概率與統(tǒng)計(jì)

一、單選題

1.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子三次，依次記錄向上的點(diǎn)數(shù).記機(jī)為前兩次點(diǎn)數(shù)的平均值，〃為三次點(diǎn)數(shù)的

平均值，則，〃與〃的差的絕對(duì)值不超過(guò)g的概率是（）

A.HB.工C.1D,1

271893

2.已知三棱錐a-4A4的側(cè)棱長(zhǎng)相等，且側(cè)棱兩兩垂直.設(shè)p為該三棱錐表面（含棱）上異于頂點(diǎn)A，A，A，A

的點(diǎn)，記。={d|d=|PA|/=l，2,3,4}.若集合。中有且只有2個(gè)元素，則符合條件的點(diǎn)P有（）個(gè).

A.3B.6C.7D.10

3.信息端是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,L,小且尸（x=1）=pj＞。

（z=l,2,?■?,?）,tp,=l,定義X的信息嫡a（尤）=-t"1嗚”，則下列判斷中正確的是（）

Z=11=1

①若Pi=-（z=l,2,--?,n）,則H（x）=logn

n2

②若"（x）=0,貝心=1；

③若”=2,則當(dāng)R=g時(shí)，"（x）取得最大值

④若n=2m,隨機(jī)變量￥所有可能的取值為1,2,L,m,且P（Y=j）=Pj+%,“產(chǎn)1,2,…⑷），則H（X）＞H（Y）

A.①②B.②③C.①②④D.①②③④

4.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲、乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師

安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不

少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)；否則不過(guò)關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為億，P2,且滿足

目+0=g，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在〃輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過(guò)關(guān)的輪數(shù)為X,若E（X）=16,則從期望的角

度來(lái)看，甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（）

A.27B.24C.32D.28

5.李華在研究化學(xué)反應(yīng)時(shí)，把反應(yīng)抽象為小球之間的碰撞，而碰撞又分為有效碰撞和無(wú)效碰撞，李華有3

個(gè)小球。和3個(gè)小球8,當(dāng)發(fā)生有效碰撞時(shí)，匕上的計(jì)數(shù)器分別增加2計(jì)數(shù)和1計(jì)數(shù)，a,臺(tái)球兩兩發(fā)生

有效碰撞的概率均為現(xiàn)在李華取三個(gè)球讓他們之間兩兩碰撞，結(jié)束后從中隨機(jī)取一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)其上計(jì)

數(shù)為2,則李華一開始取出的三個(gè)球里，小球“個(gè)數(shù)的期望是（）個(gè)

A.1.2B.1.6C.1.8D.2

二、多選題

6.芯片時(shí)常制造在半導(dǎo)體晶元表面上.某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢

測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽

樣檢驗(yàn).記A表示事件“某芯片通過(guò)智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，8表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工

藝后，這款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)J服從正態(tài)分布N（5.40,0.052）,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取〃個(gè)，這M個(gè)芯片中恰有

m個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)J位于區(qū)間（5.35,5.55），則下列說(shuō)法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：尸〃-＜7卜0.6826,

尸（〃-3cr＜彳V〃+3b）q0.9974）

A.P（B）＞P（B|A）

B.P（A|B）＞P（A|B）

C.P（5.35＜^＜5.55）?0.84

D.P（m=45）取得最大值時(shí)，〃的估計(jì)值為54

7.某工廠對(duì)一條生產(chǎn)線上的產(chǎn)品A和B進(jìn)行抽檢.已知每輪抽到A產(chǎn)品的概率為尸（0〈尸＜1）,每輪抽檢

中抽到B產(chǎn)品即停止.設(shè)進(jìn)行足夠多輪抽檢后抽到A產(chǎn)品的件數(shù)與8產(chǎn)品的件數(shù)的比例為k,單輪抽檢中抽

檢的次數(shù)為羽則（）

A.若尸=；，則P（x=2）=；

B.當(dāng)P=|時(shí)，尸（彳=4）取得最大值

]_pMpM

c.若一輪抽檢中X的很大取值為M,=

（1—產(chǎn)）L—r

D.左+：23恒成立

8.已知在伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為。（。＜。＜1）,我們稱將試驗(yàn)進(jìn)行至事件A發(fā)生『次為止，試

驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)X服從負(fù)二項(xiàng)分布，記作X~NB（r,p）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若*~即[1,￡|,則p（x=Q=gj,左=1,2,3,…

B.若*~NB（r,p）,則尸=廣，k=r,r+X,r+2,---

試卷第2頁(yè)，共13頁(yè)

C.若X~NB(r,p),Y-B(n,p),則P(XW〃)=P(Y2r)

D.若X~NB(r,p),則當(dāng)左取不小于亍的最小正整數(shù)時(shí)，P(X=Z:)最大

9.信息贈(zèng)常被用來(lái)作為一個(gè)系統(tǒng)的信息含量的量化指標(biāo)，從而可以進(jìn)一步用來(lái)作為系統(tǒng)方程優(yōu)化的目標(biāo)或

