第08講完全平方公式與平方差公式

01學習目標

課程標準學習目標

1、推導公式(0+_b)="2-62,并能用該公式進行計算。

1完全平方公式b)(a

2、經歷探索平方差公式的過程，培養觀察、交流、歸納、猜想、

2完全平方公式的幾何背景

驗證等能力，領悟數形結合、從一般到特殊數學思想方法。

3完全平方式

3、培養創新意識和合作精神，樹立實事求是的科學態度。

4平方差公式

【學習重點】平方差公式的應用

5平方差公式的幾何背景

【學習難點】對公式的理解及靈活應用

思維導圖

01完全平方公式

C02完全平方公式的幾何背景

剪空，03完全平方式

04平方差公式

[05平方差公式的幾何背景

完全平方公式與平方01運用平方差公式進行運算

1運用完全平方公式進行運算

差公式02

，03通過對完全平方公式變形求值

’04求完全平方式中的字母系教

遜y——-———.........................

05平方差公式與幾何圖形

、06完全平方公式在幾何圖形中的應用

\07完全平方式在幾何圖形中的應用

08整式的混合運算

「知識清單

03

知識點01完全平方公式

(1)完全平方公式：(a±6)2=a2±2ab+b2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項

分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同.

(3)應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a,6可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數和

(或差)的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全

平方公式.

【即學即練1】

I.(2023春?青陽縣期末)已知(x+)y=7,(x-)r=5,則/+./=,.

【分析】先根據完全平方公式展開，再相加、相減，即可求出答案.

【解答】解：?.?。+才=7,(x-y>=5,

x2+2xy+y2=1x2—2xy+y2=5(2),

①+②得：2尤2+2了2=12,

即x?+/=6,

①-②得：4切=2,

即盯=g,

故答案為：6,

2

【點評】本題考查了完全平方公式，能熟記完全平方公式的內容是解此題的關鍵，注意：

+b)-=+2ab+b,-b)1=a?—2ab+.

【即學即練2】

2.(2023春?定遠縣校級期中)已知河=x2-2x+4,N=x2-4x+4,請比較〃■和N的大小.

以下是小明的解答：

?.?〃=0-1)2+323,N=(X-2)220,

M^N.

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答.

【分析】小明的解答過程有誤，利用作差法判斷大小即可.

【解答】解：小明的解答過程有誤，

正確解答為：

*.*M=x~—2x+4,N=x~—4x+4,

:.M—N—(x2-2x+4)-(x2-4x+4)

=x2-2x+4-x2+4x-4

=2x,

當龍》0時，2x20,即M-N2O,此時

當x<0時，2x<0,即四一N<0,此時M<N.

【點評】此題考查了完全平方公式，以及整式的加減，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關鍵.

知識點02完全平方公式的幾何背景

（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做

出幾何解釋.

（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形

Ca+b）2^a2+2ab+b2.（用大正方形的面積等于邊長為。和邊長為6的兩個正方形與兩個長寬分別是a,b

的長方形的面積和作為相等關系）

【即學即練1】

3.（2023春?宿州月考）如圖，長為“，寬為人的長方形的周長為16,面積為12,則/+/的值為（）

C.64D.40

【分析】由題意知，ab=n,2（a+3=16,再把/+〃變形為（a+6）2一2",然后再整體代入求解即可.

【解答】解：由題意知，ab=12,2（a+6）=16.

:.a+b=S.

a2+尸=（a+6>-246=8?-2x12=64-24=40.

故選：D.

【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法進行因式分解是解決本題的關鍵.

【即學即練2】

4.（2023春?霍邱縣期末）閱讀材料并解答問題：我們已經知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積

來表示，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，例如：2a（a+6）=2/+2"就可以用圖①的

面積來表示.

(1)請寫出圖②所表示的代數恒等式.

(2)請畫圖，用平面幾何圖形的面積來表示代數恒等式(a+6)(2。+6)=2/+306+/.

abab

ab

a2ab

a2

2

abb

aa匕

①②

【分析】(1)根據“大長方形的面積=兩個小正方形(面積為。2)+兩個小正方形(面積為/)+5個長方形

(面積為成)”即可得出代數恒等式；

(2)設計一個兩條鄰邊分別為(a+6),(2a+6)的長方形即可.

