函數(shù)與導數(shù)

一、單選題

L（2。24?全國）已知函數(shù)為小）=在R上單調(diào)遞增，則。取值的范圍是（）

A.(一-0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oo)

2.（2024.全國）己知函數(shù)為，（x）的定義域為R,/(x)>f(x-l)+/(x-2),且當x<3時=無，

則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A./（10）＞100B./(20)>1000

C./（10）＜1000D./(20)<10000

3.(2024?全國)設函數(shù)/(x)=a(x+l)2-1,g(x)=cosx+2以，當時，曲線y=f(x)與y=g(無)

恰有一個交點，則（）

A.-1B.；C.1D.2

4.（2024.全國）設函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+3,若/（x）20,則"十戶的最小值為（）

A.—B.—C.-D.1

842

5.（2024?全國）曲線〃x）=f+3x-1在（0,-1）處的切線與坐標軸圍成的面積為（）

A.-B.3C.1D.-且

6222

6.（2024?全國）函數(shù)/（*）=-*2+3-小卜山在區(qū)間（-2.8,2.8］的大致圖像為（）

7.（2024?全國）設函數(shù)=則曲線y=/⑺在（0,1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角

形的面積為（）

8.（2024?北京）已知（4y）,優(yōu)，％）是函數(shù)丁=2、圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

七迤〉與上Xy+X2

A.bg2B.log

22<2

兀2%+%

C.log2%%>'+D.log<玉十%

22

9.（2024?天津）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

x22

Ae-x「cosx+x13”一Xsinx+4x

A-）'r+iB-/+ic.y=-D.）產(chǎn)

x+1

10.（2024?天津）若〃=4.2一°3,匕=4.2°3,c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

11.（2024.上海）下列函數(shù)的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+co&xB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

12.（2024上海）已知函數(shù)的定義域為R,定義集合河={%%eR,XeQs,Xob/ak/ao）},

在使得M=的所有中，下列成立的是（）

A.存在〃尤）是偶函數(shù)B.存在f（x）在x=2處取最大值

C.存在/（x）是嚴格增函數(shù)D.存在f（x）在x=-l處取到極小值

二、多選題

13.（2024?全國）設函數(shù)/（x）=（x-l）2（x-4）,則（）

A.x=3是/⑺的極小值點B.當。<x<l時，/（x）</（x2）

C.當l<x<2時，一4</（2尤一1）<0D.當一1<%<0時，f（2-x）>f（x）

14.（2024?全國）設函數(shù)一3。龍？+1,貝IJ（）

A.當時，了⑺有三個零點

B.當a<0時，x=0是/（元）的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/（尤）的對稱軸

D.存在a,使得點（I"⑴）為曲線>=/（無）的對稱中心

三、填空題

15.(2024.全國)若曲線y=e，+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+。的切線，則”.

115

16.(2024?全A國)己知”>1,--j=_-,則。=.

log8aloga42

17.(2024.全國)曲線y=與y=-(x-iy+a在(。,+巧上有兩個不同的交點，則。的取值范圍

為.

18.(2024?天津)若函數(shù)〃x)=2j尤2一奴_麻一2|+1有唯一零點,貝I。的取值范圍為.

19.(2024?上海)已知.

四、解答題

20.(2024?全國)已知函數(shù)/⑺=ln^—+6+60-1)3

2-x

⑴若b=0,且用(x)20,求。的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

⑶若〃x)>-2當且僅當1<%<2,求人的取值范圍.

21.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=e*-ax-”'.

(1)當。=1時，求曲線>=/(尤)在點(1J⑴)處的切線方程；

⑵若/(幻有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

22.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=a(xT)-lnx+l.

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若aV2時，證明：當x>l時，/(x)<e"T恒成立.

23.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=(l-ov)ln(l+x)—x.

⑴當a=-2時，求的極值；

(2)當x20時，〃x)Z0恒成立，求。的取值范圍.

24.(2024.北京)已知"》)=尤+如(1+%)在⑺)(f>0)處切線為/.