者參數(shù)選擇的判據(jù).在決策樹的生成過(guò)程中，就使用了嫡來(lái)作為樣本最優(yōu)屬性劃分的判據(jù).信息論之父克勞

德?香農(nóng)給出的信息燧的三個(gè)性質(zhì)：①單調(diào)性，發(fā)生概率越高的事件，其攜帶的信息量越低；②非負(fù)性，信

息焙可以看作為一種廣度量，非負(fù)性是一種合理的必然；③累加性，即多隨機(jī)事件同時(shí)發(fā)生存在的總不確

定性的量度是可以表示為各事件不確定性的量度的和.克勞德?香農(nóng)從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了滿足上述三個(gè)條件

的隨機(jī)變量不確定性度量函數(shù)具有唯一形式H(X)=￡log?￡,令C=1,設(shè)隨機(jī)變量X所有取值為1,

1=1

2,3,n,且尸(X=i)=月>0(i=l,2,3,...,〃)，￡4=1,則下列說(shuō)法正確的有()

Z=1

A.〃=1時(shí)，H(X)=O

B.〃=2時(shí)，若則"(X)的值隨著A的增大而增大

C.若［=鳥=/，Pm=2Pk(kN2,kwN),則坦x)=2-與

D.若〃=2加，隨機(jī)變量y的所有可能取值為1,2,…，a且

尸(y=>)=尸(X=X)+尸(X=2/n+l—力，(/=1,2,…,m),^ljH(X)<H(Y)

io.在探究m+切”的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們把二項(xiàng)式系數(shù)寫成一張表，借助它發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式系數(shù)

的一些規(guī)律，我們稱這個(gè)表為楊輝三角(如圖1),小明在學(xué)完楊輝三角之后進(jìn)行類比探究，將(l+x+x?的

展開式按X的升累排列，將各項(xiàng)系數(shù)列表如下(如圖2)：

(a+b)1.......11(1+x+x2)1.......111

(a+b)2.......121(1+x+x2)2.......12321

(a+b)3.......1331(1+x+x2)3.......1367631

(a+b)4.......14641(1+x+x2)4.......14101619161041

圖1圖2

上表圖2中第”行的第相個(gè)數(shù)用表示，即(l+x+/)”展開式中無(wú)，"的系數(shù)為D；,則()

A.D；=15

2n(n+l)

B.D=

C.D：：；=+D：+(l<Zr<2n-l,^eN,)

=

D.O2024C2024—D2024c2024+D2024c2024—152024^2024^2024^2024°

三、填空題

H.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只.現(xiàn)從口袋中先后有放

回地取球2”次且每次取1只球，X表示2〃次取球中取到紅球的次數(shù)，當(dāng)X為奇數(shù)時(shí)，Y=X；

當(dāng)X為偶數(shù)時(shí)，Y=o,則X的數(shù)學(xué)期望為（用力表示），y的數(shù)學(xué)期望為（用W表示）.

12.不斷地拋擲一枚硬幣，若連續(xù)出現(xiàn)2次正面向上，則甲獲勝，游戲結(jié)束；若累計(jì)出現(xiàn)4次正面向上，

且未出現(xiàn)連續(xù)2次正面向上，則乙獲勝，游戲結(jié)束；若連續(xù)2次正面向上和累計(jì)4次正面向上同時(shí)發(fā)生了，

則甲乙平局，游戲結(jié)束.在沒(méi)有發(fā)生平局的條件下，乙獲勝的概率為—.

13.某校高三1班10名同學(xué)、高三2班20名同學(xué)、高三3班10名同學(xué)參加“強(qiáng)國(guó)有我”演講比賽，采用隨

機(jī)抽簽的方式確定出場(chǎng)順序，每位同學(xué)依次出場(chǎng)，記“高三1班全部學(xué)生完成比賽后，高三2班和高三3班

都有學(xué)生尚未完成比賽”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為.

14.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦

公室，如果一天下班時(shí)他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他

1?

不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為不下雨的概率均為且與過(guò)去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩

把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為.

15.已知甲、乙兩個(gè)不透明的箱子中分別裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球（球之間除顏色外無(wú)差異），現(xiàn)規(guī)定從甲

箱中任取1球放入乙箱，搖勻后再?gòu)囊蚁渲腥稳?球放入甲箱稱為1次操作.若已知3次操作后，甲箱中仍有3個(gè)

黑球，則其第1次操作后甲箱中仍有3個(gè)黑球的概率為：；設(shè)第3次操作后甲箱中黑球個(gè)數(shù)為X,

則E（X）=.

16.編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，有放回地取三次，每次取一個(gè)，記機(jī)表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記〃表

示三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則m與"之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.2的概率是.

17.在一定的環(huán)境下，某種食品的保質(zhì)期為正整數(shù)X,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，它近似滿足以下規(guī)律：對(duì)任意正整

數(shù)”，保質(zhì)期恰好為”的該食品在所有保質(zhì)期不小于”的該食品中的占比為10%.記該食品的保質(zhì)期為〃為事

件4,該食品的保質(zhì)期不小于〃為事件則尸（與）=,尸（4"5）=.

18.某高中高二（1）班10名學(xué)生、高二（2）班10名學(xué)生、高二（3）班20名學(xué)生參加“少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)”

演講比賽，比賽采用隨機(jī)抽簽的方式確定出場(chǎng)順序，每位學(xué)生依次出場(chǎng).記“高二（1）班全部學(xué)生完成比

賽后,高二（2）班和高二（3）班都有學(xué)生尚未完成比賽”為事件A,則事件A發(fā)生的概率為.