【解答】解：(1)?.■大長方形是由兩個面積為/的正方形、兩個面積為/的正方形及5個面積為他的長方

形組成，

.,.大長方形的面積為：2/+5a6+262,

又：大長方形兩鄰邊的長分別為：(2a+6),(a+2b),

.,.大長方形的面積為：(2a++2b),

.?.圖②所表示的代數恒等式為：(2a+b\a+26)=2a1+5ab+lb2.

(2)如圖為所求：

bababb2

22

aaaab

aab

理由如下：

?.?大長方形由兩個面積為。的正方形，一個面積為b的正方形及三個面積為成的長方形組成，而大長方形

的兩條鄰邊長分別為：(a+6),(2a+b),

(a+b)(2a+6)=2a°+3ab+b~.

【點評】此題主要考查了幾何背景下的多項式乘多項式，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握多項式乘

多項式的計算法則.

知識點03完全平方式

完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式工,如果存在另一個實系數整式5,使/=〃，則

稱/是完全平方式.

a2±2ab+b2=（。±6）2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完全平方差公式,

就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨

中央.（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2,然后把這個數放在兩數的乘方的中

間，這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用后邊

的符號都用+）”

【即學即練1】

5.（2023春?肥西縣期末）下列多項式，為完全平方式的是（）

A.1+4/B.4/+46-1C.a2-4a+4D.a2+ab+b2

【分析】根據完全平方式對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解答】解：/、1+4.2沒有乘積二倍項，故本選項錯誤；

B、4b2+4b-l,平方項-1不符合，故本選項錯誤；

C、1一40+4是完全平方式，故本選項正確；

D、a1+ab+b2,乘積二倍項不符合，故本選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題主要考查了完全平方公式，注意兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個

完全平方式.

【即學即練2】

6.（2023春?合肥月考）已知：，+履+9是完全平方式，則*=.

【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出k的值.

【解答】解：???/+質+9是完全平方公式，

左=±6.

故答案為：±6.

【點評】本題考查了完全平方式，掌握完全平方公式是關鍵.

知識點04平方差公式

（1）平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.

（。+6）（a-6）—a2-b1

（2）應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的。和6可以是具體數，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便.

【即學即練1】

7.(2023春?廬陽區校級期中)下列多項式乘法中，不能用平方差公式計算的是()

A.(o2+b\a2-b)B.(2a+b)(2a-b)

C.(-3x-y)(-y+3x)D.(x+y)(-x-y)

【分析】平方差公式的使用條件：兩個代數式相乘，其中兩項相同，兩項互為相反數即可判斷.

【解答】解：A.兩個多項式/+6與其中相同的兩項是/與二,互為相反數的兩項是6與-3

符合平方差公式的使用條件，

故此選項不符合題意；

B.兩個多項式2a+6與2a-b,其中相同的兩項是2a與2a,互為相反數的兩項是6與-b,符合平方差公

式的使用條件，

故此選項不符合題意；

C.兩個多項式-3x-y與-y+3x,其中相同的兩項是-y與-＞，互為相反數的兩項是-3x與+3x,符合平

方差公式的使用條件，

故此選項不符合題意；

D.兩個多項式x+y與-x-y,其中沒有相同的項，互為相反數的項是x與-x,+y與-不符合平方差

公式的使用條件，

故此選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查平方差公式的使用條件，理解使用條件是解題的關鍵.

【即學即練2】

8.(2023春?廬陽區校級期中)觀察下列等式：(x-l)(x+l)=x1-l；(x-l)(x2+x+l)=x3-l；

(x-l)(x3+x2+1)=/-1,……，小明發現其中蘊含著一定的運算規律，并利用這個運算規律求出了式子

“39+38+...+3+1”的值，這個值為()

23

【分析】根據上面的規律，可知(3-1)3+3?+...+3+l)=3i°-1,進一步求解即可.

【解答】解：根據上面的規律，可知(3-1)0+38+…+3+l)=3i°-1,

310_1

39+38+...+3+1=----，

2

故選：C.

【點評】本題考查了平方差公式，規律型，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵.

知識點05平方差公式的幾何背景

(1)常見驗證平方差公式的幾何圖形(利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式).

m(3?

(2)運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾

何解釋.

【即學即練1】

9.(2023春?包河區期中)從邊長為°的大正方形紙板中挖去一個邊長為6的小正方形后，將其裁成四個相

同的等腰梯形(如圖甲)，然后拼成一個平行四邊形(如圖乙)，那么通過計算陰影部分的面積可以驗證公

式()

a

甲乙

A.(a——2,ub+b”B.(a+b)2-a2+lab+b2

C.a2-b2=(a+/?)(a-b)D.(2a+b)(a-b)=a2+ab-2b2

【分析】圖甲中陰影的面積等于邊長為。的正方形面積減去邊長為b的正方形面積，即圖乙中平行

四邊形底邊為a+b,高為a-b,即面積=(a+Z>)(a-b),兩面積相等所以等式成立.

