第01講5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

k

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①初步了解導(dǎo)數(shù)概念的背景，掌握平均變化

率與瞬時(shí)變化率的概念及幾何意義。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)求函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)

②會(huì)求函數(shù)的平均變率與瞬時(shí)變化率。

變化率.

③能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題求曲線在某點(diǎn)處與某點(diǎn)

附近點(diǎn)的切線與割線的斜率的極限值。

02

T旭，州段八外在區(qū)間卜.巧］上的平i駿化率為：徨.一3,表示為由“（X）從X國(guó)X：的平均

升一%

r—平均變化率變化率，若設(shè)川―,a=/y）-/a）則平均變化率為

邸_/&）-〃“_〃％+3-/（加

AxXj-jqAx

知識(shí)清單

03?

知識(shí)點(diǎn)01：函數(shù)的平均變化率

1、定義：一般地，函數(shù)/（X）在區(qū)間卜1，/］上的平均變化率為：表示為函數(shù)/（X）從占到

%的平均變化率，若設(shè)想=%2-占，加=/（》2）-/（占）則平均變化率為

與:/（》2）-/（x）—/（/+Ax）一/（xJ

Axx2-x}Ax

2、求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法:

①作差：求出公了=/(》2)-/(再)和8=々一不

Ay/(x)-/(x)

②作商：對(duì)所求得的差作商，即「22，八L

Axx2-x1

【即學(xué)即練1］(24-25高二下?全國(guó)?隨堂練習(xí))如圖是某變量變化的折線圖，則該變量在區(qū)間［0,2］上的平均

變化率為.

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】根據(jù)圖象求解函數(shù)表達(dá)式，即可由平均變化率的計(jì)算公式求解.

7_11Q

【詳解】由圖可知在［-1』上的函數(shù)表達(dá)式為＞=^(X-l)+2,即可y=：x+］,

3

故當(dāng)％=0時(shí)，y=2f

4—7

在［1,3］上的函數(shù)表達(dá)式為y==(x-l)+2,即可歹=x+l,

3—1

當(dāng)x=2/=3

,3

在區(qū)間［0,2］上的平均變化率為3一3,

2-4

3

故答案為：4

4

3、平均變化率的幾何意義

Ay/(x)-/(x)

平均變化率二二=/'2/如圖:表示直線的斜率。

Axx2-Xj

知識(shí)點(diǎn)02:函數(shù)j，=/(x)在X=X0處的導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)

定義：函數(shù)/(X)在X=/處瞬時(shí)變化率是lim電=lim,卜)，我們稱它為函數(shù)y=/(x)

—)Ax以一。Ax

在X=X0處的導(dǎo)數(shù)，記作/'(/)或山口即/'(x0)=lim包=lim"±A上」fej.

°-Ax°Ax

【即學(xué)即練2](22-23高二?全國(guó)?隨堂練習(xí))物體在自由落體運(yùn)動(dòng)中，根據(jù)〃=gg/，估算物體在f=2s時(shí)

的瞬時(shí)速度.

【答案】2g

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】利用瞬時(shí)變化率的定義即可估算物體在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度.

【詳解】因?yàn)槿?M/)=；g〃，

1911

所以緲="2+加)-"2)=渣(2+八療-三*22=清陽(yáng)4+小)，

則號(hào)=gg(4+A。,

所以物體在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為扁孚=lim：g(4+ZV)=2g.

Axfoz&一02、7

2、定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：

①求函數(shù)的增量：Ay-/(x0+Ax)-/(x0)；

x

②求平均變化率：AV=/(o+Ax)-/(xo)；

AxAx

x

③求極限，得導(dǎo)數(shù)：f'（Xo）=lim=lim/（o+Ax）-/（xo）

——oAxoAx

知識(shí)點(diǎn)03：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖,在曲線y=/（x）上任取一點(diǎn)P（x,/（x））尸（XJ（x）），如果當(dāng)點(diǎn)尸（xJ（x））沿著曲線y=/（x）無(wú)限趨

近于點(diǎn)《（%,/（%））時(shí)，割線4尸無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線4T稱為曲線y=/（x）

在點(diǎn)々處的切線.則割線P0P的斜率k=八°，

【即學(xué)即練3】（23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí)）設(shè)lim,僅十9-/但-"）=_2,則曲線了=〃龍）在