⑴若切線/的斜率左=-1,求單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：切線/不經(jīng)過(0,0)；

(3)已知左=1,J⑺),C(O,/(f)),0(0,0),其中f>0,切線/與y軸交于點B時.當2%1cL15s/,

符合條件的A的個數(shù)為？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

25.(2024?天津)設函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(1，/⑴)處的切線方程；

⑵若。(尤-?)在xe(0,+“)時恒成立，求a的取值范圍；

(3)若占，/?0,1),證明［〃占)-小2)|文-即上

26.(2024?上海)/(x)=logax(a>0,a1).

(1)y=f(x)過(4,2),求-2)<的解集;

⑵存在X使得“X+1)、〃辦)、“X+2)成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

27.(2024?上海)對于一個函數(shù)“X)和一個點，令s(x)=+(〃%)-32，若「伉,〃/))

是s(x)取到最小值的點，則稱尸是M在"尤)的“最近點”.

(1)對于"%)=/(%>0)，求證：對于點"(0,0),存在點P,使得點P是加在的“最近點”；

⑵對于/(%)=/,/(1,0),請判斷是否存在一個點P,它是“在〃尤)的“最近點”，且直線MP與

y=/(x)在點尸處的切線垂直；

(3)已知y=/(x)在定義域R上存在導函數(shù)/'(X),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設點

陷卜-1J(。-g⑺)，“2?+1J⑺+g⑺).若對任意的feR,存在點尸同時是M,叫在外力的"最

近點”，試判斷“X)的單調(diào)性.

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因為“X)在R上單調(diào)遞增，且,0時，/a)=e*+lna+l)單調(diào)遞增，

——^—>0

則需滿足2x(-1),解得

—aWe°+In1

即。的范圍是［TOL

故選：B.

2.B

【分析】代入得到/(1)=1,"2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【解析】因為當x<3時〃尤)=彳，所以〃1)=11(2)=2,

又因為f(x)>/(元一1)+/。-2),

則/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,f(12)>/(11)+/(10)>233/(13)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>f(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知/(20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=1,/(2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-1)+/(%-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

3.D

【分析】解法一：令尸(%)=依?+。—1,G(x)=cosx,分析可知曲線y=F(x)與y=G(尤)恰有一個交點，

結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得a=2,并代入檢驗即可；解法二：令

/2(X)=/(X)-8(%),%€(-1,1),可知/7(力為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知網(wǎng)力的零點只能為0,

即可得。=2,并代入檢驗即可.

【解析】解法一：令/'(x)=g(x),即。(x+l)2-l=cosx+2aX,可得加+a-l=cosx，

令尸(x)=由？+口一1,G(X)=cosx,

原題意等價于當xe(-1,1)時，曲線V=尸(刈與y=G(尤)恰有一個交點，

注意到b(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，

可得/(0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令F(x)=G(x),可得+l-cosx=0

因為xe(—U),則Z/zOJ-cosx'O,當且僅當尤=0時，等號成立，

可得Zd+l-cosx'O,當且僅當x=0時，等號成立，

則方程2尤2+1-cos尤=0有且僅有一個實根0,即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個交點，

所以。=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令/z(x)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1),

原題意等價于h[x)有且僅有一個零點,

因為//(—x)=a(—尤)~+a—1—cos(—x)=ax2+a—1—cosx=h(x),

則/7(X)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知h(x)的零點只能為0,

即//(0)=a—2=0,解得a=2,

若a=2,貝！J〃(x)=2d+1-cosx,xe(-1,1),

又因為2/20,l-cosxN0當且僅當x=0時，等號成立，

可得人⑺20,當且僅當x=0時，等號成立，

即〃(x)有且僅有一個零點0,所以a=2符合題意；

故選：D.

