a,所以6sim:+cosx=2sine[―2,2],即—2<a<2.

因為p:O<a<l,q:—2<a<2

所以由"可以推出q,由q不可以推出P,所以P是q的充分不必要條件.

故選：A.

23.B

【分析】先求出導函數，再代入結合應用誘導公式及特殊角的函數值求解.

【解析】因為〃無)=2025cos(2x+幻，

則廣(x)=-4050sin(2x+鼻，

故廣J=-4050sin[]+弓]=一4050cos三=-2025.

故選:B.

24.C

【分析】利用余弦定理求出cosA,即可求出tanA,再由二倍角公式計算可得.

【解析】因為/-bi-友be,所以b-%友A，

答案第13頁，共18頁

由余弦定理得cosA==立,

2bc3

A￡（°,兀），:.sinA=A/1—cos2A=且,

3，

23

2tanA2

sinAy/2m.rtan2A==2V2

/.tanA=-------=——，貝U1—tan2A、2

cosA21-

I2J

故選：c.

25.D

【分析】根據三角函數定義可得sinacosc,結合二倍角公式求結論.

【解析】由題意知，點?(1,2)到原點的距離為百,

21

由三角函數定義可得=菰,。=

sina80耳

11

所以cos2a-2sin2a=cos2a-3sin2?=-

故選：D.

26.A

【分析】利用三角恒等變換化簡得到"x)=2sin[2尤qj,整體法得到jrSir

G7，—,結合圖象求出函

666

數值域.

1+cos--2x

12.

【解析】4)=2限。-cos2x-^3=2^3x-cos2x-\/3

2

=石cosI-2xI-cos2x=6sin2x-cos2x=2sin12%一J,

6

jryr兀

當0,—時，2元——G,i^2sin|2x--^U[-l,2],

266OOk067

故”力的值域為[-1,"

故選：A

27.D

【分析】根據左加右減得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出。=6左+1/EZ,得到答案.

71171.am

【解析】依題意，得g(X)=sinCD\Xd—H—=sinCOXH-+---^-J為偶函數,

636

則處+火=也+工，即。=64+1,左cZ,

632

答案第14頁，共18頁

當k=2時，口=13,D正確，其他選項均不正確.

故選：D.

28.A

【分析】應用輔助角公式得，(x)=2sin(s+T，根據對稱中心及。>0求參數范圍，即可得答案.

【解析】由題設/(x)=2sin10x+：j,

因為H=2sin]|?。+[=0,

TTTT2

所以一切H—=ku,貝!]啰=2左,kqZ.

233

4

因為。〉0,所以口之耳.

故選：A.

29.B

【分析】利用平方的方法，結合同角三角函數的基本關系式來求得正確答案.

11?4

【解析】由sinO+cos%兩邊平方得l+2sin%os。——"-三,

由于夕￡(0㈤，所以sine>0,cos8v0,所以我已兀｝

249

貝!Jsin。-cos。>0,(sincos0)=1-2sin^cos,

…7

所以sin6-cos8=M,

sin0+cos6=—

由；5解得sine=14,cos6=—E3

sin0-cos03°

I5

sin。4

所以tan夕=

cos。3

所以ACD選項正確，B選項錯誤.

故選：B

30.D

【分析】由偶函數的性質和特殊值/(0)>0可得.

【解析】“X)的定義域為R,〃T)=蘭可=半二=八H,

e+ee+e

則/(X)為偶函數，圖象關于，軸對稱，故排除AC,

答案第15頁，共18頁

又/(0)=等=；>0,排除B,只有D符合，

故選：D.

31.AB

【分析】根據函數圖象求出。、。，即可得到函數解析式，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.

【解析】由圖可得與==4=9所以7=兀，則7="=兀，解得。=2,

2362(O

即函數f(x)的最小正周期是兀，故A正確；

又/(m]=2sin[g+e]=2,所以g+e=1+2E,%eZ,所以y=；+2E,keZ,

<37326

因為所以*=弓，

所以/(x)=2sin]2x+。，

又/Ht)=2sin|2x||+T=2sin7i=0,所以點是函數〃x)圖象的一個對稱中心，故B正確；

日生/2025rc.(2025TT吟.兀月

因為-4~r2sinl-2-+%J=2c°s%=，

所以直線x=當型不是函數/(x)圖象的一條對稱軸，故C錯誤；

將函數〃x)的圖象向右平移2個單位得到y=2sin[2[.J+￡=2sin12尤-胃，

顯然y=2sin[2x-e)為非奇非偶函數，故D錯誤.

故選：AB

32.ABD

【分析】根據給定的函數解析式，結合正弦函數的性質，逐項判斷作答.

Ojr

【解析】對于A,f(x)的最小正周期為7=1=兀，故A正確；

fJTIT*TTJTIT

對于B,1??xe0,：,:.2x--e----,由y=sin尤的單調性可知，/(x)在0,-上單調遞增，故B正

_4Jo|_63J4_

確；

對于C,將x=!代入解析式得了(m〕=2sin(2xJ-J1=2sin[=l,

6<66J6

所以尤=9不是“X)的對稱軸，故C錯誤；

6

對于D,當》=合時，/W=2sinf2x-^-^=0,所以〃x)的圖象關于信,。[對稱，故D正確.

故選：ABD.

答案第16頁，共18頁

33.AC

【分析】先根據二倍角公式化簡函數表達式，然后結合正弦函數的性質逐一分析每個選項.

【解析1/（尤）=sin2x+2cos2%=sin2x+2x1+c;s2x_$也2尤+cos2x+1

=01^^sin2x+^^cos2x+1=VZsin^2x++1,

A：,.,sin（2x+：Je[-1,1],\/（x）的最大值為0+1,二A正確.

B：,/；]=0sin號+1=2,結合A選項/'（x）在x=火沒有取到最值，

（4）44

JT

\〃無）的圖象不關于直線X對稱，，B錯誤.

C：當x=-1時，J^=V2sinO+l=l,\/（x）的圖象關于點（一手1卜寸稱，，C正確.