―一。Ax

點(diǎn)（2J（2））處的切線的斜率是（）

A.-1B.-4C.1D.4

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡(jiǎn)整理，可得/'（2）=-1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】因?yàn)閘im〃2+?（23=Um"2+Ax）-/⑵+/⑵-〃2…）

。Ax°Ax

:lim/（2+M-/（2）+limf…T⑵=2r（2）=_2,

?一。Ax-0—Ax

所以八2）=-l,

則曲線V=f（x）在點(diǎn)（2,7（2））處的切線斜率為-1,

故選：A

知識(shí)點(diǎn)04：曲線的切線問(wèn)題

1、在型求切線方程

已知：函數(shù)/（X）的解析式.計(jì)算：函數(shù)/（X）在x=x。或者（x”/（x。））處的切線方程.

步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)/(X。)(方法：把X=4代入原函數(shù)/(X)中)，切點(diǎn)(4,/(%)).

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(x).

第三步：計(jì)算切線方程.切線過(guò)切點(diǎn)(4,/(%)),切線斜率左=/'(%)。

根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：J-/(%0)=/'(x0)(x-x0).

【即學(xué)即練4](23-24高二下?甘肅臨夏?期末)曲線y=lnx在點(diǎn)(e,l)處的切線方程為()

A.y=ex-2B.y=-xC.=ex-e2+1D.y=—x+l

ee

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求過(guò)一點(diǎn)的切線方程、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)

【分析】由題意，對(duì)函數(shù)＞=1改進(jìn)行求導(dǎo)，得到y(tǒng)'ke=!，求出切線方程；

e

【詳解】已知＞=山，函數(shù)定義域?yàn)?0,+。)，

可得》=一,

x

此時(shí)

e

所以曲線＞=lnx在點(diǎn)(e,l)處的切線方程為y-l=：(x-e),

1

n即ny=—x；

e

故選：B.

2、過(guò)型求切線方程

已知：函數(shù)/(x)的解析式.計(jì)算：過(guò)點(diǎn)4(西,必)(無(wú)論該點(diǎn)是否在y=/(x)上)的切線方程.

步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)勺(%,比)

第二步：計(jì)算切線斜率左=/'(/)；計(jì)算切線斜率左=匕二為；

X]一%

第三步：令：左=/'(/)="%,解出/,代入左=/'(玉))求斜率

X]一%

第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-y0=f\x0\x-x0).

【即學(xué)即練5](24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))過(guò)點(diǎn)尸(1,-3)且與曲線＞=/相切的直線的方程為.

【答案】2x+y+l=o或6》-〉-9=0

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)、求過(guò)一點(diǎn)的切線方程

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,%)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則可求出切線的斜率，從而可表示出切線方程，然后將

P(l,-3)的坐標(biāo)代入切線方程可求出演，從而可求出切線方程.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（%,%），則有為=x；.

因?yàn)閂=lim電=lim（x+Ax）」=,所以切線方程為y_%=2x0（x-X。）,

—Ax-Ax

將點(diǎn)（1,-3）的坐標(biāo)代入，得-3-巖=2x0-2x；,

所以x；-2無(wú)（）-3=0,解得％=T或%=3.

當(dāng)％=-1時(shí)，為=1,故切線方程為2x+y+l=0；

當(dāng)x0=3時(shí)，％=9,故切線方程為6x-y-9=0.

所以所求直線的方程為2x+y+l=0或6x-y-9=0.

故答案為：2x+y+l=0或6x-y-9=0.

04題型精講

題型01求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度（含平均變化率）

【典例11（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加

油時(shí)的情況（注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程）.

加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)累計(jì)里程（千米）

10月1日1235000

10月15日6035600

在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100二F米平均耗油量為（)

A.6升B.8升C.10升D.12升

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】利用給定條件得到里程數(shù)，再求解平均耗油量即可.

【詳解】由題意知第二次加油量即為這段時(shí)間的耗油量片=60（升），

這段時(shí)間行駛的里程數(shù)5=35600-35000=600（千米），

故這段時(shí)間，該車每100千米平均耗油量為黑x100=10（升）.

600

故選：c

【典例2］（23-24高二下,陜西渭南,期中）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移V（單位：m）與時(shí)間/（單位：S）

之間的關(guān)系為五。=〃+2乙則該質(zhì)點(diǎn)在1W3這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（）

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】根據(jù)平均速度的計(jì)算方法，列式計(jì)算，即可得答案.

