2024-2025學年下學期初中數學人教新版九年級同步經典題精練之解直角

三角形及其應用

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?濟南期末）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，那么sinA的值為（）

2.（2024秋?東莞市期末）如圖，△ABC的三個頂點都在邊長為1的方格紙的格點上，則cosA的值是（）

3.（2024秋?西山區校級期末）如圖，云南省博物館大廳電梯的截面圖中，的長為12米，與AC的

夾角為a,則高2C是（）

C.二-米二-米

D.

sinacosa

4.（2024秋?靖江市期末）在RtZXABC中,ZC=90°,cosA=I，AB=10,則5c的長為（

A.3B.4C.6D.8

5.（2024秋?泉港區期末）如圖，點A,B,。都是正方形網格的格點，則N5AC的正弦值為（

B

?

Ck-

填空題（共5小題）

6.（2024秋?崇川區期末）一段攔水壩橫斷面如圖所示，斜面坡度，=1：3是指坡面的鉛直高度與水平

寬度AC的比，若BC=3m,則坡面AB的長度為in.

7=1:3

7.（2024秋?長春校級期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡的坡比為1：V3,壩高為3加，則的長

度為m.

B

8.（2024秋?泉港區期末）如圖，某座建筑物的橫截面，其高8C為3加，斜坡AB的坡度為1：V3,貝U

的長度為.

9.（2024秋?靖江市期末）某同學沿著坡度為1：2.4的山坡向上走了26處那么他的高度上升了m.

10.（2024秋?梁溪區期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中.點A,B,C,。都在這些小正

方形的格點上，AB.C￡）相交于點E,則/AEC的正切值為.

A————

三.解答題（共5小題）

11.（2024秋?金東區期末）某班的同學想測量教學樓的高度，如圖，點A、B、C、。在同一平面內,

大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為8米，它的坡度i=l：遮（坡度=垂直高度"水平寬度/）,

在離C點30米的。處，測得教學樓頂端A的仰角為37°.

（1）求點C到AB的水平距離.

（2）教學樓48的高度約為多少米.（結果精確到0.1米）（參考數據：sin37°^0.60,cos37°-0.80,

tan37°^0.75,V3?1.73)

□

□

□

□

□

□

12.（2024秋?靖江市期末）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形A8DE是沿湖泊修建的人行步道.經

測量，點C在點A的正東方向，AC=400〃z,點E在點A的正北方向，點B,。在點C的正北方向,

BD=200m.點3在點A的北偏東30°,點。在點E的北偏東45°.求步道AE的長.（精確到

參考數據：V3?1.732）

13.（2024秋?泉港區期末）小明利用“無人機”測量涂嶺鎮下爐村的下爐石佛（泉港打卡景點：玉笏朝天）

的高度.無人機的探測器顯示，觀測“玉笏朝天”最高點A的仰角是30°,觀測“玉笏朝天”底部2

的俯角為60°.若A3與水平面垂直，無人機的觀測點P與A8的水平距離PE為1W米.請求出“玉

笏朝天”的高度48.

14.（2025?崇明區一模）九年級數學活動小組用航拍無人機進行測高實踐.如圖，無人機從地面AB的中

點C處豎直上升20米到達。處，測得實驗樓頂部E的俯角為55°,綜合樓頂部尸的俯角為37°,已

知實驗樓BE高度為8米，且圖中點A、B、C、D、E、廠在同一平面內，求綜合樓AF的高度.

（參考數據：sin37°80.60,cos37°"0.80,tan37°-0.75,sin55°-0.82,cos55°-0.57,cot55°

心0.70,精確到0.1米.）

15.（2024秋?萊蕪區期末）如圖，在△ABC中，ZA=30°,NB=45°,AC=10,求42的長（結果保

留根號）

2024-2025學年下學期初中數學人教新版九年級同步經典題精練之解直角

三角形及其應用

參考答案與試題解析

題號12345

答案CDAC

選擇題（共5小題）

1.△ABC的頂點都在方格紙的格點上，那么sinA的值為（）

34

A.-B.c.—D.-

2455

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；推理能力.

【答案】C

【分析】利用網格構造直角三角形，根據格點線段的長度求出斜邊的長，再根據三角函數的意義求出答

案.