試卷第4頁(yè)，共13頁(yè)

19.某校高三年級(jí)有w(〃>2,"wN*)個(gè)班，每個(gè)班均有5+30)人,第1k(左=1,2,3,…個(gè)班中有6+10)個(gè)

女生，余下的為男生.在這"個(gè)班中任取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀幸来稳〕鋈耍舻谌稳〕龅娜饲槟猩?/p>

Q

概率是否，貝!!"=.

20.在如圖斜方格陣中，一機(jī)器人從中心方格0出發(fā)，每次運(yùn)動(dòng)可以跨越機(jī)器人所在方格的一條邊(如第1

次運(yùn)動(dòng)，機(jī)器人可以運(yùn)動(dòng)到2,Q2,2或2)?若機(jī)器人走出斜方格陣視為“失敗”，反之視為“成功”，則

運(yùn)動(dòng)2025次后機(jī)器人“成功”的概率為.

四、解答題

21.設(shè)A是一個(gè)整數(shù)集，若A，4,…,4,是A的子集，且4=4口4口…口4“，4cA=0,j<m,

且iwj,則稱集合A，4,…，4,是集合A的一個(gè)劃分.定義，MeN*,正整數(shù)上使集合

A={M,M+1,M+2,L,M+4劃分成A，4,4,且使A，4，4中各集合的所有元素之和都相等，稱

為M劃分.

(1)求必劃分;

(2)證明：集合A={1,2,L,2025}可以蛆劃分；

(3)若河=2?3V左eN*,集合A能劃分的概率為鼻，證明：匕<g.

22.有A,B,C,D,E,F,G,7/八名運(yùn)動(dòng)員參加乒乓球賽事，該賽事采用預(yù)賽，半決賽和決賽三

輪淘汰制決定最后的冠軍、八名運(yùn)動(dòng)員在比賽開始前抽簽隨機(jī)決定各自的位置編號(hào)，已知3~〃這七名運(yùn)

動(dòng)員互相對(duì)決時(shí)彼此間的獲勝概率均為;，A運(yùn)動(dòng)員與其它運(yùn)動(dòng)員對(duì)決時(shí)，A獲勝的概率為每場(chǎng)對(duì)決

23

沒(méi)有平局，且結(jié)果相互獨(dú)立.

冠軍

決賽I----------------L----------------

半決賽I————-1

預(yù)賽Lirirnrn

①②③④⑤⑥⑦⑧

(1)求這八名運(yùn)動(dòng)員各自獲得冠軍的概率；

(2)求8與A對(duì)決過(guò)且最后獲得冠軍的概率；

(3)求8與C對(duì)決過(guò)且最后獲得冠軍的概率.

23.口袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的3個(gè)白球和3個(gè)黃球.甲乙兩人進(jìn)行摸球游戲，規(guī)則如下：每次摸2個(gè)

球，觀察顏色后放回，若顏色相同時(shí)，則摸球人繼續(xù)摸球；否則由對(duì)方摸球.第一次由甲開始摸球，記第〃

次由甲摸的概率是匕.

⑴求鳥,A；

(2)證明：數(shù)列｛匕-；>是等比數(shù)列，并求匕.

24.通過(guò)拋擲骰子產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)列｛%｝,具體產(chǎn)生方式為:若第左代=1,2,3,…㈤次拋擲得到點(diǎn)數(shù)4=1,2,3,4,5,6),

則g=i.記數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“,X”為S,除以4的余數(shù).

(1)若〃=2,求S?=4的概率；

(2)若〃=2,比較尸儂2=0)與尸(X?=3)的大小,說(shuō)明理由；

4li0

(3)若”=20,設(shè)(x+尤?+尤3+尤+X，+a，')=Z?o+bxx+b2x"H-----1-Z>120x,試確定該展開式中各項(xiàng)系數(shù)與事件

SLj(jeN+l7-<120)的聯(lián)系，并求X20=0的概率.

25.為了合理配置旅游資源，管理部門對(duì)首次來(lái)武漢旅游的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中(的人計(jì)

劃只參觀黃鶴樓，另外|■的人計(jì)劃既參觀黃鶴樓又游覽晴川閣，每位游客若只參觀黃鶴樓，則記1分；若

既參觀黃鶴樓又游覽晴川閣，則記2分.假設(shè)每位首次來(lái)武漢旅游的游客計(jì)劃是否游覽晴川閣相互獨(dú)立，

視頻率為概率.

(1)從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計(jì)得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)從游客中隨機(jī)抽取“人記這w人的合計(jì)得分恰為”+1分的概率為匕，求以;

i=l

(3)從游客中隨機(jī)抽取若干人逐個(gè)統(tǒng)計(jì),記這些人的合計(jì)得分出現(xiàn)“分的概率為%,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

試卷第6頁(yè)，共13頁(yè)

26.某校高一學(xué)生共有500人，年級(jí)組長(zhǎng)利用數(shù)字化學(xué)習(xí)軟件記錄每位學(xué)生每日課后作業(yè)完成的時(shí)長(zhǎng)，期

中考試之后統(tǒng)計(jì)得到了如下平均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)n與學(xué)業(yè)成績(jī)m的數(shù)據(jù)表：

平均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)W（單位：小時(shí)）[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)