【詳解】由題意知位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y"）=/+2t,

則該質(zhì)點(diǎn)在14f43這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為包="3）7⑴=32+2x3-1-2=6（m/s）.

△t3-12

故選:A

【典例3］（23-24高二上?江蘇?課前預(yù)習(xí)）（1）已知函數(shù)/（x）=x+L分別計(jì)算/'（x）在自變量x從1變

到2和從3變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快；

（2）已知函數(shù)/（x）=x2+l,求/'（x）在區(qū)間［2,2+Ar］上的平均變化率.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）4+Ax.

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】（1）根據(jù)平均變化率的意義直接計(jì)算，然后比較大小即可.

（2）根據(jù)平均變化率的意義直接計(jì)算.

【詳解】（1）自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)/'（x）的平均變化率為

〃2）一/⑴2++

2-112

自變量%從3變到5時(shí)，函數(shù)/（x）的平均變化率為

/（5）-/（3）5+1-［*1234）14,

5-3215

1141

因?yàn)獒埽?7,所以函數(shù)/（x）=x+—在自變量%從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快.

215x

（2）/（2+Ax）-/（2）=（2+Ax）2+l-（22+l）=4Ax+（Ax）2,

所以〃x）在區(qū)間［2,2+Ax］上的平均變化率為〃2+.）-〃2）=4AX+（AX）2=4十?.

AxAx

【變式1】（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）設(shè)地鐵在某段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行調(diào)試，由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)f秒后的距離為

s（t）=^-t4-4t3+16t2（單位：米），則列車運(yùn)行10秒的平均速度為（）

4

A.10米/秒B.8米/秒C.4米/秒D.0米/秒

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】根據(jù)平均變化率的定義求解.

11f）4

【詳解】s?）二—〃一4尸+16",則$（10）=-------4X103+16X102=100,

4v74

即列車運(yùn)行10秒的平均速度為正=10米/秒.

故選：A

【變式2】（23-24高二下?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移>（單位：m）與時(shí)間/（單位:

s）之間的關(guān)系為*/）=〃+2/,則該質(zhì)點(diǎn)在1WK4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為（）

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】

根據(jù)平均速度的計(jì)算方法，列式計(jì)算，即可得答案.

【詳解】由題意知位移》（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y（/）=〃+2f,

則該質(zhì)點(diǎn)在1W區(qū)4這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為?=）'（?一:⑴=16+8；1-2=7（m/s）,

加4-13

故選：B

【變式3］（24-25高二下?全國(guó)?課堂例題）已知函數(shù)尸/（》）=2/+1.

⑴求函數(shù)在區(qū)間［xo，Xo+Ax］上的平均變化率；

⑵求函數(shù)〃x）在區(qū)間［2,2.01］上的平均變化率.

【答案】（1）4X0+2AX

（2）8.02

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】（1）利用平均變化率的定義求解.

（2）由（1）可知，令X。=2即可求解結(jié)果.

【詳解】（1）-.-/（x0+Ax）-/（x0）

=2（x0+Ax）+1—2XQ—1

=2Ax（2x0+Ax）,

???函數(shù)〃X）在區(qū)間民,x。+&］上的平均變化率為W—Ax）=4%+2Ax.

Ax

（2）由（1）可知〃x）在區(qū)間［xo，Xo+Ar］上的平均變化率為4%+2AX,

當(dāng)X。=2,Ax=0.01時(shí)，

4x0+2Ax=4x2+2x0.01=8.02,

即函數(shù)“X）在區(qū)間［2,2.01］上的平均變化率為8.02.

題型02求物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度（含瞬時(shí)變化率）

【典例1］（23-24高二下?福建廈門?期中）如果質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的位移S（單位：m）與時(shí)間，（單位：s）之間

2

的函數(shù)關(guān)系是SU》-?,那么該質(zhì)點(diǎn)在t=3s時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

2222

A.——B.-C.一一D.-

3399

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可.

22

【詳解】&SS（3+zV）—S⑶+△/+§2,

2加瓜3（3+加）

mAS」「2"I2

所以hm——=hm-------=一.

oNtA2o［3（3+Af）_|9'

故選：D.