【解答】解：?.?兩個圖中的陰影部分的面積相等，

即甲的面積=/-/,乙的面積=(a+6)(a-6).

ci~~b~=(a+b)(a—b').

所以驗證成立的公式為：a2-b2=(a+bXa-b).

故選：C.

【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵.

【即學即練2】

10.(2023春?渦陽縣期中)如圖所示由圖1到圖2的變換.

(1)根據圖中的陰影部分的面積關系直接寫出等式是：—；

(2)根據(1)的等式計算：

①已知4/一＞2=25,2x-y=5,貝!)2x+y=

②計算：a_"）x（i_jx（i_：）x（iT）…（1一.

【分析】（1）根據正方形和長方形的面積公式解答即可;

（2）①根據平方差公式因式分解可得答案；

（3）利用平方差公式計算即可.

【解答】解：（1）由題意可知，所求等式為：a2-b2=（a+b\a-b）,

故答案為：a2-b2=(a+bXa-b)-,

(2)?v4x2-y2=(2x+y)(2x-y),

4x2-/

/.2x+y=至=5

2x-y5

故答案為：5；

⑶06(1.(1一抄"：)…”.)

=(l+-)x(l--)x(l+-)x(l--)x(l+i)x(l--)x(l+-)x(l--)x...x(l+-^-)x(l———)

2233444420232023

13243520222024

——X—X—X—X—X—X...-----------X------------

22334420232023

=—1x-20-2-4

22023

_1012

-2023,

【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景及平方差公式的應用，解題的關鍵熟練掌握平方差公式，并進

行靈活運用.

04題型精講

kNN

題型01運用平方差公式進行運算

1.（23-24七年級下?安徽淮北?期末）下列各式能用平方差公式計算的是（）

A.（3a-56）（3“-5b）B.（-3°-56）（30+56）

C.—2b）（一a+26）D.（—a—2b）（a-2b）

【答案】D

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式，利用平方差公式的結構特征進行判斷即可.

【詳解】解：A、（3a-56）（3a-56）=（3a-56）2,不能用平方差公式，故該選項不正確，不符合題意；

B、（-3”56）（3a+5b）=-（3a+5b『，不能用平方差公式，故該選項不正確，不符合題意；

C、（a-26）（-a+2b）=-（a-26『，不能用平方差公式，故該選項不正確，不符合題意；

D、（-0-26）（a-26）=（-能用平方差公式，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

2.（21-22七年級下?安徽宿州,期末）計算：

【答案】:/-J/

94

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的特點是解決問題的關鍵.利用平方差公式進行計算，

即可得出答案.

【詳解】解：（->?）（如$）

=（-1?）2-（^）2

=-a2--b2,

94

故答案為：—a2~~b2■

94

3.（23-24七年級下?安徽池州?期末）觀察下列等式：

①52-F=8X3;②62-22=8X4；③72-3、8X5；...

⑴寫出第"個等式，并說明等式的正確性；

（2）上述等式左邊都可以用前后兩個差為4的整數的平方差表示，問2024是否可以寫成兩個差為4的整數的

平方差？如果能，請寫出這兩個整數；如果不能，請說明理由.

【答案】⑴（"+4）2-/=8（〃+2）,說明見解析；

（2）能，255,251.

【知識點】運用平方差公式進行運算

【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵.

(1)根據規律即可得出答案；

(2)將2024除以8,看結果是否整除進行判斷即可.

【詳解】(1)解：第〃個等式為：(〃+4)2-*=8(〃+2),

證明：左邊=/+8〃+16—“2=8〃+16，

右邊=8〃+16,

左邊=右邊，

即(?+4)2-*4?2=8(n+2)；

(2)解：2024+8=253,即〃+2=253,

;.〃=251,”+4=255,

2024=2552-25/,

因此2024能寫成兩個差為4的整數的平方差，即2024=2552-25/,

這兩個整數為：255,251.