學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀：90<77/<10011437435

學(xué)業(yè)成績(jī)不優(yōu)秀：0W〃zW90136137102187

（1）填寫如下2x2歹U聯(lián)表，試判斷：是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均作業(yè)時(shí)長(zhǎng)不小于2小時(shí)且小

于3小時(shí)有關(guān)？

時(shí)長(zhǎng)”2<n<3其他總計(jì)

優(yōu)秀

不優(yōu)秀

總計(jì)

⑵常用”3同=

尸國(guó)力表示在事件A發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比.已知該校

高一學(xué)生女生中成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生占比25%,現(xiàn)從所有高一學(xué)生中任選一人，A表示“選到的是男生”，B表

示“選到的學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀”，若“叫A）=0.2,求P（A）.

n(ad-bc)2

附：Z2,P(Z2>3,841)?0.05.

(o+b)(c+d)(q+c)(0+d)

27.（1）某公司為提升員工身體素質(zhì)，鼓勵(lì)員工參與“健康幫，活力無(wú)限”健身打卡活動(dòng).公司統(tǒng)計(jì)了開展活

動(dòng)后近5個(gè)月員工因健身而使身體指標(biāo)（如體脂下降、心肺功能提升等）明顯改善的人數(shù).統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

月份X12345

身體指標(biāo)明顯改善人數(shù)y33026020014090

若身體指標(biāo)明顯改善人數(shù)丫與月份變量x（月份變量x依次為L(zhǎng)2,3,4,5,…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)預(yù)測(cè)第6

個(gè)月身體指標(biāo)明顯改善的大約有多少人?

（2）公司將參與健身打卡活動(dòng)的員工分成了X、KZ三組進(jìn)行健身競(jìng)賽，其規(guī)則：競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在任何一組,

該組都可向另外兩組發(fā)起競(jìng)賽，首先由x組先發(fā)起競(jìng)賽，挑戰(zhàn)丫組、z組的概率均為若X組挑戰(zhàn)y組,

則下次競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在y組.若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在y組，則挑戰(zhàn)x組、z組的概率分別為:和J；若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在

44

Z組，則挑戰(zhàn)X組、y組的概率分別為3和:；

①經(jīng)過(guò)3次挑戰(zhàn)賽后，求競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在y組的次數(shù)M的分布列與數(shù)學(xué)期望；

②定義：已知數(shù)列｛4｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)￡(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N。，使得當(dāng)〃〉乂時(shí),

A|<￡(A是一個(gè)確定的實(shí)數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝為“聚點(diǎn)數(shù)列”，A稱為數(shù)列｛%｝的聚點(diǎn).經(jīng)過(guò)〃次競(jìng)賽后，

競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在X組的概率為凡，證明數(shù)列｛4｝為“聚點(diǎn)數(shù)列”，并求出聚點(diǎn)A的值.附：回歸方程9=浪+3中

斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為A=上匕————=號(hào)------，a=y-bx.

一之x；_nx2

Z=1Z=1

28.在數(shù)軸的坐標(biāo)原點(diǎn)放置一個(gè)機(jī)器人，它每過(guò)1秒都將以g的概率向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)1個(gè)單位

長(zhǎng)度，機(jī)器人每次經(jīng)過(guò)-2或3時(shí)都會(huì)向雷達(dá)發(fā)送一次信息，且雷達(dá)會(huì)瞬間收到.設(shè)事件｛4｝表示“機(jī)器人的

前"次移動(dòng)均未向雷達(dá)發(fā)送信息”.

⑴求尸(4),尸(4)；

(2)已知①②兩個(gè)結(jié)論：①尸(4+2%)<：②設(shè)｛X“｝(〃eN*)是一列無(wú)窮個(gè)事件，若存在正數(shù)N,對(duì)于任意

的“均有t>(X,)<N,則“｛X“｝中只有有限個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率為1.

Z=1

⑴證明：1>(4,)<3事件；“雷達(dá)會(huì)收到信息”的概率為1；

i=l

(ii)求機(jī)器人首次發(fā)送信息時(shí)所在位置為3的概率.

29.正四面體A-38某個(gè)頂點(diǎn)處有一粒子Q,粒子。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：粒子。每經(jīng)過(guò)一個(gè)時(shí)間單位，有;

的概率仍停留在原頂點(diǎn)，也有可能沿著棱從原頂點(diǎn)移動(dòng)到另外的頂點(diǎn)，而且移動(dòng)到另外三個(gè)頂點(diǎn)的任何一

個(gè)都是等可能的.已知在時(shí)刻f=0時(shí)，粒子。在頂點(diǎn)A處，若在時(shí)刻7=〃時(shí)，粒子。在頂點(diǎn)A處記為事件4,

記此時(shí)事件4發(fā)生的概率為Pn(A).

⑴求0(A)；

⑵求p?(A),并判斷數(shù)列｛4(A)｝的單調(diào)性；

⑶記〃=P.(A)4+I(A),求證：—+

試卷第8頁(yè)，共13頁(yè)

30.某校舉辦了一次安全知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為預(yù)賽與決賽，預(yù)賽通過(guò)后才能參加決賽.預(yù)賽從8道題中任選

4道作答，答對(duì)3道及以上則進(jìn)入決賽，否則被淘汰.