【典例2］（24-25高三?上海?課堂例題）質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=4f+4/，則質(zhì)點(diǎn)M在"％時(shí)的瞬時(shí)速度

為.

【答案】4+8%

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)丁=4+8乙

當(dāng)時(shí)，s，=4+8,0,

即質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的速度為4+8%,

故答案為：4+8小

【典例3］（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）子彈在槍筒中的運(yùn)動(dòng)可以視為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為

s=-at2,如果它的加速度是a=5xl（）5m/s2,子彈在槍筒中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1.6x10-3$,求子彈射出槍口時(shí)的

2

瞬時(shí)速度.

【答案】800m/s

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】利用瞬時(shí)變化率求解瞬時(shí)加速度，再求解瞬時(shí)速度即可.

【詳解】由已知得運(yùn)動(dòng)方程為6=J。/.

2

］211

因s（%+d）-+d）-~at；=adt。+~ad2,

S〃n+d）-S（7n）1T17

所以--------------------=at。—ad,當(dāng)d—>0時(shí)，at。H—ad—>at.

d22Q

-3

由題意知q=5xl（）5m/s2,Zo=1.6xlOs,

所以甌=8xIO?=800（m/s）,即子彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800m/s.

【變式1】（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）水滴在水面上形成同心圓，邊上的圓半徑以3m/s的速度向外擴(kuò)

大，則從水滴接觸水面后2s末時(shí)圓面積的變化速率為.

【答案】367tm2/s

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】根據(jù)已知求解變化速率.

【詳解】由題意得水波面積s=兀產(chǎn)=忒討）2=9兀/，則包"032=9兀"18山，

a

當(dāng)d趨近于0時(shí)，S"上”;二’趨近于18一,

a

所以當(dāng)f=2時(shí)，圓面積的變化速率為367rm2/s.

故答案為：36兀m，s.

【變式2］（23-24高二下?四川南充?階段練習(xí)）某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間/（單位：s）的關(guān)

系可用函數(shù)5。）=r+?+1表示，則該物體在f=ls時(shí)的瞬時(shí)速度為m/s.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析、平均變化率

【分析】利用平均變化率來(lái)求瞬時(shí)變化率即可得到瞬時(shí)速度.

【詳解】該物體在時(shí)間段［1,1+川］上的平均速度為：

Ass（l+zV）-s⑴（1++（1+加）+1-（1。+1+1）

—=-------------------=--------------------------------------------=3+△/，

加2X

當(dāng)加無(wú)限趨近于0時(shí)，

3+4無(wú)限趨近于3,即該物體在t=Is時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.

故答案為：3.

【變式3］（25-26高三上?上海?單元測(cè)試）一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s=2P運(yùn)動(dòng)，

⑴求其在時(shí)間段［1,2］內(nèi)的平均速度；

⑵求其在"1時(shí)的瞬時(shí)速度.

【答案】（1）14

（2）6

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率、瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】（工）由平均速度公式求解；

（2）由瞬時(shí)速度公式求解.

【詳解】（1）在時(shí)間段［1,2］內(nèi)的平均速度為2*2；*'=14；

(2)v⑺=s，=6/，把"1代入可得”1時(shí)的瞬時(shí)速度為V6=S'L=6.

題型03曲線在某點(diǎn)處的切線斜率

【典例1](23-24高二下?浙江?期中)已知/(x)=/,則叫/"+￥二劃=()

Axf0AX

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)

【分析】根據(jù)解析式先化簡(jiǎn)?，然后由導(dǎo)數(shù)定義可得.

Ax

【詳解】因?yàn)锳y=/(1+AX)-/(1)=(1+AX)2-1=(AX)2+2AX,

所以包=("<2+2Ax=囚+2,

AxAx

所以lim〃1+加-0⑴=lim(Ax+2)=2.

Ax->0八丫Ax->0')

故選：B

【典例2](23-24高二下?河北承德?階段練習(xí))已知/(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若

lim/(33-/(3+&)=4,則/(3)=()

20Ax

1

A.0B.-2C.1D.——

2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)

【分析】對(duì)條件變形，利用導(dǎo)數(shù)的定義求解出到數(shù)值.

[詳解]因?yàn)?加/(33)一/(3+江=1,所以1"(33一/(3)+/(3)一/(3+斕,

-Ax及f0Ax

=-limHM/(3+AX)-/(3)=_2/(3)=4

―--Ax-Ax

故/''(3)=-2.