題型02運用完全平方公式進行運算

4.(23-24七年級下?安徽淮北?期末)已知三個實數。，b,c滿足a+26+2c>0,a-26+2c=0,則

()

A.b<0,b2-2ac>0B.b>0,b2-2ac>0

C.b<0,b2-2ac<0D.b>Q,b2-2ac<0

【答案】B

【知識點】運用完全平方公式進行運算、不等式的性質

【分析】本題考查了不等式的性質，等式的性質以及完全平方公式的應用；將。-26+2c=0得到

2b=a+2c,根據a+2b+2c>0得出6>0,將6=~|+c,代入〃一2℃即可進行解答.

【詳解】解：,；a-26+2c=0,

???2b=a+2c,

丁Q+26+2c〉0,

>0,解得：b〉。,

?/2b=a+2c,

7Q

：.b=—+c,

2

2(aY

b-2QC—I—+cI-2QC

2

2ac

=c+ac-\----lac

4

綜上：b>Q,b1-2ac>0,

故選：B.

5.(23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末)已知(2018-。)(。-2021)=-4,則(a-2018)2+(°-2021『=.

【答案】17

【知識點】運用完全平方公式進行運算

【分析】本題考查了整式運算和代數式的知識，設。-2021=加，則。-2018=機+3；根據題意，得

/+3機=4;再將/+3加=4代入到代數式中計算，即可得到答案.

【詳解】?.■(2018-a)(a-2021)=-4

...(a-2018)(a-2021)=4

設。一2021=，〃，貝lja-2018=加+3

...m(m+3)=4,即加？+3加=4

??,(a-2018)2+(a-202iy

=(zn+3)~+m2

=2m2+6m+9

=2(加2+3加)+9

=2x4+9

=17

故答案為：17.

6.(23-24七年級下?安徽六安?階段練習)我們容易發現：2?+5?>2x2x5,32+32=2x3x31+32>2x1x3.

⑴觀察以上各式，請判斷02+〃與2處之間的大小關系，并說明理由；

22

(2)利用(1)中的結論，當a>0,6>0時，求勺h+々a的最小值；

ab

⑶根據(1)中的結論猜想(等;與湖之間的大小關系，并說明理由.

【答案】⑴/+/22ab,見解析

(2)2

(3)［等：2仍，見解析

【知識點】運用完全平方公式進行運算

【分析】此題考查了完全平方公式以及變形應用，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式.

(1)根據以上各式的規律求解即可；

(2)根據(1)中的結論求解即可；

(3)根據完全平方公式的變形求解即可.

【詳解】(1)解：a2+b2>2ab,理由如下：

>0

/—2ab+20

'-a1+b2>lab;

(2)6Z>0,b>0

12

ba>baA

???一+F22X—x—=2

abab

h2/

.?.1+二取得最小值2；

ab

(3)［審］>ab,理由如下：

>o

〃—2ab+6?20

???a2+b2>2ab

???a2+b2+lab>4ab

??.(Q>4ab

(a+bV

——L>ab

4

(Q+6丫

?,{-J-ab-

題型03通過對完全平方公式變形求值

7.(23-24七年級下?安徽六安?期中)已知(x-2020)2-(x-2028)2=18,貝［］工-2024的值是()

9

A.1B.-C.3D.4

8

【答案】B

【知識點】通過對完全平方公式變形求值

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應用，熟練應用完全平方公式進行求解是解題的關鍵.根據題意

原式可化為［(x-2024)+4］2-［(x-2024)-47=18,再運用完全平方公式計算，應用整體思想合并同類項,

即可得出答案.

【詳解】解：???(x-2020)2_(x-2028)2=18,

[(x-2024)+4]2-[(X-2024)-4]2=18,

(x-2024)2+8(x-2024)+16-(x-2024)2+8(無-2024)-16=18,

,-.16(x-2024)=18,

9

.?.x-2024=-.

8

故選：B.

8.(23-24七年級下?安徽安慶?期末)已知實數。滿足(a-2023)(。-2024)=3,則(。一2023『+(々-2024)2的

值是.

【答案】7

【知識點】通過對完全平方公式變形求值

【分析】本題考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的前提，根據已知條件

設元求解是關鍵.設"2023=x,a-2024=y,得孫=3,x-y=l,利用完全平方公式變形得

22

x+y=(x-yy+2xy,代入計算即可得答案.

【詳解】解：設"2023=x,。-2024=y,

x—y=a—2023—(a—2024)=1,

???(Q-2023)(〃-2024)=3,

.\xy=3,

x2+y2=(x—y)2+2xy,

X2+/=12+2X3=7,

(a-2023)2+(a—2024)2=7.

故答案為：7.