⑴若這8道題中甲同學(xué)能答對(duì)其中4道，記甲在預(yù)賽中答對(duì)的題目個(gè)數(shù)為X,求X的分布列并計(jì)算甲進(jìn)入

決賽的概率.

(2)決賽需要回答3道同等難度的題目，若全部答對(duì)則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)200元；若答對(duì)2道題目則獲得二

等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)100元；若答對(duì)1道題目則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；若全部答錯(cuò)則沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì).假定進(jìn)入決賽的同

學(xué)答對(duì)每道題目的概率均為。(0＜。＜1),且每次答題相互獨(dú)立.

(i)記進(jìn)入決賽的某同學(xué)恰好獲得二等獎(jiǎng)的概率為/(0),求的最大值；

(ii)某班共有4名學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這4名同學(xué)獲得總獎(jiǎng)金的期望值不小于325元，求此時(shí)P的取值范

圍.

31.信息熠是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,…，〃且

P(X=0=A＞0(Z=1,2,...,?),fp,=1,定義X的信息嫡“(X)=工p,1暇Pi.

i=lz=l

⑴證明：當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)，H(X)=0；

⑵若〃=3,且如「“=旦(左=1,2),比較“(X)與1的大小；

(3)重復(fù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面朝上則繼續(xù)拋，如果反面朝上就立即停止，且拋20次后即使沒(méi)

有出現(xiàn)反面朝上也停止，若將停止時(shí)拋擲硬幣的次數(shù)記為X,求“(X).

32.如圖，某興趣小組在坐標(biāo)紙網(wǎng)格中設(shè)計(jì)了一款跳棋游戲.規(guī)則如下：游戲參與者以0(0,0)為出發(fā)點(diǎn)，每

擲一次均勻硬幣，若擲出正面，則沿小正方形的對(duì)角線向右上方移動(dòng)一格；若擲出反面，則沿小正方形的

(1)求甲走完第3步后，到達(dá)點(diǎn)A(3,-l)的概率；

(2)若甲向右上方走一步得5分，向右下方走一步得0分，當(dāng)他走完第4步后，得分為X,求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望；

⑶甲和乙都從0(0,0)出發(fā),走到點(diǎn)3(5,1)的位置，設(shè)走完第i步后，甲位于點(diǎn)片(與/)，乙位于點(diǎn)耳(44),

其中14*5且i€N*.若對(duì)任意1viv5且他N*都有?2珥,則認(rèn)為甲獲勝，求甲獲勝的概率.

33.隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在平面直角坐標(biāo)

系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位.且向四個(gè)方向移動(dòng)的概率均為:?例

如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四點(diǎn)處

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(羽田記刈的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(x)；

⑵記第〃秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為P“.

①求。2，。4；

②已知￡(C)2=G“，求P2”.

k=0

34.信息在傳送中都是以字節(jié)形式發(fā)送，每個(gè)字節(jié)只有0或1兩種狀態(tài)，為保證信息在傳送中不至于泄露，

往往需要經(jīng)過(guò)多重加密，若48是含有一個(gè)字節(jié)的信息，在加密過(guò)程中，會(huì)經(jīng)過(guò)兩次加密，第一次加密

時(shí)信息中字節(jié)會(huì)等可能的變?yōu)椤；?，且0,1之間轉(zhuǎn)換是相互獨(dú)立的，第二次加密時(shí)，字節(jié)中。或1發(fā)生

變化的概率為0,若A,B的初始狀態(tài)為0,1或1,0,記通過(guò)兩次加密后A,2中含有字節(jié)1的個(gè)數(shù)為X.

(1)若兩次加密后的A，2中字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2,且。=g，求48通過(guò)第一次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為2的概

率；

(2)若一條信息有〃5>1,〃€?4*)種等可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為億，P2，P3,

L,Pn,則稱"=/(。1)+〃。2)+…(其中/(x)=Tlog2X)為這條信息的信息廊試求A,2通過(guò)

兩次加密后字節(jié)1的個(gè)數(shù)為X的信息嫡a；

(3)將一個(gè)字節(jié)為0的信息通過(guò)第二次加密，當(dāng)字節(jié)變?yōu)?時(shí)停止，否則重復(fù)通過(guò)第二次加密直至字節(jié)變?yōu)?/p>

1,設(shè)停止加密時(shí)該字節(jié)通過(guò)第二次加密的次數(shù)為y(y=i,2,3,證明：￡(r)<1.

35.甲乙兩人各有張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別有數(shù)字1,3,5,21,

乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,…，2”.兩人進(jìn)行〃輪比賽，在每輪比賽兩人各自從自己持有的卡片中

隨機(jī)選擇一張，并比較所選卡片上的數(shù)字大小，數(shù)字大的得1分，數(shù)字小的得0分，然后各自棄置此輪所

選卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用設(shè)〃輪比賽后甲的總得分為X.

(1)當(dāng)〃=2,3,4,5時(shí)，請(qǐng)寫出八輪比賽后X的分布列(不需要計(jì)算過(guò)程.不需要列表)：

(2)設(shè)數(shù)列｛〃“｝滿足：==P(X=〃一2)(九之2),且已知。6=57,%=120,a8=247,a9=502.

n\

試卷第10頁(yè)，共13頁(yè)

(i)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)你直接猜想。,與。用，的遞推關(guān)系式(不要推理過(guò)程，直接給出答案)；

(ii)結(jié)合(i)中的遞推關(guān)系，請(qǐng)你求出"輪比賽后甲的總得分X不低于2的概率.