4.C

【分析】解法一：由題意可知：了⑺的定義域為(-4+e),分類討論-。與-瓦1-6的大小關(guān)系，結(jié)合

符號分析判斷，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+b)的符號，

進而可得x+a的符號，即可得b=a+l,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知：/(x)的定義域為(-反+e),

令元+。=0解得了=一。；令In(尤+6)=0解得x=l—匕；

若,當xw(—b,l—b)時，可知x+a>O,ln(x+b)vO,

此時/(%)<。，不合題意；

若一bv-a<l—b,當了￡(—。/一人)時，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此時/(X)v。，不合題意；

若一。=1一人，當％￡(—"1一，)時，可知x+a<O,ln(x+Z?)<O,止匕時/(%)>。；

當了E[1—Z?,+8)時，可知x+〃之O,ln(x+b)2O,止匕時/(%)20；

可知若-〃=1-人，符合題意；

若一〃>1一/7,當尤￡(1一人,一。)時，可知％+a(O,ln(x+Z?》O,

此時了(%)v0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即/?=。+1,

則/+從=/+(。+咪=2(。+工丫+工2!，當且僅當4=一工,6=工時，等號成立，

所以/+〃的最小值為J；

解法二：由題意可知：/(X)的定義域為(-4+8),

令x+a=O解得力=—〃；令ln(%+Z?)=O解得尤=1一人；

則當了￡(—"1一/?)時，ln(x+Z?)<0,故x+〃KO,所以1一人+〃<0；

%￡(1—"+8)時，ln(x+Z?)>0,故％+a20,所以1—b+aNO；

故1一人+〃=0,則Q?+/=4+(q+])2=++^>^,

當且僅當。=-1,6=]時，等號成立，

22

所以1+方2的最小值為

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：分別求x+4=0、In(尤+6)=0的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較大小分類

討論，結(jié)合符號性分析判斷.

5.A

【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.

【解析】r(x)=6x5+3,所以((0)=3,故切線方程為y=3(x—0)—l=3x-l,

故切線的橫截距為二，縱截距為-1,故切線與坐標軸圍成的面積為!xlx：=J

3236

故選：A.

6.B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/'(l)＞。，可排除D.

［解析］/(-x)=-x*2*7+(e-x-eY)sin(-x)=-x2+(e*-e~xjsinx=/(x),

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-1+fe--.兀e1111八

又〃1)=T+sm—=----1------>--------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

7.A

【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算可得其在點(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標軸交點坐標，即

可得其面積.

(e*+2cosx)(l+X2)-(e"+2sin

【解析】/'(%)=

(^4

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sinO)xO

則((0)==3,

(l+0『

即該切線方程為＞T=3x,即y=3x+l,

令x=0,貝Uy=l,令y=。，貝!Jx=-g,

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=:xlx

25o

故選：A.

8.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【解析】由題意不妨設玉＜%，因為函數(shù)＞=2、是增函數(shù)，所以0＜2畫＜2巧，即。＜%＜%，

7X1-I-，向/-----再+巧畫+電

對于選項AB：可得＞J2的？「2=2,即江&＞22＞0,

22

X］+x

根據(jù)函數(shù)y=log?X是增函數(shù)，所以log2丐及＞log22k2=生產(chǎn)，故A正確，B錯誤;

對于選項C：例如%=0,則M=1,為=2,

可得log?%；%=log2:e(0,1),即log?%＜1=芯+%,故C錯誤；

對于選項D：例如再=一1,工2=-2,則，1=；，%=；，

可得1。82"_^_=1。82』=1。823-3￡(-2,-1),即log2%：%>—3=%+々，故D錯誤，

2o2

故選：A.

9.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【解析】對A,設〃⑼=￡工，函數(shù)定義域為R,但〃一1)=±1,”1)=?,則〃-l)w/(l),

故A錯誤；

對B,設g(x)=8S：+*,函數(shù)定義域為R,

-

cos(-x)+(-x)_cos尤+尤2

且g(-x)==g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

2

(-尤y+ix+1

對C,設耳可=害，函數(shù)定義域為{X|XHT},不關(guān)于原點對稱，則力(X)不是偶函數(shù)，故C錯誤；

對D,設0(x)=smx：4x,函數(shù)定義域為R,因為姒1)=吧1±f,p(T=Tml4,

eee

則。⑴二0(-1),則夕(x)不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

10.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解析】因為y=4.2'在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.243<4.2°<4.2°3,

所以0<4.20<1<4.2°3,BPO<a<l<Z>,

因為y=log4,2X在(0,+co)上遞增，且0<0.2<1,

所以log42O.2clog4.2lM。，即c<0,

所以3><7>C,

故選：B

11.A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【解析】對A,sinx+cosx=&sin]x+：；周期7=2無，故A正確；

127r

對B,sinxcosx=—sin2x,周期T=一=兀，故B錯誤；

22

對于選項C,sin2x+cos2x=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；

對于選項D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期7=萬=兀，故D錯誤，

故選：A.