9.(23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末)完全平方公式經過適當的變形，可以解決很多數學問題.

(1)若a+6=3,ab=l,求力+/的值.

⑵若(9-x)(x-6)=l,求(9-X)2+(6-X)2的值.

⑶根據上面的解題思路與方法解決下列題：如圖，C是線段42上的一點，以/C,為邊向兩邊作正方

形，設45=6,兩正方形的面積和為20,求△，尸。的面積.

D

F

A

【答案】⑴7

(2)7

⑶4

【知識點】通過對完全平方公式變形求值

【分析】本題考查了完全平方公式(a±6)2=/±2ab+/,熟記完全平方公式是解題關鍵.

(1)利用完全平方公式變形求值即可得；

(2)先求出(9-x)+(x-6)=3,再利用完全平方公式變形求值即可得；

(3)^AC=m,CF=BC=n,則加+〃=6,蘇+/=20,再利用完全平方公式變形求值即可得.

【詳解】(1)解：?；a+6=3,ab=l,

.?.fl2+62=(a+/?)2-2^=32-2xl=7.

(2)解：■,-(9-x)(x-6)=l,(9-x)+(x-6)=9-x+x-6=3,

二(9-x)~+(6-x)2

=[(9-x)+(x-6)]--2(9-x)(x-6)

=32-2xl

=7.

(3)解：設4c=m,CF=BC=n,

■.-AB=6,兩正方形的面積和為20,

???m+n=AC+BC=AB=6,m2+n2=AC2+BC2=20,

由上面的解題思路與方法可知，m2+n2=(m+n)2-2mn,

■-20=62—2mn,

???mn=8,

???A/FC的面積為='加"=!x8=4.

222

題型04求完全平方式中的字母系數

10.(23-24七年級下?安徽蚌埠?期中)若使/+加x+81是一個完全平方式，那么整數加值為()

A.±9B.±18C.18D.-18

【答案】B

【知識點】求完全平方式中的字母系數

【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出機的值；

此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

【詳解】???一+,加+81是一個完全平方式

?*.x2+mx+81=(x±9)2=x2±18x+81

m=+18

故選:B.

11.(23-24七年級下?安徽亳州?期末)若4x?-20x+加可以用完全平方公式來分解因式，則加的值為.

【答案】25

【知識點】求完全平方式中的字母系數

【分析】本題考查完全平方公式，掌握完全平方公式的結構特征是解題關鍵.利用完全平方公式的結構特

征判斷即可求出m的值.

【詳解】解：V4X2-20X+25=(2X-5)2,

???m=25.

故答案為：25.

12.(23-24七年級下?安徽滁州?期中)利用乘法公式，解答下列問題：

⑴填空：若多項式4/+加x+25是一個完全平方式，則加=;

(2)已知x+y=刈=1,且0<x<l,求x-y的值；

(3)已知(x-2023y+(x-2025)2=100,求(x-2024)2的值.

［答案】⑴士20

(2)x-y=-3

⑶49

【知識點】求完全平方式中的字母系數、通過對完全平方公式變形求值、求一個數的算術平方根

【分析】此題主要考查完全平方公式的應用，解題的關鍵是熟知完全平方公式的變形運用.

(1)根據完全平方公式的結構特征求解即可；

(2)根據完全平方公式的變形求解即可；

(3)設x-2024=”，得至！Jx-2023=a+l,x-2025=a-l,得至++(a—=100,然后求角星即可.

【詳解】(1),多項式4/+?7x+25是一個完全平方式，

4x2++25=(2x)~土2x2xx5+5?

???m=±20；

(2)-x+y=4l3

??.(x+?=13

x2+y2+2xy=13

?：xy=l

*,?+歹2+2=13

x2+y2=11

22

(x-yJ=x+y_2xy=11-2=9

,f=1,且0<x<1,

???y>1

.-.x<y

.-.x-y=-3.

(3)設—2024=〃，

，x-2023=a+1,x-2025-a-\

???(x-2023)2+(x-2025)2=100

.-.(a+l)2+(a-l)2=100

*'?+2a+1+a?-2a+1=100

2a2=98

???a2=49

.?.(x-2024『=49.