36.一盒子中共有7個(gè)大小質(zhì)地相同的球，其中4個(gè)1號(hào)球，3個(gè)2號(hào)球.從盒子中一次隨機(jī)取出兩個(gè)球,

如果取出的球是2號(hào)球，則將它放回盒子中；如果取出的球是1號(hào)球，則不放回盒子中，另補(bǔ)一個(gè)2號(hào)球

放入袋中.重復(fù)進(jìn)行上述操作”次后，盒子中所有球的號(hào)碼之和記為

(1)(為何值的概率最大？

(2)求隨機(jī)變量心的分布列；

(3)求隨機(jī)變量Tn的數(shù)學(xué)期望召(北)關(guān)于n的表達(dá)式.

37.繼2023年電子競(jìng)技首次作為正式競(jìng)賽項(xiàng)目登上杭州亞運(yùn)會(huì)舞臺(tái)后，2024年國(guó)際奧委會(huì)宣布首屆奧林

匹克電子競(jìng)技運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2025年在沙特阿拉伯王國(guó)舉辦.這意味著電子競(jìng)技作為虛擬體育正式成為奧運(yùn)

會(huì)項(xiàng)目的一部分.為迎接電子競(jìng)技行業(yè)這一里程碑式的時(shí)刻，甲、乙兩俱樂(lè)部計(jì)劃按照現(xiàn)今體育比賽中的

賽制舉辦友誼賽.在體育比賽中有兩種常見賽制：一種是(2〃-1)局”勝制，例如一場(chǎng)比賽有5局，率先勝

3局一方獲勝，本場(chǎng)比賽結(jié)束；另一種是(2〃+1)局〃+1勝制，例如一場(chǎng)比賽有7局，率先勝4局一方獲勝,

本場(chǎng)比賽結(jié)束.

⑴若采用5局3勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的概率為0.8；若采用7局4勝制，甲俱樂(lè)部每場(chǎng)比賽獲勝的

概率為0.9.已知甲、乙俱樂(lè)部采用這兩種賽制各進(jìn)行了mQweN*)場(chǎng)比賽，試自行繪制2x2列聯(lián)表，并根

據(jù)小概率值a=0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，來(lái)推斷賽制是否對(duì)甲隊(duì)獲勝的場(chǎng)數(shù)有影響；

(2)設(shè)甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率均為p(0<p<；),且每局比賽都能決出勝負(fù)，沒(méi)有平同：①若兩俱樂(lè)

部采用5局3勝制比賽，記事件A：“甲俱樂(lè)部只要取得3局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”，事件“兩

俱樂(lè)部賽滿5局，甲俱樂(lè)部至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”，試證明：P(A)=P(B)；

②若甲、乙兩俱樂(lè)部創(chuàng)造一種全新的賽制，約定比賽規(guī)則為：共進(jìn)行2"局，贏得局?jǐn)?shù)大于n局的俱樂(lè)部

獲勝.若甲俱樂(lè)部每局比賽獲勝的概率試判斷進(jìn)行幾局比賽時(shí)，甲俱樂(lè)部獲勝的概率最大，并說(shuō)明

O

理由.

a0.100.050.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

附：*=,"八,、〃八,其中M=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

38.馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第”+1次狀態(tài)的概

率分布只跟第1次的狀態(tài)有關(guān)，為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每

餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學(xué)每天中午會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇，己知他

第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樯唬耙惶爝x擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿榍耙惶?/p>

34

選擇面食套餐后繼續(xù)選擇面食套餐的概率為如此往復(fù).

(1)求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?/p>

(2)記該同學(xué)第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻?；

①證明：］勺-|｝為等比數(shù)列;

②當(dāng)“22時(shí)，匕《機(jī)恒成立，求加取值范圍.

39.衛(wèi)生檢疫部門在進(jìn)行病毒檢疫時(shí)常采用“逐一檢測(cè)”或“混采檢測(cè)”(隨機(jī)地按啟人一組平均分成〃組，然

后將各組％個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn).如果混管血樣呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混管血樣呈陽(yáng)性,

說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次).已知某種病毒性疾病在某地的患病

該地患病總?cè)藬?shù)

率(患病率=)為。.

該地總?cè)藬?shù)

(1)當(dāng)左=5時(shí)，已知某組混管血樣呈陽(yáng)性，且這5人中只有1人患病.

(i)將該組每個(gè)人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病人員為止.用X表示所需化驗(yàn)次數(shù)，求X的期望;

(ii)先從該組中取3人的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽(yáng)性，則對(duì)這3人的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病人

員；若不呈陽(yáng)性，則對(duì)剩下的2人再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病人員.用y表示所需化驗(yàn)次數(shù)，求y的期望;

⑵已知某次“混采檢測(cè)”的血樣總數(shù)為20000,p=2.5%,k>10,記檢驗(yàn)總次數(shù)為Z,當(dāng)E(Z)W1OOOO時(shí),

求k的最大值.(參考公式及數(shù)據(jù)：nCl=mC^(l<n<m),￡制1-打尸*=1,lnO.975?-0.0253,

i=0

ln2?0.6931,ln3?1.0986,ln5?1.6094,Inll?2.3979)

40.生物研究工作中，統(tǒng)計(jì)鳥類主要是研究鳥類種群數(shù)量和分布規(guī)律，其中固定半徑樣點(diǎn)法是一種常見的

統(tǒng)計(jì)方法，即記錄以觀測(cè)者為圓心的一定半徑范圍內(nèi)所有鳥類個(gè)體，然后用鳥類統(tǒng)計(jì)數(shù)和樣點(diǎn)總面積來(lái)計(jì)

算鳥類密度的數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法.