故選：B

【典例3](23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù);(X)=X2+L則lim"1一加)-〃1)=______.

220Ax

【答案】一6

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)、導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算、瞬時(shí)變化率的概

念及辨析

【分析】/(/)=lim/U+M-/k)

Ax

令X°=l,〃1)=lim"1+一)一〃1)=lim+2?=螞(?+2)=2

—)AxAX->O?

而lim/0-3M-/(0=lim/[i+(-3M]-/(i),(_3)

-AxAr-。一3Ax'7

把(-3Ax)看成一個(gè)整體，比如設(shè)為/?,由于Axf0等價(jià)于(-3Ax)f0

如川+(—)]-/⑴作〃一/⑴.㈠)=(-3”⑴一

Axfo_3Ar'20h

【詳解】了⑴=lim/I心)二AD

―。Ax

=..(l+-)2+，+J

hm---------------------

—Ax

=lima」+2?=limW+2)=2.

1一°Ax

..lim/0-3M-/(l)=lim/(l-3Ax)-/(l).(_3)

AxfOAx—o—3Ax

1血正型匕必

=(-3)/(l)=-6.

-3Ax

答案：一6

【點(diǎn)睛】本題主要考查把極限化成與導(dǎo)數(shù)定義一致的形態(tài)，對(duì)分式進(jìn)行整理，進(jìn)而利用等量代換關(guān)系進(jìn)行

求值，屬于中等題.

【變式1］（23-24高二下?湖南湘潭）已知函數(shù)/（x）=/+l,則1向.1+乎）一川）=（）

3

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/（幻=/+1,

所以lim/(l^)-/(l)=Um(l±<±lz2

=lim(Ax+2)=2,

?f。AxAx->oAyAx->0V/

故選：c

【變式2】（23-24高二下?重慶江津,階段練習(xí)）設(shè)/（X）存在導(dǎo)函數(shù)且滿足lim犯Wz^Q=_i,則曲線

V="X）在點(diǎn)（1,7（1））處的切線斜率為

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【詳解】分析：由導(dǎo)數(shù)的概念可得，V=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線斜率為

r(l)=lim/⑴,即可得到所求.

詳解：???/(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足lim四二^匕包1=-1,

—一°Ax

，y=/(x)在點(diǎn)處的切線斜率為r(l)=lim/(1)~^1~AX)=-l.

故選：A.

點(diǎn)睛：本題考查曲線在某處切線斜率的意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的概念判斷了=/(月在點(diǎn)(1,/。))處的切線斜率為

/，⑴=1加/⑴-川…)是解題的關(guān)鍵.

'7A%

【變式3】(23-24高一下?陜西西安)已知lim'?.至)一/(%)=3,則x0處的切線斜率是____________.

-一02Ax

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)

[詳解]由lim/(%+3-)-"*=3可得：3.小+3Ax)=§,即

―一。2Ax2——。3Ax

lim"一+3⑸-〃％)=之

—。3Ax

.?.X。處的切線斜率是2

故答案為2

題型04導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用

【典例1](23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中)設(shè)/(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)為/(%),若典"竟―/(3)=2,則

/")=()

A.-2B.2C.-6D.6

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)、導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義即可求解.

【詳解】由于lim‘(3————‘(3)=——lirn/*————=-1r(3)=2,則八3)=-6.

-。3Ax3——Ax3

故選：C.

【典例2](25-26高三上,上海?單元測(cè)試)對(duì)于函數(shù)y=/(x),若/'(x°)=2,則當(dāng)%無(wú)限趨近于。時(shí)，在

下列式子中無(wú)限趨近于2的式子有().

/(x0+/z)+/(x0)/(x0+/z)-/(x0)

A.----------------------------------------D.----------------------------------------

h2h

C/(二+2〃)+/國(guó))D/(二+2〃)-/(%)

h2h

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】利用平均變化率的定義以及導(dǎo)數(shù)的定義對(duì)四個(gè)選擇逐一判斷即可..

【詳解】對(duì)于A,1而/國(guó)+")+〃％)"加〃/+")一/(/)=,(),故A錯(cuò)誤；

v7

20h20h

對(duì)于B,=故B錯(cuò)誤；

2。2h2v07

對(duì)于c,1加/(/+2〃)+/(/屋1加〃/+1一/(*=((％),故C錯(cuò)誤；

20h20hv07

對(duì)于D,]而/(/+2〃)_/(/)=/，()=2,故D正確.

