PAGE1專題14圖形的變換（解析版）1.（2024·河南·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為，則點E的坐標為___________．【答案】【詳解】解∶設正方形的邊長為a，與y軸相交于G，則四邊形是矩形，∴，，，∵折疊，∴，，∵點A的坐標為，點F的坐標為，∴，，∴，在中，，∴，解得，∴，，在中，，∴，解得，∴，∴點E的坐標為，故答案：．2．（2023·河南·統考中考真題）李老師善于通過合適的主題整合教學內容，幫助同學們用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設計的問題，請你解答．（1）觀察發現：如圖1，在平面直角坐標系中，過點的直線軸，作關于軸對稱的圖形，再分別作關于軸和直線對稱的圖形和，則可以看作是繞點順時針旋轉得到的，旋轉角的度數為______；可以看作是向右平移得到的，平移距離為______個單位長度．（2）探究遷移：如圖，中，，為直線下方一點，作點關于直線的對稱點，再分別作點關于直線和直線的對稱點和，連接，，請僅就圖的情形解決以下問題：①若，請判斷與的數量關系，并說明理由；②若，求，兩點間的距離．（3）拓展應用：在（2）的條件下，若，，，連接．當與的邊平行時，請直接寫出的長．【答案】（1），．（2）①，理由見解析；②（3）或【小問1詳解】（1）∵關于軸對稱的圖形，與關于軸對稱，∴與關于點中心對稱，則可以看作是繞點順時針旋轉得到的，旋轉角的度數為∵，∴，∵,關于直線對稱，∴，即，可以看作是向右平移得到的，平移距離為個單位長度．故答案為：，．【小問2詳解】①，理由如下，連接，由對稱性可得，，∴，②連接分別交于兩點，過點作，交于點，由對稱性可知：且，∵四邊形為平行四邊形，∴∴三點共線，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∵，∴,∴【小問3詳解】解：設，則，依題意，，當時，如圖所示，過點作于點，∴∵，，∴，∴，則，在中，，∴，則，∴在中，，則，，在中，，，∴由（2）②可得，∵∴∴，解得：；如圖所示，若，則，∵，則，則，∵，，∵，∴，解得：，綜上所述，的長為或．3.（2022·河南·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（）

A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：正六邊形ABCDEF邊長為2，中心與原點O重合，軸，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋轉結束時，點A的坐標為（，-1）；第2次旋轉結束時，點A的坐標為（-1，）；第3次旋轉結束時，點A的坐標為（，1）；第4次旋轉結束時，點A的坐標為（1，）；∵將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，∴4次一個循環，∵2022÷4＝505……2，∴經過第2022次旋轉后，點A的坐標為（-1，），故選：B4.（2022·河南·統考中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．

（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由．（3）拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．【答案】（1）或或或（2）①15，15；②，理由見解析（3）cm或【小問1詳解】解：，sin∠BME=【小問2詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②小問3詳解】當點Q在點F的下方時，如圖，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，設，即解得：∴；當點Q在點F的上方時，如圖，

cm，DQ=3cm，由（2）可知，設，即解得：∴．5.（2021·河南·統考中考真題）如圖，?OABC的頂點O(0,0)，A(1,2)，點C在x軸的正半軸上，延長BA交y軸于點D.將△ODA繞點O順時針旋轉得到△OD'A'，當點D的對應點D'落在OA上時，D'A'的延長線恰好經過點C，則點C的坐標為(????)A.(23,0)

B.(25,0)

