PAGE1專題15圓（解析版）解答題1.（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形中，平分交弧于點．點為半徑上一動點若，則陰影部分周長的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】如圖，先作扇形關(guān)于對稱的扇形連接交于，再分別求解的長即可得到答案．【詳解】解：最短，則最短，如圖，作扇形關(guān)于對稱的扇形連接交于，則此時點滿足最短，平分而的長為：最短為故答案為：【點睛】本題考查的是利用軸對稱求最短周長，同時考查了圓的基本性質(zhì)，扇形弧長的計算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2.（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）我們學(xué)習(xí)過利用用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實際需要，發(fā)明了一種簡易操作工具三分角器．圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線上，且的長度與半圓的半徑相等；與重直于點足夠長．使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過的頂點，點落在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點為，則就把三等分了．為了說明這一方法的正確性，需要對其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，點在同一直線上，垂足為點，求證：【答案】在上，過點，為半圓的切線，切點為；EB，EO為∠MEN的三等分線．證明見解析．【解析】【分析】如圖，連接OF．則∠OFE=90°，只要證明，，即可解決問題；【詳解】已知：如圖2，點在同一直線上，垂足為點，在上，過點，為半圓切線，切點為．求證：EB，EO為∠MEN的三等分線．證明：如圖，連接OF．則∠OFE=90°，∵EB⊥AC，EB與半圓相切于點B，∴∠ABE=∠OBE=90°，∵BA=BO．EB=EB，∴∠AEB=∠BEO，∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，∴，∴∠OEB=∠OEF，∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，∴EB，EO為∠MEN的三等分線．故答案為：在上，過點，為半圓的切線，切點為．EB，EO為∠MEN的三等分線．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3.（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點，，均在小正方形的頂點上，且點，在上，，則的長為__________．【答案】4.（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲柄連桿機構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖1，兩個固定長度的“連桿”，的連接點在上，當(dāng)點在上轉(zhuǎn)動時，帶動點，分別在射線，上滑動，．當(dāng)與相切時，點恰好落在上，如圖2．請僅就圖2的情形解答下列問題．（1）求證：；（2）若的半徑為，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）5.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點處，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)與扇形交于點，連接，解，求得，根據(jù)陰影部分的面積為，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)與扇形交于點，連接，如圖是OB的中點,OA＝2，＝90°，將扇形AOB沿OB方向平移，陰影部分的面積為故答案為：6.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點B時，手上的力量通過切點B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．

（1）求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點A距地面的距離AD最小，測得．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時AD的長．【答案】（1）見解析（2）50cm【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而即可得證；（2）過點作的平行線，交于點，交于點，由（1）得到，在，中，求得,進(jìn)而求得，根據(jù)即可求解．【小問1詳解】證明：⊙O與水平地面相切于點C，，，，AB與⊙O相切于點B，，，過點作，

，，，即∠BOC＋∠BAD＝90°．【小問2詳解】如圖，過點作的平行線，交于點，交于點，

，則四邊形是矩形，，，，在中，，，（cm)，在中，，cm，(cm)，(cm)，(cm)，cm，(cm)．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7.（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，B，C在上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得．【詳解】解：∵，∴由圓周角定理得：，故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．8.（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，與相切于點A，交于點B，點C在上，且．若，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】連接，證明，設(shè)，則，再證明，列出比例式計算即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切于點A，∴；∵,∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，則，∴，解得，故的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判斷和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.（2024·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形的外接圓，點D是的中點，連接，．以點D為圓心，的長為半徑在內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過D作于E，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)求出，利用弧、弦的關(guān)系證明，利用三線合一性質(zhì)求出，，在中，利用正弦定義求出，最后利用扇形面積公式求解即可．【詳解】解∶過D作于E，∵是邊長為的等邊三角形的外接圓，∴，，，∴，∵點D是的中點，∴，∴，∴，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，扇形面積公式，解直角三角形等知識，靈活應(yīng)用以上知識是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024·河南洛陽·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角與圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵熟知相關(guān)性質(zhì)．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可求得，然后再根據(jù)同弧上的圓心角等于圓周角的2倍即可得到結(jié)論．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴，∵，∴，∵與所對的弧都是，∴．故選：D．2．（2024·河南周口·一模）如圖，是的外接圓，半徑于點，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，連接，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，由垂徑定理得出，，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，則，，，，，，，故選：B．3．（2024·河南信陽·一模）如圖，已知C是上任一點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)為，∴；故選B．4．（2024·河南鄭州·二模）如圖，的直徑與弦交于點C，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接，，利用等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，得到，再利用圓周角定理得到即可解題．【詳解】解：連接，，，，，，，，，，．故選：B．5．（2024·河南安陽·二模）如圖，圓O的弦的長度為，點A，B，C為圓周上三點，若，則圓O半徑為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】本題考查了圓周角定理，以及勾股定理．熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．先利用圓周角定理求出所對應(yīng)的圓心角的角度，再利用勾股定理求出半徑的長度．【詳解】解：，，，，在中，，解得：或（舍）故選：A．6．（2024·河南平頂山·二模）如圖，切于點，交于點，垂直平分．若，則線段的長為（