【解答】解：如圖，設小正方形邊長為1,AELCE,

；.AE=4,CE=3,

：△ACE是直角三角形,

：.AC1=AEL+CEL,

：.AC=yJAE2+CE2=V42+32=5,

：.sinA=罪=I，

故選：C.

A

【點評】本題考查了直角三角形的邊角關系，勾股定理，利用網格構造直角三角形是解題的關鍵.

2.（2024秋?東莞市期末）如圖，△ABC的三個頂點都在邊長為1的方格紙的格點上，則cosA的值是（）

B.0.5

【考點】解直角三角形；勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】D

【分析】先在RtAACZ）中，利用勾股定理求出AC的長，然后利用銳角三角函數的定義進行計算即可

解答.

【解答】解：如圖：

在RtzXACD中，CD=2,AD=4,

；.AC=y/CD2+AD2=V22+42=2小,

..AD42V5

…4，=泰=丁’

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

3.（2024秋?西山區校級期末）如圖，云南省博物館大廳電梯的截面圖中，的長為12米，與AC的

夾角為a,則高8C是（)

,,2,2

A.12sina米B.12cosa米C.-------米D.------米t

sinacosa

【考點】解直角三角形的應用.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】A

【分析】直接根據sina=器可得結論.

【解答】解：的長為12米，與AC的夾角為a,

???在RtZVIBC中,sina=

.\BC=12sina（米）.

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角形函數的定義是解答本題的關鍵.

4.（2024秋?靖江市期末）在RtZXABC中，NC=90°,cosA-|,AB=10,則BC的長為（）

A.3B.4C.6D.8

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】直接利用銳角三角函數關系得出AC的長，再利用勾股定理得出答案.

【解答】解：由題可知：AC=AB-cosA=6,

則BC=y/AB2-AC2=V102-62=8.

故選：D.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數關系，正確得出AC的長是解題關鍵.

5.（2024秋?泉港區期末）如圖，點A,B,C都是正方形網格的格點，則的正弦值為（）

B

?

Ck-

【考點】解直角三角形.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】c

【分析】連接BC,利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得NA8C=90°,然后在

□△ABC中，利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答.

【解答】解：連接BC,

由題意得：BC2=l2+22=5,

AB2=42+22=20,

AC2=32+42=25,

:.BC1+AB2^AC2,

...△ABC是直角三角形，

AZABC=90°,

在RtAABC中，BC=V5,AC=V25=5,

：.sinZBAC=^=^-,

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

6.（2024秋?崇川區期末）一段攔水壩橫斷面如圖所示，斜面坡度i=l：3是指坡面的鉛直高度與水平

寬度AC的比，若BC=3m,則坡面AB的長度為3VIUm.

B

7=1:3

AC

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識.

【答案】3V10.

【分析】根據坡度的概念求出AC,根據勾股定理計算即可.

【解答】解：：坡A8的斜坡坡度，=1：3,

BC131

—=一,即—=一,

AC3AC3

解得AC=9,

由勾股定理得，AB=>JAC2+BC2=3V10（米），

故答案為：3V10.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念，熟記銳角三角函數的定

義是解題的關鍵.

7.（2024秋?長春校級期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡A8的坡比為1：V3,壩高BC為3相，則A8的長

度為6m.

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】6.

【分析】根據坡度的概念求出AC,再根據勾股定理求出A8.

【解答】解：：迎水坡AB的坡比為1：V3,

：.BC：AC=1：V3,

,：BC^3m,

.■.AC=3V3m,

由勾股定理得：AB=y/BC2+AC2=6（m）,

g"答案為：6.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度〃和水平寬度

/的比是解題的關鍵.

8.（2024秋?泉港區期末）如圖，某座建筑物的橫截面，其高為3切，斜坡A8的坡度為1：V3,則AB

的長度為6m.

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】6m.

【分析】根據坡度與坡角的關系求出/A,再根據含30°角的直角三角形的性質解答即可.

【解答】解：：斜坡AB的坡度為1：V3,

..1V3

,,tanA=73=T,

AZA=30°,

：.AB=2BC=2X=6（m）,

故答案為：6m.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟記坡度i與坡角a之間的關系為i=tana

是解題的關鍵.

9.（2024秋?靖江市期末）某同學沿著坡度為1：2.4的山坡向上走了26口，那么他的高度上升了10m.

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力；應用意識.