12.B

【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B,構(gòu)

—2,x<一1

造函數(shù)/(X)=<X,-14x41即可判斷.

1,X>1

【解析】對于A,若存在y=/(x)是偶函數(shù)，取x0=le[-l,l],

則對于任意而/(-1)=/(1),矛盾，故A錯誤；

—2,x<—1,

對于B可構(gòu)造函數(shù)"X)=<x,-1V尤W1,滿足集合M=[-1,1],

l,x>1,

當x<-l時，則〃力=一2,當—iWxWl時，f(x)e[-l,l],當X>1時，/(x)=l,

則該函數(shù)的最大值是“2),則B正確；

對C,假設存在了(X),使得嚴格遞增，則加=14,與已知M=矛盾，則C錯誤；

對D,假設存在〃x),使得“力在尸-1處取極小值,則在-1的左側(cè)附近存在n,使得/(〃)>/(-1),

這與已知集合M的定義矛盾，故D錯誤；

故選：B.

13.ACD

【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)/(無)

在(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【解析】對A,因為函數(shù)的定義域為R,而r(X)=2(X-1)(X—4)+(A1)2=3(X-1)(X-3),

易知當無€(1,3)時，/(%)<0,當xw(-oo,l)或xe(3,+oo)時，/(x)>0

函數(shù)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+“)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)的

極小值點，正確；

對B,當0<x<l時，x-x2=x(l-x)>0,所以1>》>尤2>0,

而由上可知，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以/'(》)>/■(尤2),錯誤;

對C,當l<x<2時，1<2尤-1<3,而由上可知，函數(shù)〃尤)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以/(1)>〃2%-1)>〃3),即T</(2x-1)<0,正確;

對D,當_]<x<0時，f(2-x)-/(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-l)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0,

所以〃2-尤)>/(x),正確；

故選：ACD.

14.AD

【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為x=O,x=a,根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出/(x)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設

存在這樣的。涉，使得x=b為Ax)的對稱軸，則=-x)為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項,

若存在這樣的。，使得(1,3-3a)為的對稱中心，則/?(x)+/(2-*)=6-6。，據(jù)此進行計算判斷,

亦可利用拐點結(jié)論直接求解.

【解析】A選項，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(r?,0)u(a,+8)時/(x)>。，故/(無)在(一8,0),(a,+8)上單調(diào)遞增，

尤w(0,a)時，f'{x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則f(x)在尤=0處取到極大值，在x=。處取到極小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,則)(0)/(。)<0,

根據(jù)零點存在定理“無)在(。，。)上有一個零點，

又/?(-1)=一1一3"0,。(2。)=4/+1>0,則/(一1)/(0)<0,/(“)/(2。)<0,

則/(X)在(-1,0),32a)上各有一個零點，于是a>1時，/⑺有三個零點，A選項正確；

B選項，f'(x)=6x(x-a),“<0時，xe(a,0),f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,用)時/'(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設存在這樣的6,使得x=b為/*)的對稱軸，

即存在這樣的。涉使得/?=fQb-x),

即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3aQb-x)2+l,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(2b-4展開式含有d的項為2C；(26)°(-尤了=-2/，

于是等式左右兩邊V的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的a力，使得x=b為了(尤)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(l)=3-3a,若存在這樣的。，使得(1,3-3a)為了⑴的對稱中心，

則/(x)+/(2-x)=6-6a,事實上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-%)3-3a(2-%)2+1=(12-6a)%2+(12a-24)尤+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)%2+(12a-24)x+18-12。

12-6。=0

即12〃-24=0,解得。=2,即存在。=2使得(1"⑴)是/(九)的對稱中心，D選項正確.