）A． B．4 C． D．8【答案】B【分析】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含有角的直角三角形的邊長關(guān)系，連接，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到為等邊三角形，可得，再利用垂徑定理得到，求得的長，即可求得，作出輔助線，熟練得到各線段的邊長關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：垂直平分，，，為等邊三角形，，，，，故選：D．7．（2024·河南南陽·三模）如圖，A，B，C為上的三個點．，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，求得，再利用題中信息得到，即可解答，熟練運用圓周角定理進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，，，，故選：B．8．（2024·河南·三模）如圖，、是的切線，切點分別為、，的延長線交于點，連接，，．若，，則等于（

）A．60° B．20° C．30° D．45°【答案】C【分析】根據(jù)切線性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，證明是等邊三角形，得出，根據(jù)圓周角定理即可得答案．【詳解】解：設(shè)交于，連接，∵、是的切線，∴，∴，∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．二、填空題9．（2024·河南鄭州·三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點均在小正方形的頂點上，以點B為圓心，為半徑畫弧，與網(wǎng)格線交于點，則經(jīng)過點的弧的長為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角函數(shù)，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，如圖，設(shè)點為所在圓的圓心，連接，由可得，進(jìn)而由圓周角定理得，即得是等邊三角形，得到，再得到，由勾股定理逆定理得到為直角三角形，，即得，再利用弧長公式計算即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)點為所在圓的圓心，連接，∵，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴為直角三角形，，∴，∴弧的長，故答案為：．10．（2023·河南南陽·一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，若，則陰影部分的面積為．【答案】/【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)和不規(guī)則圖象的面積，陰影部分的面積等于菱形的面積的一半加上一個扇形的面積再減去一個三角形的面積，根據(jù)圖形的性質(zhì)分別求出相應(yīng)邊的長即可解答．學(xué)會用割補法求面積是解題關(guān)鍵．【詳解】解：連接、、、、，如圖，作，∵正六邊形內(nèi)接于，，則，，，均是等邊三角形，∴，四邊形是菱形，則，，，，，∴，∴，，，∴．故答案為：．11．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，、分別切于點A、B，與的延長線相交于點P．若，，則的半徑長為．【答案】6【分析】本題主要考查了切線長定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．連接，根據(jù)切線長定理，可得，再證明，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵、分別切于點A、B，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，解得：，即的半徑長為6．故答案為：6．12．（2024·河南周口·一模）如圖，是的直徑，是的切線，B是切點，，點E為垂足，若，，則的直徑為．【答案】12【分析】本題主要考查了垂徑定理，用切線的性質(zhì)和相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)性質(zhì)，綜合運用．由垂徑定理可求出，根據(jù)勾股定理在求出，利用切線的性質(zhì)和相似三角形的判定方法可證明，再利用相似的性質(zhì)即可求出直徑的長．【詳解】解：∵，垂足為點E，∴，∵，∴，∵是的切線，B是切點，∴，∵，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：12．13．（2024·河南南陽·一模）如圖，是的直徑，點在上（點不與重合），過點作的切線交的延長線于點，連接，若，則圖中陰影部分的周長是．

【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，弧長公式，連接，由切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，，利用弧長公式求出的長，再根據(jù)陰影部分的周長的長計算即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，