202hv7

故選：D.

【典例3](23-24高二下?山東?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)在R上可導(dǎo)，且/'(1)=2022,則同〃1+二)一八1)

2022^k1x

等于()

A.1B.」一C.2022D.0

2022

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即得結(jié)果.

【詳解】由導(dǎo)數(shù)定義可知：(⑴=lim/°+&)_〃1)=2022,

'\/A—nA、/

所以lim3ML‘XI血巫生匕蟲(chóng)L1

x2022=1.

-02022Ax2022―。Ax2022

故選：A.

【變式1](23-24高二下?河北保定?期末)若曲線y=f(x)在x=l處的切線的斜率為-3,則

iim/(l)-/(l+2Ax)

Ax

33

A.—6B.—C.一D.6

22

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.

［詳解］=

LOAx——2Ax

故選：D

【變式2］（23-24高一下?甘肅蘭州?期末）已知函數(shù)歹=/（x）在x=x。處的導(dǎo)數(shù)為1,則

/(x0+Ax)-/(x0)_

11111-\

—02Ax

1

A.0B.-C.1D.2

2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義將式子變形可得答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/（、）在'=七處的導(dǎo)數(shù)為1,

1/(xo+Ax)-/(xo)，

所以小）h伍）lim=1/U)=|xl=1

Ax—>02Ax2-Ax

故選：B

【變式3］⑵3高二下?陜西胃南?期中）設(shè)函數(shù)小）在『處可導(dǎo)，以下有關(guān)盟小。+?八。）的

值的說(shuō)法中不正確的是（）

A.與天，〃都有關(guān)B.僅與與有關(guān)而與〃無(wú)關(guān)

C.僅與〃有關(guān)而與不無(wú)關(guān)D.與X。，〃均無(wú)關(guān)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】利用導(dǎo)數(shù)和極限的關(guān)系結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.

【詳解】易知函數(shù)〃X）在x=x0處可導(dǎo)，故/，（%）=盛/（/+2-/（%）,

顯然此極限僅與X。有關(guān)而與力無(wú)關(guān)，故B正確.

故選：B

題型05求切線方程

【典例1］（23-24高二下?四川遂寧,階段練習(xí)）設(shè)〃x）為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足lim3學(xué)二3=3,則曲

-3Ax

線丁=/（x）在點(diǎn)（3,〃3））處的切線的斜率是（）

A.1B.3C.6D.9

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義求解即得.

【詳解】依題意，lim"3+：：）-"3）=；="3+1）-/⑶=3,貝⑶=3,即八3）=9,

Ax-o3Ax320Ax3

所以曲線歹=/（%）在點(diǎn)（3J⑶）處的切線的斜率是9.

故選：D

【典例2］（24-25高三?上海?課堂例題）曲線了=--在點(diǎn)-處的切線方程是.

【答案】4x-y-4=0

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）

【分析】求出函數(shù)了=—5在點(diǎn)（g,-2）處的切線斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

__1_+2

【詳解】由題意得片」在2］處的切線斜率為+*4

*'2J左=Hm一L_±2=lim」------=lim--------=4

h20h2。1+2〃

故切線方程是〉+2=41一；），即4x7-4=0,

故答案為：4x-y-4=0

【典例3］（24-25高三?上海,課堂例題）已知函數(shù)y=〃x）,其中=x+J求：

（1）點(diǎn)/〔2,；］處的切線的斜率；

⑵點(diǎn)月（2,￡|處的切線方程.

3

【答案】⑴:

4

（2）3x-4y+4=0

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）、利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求得點(diǎn)A處的切線的斜率；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

11

【詳解】（1）點(diǎn)A處的切線的斜率為％7而〃2+/7）-〃2）2+/7+機(jī)工-2-］

tv-11II1---------------------------------------11111------------------------------------------------

2Qh2。h

h

2(2+h)3,

=lim---------------二lim

A—>0hA—>0￡4

3

即點(diǎn)A處的切線的斜率是士；

S3

（2）結(jié)合（1）可得切線方程為y-'=a（x-2）,即3x-4y+4=0.