18—12a=6—6〃

方法二：直接利用拐點結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，

/(x)=2x3-3ax2+1,/'(%)=6x2-6ax,fn(x)=12x-6a,

由尸(x)=0ox=/于是該三次函數(shù)的對稱中心為

由題意(1"(D)也是對稱中心，故三=10。=2,

2

即存在a=2使得(1,/(D)是的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

【點睛】結(jié)論點睛：(1)/(無)的對稱軸為(2)/(尤)關(guān)于(a,b)對稱

<=>f(x)+f(2a-x)=2b.(3)任何三次函數(shù)/(x)=G?+6x2+cx+d都有對稱中心，對稱中心是三次

函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是f"(x)=0的解，即［(J是三次函數(shù)的對稱中心

15.In2

【分析】先求出曲線y=e，+x在(0,1)的切線方程，再設曲線y=ln(x+l)+a的切點為

(%,In(%+l)+a),求出y',利用公切線斜率相等求出與,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即

可求解.

【解析】由y=e*+無得y'=e*+l,y'|v=0=e°+1=2,

故曲線y=e'+x在(0,1)處的切線方程為y=2元+1；

由y=ln(x+l)+a得y,

設切線與曲線V=ln(x+l)+a相切的切點為卜0，111(%+1)+4),

由兩曲線有公切線得y'=L=2,解得天=-<，則切點為［-4a+ln：］,

木呈y=21x+5J+a+In5=2尤+1+a—In2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

16.64

【分析】將logs。，log.4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2a來表示即可求解.

1131,5一，、，

【解析】由題■；------；----7=1-------loga=--,整理得(log2a)--51og,a-6=0,

2v27

log8alog”4log2a22~

nlog2a=T或log2a=6,又a>l,

所以Iog2a=6=log226,故a=26=64

故答案為：64.

17.(-2,1)

【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，4x3-3x=-(x-l)2+a,分離參數(shù)。，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=d+犬—5x+l,

結(jié)合導數(shù)求得g⑺單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解析】令x3-3x=-(x-1)~+a,BPa=x3+x2—5.x+1,令g(x)=d+x--5x+l(x>。)，

則g,(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g,x)=0(x>0)得x=l,

當xe(O,l)時，gf(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當xe(l,+e)時，g<x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(O)=l,g⑴=—2,

因為曲線y=^-3x與y=-(x-iy+a在(0,+e)上有兩個不同的交點，

故答案為：(-2,1)

18.（-73,-1）u（l,^）

'c2

ax-3,x>—

【分析】結(jié)合函數(shù)零點與兩函數(shù)的交點的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g（尤）=2&2-依與〃（X）=21則

l-ax,x<—

、a

兩函數(shù)圖象有唯一交點，分〃=0、〃>0與。<0進行討論，當。〉0時，計算函數(shù)定義域可得％之。或

x<0,計算可得〃?0,2］時，兩函數(shù)在y軸左側(cè)有一交點，則只需找到當。40,2］時，在y軸右側(cè)無

交點的情況即可得；當。<0時，按同一方式討論即可得.

【解析】令〃%）=0,即2，爐—以=同—2|-1,

由題可得%?一女>0,

則了=土交，不符合要求，舍去;

