宜昌市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三零診考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知為等比數(shù)列，，，則（）A．9 B．－9 C． D．2．設(shè)，是非零向量，若對(duì)于任意的，都有成立，則A． B． C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．4．設(shè)，命題“存在，使方程有實(shí)根”的否定是()A．任意，使方程無(wú)實(shí)根B．任意，使方程有實(shí)根C．存在，使方程無(wú)實(shí)根D．存在，使方程有實(shí)根5．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足，且時(shí)，，則（）A．2 B． C．1 D．6．已知m為實(shí)數(shù)，直線(xiàn)：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．已知向量，，，若，則（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．已知集合，集合，則A． B．或C． D．10．如圖1，《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，問(wèn)折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,現(xiàn)被風(fēng)折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問(wèn)折斷處離地面的高為（）尺.A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣212．復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為_(kāi)_________．14．若存在直線(xiàn)l與函數(shù)及的圖象都相切，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________．15．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為_(kāi)_________.16．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，解不等式.（II）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)B與兩焦點(diǎn)A，C組成的三角形面積為.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)P為橢圓E上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的切線(xiàn)交圓O：于不同的兩點(diǎn)M，N（其中M在N的右側(cè)），求四邊形面積的最大值.19．（12分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿(mǎn)足.（1）求，及的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績(jī)分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.22．（10分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時(shí),,∴；當(dāng)時(shí),,∴.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

畫(huà)出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫(huà)出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長(zhǎng)最小的向量，如圖，當(dāng)，即時(shí)，最小，滿(mǎn)足，對(duì)于任意的，所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于用有向線(xiàn)段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實(shí)根改成無(wú)實(shí)根即可.【詳解】由特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，知“存在，使方程有實(shí)根”的否定是“任意，使方程無(wú)實(shí)根”.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，此類(lèi)問(wèn)題要注意在兩個(gè)方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.5、D【解析】

說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值．【詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．6、A【解析】

根據(jù)直線(xiàn)平行的等價(jià)條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時(shí)，兩直線(xiàn)方程分別為直線(xiàn)l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿(mǎn)足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時(shí)，兩直線(xiàn)方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿(mǎn)足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線(xiàn)平行的等價(jià)條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線(xiàn)和直線(xiàn)平行，則且兩直線(xiàn)不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗(yàn)看兩直線(xiàn)是否重合.7、A【解析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問(wèn)題，涉及到平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；關(guān)鍵是明確若兩向量平行，則.8、A【解析】

利用已知條件畫(huà)出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．9、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．10、B【解析】如圖，已知，，

∴，解得

，∴，解得

.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.11、D【解析】

化簡(jiǎn)z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解：由題意可知了，比賽可能的方法有種，其中田忌可獲勝的比賽方法有三種：田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬，結(jié)合古典概型公式可得，田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹(shù)狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14、【解析】

設(shè)直線(xiàn)l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即，因?yàn)榇嬖谥本€(xiàn)l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的最小值為．15、【解析】

真數(shù)有最小值，根據(jù)已知可得的范圍，求出函數(shù)的最小值，建立關(guān)于的不等量關(guān)系，求解即可.【詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問(wèn)題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值解不等式；（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得，因此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，借此不等式即可．試題解析：（Ⅰ）由得，，或，或解得：所以原不等式的解集為.（Ⅱ）由不等式的性質(zhì)得：，要使不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，解不等式得．綜上．所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）結(jié)合已知可得，求出a，b的值，即可得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得，聯(lián)立直線(xiàn)方程與圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解：（Ⅰ）可得，結(jié)合，解得，，，得橢圓方程；（Ⅱ）易知直線(xiàn)的斜率k存在，設(shè)：，由，得，由，得，∵，設(shè)點(diǎn)O到直線(xiàn)：的距離為d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，則，四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了由求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.19、（1）；.；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，知，且，令和即可求出，，以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)定義法證明出是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）由題可知，，且，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，由已知可得，且，∴的通項(xiàng)公式：.（2）設(shè)，則，所以，，得是首項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為：，即，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力.20、（1），，.（2）填表見(jiàn)解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)（3）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表，再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可；（3）獲獎(jiǎng)的概率為，隨機(jī)變量，再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人，因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎(jiǎng)的文科生有6人，所以獲獎(jiǎng)的理科生有人，不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)