(1)統(tǒng)計(jì)人員發(fā)現(xiàn)某鳥類在A區(qū)域經(jīng)常出沒(méi)，為了估計(jì)此類鳥的數(shù)量，采取固定半徑樣點(diǎn)法，其中鳥類密度

試卷第12頁(yè)，共13頁(yè)

（單位：只/平方米）的計(jì)算公式為P=q，P-.鳥類密度，T-.所有樣點(diǎn)記錄鳥類數(shù)量的平均數(shù)，S：每個(gè)

樣點(diǎn)區(qū)域面積，已知A區(qū)域的總面積為1.256x105平方米，每個(gè)記錄的樣點(diǎn)區(qū)域半徑為25米，樣點(diǎn)數(shù)為10

個(gè)，統(tǒng)計(jì)如下表

樣點(diǎn)編號(hào)12345678910

鳥類數(shù)量20211920182022252015

試估計(jì)A區(qū)域內(nèi)該鳥類的總數(shù)量？（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：兀。3.14.

⑵在A區(qū)域采取（1）中方法統(tǒng)計(jì)時(shí)發(fā)現(xiàn)該鳥類有兩個(gè)品種，分別記為I種和H種.由于（1）中每個(gè)樣點(diǎn)

記錄的該鳥數(shù)量較少，統(tǒng)計(jì)人員重新在A區(qū)域隨機(jī)捕獲了50只該鳥，再將捕獲的鳥全部放回，作為一次試

驗(yàn)結(jié)果.記第i次試驗(yàn)中I種的數(shù)目為隨機(jī)變量X,（i=1,2,3,…,10）.設(shè)該區(qū)域中I種的數(shù)目為II種的數(shù)

目為N.

（i）求在第1次試驗(yàn)中隨機(jī)變量X1的分布列;

（ii）假設(shè)每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.統(tǒng)計(jì)人員完成所有試驗(yàn)后，得到X,的實(shí)際取值分別為%1=1,2,3,…,10）,

其平均值〃=10,方差/=0.77.記隨機(jī)變量X=而XX-采用〃和/分別代替期望EX和方差。（X）,

1Ui=i

試給出N的估計(jì)值（結(jié)果保留整數(shù)）.

參考公式：從含/件次品的N件產(chǎn)品中，分別采用有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取〃件，設(shè)抽取的〃件產(chǎn)

品中次品數(shù)為X,如果采取有放回抽樣，則方差D（X）=R（l-gJ；如果采取不放回抽樣，則方差為

r＞（X）=一"）?隨機(jī)變量x與y滿足E（x+y）=E（x）+.若隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立,

則。（乂+卜）=。（*）+。（丫）.

《概率與統(tǒng)計(jì)》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ADDABBCADACDABCBCD

1.A

【分析】根據(jù)題意，分析得max{2,2c-2}4a+64min{2c+2,12},再分類討論c不同取值得到所有滿足的樣

本點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.

【解析】連續(xù)拋擲一枚骰子3次，共有63=216個(gè)樣本點(diǎn)，

設(shè)三次記錄的點(diǎn)數(shù)依次為〃，b,c,則帆一川=+；+c

gp|?+Z?-2c|<2,貝|J2c—24a+bW2c+2,又2Wa+bW12,

貝!]max{2,2c—2}Wa+6〈min{2c+2,12},

易知（。㈤不同的取值情況共有6x6=36種，

當(dāng)c=l時(shí)，滿足2MO+644的樣本點(diǎn)有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,共3+2+1=6個(gè)；

同理，當(dāng)c=2時(shí)，滿足2Wa+bW6的樣本點(diǎn)有5+4+3+2+1=15個(gè)；

當(dāng)c=3時(shí)，滿足4Wa+6W8的樣本點(diǎn)有4+5+5+4+3+2=23個(gè)；

當(dāng)c=4時(shí)，滿足6<a+6W10的樣本點(diǎn)有2+3+4+5+5+4=23個(gè)；

當(dāng)c=5時(shí)，滿足8的樣本點(diǎn)有0+1+2+3+4+5=15個(gè)；

當(dāng)c=6時(shí)，滿足10?々+。《12的樣本點(diǎn)有（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共1+2+3=6個(gè);

上但4k+且2x（6+15+23）11

故所求概率為P=------------=—.

21627

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，利用絕對(duì)值不等式的解法分析得的不等關(guān)系，從而得解.

2.D

【分析】設(shè)4=|，弭分P到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離。一樣，到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離b一樣，且。工6,和P到其中

三個(gè)頂點(diǎn)的距離c一樣，到另一個(gè)頂點(diǎn)的距離為e,且ewe,兩種情況，結(jié)合對(duì)稱性，列舉出滿足題設(shè)的所

有尸點(diǎn)，即可得答案.