當a=0時，xeR,有2叱=卜2-1=1,

2

。2

ax-3,x>—

當〃〉0時，則2.冗2=,%_2卜1=<a

2，

l-ax,x<—

a

'2

ax-3o,x>—

即函數(shù)g(x)=2&2-亦與函數(shù)/z(x)=<;有唯一交點，

1-ax,x<—

、a

由f—axzo,可得九或x40,

當xKO時，則依一2<0,則2，冗2一四=尿一2|一1二1一四,

即4爐—4辦=（1—依）2,整理得（4—a?）/—2必—1=［（2+Q）X+1］［（2—a）%—1］=0,

當〃=2時，即4x+l=0,即％=—1,

4

當ae（O,2）,x=--L或無=，>0（正值舍去）,

'2+。2-a

當ae（2,+oo）時，尤=-7rJ—<。或<。，有兩解，舍去，

2+。2-a

即當ae（O,2］時，-依一1以一2"1=0在xvo時有唯一解,

則當ae（0,2］時，2G_冰_辰_2|+1=0在上泊時需無解,

當ae(O,2],且x上a時,

c2

ax—3,x>—

；關(guān)于尤對稱,13

由函數(shù)4x）=<=2令網(wǎng)x)=0可得%=—或x=—,

,2aaa

1-ax,x<—

a

且函數(shù)人（元）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

______2

令g（x）=y=lyjx1-ax，即幺———=1,

cra2

Z

（x）2/_

故xNa時，g（x）圖象為雙曲線下一/二1右支的x軸上方部分向右平移|■所得,

~4

22

（x）y1a_.0

由,一/=的漸近線方程為'一一一，

72

即g（尤）部分的漸近線方程為y=2其斜率為2,

c2

ax-3,x>—

a

又ae(O,2],即〃(x)=，在xN—時的斜率ae(O,2],

12a

l-ax,x<—

a

令8（尤）=26_依=0,可得x=a或x=0（舍去），

且函數(shù)g（x）在（。,舟）上單調(diào)遞增,

I

一<4

故有<1,解得l<a<VL故l<a<若符合要求;

—>a

、a

c2

ax-3,x<—

當a<0時，則2-Jx2-ax=依-2卜]=.a

12

l-ax,x>—

a

c2

ax-3,x<—

即函數(shù)g（x）=2j/-ax與函數(shù)Mx）=，2有唯一交點,

I-ax,x>—

a

由一改20,可得xNO或兀<a,

當九NO時，則ax—2v0,則2，%、=2|-1=1-ax,

即4f_4依=。—公『，整理得（4一片卜2一2四—1=[（2+〃）1+1][（2-々）％-1]=0,

當。=一2時，即4%—1=0,BPx=—,

4

當。?-2,0）,無=-4<0（負值舍去）或x=:一0,

當,2）時，x=>0x=—>0,有兩解，舍去，

2+a2—a

即當ae[—2,0)時，2\]x2-ax一|0￥-2|+1=0在工20時有唯一解,

則當aw[—2,0)時，24^二—|依—2|+1=0在無時需無解,

當aw[-2,0),且X<Q時,

。2

ax-3,x<—i3

由函數(shù)〃(%)=<:關(guān)于尤=2對稱,令/z(x)=0,可得元=_或I=_,

12aaa

1-ax,x>—

a

且函數(shù)Mx)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

,、W2"2-1a

同理可得：xVa時，g(x)圖象為雙曲線才一/一1左支的x軸上方部分向左平移|?所得,

g(x)部分的漸近線方程為、=-2卜+雪,其斜率為一2,

ax-3,x>—

2

又。￡[-2,0),即/7(x)=2在尤〈，時的斜率。?-2,0),

l-ax,x<—

、a

令g(x)=2dxi—ax=0,可得無="或x=0(舍去)，

且函數(shù)g(x)在(f,a)上單調(diào)遞減,

1

—〉a

故有1,解得故符合要求;

—<a

4

綜上所述，ae(-73,-1)(1,班)

故答案為：(-百,T)D(1,6).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于將函數(shù)外”的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(%)=2療了與函數(shù)

c2

ax-3,x>—

/z(x)=<;的交點問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.

l-ax,x<—

a

19.6

【分析】利用分段函數(shù)的形式可求/(3).

【解析】因為〃力=『；：；°，故"3)=6,

故答案為：6

20.(1)-2

(2)證明見解析

⑶6之一'|

【分析】(1)求出/''(xLuZ+a后根據(jù)/⑴對可求。的最小值;

(2)設P(%〃)為y=/(x)圖象上任意一點，可證「(租,〃)關(guān)于(1㈤的對稱點為Q(2-祖,2(7-〃)也在

函數(shù)的圖像上，從而可證對稱性;