∵為的切線，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，的長，∴，∴陰影部分的周長的長，故答案為：．14．（2024·河南洛陽·一模）如圖，在中，，，以點A為圓心，邊的長為半徑作交邊于點E，以邊為直徑作半圓交邊于點D，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形與扇形的面積計算，解題的關(guān)鍵是分清半圓、三角形、扇形三者之間的面積關(guān)系．先用直角三角形的面積減去扇形的面積得出空白區(qū)域的面積，然后再用半圓的面積減去空白區(qū)域的面積，即可得到陰影部分的面積．【詳解】∵，∴，∴，∴．故答案為：．15．（2024·河南周口·一模）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓，若，則陰影部分的面積為．【答案】12【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，連接，勾股定理求出的長，利用四個半圓的面積加上矩形的面積減去的面積，求解即可．【詳解】解：連接，∵矩形內(nèi)接于，∴，，∴為的直徑，，∴陰影部分的面積；故答案為：12．16．（2024·河南周口·一模）如圖，點在半圓上，延長直徑至點，使是的切線，若，，則圖中陰影部分的面積是．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積公式，連接，由切線的性質(zhì)定理得出，解直角三角形得出，再根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：如圖，連接，，是的切線，，，，，故答案為：．17．（2024·河南安陽·一模）如圖，在中，，，以為直徑的交于點D，的切線交于點E，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)為直徑，得出，根據(jù)，得出，，根據(jù)勾股定理求出，得出，證明，得出，證明，根據(jù)等積法求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，連接，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，，∴，∵是切線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案是：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等，勾股定理，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，是求解的關(guān)鍵．18．（2024·河南濮陽·一模）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、O在這些小正方形的頂點上，以O(shè)為圓心，為半徑畫?。cD為弧與網(wǎng)格線的交點．則圖中陰影部分的面積是【答案】【分析】此題考查了扇形面積的計算，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，熟記扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接，根據(jù)題意得，，∵，，，是等邊三角形，，，∵，∴，故答案為：．19．（2024·河南開封·一模）如圖①是清明上河園中供人們游玩的古代的馬車．如圖②是馬車的側(cè)面示意圖，車輪的直徑為，車架經(jīng)過圓心，地面水平線與車輪相切于點，連接，．小明測出車輪的直徑米，米，則的長為米【答案】【分析】本題考查了圓的基礎(chǔ)知識，掌握切線的性質(zhì)，直接所對圓周角等于，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識是解題的關(guān)鍵．連接，作延長線于點，可證，可得的長，根據(jù)勾股定理可得的值，在直角中，運用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，延長，作延長線于點，∵與切與點，∴，且，∴，∴，∴，∵是直徑，∴，則，，∴，在中，，在中，，∴，∴在中，，∴的長為，故答案為：．20．（2024·河南周口·一模）如圖，在矩形中，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交于點．若，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查扇形面積的計算及矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)及扇形面積的計算公式是解題的關(guān)鍵．本題中連接，將陰影部分面積分割成和扇形，分別求面積，再相加即可．【詳解】解：連接，∵矩形，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，所以.故答案為：．21．（2024·河南商丘·二模）如圖，手工課上，小明從大半圓形紙片上剪下一個小半圓（兩個半圓的直徑在一條直線上），然后用鉛筆畫了一條弦，滿足弦與直徑平行，且與小半圓相切，若測得弦的長度為8，則剩余紙片（陰影部分）的面積為．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、扇形面積公式、垂徑定理，記大半圓的圓心為，小半圓的圓心為，將小半圓向右平移至點與點重合，此時與小半圓相切，切點記為，連接，，則，且．再根據(jù)，結(jié)合勾股定理計算即可得出答案．【詳解】解：記大半圓的圓心為，小半圓的圓心為，將小半圓向右平移至點與點重合，如解圖所示．，此時與小半圓相切，切點記為，連接，，則，且．∴，故答案為：．22．（2024·河南開封·二模）如圖，在中，，以為直徑作交于點，過點作的切線交于點．則的長為．