題型05平方差公式與幾何圖形

13.（23-24七年級下?安徽安慶?期末）如圖①，從邊長為。的大正方形中剪去一個邊長為6的小正方形，再

將陰影部分沿虛線剪開，將其拼接成如圖②所示的長方形，則根據兩部分陰影面積相等可以驗證的數學公

式為（）

b

a

圖①圖②

A.(a-/?)2=a?—2ab+b?B.(?+/>)(?-ft)=a2-b2

C.a(^a—b^-a2-abD.(a+6)2=/+2ab+b2

【答案】B

【知識點】平方差公式與幾何圖形

【分析】本題考查幾何圖形驗證平方差公式，分別表示出圖①和圖②中陰影面積，即可解答.

【詳解】解：圖①中陰影面積為力-〃，

圖②中陰影面積為（。+6）（。-6）,

根據根據兩部分陰影面積相等可以得到g+6）（a-6）=/-〃.

故選：B

14.（21-22七年級下?安徽合肥,期末）長方形的面積是2仁-/）,如果它的一邊長為x+y,則它的周長

是

【答案】6x-2y

【知識點】平方差公式與幾何圖形、多項式除以單項式、整式加減的應用

【分析】利用長方形的面積先求另一邊的長，再根據周長公式求解.

【詳解】解：度(x2-y2)+(x+y)=2(x+y)(x-y)+(x+y)=2(x-y),

???長方形的另一邊的長為2(x-y),

二長方形的周長=2[2(x-y)+(x+y)]=2(2x-2y+x+y)=2(3x-y)=6x-2y.

所以它的周長是：6x-2y.

故答案為6x-2y.

【點睛】本題考查了整式的除法運算和加減運算，要注意平方差公式的運用.

15.(23-24七年級下?安徽滁州,期中)小玲是某校七年級的學生，她家有一塊正方形的菜地，因為修高鐵,

把這塊菜地的東邊縮短了10m.老村長建議在這塊菜地(縮短后)的南邊加長10m,小玲的父母認為得到

了合理的補償，于是就同意了，而小玲卻提出了反對意見，認為這樣她家這塊菜地的面積減少了lOOm?.你

認為小玲的說法正確嗎？為什么？

【答案】小玲的說法正確，理由見解析

【知識點】平方差公式與幾何圖形

【分析】本題考查了平方差公式的應用；設正方形的菜地的邊長為am,根據正方形的菜地面積減去長方形

的菜地面積，即可求解.

【詳解】解：小玲的說法正確，理由如下：

設正方形的菜地的邊長為am,依題意，

a2-(a+10)(a-10)=a2-a2+100=100m2

???小玲的說法正確，她家這塊菜地的面積減少了lOOn?.

題型06完全平方公式在幾何圖形中的應用

16.(23-24七年級下?安徽合肥?期末)如圖，點2是線段。上一點，以/8、8c為邊向外做正方形，面積

分別為H、邑，若r+邑=25,DC=7,三角形4BC的面積是()

A.6B.7C.8D.5

【答案】A

【知識點】完全平方公式在幾何圖形中的應用

【分析】本題考查了完全平方公式在面積問題中在應用，設小正方形的邊長為大正方形的邊長為b,由

正方形的面積得力+62=25,將此式化為（“+4-2仍=25,即可求解；掌握（a+?、ab、”+b之間的關

系是解題的關鍵.

【詳解】解：設小正方形的邊長為。，大正方形的邊長為6,

???S1+S2=25,DC=1,

a2+b2=251

a+Z?=7,

:.（a+b）--2ab=25,

:.l2-2ab=25,

..ab=12,

C17

S——ab

2

=-xl2

2

=6；

故答案：A.

17.（23-24七年級下?安徽安慶?階段練習）如圖1,有兩個正方形/,B,現將8放在/的內部得到圖2,

圖2中陰影部分的面積為4.將圖1中的兩個正方形48并排放置后構造新的正方形得到圖3,圖3中陰

【答案】34

【知識點】完全平方公式在幾何圖形中的應用

【分析】本題考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.設正方形A,B的邊長分別為a,

b,根據圖形得出（a-6）2=4,,+句2_孑_加=30,然后得出A,3的面積之和即可.

【詳解】解：設正方形A,3的邊長分別為a,b,

由題意知，（a—6）2=4,（a+一孑一〃=30,

即a2-2ab+b2=4,23b=30，

22

a+/>=4+30=34,

故答案為：34.

18.(23-24七年級下?安徽六安,期末)(1)如圖1,對一個正方形進行了分割，可得到我們學習過的一個乘

法公式，其為；

(2)利用(1)中等量關系解決下面的問題：

①a+6=3,ab=-2,求/+/的值；

②如圖2,點C是線段上的一點，分別以8C,/C為邊向線段兩側作正方形BCFG,正方形

AEDC,設/8=6,兩正方形的面積和為20,求的面積.