【答案】10.

【分析】設高度上升了川米，則水平前進了2.4/?米，然后根據勾股定理解答即可.

【解答】解：設高度上升了九米，則水平前進了2.4〃米，

由勾股定理得+（2.4%）2=26,

解得耳=10（負值舍去）.

故答案為：10.

【點評】本題主要考查了坡度比與勾股定理的應用，根據坡度比和勾股定理列出關于h的方程成為解答

本題的關鍵.

10.（2024秋?梁溪區期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網格中.點A,B,C,。都在這些小正

5

方形的格點上，AB.C。相交于點E,則NAEC的正切值為[

【考點】解直角三角形.

【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應用；幾何直觀；運算能力.

【答案】|.

【分析】連接CH,依題意得NHCA=NHAC=45°,AH^CE=V2,AC//BD,AB=442,由此得△

ACE和△BOE相似，則絲=2進而得4￡=誓，則婆，然后在RtZXCHE中，根據正切函數

BE355

的定義可得出tan/AEC的值.

【解答】解：連接CH,如圖所示：

根據正方形網格的特點得：ZHCA=ZHAC=45°,AH=CE=短，AC//BD,AC=2,BD=3,AB=40,

:.AACEsABDE,△AHC是等腰直角三角形,

.AEAC2

"BE—BD—3’

???設AE=2〃，BE=3a,

：.AE+BE=5a=4vL

472

??d~~

?口—c_Qy/2

??AA.E-2a="-

?UZ7AZ7AU8A/^/7T372^

??HE=AE-AH=-g——V2=-g-,

在RtZXCHE中，tanZAEC==|.

故答案為：|.

【點評】此題主要考查了解直角三角形，熟練掌握正方形網格的特點，銳角三角形函數的定義是解決問

題的關鍵，根據正方形網格的特點構造直角三角形和相似三角形的是解決問題的難點.

三.解答題（共5小題）

11.（2024秋?金東區期末）某班的同學想測量教學樓的高度，如圖，點A、B、C、。在同一平面內,

大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為8米，它的坡度i=l：百（坡度=垂直高度"水平寬度/）,

在離C點30米的。處，測得教學樓頂端A的仰角為37°.

（1）求點C到AB的水平距離.

（2）教學樓的高度約為多少米.（結果精確到0.1米）（參考數據：sin37°?0.60,cos37°-0.80,

tan37°^0.75,V3-1.73）

A

□

□

□

□

□

□

B

DC

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題；解直角三角形的應用-坡度坡角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】（1）點C到A8的水平距離為4百米；

（2）教學樓的高度約為23.7米.

【分析】（1）延長交。C于點E,根據題意可得：AE±DE,再根據已知易得：在RtABCE中，tan

/BCE/,從而可得N8CE=30°,然后利用含30度角的直角三角形的性質進行計算，即可解答；

（2）根據已知易得：DE=（30+4V3）米，然后在RtZVIDE中，利用銳角三角函數的定義求出AE的

長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答.

【解答】解：（1）延長交。C于點E,

由題意得：AELDE,

「BC的坡度i=1.-V3,

,BE1V3

??——~-,

CEV33

在Rt/XBCE中，tan/BCE=^=孚，

：.ZBCE=30°,

：8C=8米，

1

:.BE=*BC=4（米），CE=V3B￡=4V3（米），

...點C到AB的水平距離為4百米；

（2）：CZ）=30米，CE=4百米，

:.DE=CD+CE=（30+4V3）米，

在RtZXAOE中，/ADE=37°,

.?.AE=DE?tan37°?（30+4V3）X0.75=（22.5+3百）米，

：.AB=AE-BE=22.5+3V3-4=18.5+3V3=23.7（米），

教學樓AB的高度約為23.7米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合

圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

12.（2024秋?靖江市期末）如圖，三角形花園A8C緊鄰湖泊，四邊形A8DE是沿湖泊修建的人行步道.經

測量，點C在點A的正東方向，AC=400m,點E在點A的正北方向，點8,。在點C的正北方向，

BD=200m.點8在點A的北偏東30°,點D在點E的北偏東45°.求步道AE的長.（精確到1m,

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；應用意識.

【答案】步道AE的長約為492根.