【解析】設(shè)4=|，科情況如下：

①尸到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離。一樣，到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離b一樣，且

由4，4，4,4具有對(duì)稱性，不妨討論4=〃，4=4,

答案第14頁(yè)，共49頁(yè)

滿足題意的尸應(yīng)同時(shí)在線段AAQAA3的中垂線面和三棱錐表面上,

即為其中垂面交線與三棱錐表面的交點(diǎn)，如圖幾鳥兩點(diǎn),

同理，4=4，d3=14和4=&，%=4也各有2個(gè)滿足題意的尸點(diǎn)，故共6個(gè)；

②尸到其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離C一樣，到另一個(gè)頂點(diǎn)的距離為e,且ewe,

若尸到4,4的距離一樣，即4=&=〃，則P為過(guò)△444外心的垂線與三棱錐表面的交點(diǎn)，如圖A和

A（舍）；

若P到A和4,&,4中的兩個(gè)距離一樣，由4,4,&,4具有對(duì)稱性,

不妨討論4=4=痣，則尸為過(guò)△4A4外心的垂線與三棱錐表面的交點(diǎn)，如圖舄,

同理，4=43=“4和4=%=〃也各有1個(gè)滿足題意的P點(diǎn)，共4個(gè);

綜上，共有10個(gè)滿足題意的點(diǎn).

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)題意將問(wèn)題分成尸到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離“一樣，到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離人一樣，且

答案第15頁(yè)，共49頁(yè)

awb,和P到其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離。一樣，到另一個(gè)頂點(diǎn)的距離為e,且ewe兩類為關(guān)鍵.

3.D

【分析】對(duì)于①，計(jì)算出“(%)=-〃?匕og2'=log2〃；對(duì)于②，由O<P,<1得到化log2P,<。，故H(x)>0,與

nn

H(x)=O矛盾，②正確；對(duì)于③，若〃=2,則Pi+P2=l，"(尤)=-[pJogzPi+(1-Pi)」og2(l-口)]，構(gòu)造函數(shù)

/(P)=-[plog2P+(l-P)log2(l-P)]，Ovpvl,求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到當(dāng)p=g時(shí)/(P)最大，故③正確；對(duì)

loPlm0

于④，表達(dá)出"(F),作差得到H(y)-H(x)=Alog2—B—+0210g2---+---+P2m§2<,

A+PimP2+P2*lPl,n+Pl

故H(x)>H(y),得到④正確.

1?1111

【解析】①若口=—1=1,2,…，則H(x)=-Z-log2-=TTog2-=log2〃，故①正確；

②假設(shè)“22,因?yàn)槭?X=i)=p,>0(i=l,2,…,〃)，￡R=1,所以。<p,<1,

Z=1

1O0

所以p,log2R<0G=1,2,…,〃)，所以H(x)=-^A§2A>,

1=1

這與H(x)=0矛盾，所以假設(shè)不成立，

而當(dāng)〃=1時(shí)，易得H(x)=0,所以〃=1,故②正確；

③若n=2,則Pi+P2=1,

H(x)=-(pjlog2Pi+p2log2p2)=-[Alog2A+(l-/?,)-log2(l-pj],

設(shè)/(。)=一[。1。82〃+(1-。)1鳴(1一。)]，Ovpvl,

「1一1]夕

則/(，)二-10g/7+^?----10g(l-j7)+(l-/7)--—-=-lOg--,

2pin22(1-p)ln2\21-p

令r(p)<o,得丁匕>1,解得:<p<i,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

1-P2

令/(P)>O,。(舌<1，解得。<P<；,此時(shí)函數(shù)/X。)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)p=；時(shí)f(p)最大，所以當(dāng)口時(shí)，"(%)取得最大值，故③正確；

④由題意知，P(Y=1)=A+p2m,P(Y=2)=p1+p2m_l,P(y=3)=p3+p2m_2,P(Y=m)=pm+pm+1,

?1?W)=-[(A+P2,“)bg2(Pi+PG+…+(R“+P,”+i)log式Pm+口“+1)]，

又H(X)=-(p,log2pi+p210g2p2+---+pmlog2pm+---+p2mlog2p2m),

H(Y)-H(X)=Pllog2-星—+p210g2———+…+P2m^g2P2m

Pl+PimPl+P2,n-1Pim+Pl

答案第16頁(yè)，共49頁(yè)

又一^<1,——<1,L,上一<1,

P1+P2”，Pz+PlXPl+P2m

：.H(Y)-H(X)<0,：.H(X)>H(Y),故④正確.

綜上，正確說(shuō)法的序號(hào)為①②③④，

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：

(1)可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；

(2)可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書上的概念.

4.A

【分析】先求得每一輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)的概率，利用二項(xiàng)分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性

質(zhì)求得正確答案.

【解析】設(shè)每一輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)的概率為P,

則P=P；A+XC；X凸X(1-)+/XC；XRX(1-口)

=+2。|0(跖+。2)=-3p；H+2"必X[=-3p；區(qū)+1Pl。2，

0<p42J=1，當(dāng)且僅當(dāng)p[=幺=|時(shí)等號(hào)成立.

?4

函數(shù)y=-3d+]無(wú)的開口向上，對(duì)稱軸為x=§,

所以0<-3p；p；+§。也，

12312⑼