【答案】3【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，是求解的關(guān)鍵．連接，，根據(jù)等腰三角形可求出，可證，求出，為等邊三角形，根據(jù)切線的性質(zhì)，可證，再證，在直角三角形中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵，，∴，∵為直徑，∴，在中，，，∴，∵∴是等邊三角形，∴，∵是切線，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴在中，，，∴，故答案為：3．23．（2024·河南安陽·二模）如圖，的直徑為10，的直徑為13，的圓心恰好在的圓周上，連接兩圓交點所得弦的長為．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用兩個直角三角形表達(dá)出同一條邊列出方程解答即可．連接相交于點，在和中，表示出的長度，列方程求解即可．【詳解】解：連接相交于點，，，為，的共同弦，，設(shè)，則，在中，，，在中，，，解得：，，或（舍去）．故答案為：．24．（2024·河南開封·二模）如圖，是的一條弦，是的直徑，D是上一點，連接，．已知，則．【答案】/110度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理，直角三角形的特征量，圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)計算即可．本題考查了圓周角定理，直角三角形的特征量，圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，∵是的直徑，∴；∵，∴；∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴；∴．故答案為：．25．（2024·河南鄭州·二模）如圖，在中，，，點在邊上，，以為圓心，長為半徑作半圓，恰好與相切于點，交于點，則陰影部分的面積為．【答案】/【分析】連接，過于點，如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到，于是可判斷，所以，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式，利用陰影部分的面積進(jìn)行計算．本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和扇形的面積計算．【詳解】解：連接，過于點，如圖，，，，，與相切于點，，，，陰影部分的面積．故答案為：．26．（2024·河南洛陽·二模）如圖，在中，是直徑，點C是圓上一點．過點C作的切線交的延長線于點D，若，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果用含π的式子表示）【答案】【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)以及扇形的面積計算，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得出由得由三角形外角的性質(zhì)得根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)求解即可【詳解】解：連接如圖，∵是的切線，∴∴∵∴∵∴，∴∴∴即∴∴，故答案為：27．（2024·河南許昌·二模）如圖，在扇形中，半徑的長為，點P在上，連結(jié)，將沿折疊得到．若與所在的圓相切于點B，則的長為．【答案】/【分析】連接，交于點D，求得，利用求得圓心角，利用三角函數(shù)，解答即可．本題考查了切線性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，弧長，三角函數(shù)，熟練掌握切線性質(zhì)，三角函數(shù)，弧長公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，交于點D，∵沿折疊得到．∴，，∵與所在的圓相切于點B，∴，∴，∵∴，∵半徑的長為，∴，解得，∴，∴，∵，∴，故答案為：．28．（2023·河南信陽·三模）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點均在小正方形的頂點上，點均在所畫的弧上，若，則的長為．

【答案】2π【分析】先證明是等腰直角三角形，從而得到，，進(jìn)而得到是的直徑，半徑，由三角形內(nèi)角和定理可得，從而得到，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，，，

，小正方形的邊長為1，，，由勾股定理可得：，，是等腰直角三角形，，，是的直徑，半徑，，，，，，的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、求弧長，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．三、解答題29．（2024·河南南陽·一模）在中，，連接．