圖1圖2

【答案】(1)(》+>)2=/+/+2嘮；(2)①13；②4.

【知識點】完全平方公式在幾何圖形中的應用

【分析】本題考查完全平方公式及其在幾何圖形中的應用，掌握完全平方公式的結構特征是解題的關鍵.

(1)用兩種計算方法表示大正方形的面積即可；

(2)①利用a2+/=(a+?-2ab即可求解；②設=BC=n,貝IJ〃7+〃=6,m2+n2=20,再利用

完全平方公式的變形=g［(%+")2+叫］即可求解.

【詳解】解：(1)大正方形的面積方法一：(x+y)2,方法二：x1+xy+xy+y1-x1+2xy+y2,

???(x+j)2=x2+Ixy+y2,

故答案為：(-V+y)2=x2+y~+2xy,

(2)①當a+6=3,。6=-2時，

+=(a+/))2-2flfe=32-2x(-2)=9+4=13；

②設/C=m,BC=n,貝!］加+〃=6,m2+?2=20-

???S.AFC=""=4-

題型07完全平方式在幾何圖形中的應用

19.（20-21七年級下,安徽合肥?期末）如圖，長方形N8CD的周長為16,以這個長方形的四條邊為邊分別向

外作四個正方形，若四個正方形的面積和等于68,則長方形的面積為（）

B.18

C.15D.12

【答案】C

【知識點】完全平方式在幾何圖形中的應用

【分析】設長方形的長為x,寬為y.依據長方形的周長為16,四個正方形的面積之和為68可得到

2x+2y=16,2x2+2y2=68,最后依據完全平方公式進行變形可求得孫的值.

【詳解】解：設長方形的長為X,寬為y.

根據題意可知：2x+2y=16,2/+2y=68,

所以x+y=8,x2+y2-3^.

所以64-2孫=34.

解得：孫=15.

所以長方形的面積為15.

故選：C.

【點睛】本題主要考查的是完全平方公式的應用，依據完全平方公式得到64-2中=34是解題的關鍵.

20.（22-23七年級下?安徽宿州?期末）如圖1是一個長為4°、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分

成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示，請直接寫出（。+勾2,（0-6）2,ab

之間的等量關系.

【知識點】完全平方式在幾何圖形中的應用

【分析】分別求出圖2中大正方形，陰影及小長方形的面積，即可得到等式.

【詳解】解：圖2中大正方形的面積為（a+?2,陰影圖形的面積為（“-bp,四個小長方形的面積為好,

(a+6)2-(a-bp=4ab,

故答案為：(a+6)2-(a-bp=4".

【點睛】此題考查了完全平方公式與幾何圖形，正確理解圖形的構成及計算每部分的面積是解題的關鍵.

23.(七年級下?安徽合肥?期中)如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕如下圖虛線所示，其中有兩塊

是邊長都為加cm的大正方形，兩塊是邊長都為"cm的小正方形，五塊是長寬分別是加cm,ncm的全等小

矩形，且機

⑴用含九〃的代數式表示切痕的總長為—cm-

⑵若每塊小矩形的面積為48c蘇，四個正方形的面積和為200c/,試求該矩形大鐵皮的周長.

【知識點】完全平方式在幾何圖形中的應用

【分析】(1)根據切痕長有兩橫兩縱列出算式，再根據合并同類項法則整理即可；

(2)根據小矩形的面積和正方形的面積列出算式，再利用完全平方公式整理求出m+n的值，然后根據矩形

的周長公式整理求解即可.

【詳解】解：(1)切痕總長=2[(m+2n)+(2m+n)],

=2(m+2n+2m+n),

=6m+6n；

故答案為：6m+6n；

(2)由題意得：mn=48,2m2+2n2=200,

.??m2+n2=100,

A(m+n)2=m2+n2+2mn=196,

,?1m+n>0,

.,.m+n=14,

二周長=2(m+2n+2m+n)=6m+6n=6(m+n)=84(cm).

【點睛】本題考查對完全平方公式幾何意義的理解，應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意

義；主要圍繞圖形周長和面積展開分析.

題型08整式的混合運算

22.(22-23七年級下?安徽宿州,期末)觀察下列算式：①(a-l)(a+l)=/-i；②(°-1乂/+°+1)=/7；

@(a-l)(a3+?2+?+l)=?4-l；…結合你觀察到的規律判斷22。23+22。22+...+22+2+1的計算結果的末位數

字為（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】C

【知識點】整式的混合運算

【分析】根據己知式子的特點得出規律，求出式子的結果，再求出22024的個位數字，最后即可得出答案.