【分析】過E作EHJ_C。于H,根據矩形的性質得到EH=4C=400"3CH=AE,根據等腰直角三角形

的性質得到DH=EH=400m,根據直角三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：過后作EH_LC。于”,

則四邊形ACHE是矩形，

：.EH=AC=400mfCH=AE,

vzr>=45°,ZEHD=90°,

：.DH=EH=400m,

VZC=90°,ZABC=30°,

：.BC=WAC=400V3(777),

：.AE=CH=400V3-(400-200)仁492(M,

答：步道AE的長約為492:w.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

13.（2024秋?泉港區期末）小明利用“無人機”測量涂嶺鎮下爐村的下爐石佛（泉港打卡景點：玉笏朝天）

的高度.無人機的探測器顯示，觀測“玉笏朝天”最高點A的仰角是30。，觀測“玉笏朝天”底部8

的俯角為60°.若A2與水平面垂直，無人機的觀測點P與的水平距離PE為|?米.請求出“玉

笏朝天”的高度A3.

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】玉笏朝天”的高度A8為10米.

【分析】根據題意可得：NAPE=30°,/BPE=6。：PE=^|遮米，ZAEP=ZBEP=90°,然后分

別在RtaAPE和RtZiBPE中，利用銳角三角函數的定義求出AE和BE的長，再利用線段的和差關系進

行計算，即可解答.

【解答】解：由題意得：ZAPE=30°,NBPE=6Q°,PE=|百米，ZAEP=ZBEP=90°,

在RtA4PE中，ZAPE=30°,PE=|百米，

：.AE=PE-tan30°=|V3x^=|（米），

在Rt/XBPE中，ZBPE=6Q°,PE=^百米，

rir

：.BE=PE-tan60°=|V3*百=號（米），

：.AB=4E+BE=|+號=10（米），

答：玉笏朝天”的高度為10米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

14.（2025?崇明區一模）九年級數學活動小組用航拍無人機進行測高實踐.如圖，無人機從地面AB的中

點C處豎直上升20米到達。處，測得實驗樓頂部E的俯角為55。，綜合樓頂部廠的俯角為37°,已

知實驗樓BE高度為8米，且圖中點A、B、C、D、E、廠在同一平面內，求綜合樓AF的高度.

（參考數據：sin37°弋0.60,cos37°仁0.80,tan37°弋0.75,sin55°?=0.82,cos55°20.57,cot55°

=0.70,精確到0.1米.）

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】綜合樓A尸的高度約為13.7米.

【分析】延長3E交。G于點N,延長AF交。G于點M,根據題意可得：AM±DG,BN±DG,AC=

DM,DN=BC,4加=8=8"=20米，從而可得EN=12米，然后在RtADEN中，利用銳角三角函數

的定義求出。N的長，再根據線段中點的定義可得AC=8C,從而可得QM=ON=8.4米，最后在RtA

DRW中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答.

【解答】解：如圖：延長8E交。G于點N,延長AF交。G于點

由題意得：AMLDG,BNLDG,AC^DM,DN=BC,AM=CD=BN=20米，

VBE=8米，

：.EN=BN-BE=20-8=12（米），

在RtZVJEN中，/EDN=55°,

；.DN=EN?cot55°仁12X0.7=8.4（米），

:點C是AB的中點，

：.AC=BC,

；.r）M=QN=8.4米，

在RtZVJFM中，/MDF=3q°,

：.MF=DM-tan31°-8.4X0.75=6.3（米），

：.AF=AM-FM=20-6.3=13.7（米），

，綜合樓Ab的高度約為13.7米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的

輔助線是解題的關鍵.

15.（2024秋?萊蕪區期末）如圖，在△ABC中，ZA=30°,NB=45°,AC=10,求A2的長（結果保

留根號）

【考點】解直角三角形；勾股定理.

【專題】三角形.

【答案】見試題解答內容

【分析】作CZ）J_A8于。，根據直角三角形的性質得出CD=^AC=5,A￡）=cos30°-AC=^x10=

5V3.BD=CD=5,即可求得4B的長.

【解答】解：作CDLAB于D,

：.CD=1AC=5cm,A￡)=COS30°?AC=^xlO=5收

:NB=45

:.BD=CD=5,

：.AB=AD+BD=(5V3+5).

【點評】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握特殊直角三角形的性質，學會作出輔助線構

建直角三角形解決