(1)尺規(guī)作圖：過點A作，交的延長線于點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：為的切線；(3)若，，則的半徑為______.【答案】(1)圖見解析(2)證明見解析(3)2【分析】本題考查了圓的綜合，作一個角等于已知角，切線的判定和性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)等，熟悉相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)題意作，然后連接并延長交于點D即可；（2）連接并延長交于點M，連接，證明是線段的垂直平分線即可；（3）證明即可．【詳解】（1）如圖所示：即為所求（2）如圖：連接并延長交于點M，連接，∵，；∴是線段的垂直平分線；∴；∵；∴；∴為的切線．（3）設(shè)，；∵；∴；∵；∴；即；解得：；∴；∴；∴；故答案為：2．30．（2024·河南周口·一模）如圖，是以C為頂點的等腰三角形，以為直徑作，交于點D．延長至點E，使得，連接．(1)求證：是的切線；(2)若求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，解直角三角形：（1）等邊對等角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出，即可得證；（2）連接，圓周角定理得到，解直角三角形，分別求出的長，即可．【詳解】（1）證明：∵是以C為頂點的等腰三角形，∴，∴，∵，∴∴，又∵，∴，∴，又∵為直徑，∴是的切線；（2）連接，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則：，∴，∴，∴．31．（2024·河南許昌·一模）如圖，在中，以為直徑作半圓O交于點D，且D是的中點，過點D作于點E，交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握切線判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，根據(jù)圓周角定理得到，推出，根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；（2）記與的交點為，連接，的交點為G，連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，，為直徑，∴，為的中點，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：記與的交點為，連接，的交點為G，連接．是的直徑，，，，，，，設(shè)，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，∴，，32．（2024·河南商丘·二模）如圖，在中，，以為直徑作，交于點D，作切線交于點F．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用切線的性質(zhì)與直角三角形兩銳角互余證明，即可由等角對等邊得出結(jié)論；（2）連接，過點F作于P，先求出，再根據(jù)為的直徑，運用垂徑定理得出，同時，求得，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，．在中，求出，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接．∵，∴．∵為的切線，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2）解：如圖，連接，過點F作于P，∵，∴，由（1）知，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∵，，∴在中，，∴．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，余角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．33．（2024·河南鄭州·二模）如圖，在中，，與相切于點D，分別與交于點E，點F，連接．_______．求證∶_______；(1)請從①為的直徑，②中選擇一個作為條件，另一個作為結(jié)論，將題目補充完整（填寫序號），并完成相應(yīng)的證明過程．我選擇的條件是______，求證的結(jié)論是_________．證明過程如下：(2)在（1）的前提下，若的半徑為2，請直接寫出圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，再根據(jù)進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：情況一：選①為條件，②為結(jié)論：證明：如圖，連接，∵是的切線，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴；情況二：選②為條件，①為結(jié)論：證明：如圖，連接，∵，∴，∵是的切線，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴為的直徑；（2）解：如圖，連接，∵是的切線，∴，又∵，∴，∴．由圓周角定理得，∵，∴，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵的半徑為2，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及扇形面積、三角形面積，掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及扇形面積、三角形面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．34．（2024·河南濮陽·二模）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點D是弧上的中點，交的延長線于點E．(1)求證：直線與相切；(2)若，求的半徑．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）連接，如圖，先利用垂徑定理得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；（2）先根據(jù)圓周角定理得到，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，則可判斷為等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接，∵點D是弧的中點，，，，∴直線與相切；（2）解：設(shè)的半徑長，則，是的直徑，，，，，，為等腰直角三角形，，在中，由勾股定理得：，，解得，即的半徑長為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．35．（2024·河南開封·二模）小明同學(xué)學(xué)習(xí)了《圓》這一章后，對圓的數(shù)學(xué)史產(chǎn)生了興趣，下面是他查閱整理的相關(guān)材料．材料一：弦切角定理是有關(guān)圓的重要定理之一，其內(nèi)容為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)（頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角）．如圖（1）所示，線段所在的直線與相切于點C，，為的弦，則為其中的一個弦切角（，也是弦切角），有．材料二：歐幾里得最早在《幾何原本》中，把切線定義為和圓相交，但恰好只有一個交點的直線．如圖（2），是的一條切線，而直線與有兩個交點A，B，則將直線稱為的割線．?dāng)?shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長的平方等于這點到割線與圓交點的兩條線段長的乘積．請結(jié)合以上材料與所學(xué)知識回答下列問題：(1)根據(jù)圖（2），運用材料一的內(nèi)容，完成對材料二的證明．已知：直線是的一條割線，與交于點A，B，與相切，切點為T，求證：______．證明：……(2)如圖（3），將直線繞點P旋轉(zhuǎn)至過圓心O，恰好，若的長為，求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】本題主要考查了材料閱讀類題目，相似三角形的性質(zhì)和判定，對于（1），根據(jù)材料一，可得，進(jìn)而判斷，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得，即可得出答案；對于（2），根據(jù)（1）的結(jié)論，代入數(shù)值計算即可．【詳解】（1）已知：直線是的一條割線，與交于點A，B，與相切，切點為T，求證：，證明：連接，，可得，∵，∴，∴，∴；（2）設(shè)，則，∴．∵，，∴，解得，（舍），所以．36．（2024·河南開封·二模）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，D是的中點，連接．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)，過點D作直線l垂直于直線（保留作圖痕跡，不寫作法）．(2)若（1）中所作的直線l與直線交于點E，與的延長線交于點F．①判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．②若，則的長為．【答案】(1)見解析(2)①直線與相切，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)垂線的作圖方法畫圖即可；（2）①連接交于點G，證明四邊形是矩形得，可證直線與相切；②證明，結(jié)合可求出，，從而，利用銳角三角函數(shù)求出，可得半徑，然后根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】（1）如圖，直線l即為所求，（2）①如圖，連接交于點G，∵是的直徑，∴．∵，∴．∵D是的中點，∴，∴四邊形是矩形，∴，．∵是的半徑，∴直線與相切；②∵D是的中點，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．∵，∴，∴，∴的長為∶．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，以及弧長公式，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．37．（2024·河南南陽·三模）如圖，為的直徑