【詳解】解：由題意，得

220232222024

22023+22022+...+2+2+1=（2-1）（2+2°+…+2?+2+1）=2-1.

因為21=2,22=4，23=8,24=16,2=32,…,

所以2的乘方運算，其末位數字分別為2,4,8,6,每4個為一組，依次循環.

因為2024+4=506,所以22024的末位數字為6,所以22024T的末位數字為5,

即22儂+22儂+...+2?+2+1的計算結果的末位數字為5.

【點睛】本題考查了整式的混合運算和求值的運用，主要考查學生閱讀理解能力，題目比較好，但有一定

的難度.

23.（20-21七年級下?安徽合肥?期末）計算：（3X+2）（3X-2）-（3X-1）2=

【答案】6x-5.

【知識點】整式的混合運算

【分析】先根據平方差公式和完全平方公式計算，再去括號合并同類項即可求解.

【詳解】解：原式=9/一4一（9/-6尤+1）

=9尤2-4-9八6%-1

=6x-5.

故答案為6x-5.

【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式，平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩

個數的平方差.完全平方公式：（a±by=a2+2ab+b2.

24.（23-24七年級下?安徽宿州?期末）先化簡，再求值［（20+6）2-（。-?（3°-6）-2小其中

,,1

a=-1,0=—.

2

【答案】-2.-166+4,-2

【知識點】整式的混合運算

【分析】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

先利用完全平方公式，多項式乘多項式計算括號里，再算括號外，然后把。，b的值代入化簡后的式子進行

計算即可解答.

【詳解】解：［（2a+6）2-（"6）（3〃-6）-2。卜［一：,

=(4a2+4ab+b2-3a2+4ab-b2

=-2a-16b+4,

當Q=_l,b=,時，——2x(—lj—16x—+4

=2—8+4

=—2.

05強化訓練

一、單選題

1.若9a2+24ab+k是一個完全平方式，則k的值可能為()

A.2b2B.4b2C.8b2D.16b2

【答案】D

【分析】先根據平方項與乘積二倍項確定出這兩個數，再根據完全平方公式即可確定k的值.

【詳解】解：；9a2+24ab+k=(3a)2+2x3ax4b+k,

k=(4b)2=16b2.

所以D選項是正確的.

【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據平方項與乘積二倍項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記

完全平方公式對解題非常重要.

2.運用乘法公式計算(4+x)(x-4)的結果是()

A.x2-16B.x2+16

C.16-x2D.-X2-16

【答案】A

【分析】本題主要考查了運用平方差公式進行計算，解題的關鍵是熟練掌握平方差公式，

(a+，根據平方差公式進行計算即可.

【詳解】解:(4+X)(X-4)=(X+4)(X-4)=X2-42=X2-16,

故選：A.

3.下列能用平方差公式計算的是()

A.(-x+y)(x+j)B.(-x+y)(x-j^)

C.(x+2)(2+x)D.(2x+3)(3x-2)

【答案】A

【分析】根據平方差公式的特點直接可得到答案.

【詳解】解：,.,(-x+y)(x+y)=(y+x)(y-x)；

二選項A符合題意；

二選項B不符合題意；

'''(X+2)(2+x)=(x+2)2,

選項C不符合題意；

(2x+3)(3x-2)不是(a+6)(a-6)的形式,

選項D不符合題意，

故選：A.

【點睛】本題考查了平方差公式，平方差公式的特點：兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全

相同，另一項互為相反數，注意兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數，并且相同的項和互為

相反數的項必須同時具有，熟記公式結構是解題的關鍵.

4.下列能用平方差公式計算的是()

A.(-x+y)(x-_y)B.(x-l)(-l-x)C.(2x+D.(x-2)(x+l)

【答案】B

【分析】根據平方差公式的結構特點，對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】A.(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)=-(x-y)2,故本選項錯誤；

B.(x-l)(-l-x)=-(x-l)(x+l)=-(x2-l),正確；

C.(2x+y)(2y-x)=-(2x+y)(x-2y),故本選項錯誤；

D.(x-2)(x+l)=x2-x-2,故本選項錯誤.

故選B.

【點睛】此題考查平方差公式，解題關鍵在于掌握運算法則.

5.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,則a?+b2的值為()

311