7

(3)根據(jù)題設可判斷〃1)=-2即”=-2,再根據(jù)4x)>-2在(1,2)上恒成立可求得62一：

【解析】(1)b=0時，/(x)=ln-——+ax其中xe(0,2),

2-x

119

則廣⑴二丁二丁而靖〃心(°，2)，

因為x(2-x)4］上產(chǎn)］=1,當且僅當x=l時等號成立,

故=2+。，而/'(力20成立，故a+220即a2—2,

所以。的最小值為-2.,

(2)/(x)=ln—+ax+Z;(x-l)3的定義域為(0,2),

2-x

設P為y=f(x)圖象上任意一點，

P(機")關(guān)于(1,4)的對稱點為。(2-〃?,2a-〃)，

因為尸("〃)在y=f(x)圖象上，^fcn=lnm+am+b(m-lf,

2—m

而〃2-"7)=111r—~，+a(l-m}+b(2-m—V\=-In————am+b(m-\^+2a,

m\_2—m_

=—n+2a,

所以Q(2也在y=/(x)圖象上，

由P的任意性可得y=/(x)圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為(La).

(3)因為〃%)>—2當且僅當l<x<2,故x=l為/'(x)=—2的一個解，

所以〃1)=-2即°=_2,

先考慮1(尤<2時，/(x)>—2恒成立.

此時〃力>一2即為皿4+2(1-x)+6(x-l)3>0在(1,2)上恒成立，

2-x

設f=x-則In巖-2f+#>0在(0,1)上恒成立,

設g(f)=In-----2f+bt},te(0,1),

+2+36)

則g'S告

1-r2

當bNO,-3初2+2+36W—36+2+36=2>0,

故g'?)>0恒成立，故g⑺在(0,1)上為增函數(shù),

故g()>g(0)=0即>—2在(1,2)上恒成立.

2

當一耳工力<0時，-3bt2+2+3b>2+3b>0,

故g'?"0恒成立，故g⑺在(0,1)上為增函數(shù)，

故g⑺>g(0)=0即外力>—2在(1,2)上恒成立.

當》<一,則當時，g'?)<0

3V3b

故在上g⑺為減函數(shù)，故g⑺<g(°)=o,不合題意，舍；

綜上，〃力>-2在(1,2)上恒成立時

2

而當時，

而時，由上述過程可得g⑺在(0,1)遞增，故g⑺>0的解為(0,1),

即/(x)>—2的解為(1,2).

2

綜上，b>——.

【點睛】思路點睛：一個函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對應的解，而解的端點為函

數(shù)對一個方程的根或定義域的端點，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時，可先由恒成立得到

參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.

21.⑴(e—l)x—y—l=0

⑵(1,同

【分析】(1)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一:求導，分析aWO和a>0兩種情況,利用導數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得/+in。-1>0,

構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導，可知/(x)=e，-。有零點，可得。>0,進而利用導數(shù)求/(無)

的單調(diào)性和極值，分析可得/+ina-1>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【解析】(1)當。=1時，貝U/(x)=e'-x-1,/(x)=e，一1,

可得f(l)=e-2,/,(l)=e-l,

即切點坐標為(l,e-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為y-(e—2)=(e—l)(x-l),即(e—l)x—y-1=0.

(2)解法一：因為/(x)的定義域為R,且/'(x)=e*-a,

若aW0,則尸(無)20對任意xeR恒成立,

可知Ax)在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若a>0,令/'(X)>0,解得x>In。；令f'(x)<0,解得尤<In。；

可知/(工)在(-8,Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/(lna)=a-alna—a3,無極大值，

由題意可得：f(hia)=a-cilna-a3<0,即a2+in"i>o,

構(gòu)建g(a)=。2+lna-l,a>0,貝!]g'(a)=2a+—>0,

可知g⑷在(0,+向內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

2

不等式a+lnfl-l>0等價于g(“)>g(1)，解得“>1，

所以a的取值范圍為(1,+e)；

解法二：因為廣⑴的定義域為R,且廣(x)=e、-a,

若了⑺有極小值，則((尤)=^-〃有零點，

令f'(x)=ex-a=0,可得e、=a,

可知y=e'與丫=。有交點，貝色>0,

若a>0,令f'(x)>0,解得x>lna；令f'(x)<0,解得x<lna；

可知/W在(-e,Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(X)有極小值無