【變式1】(22-23高二下?安徽馬鞍山?期中)設(shè)/(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且lim：⑴二則曲線

V=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線斜率為

【答案】-1/-0.5

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算、求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)

【詳解】因?yàn)橥?=典川A-"?)"了⑴"…)￡

220Ax2

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線斜率為一

故答案為：

【變式2】(24-25高三?上海?隨堂練習(xí))已知函數(shù)y=f(K),其中=2/的圖象在點(diǎn)(-1,2)處的切線的

斜率為.

【答案】-4

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(切線斜率)

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意可得：<(-!)=lim2(T+W(T)-=lim(2Ax_4)=_4,

Ar->0\xAr-?0

所以〃X)的圖象在點(diǎn)(-1,2)處的切線的斜率-4.

故答案為：-4.

【變式3】(23-24高二下?河南駐馬店,期中)已知曲線廣〃x)=3/_x,求：

⑴y=的導(dǎo)數(shù)；

(2)曲線在點(diǎn)尸(1,/■⑴)處的切線方程.

【答案】(l)/(x)=6xT；

(2)5x-y-3=0.

【知識(shí)點(diǎn)】求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)、導(dǎo)數(shù)定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合/(力解析式，求解即可；

(2)根據(jù)(1)中所求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的點(diǎn)斜式方程，直接求解即可.

【詳解】(1)Ay=/(x+Ar)-/(x)=3(x+Ax)2-(x+Ax)-(3x2-x)=3(Ax)2+6xAx-Ax；

故勺=3(AX『+6xAx-Ax

---------------=3Ax+6x-1；

AxAx

/(x+Ax)-/(x)

貝I」/"(%)=lim=lim(3Ax+6x-1)=6x-1.

Ax

故/'（x）=6x-L

（2）切線的斜率為函數(shù)了=/（x）=3/-x在x=l處的導(dǎo)數(shù)，又廣⑴=6x1-1=5,/（1）=2

所以曲線在點(diǎn)（1,2）的切線方程為y-2=5（x-l）,即5x-y-3=0.

05

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（24-25高二下,全國(guó)?課后作業(yè)）汽車在筆直公路上行駛，如果V。）表示/時(shí)刻的速度，則當(dāng)d趨近于0

時(shí)，n&_d）_v（'。）的意義是（）

一d

A.表示當(dāng)/=I時(shí)汽車的瞬時(shí)加速度B.表示當(dāng)/=%時(shí)汽車的瞬時(shí)速度

C,表示當(dāng)力=%時(shí)汽車的路程變化率D.表示當(dāng)f=l時(shí)汽車與起點(diǎn)的距離

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】根據(jù)瞬時(shí)加速度的定義可得答案.

【詳解】由于v⑺表示f時(shí)刻的速度，由題意可知，

當(dāng)d趨近于0時(shí)，

可…卜小）表示當(dāng)f=I時(shí)汽車的瞬時(shí)加速度.

—d

故選：A.

2.（23-24高二下?山東荷澤?期中）若函數(shù)/（X）在x=x°處可導(dǎo)，貝也加（）

ho4h

A.1/'（%）B,"（』）c.r（x0）D.2r（x。）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（切線斜率）、導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）概念辨析

【分析】根據(jù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

［詳解］由題得+〃）/（/―〃）=111111/（"°+幻一/

…4h2小。2h2v07

故選：B.

3.（23-24高二下?福建龍巖?期中）若函數(shù)〃x）=x2-無(wú)，則函數(shù)〃尤）從x=l到x=3的平均變化率為（）

A.6B.3C.2D.1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平均變化率

【分析】利用平均變化率的定義可得答案.

【詳解】因?yàn)?（x）=x2-x,所以〃1）=F-1=O,〃3）=32-3=6,

故函數(shù)/（x）從工=1到x=3的平均變化率為電=,0）-10）=上2=3.

Ax3—12

故選：B.

4.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=〃。的單位是秒，s的單位

t

是米），則它在4秒末的瞬時(shí)速度等于（）

325

A.—米/秒B.—米/秒C.舒米/秒D.0米/秒

lo1664

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】瞬時(shí)變化率的概念及辨析

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義，即可求解.

【詳解】由題意可知,

/++^—

,s(f+Af)-s⑺'7t+At

s=lim---------------=lim---------------------—=limA,+2,————-=It-