第09講圓的方程【題型歸納目錄】題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型三：點與圓的位置關系題型四：軌跡問題題型五：二元二次曲線與圓的關系題型六：圓過定點題型七：與圓有關的對稱問題【知識點梳理】知識點一：圓的標準方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：（1）如果圓心在坐標原點，這時，圓的方程就是．有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標軸相切時：；過原點：（2）圓的標準方程圓心為，半徑為，它顯現了圓的幾何特點．（3）標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法．知識點二：點和圓的位置關系如果圓的標準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內知識點三：圓的一般方程當時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當時，方程只有實數解．它表示一個點．（2）當時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形．（3）當時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點四：用待定系數法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數法”．用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程．（2）根據已知條件，建立關于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量之間的方程．1、當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點法）．2、求軌跡方程時，一要區分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當的直角坐標系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標；（2）列出關于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．【典例例題】題型一：圓的標準方程【例1】（2023·重慶·高二統考學業考試）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標準方程是（

）A．B．C．D．【對點訓練1】（2023·福建漳州·高二校聯考期中）已知圓C的圓心在直線上，且過點和，則圓C的標準方程為（

）A． B．C． D．【對點訓練2】（2023·高二課時練習）已知圓的圓心在軸上，半徑長為，且過點的圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【對點訓練3】（2023·上海徐匯·高二上海中學校考期中）已知一個圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（

）A． B．C． D．題型二：圓的一般方程【例2】（2023·高二課時練習）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【對點訓練4】（2023·高二課時練習）求以為圓心，且經過點的圓的一般方程（

）A． B．C． D．【對點訓練5】（2023·高二課時練習）當為任意實數時，直線恒過定點，則以為圓心，為半徑的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．題型三：點與圓的位置關系【例3】（2023·高二課時練習）點與圓的位置關系是（

）A．點在圓上 B．點在圓內 C．點在圓外 D．不確定【對點訓練6】（2023·全國·高二專題練習）點與圓的位置關系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內 C．點在圓外 D．不能確定題型四：軌跡問題【例4】（2023·高二課時練習）已知線段AB的端點B的坐標為，端點A在圓C：上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．【對點訓練7】（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【對點訓練8】（2023·高二課時練習）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【對點訓練9】（2023·四川成都·高二校考階段練習）已知點，，動點滿足，點的軌跡為曲線C.(1)求此曲線的方程.(2)若點Q在直線：上，點為曲線C上的動點，求的最小值.題型五：二元二次曲線與圓的關系【例5】（2023·河南許昌·高二禹州市高級中學校考階段練習）方程表示圓，則實數a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【對點訓練10】（2023·陜西·高二校考階段練習）若方程表示圓，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對點訓練11】（2023·上海·高二專題練習）已知方程表示圓，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型六：圓過定點【例6】（2023·高二課時練習）點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【對點訓練12】（2023·上海徐匯·高二上海中學校考期中）對任意實數，圓恒過定點，則定點坐標為__．【對點訓練13】（2023·全國·高二專題練習）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為_______題型七：與圓有關的對稱問題【例7】（2023·廣東廣州·高二校考期末）已知圓關于直線對稱，則___________.【對點訓練14】（2023·湖北十堰·高二校聯考期中）點在圓上，且點關于直線對稱，則該圓的半徑是__________.【對點訓練15】（2023·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學校校考期中）已知圓與圓關于直線對稱，則直線方程______．【對點訓練16】（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯考期中）圓關于直線對稱，則實數________．【過關測試】一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）方程表示一個圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·高二課時練習）已知圓，圓與圓關于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（2023·高二課時練習）兩圓和的圓心連線方程為（

）A． B．C． D．4．（2023·高二課時練習）若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·遼寧朝陽·高二校聯考期中）已知點P在圓上，則點P到x軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．6．（2023·高二單元測試）圓關于直線對稱的圓是（

）A． B．C． D．7．（2023·云南·高二校聯考階段練習）已知直線經過圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．128．（2023·四川成都·高二校考階段練習）已知點，，，點P在圓上運動，則的最大值為（

）A．88 B．77 C．66 D．55二、多選題9．（2023·高二課時練習）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．10．（2023·廣東惠州·高二惠州一中校考階段練習）設有一組圓，下列說法正確的是（

）A．這組圓的半徑均為1B．直線平分所有的圓C．存在直線被所有的圓，截得的弦長相等D．存在一個圓與x軸和y軸均相切11．（2023·湖南郴州·高二校考期中）圓（）A．關于點對稱 B．半徑為C．關于直線對稱 D．關于直線對稱12．（2023·廣西河池·高二校聯考階段練習）已知圓和點，，若C上存在點P，使得，則m的可能值是（

）A．4 B．7 C．2 D．8三、填空題13．（2023·四川成都·高二校聯考期末）曲線所圍成平面區域的面積為______．14．（2023·上海寶山·高二統考期末）若表示圓，則實數的值為______.15．（2023·浙江麗水·高二統考期末）在平面直角坐標系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是______．16．（2023·高二課時練習）過圓外一點作圓的兩條切線，切點A、B，則的外接圓的方程是________．四、解答題17．（2023·江蘇·高二假期作業）寫出圓心為,半徑為5的圓的標準方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內？18．（2023·高二課時練習）已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點，求圓C的標準方程.19．（2023·高二單元測試）已知圓C過點.(1)求圓C的方程；(2)求圓C關于直線對稱圓的方程.20．（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學校考期中）求適合下列條件的圓的