C.【答案】B【詳解】解：延長A'D'交y軸于點E，延長D'A'，由題意D'A'的延長線經過點C，如圖，

∵A(1,2)，

∴AD=1，OD=2，

∴OA=AD2+OD2=12+22=5．

由題意：△OA'D'≌△OAD，

∴A'D'=AD=1，OA'=OA=5，OD'=OD=2，∠A'D'O=∠ADO=90°，∠A'OD'=∠DOD'．

則OD'⊥A'E，OA平分∠A'OE，

∴△A'OE為等腰三角形．

∴OE=OA'=5，ED'=A'D'=1．

∵EO⊥OC，OD'⊥EC，

∴△OED'∽△CEO．

∴6.（2021·河南·統考中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB邊上找一點D，將紙片沿CD折疊，點A落在A'處，如圖2；第二步，將紙片沿CA'折疊，點D落在D'處，如圖3.當點D'恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段A'D'的長為______．【答案】12或【解析】解：①點D'恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，設A'C交AB邊于點E，如圖，

由題意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分線段DD'．

則∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

∴BC=AC?tanA=1×tan60°=3．

∵S△ABC=12AC?BC=12AB?CE，

∴CE=32．

∴A'E=A'C?CE=1?32．

在Rt△A'D'E中，

∵cos∠D'A'E=A'EA'D'，

∴A'EA'D'=12，

∴A'D'=2A'E=2?3．

②點D'恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖，

由題意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=13∠ACB=30°；

則∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠D'A'C=60°，∠A'CD'=30°，

∴∠A'D'C=90°，

∴A'D'=12A'C=12×1=12．

綜上，線段A'D'的長為：12或2?3．

故答案為：1A. B. C. D.【答案】B【詳解】解：由題意知：四邊形為正方形，如圖，當落在上時，由故選一、單選題1．（2024·河南·三模）把邊長為5的正方形繞點A順時針旋轉得到正方形，邊與交于點O，則四邊形的周長是（

）

A． B．10 C． D．【答案】A【詳解】解：連接，

四邊形是正方形，，旋轉角，，，在對角線上，，在中，，，在等腰中，，在中，，，四邊形的周長是：，故選：A．2．（2024·河南周口·一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的等邊三角形在第二象限，與x軸重合，將繞點O順時針旋轉60°，得到，再作關于原點O的中心對稱圖形，得到，再將繞點O順時針旋轉60°，得到，再作關于原點O的中心對稱圖形，得到，以此類推……，則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：邊長為2的等邊三角形在第二象限，∴．將繞點順時針旋轉，得到，與點關于軸對稱，．再作關于原點的中心對稱圖形，得到，與點關于原點對稱，．再將繞點順時針旋轉，得到此時點落在軸的負半軸上，．再作關于原點的中心對稱圖形，得到，此時點落在軸的正半軸上，．以此類推，則，，與點重合，對應的點大于1的整數）的坐標以，，，，，為規律循環，與的坐標相同，∴則點的坐標是．故選：B．3．（2024·河南安陽·二模）我們知道：四邊形具有不穩定性，如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形的邊與x軸平行，對角線交點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點處，則點C的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖：∵，∴，∵軸且點在第一象限，∴點的坐標為．故選A．4．（2024·河南安陽·一模）如圖，把放置在平面直角坐標系中，，已知點是軸上的定點，點的坐標為．將繞點逆時針旋轉，旋轉后點恰好與點重合，則旋轉前點的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】過點作軸于，

∵點的坐標為，∴，將繞點逆時針旋轉，旋轉后點恰好與點重合，∴，，，，，∴和是等邊三角形，∴，，∴，在中，，，，∴，∴，，∴，∴點的坐標是，故選：．5．（2024·河南濮陽·二模）如圖，在一個單位為1的方格紙上，，……，是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6的等腰直角三角形．若的頂點坐標分別為，，，則依圖中所示規律，的橫坐標為（）

A． B．1 C．2 D．0【答案】C【詳解】解：由題意知，，，，∴當時，的橫坐標為2，∵，∴的橫坐標為2，故選：C．6．（2024·河南商丘·三模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，，，，，，……都是平行四邊形的頂點，點，，，……在軸的正半軸上，，平行四邊形按此規律依次排列，則第個平行四邊形對稱中心的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示，連接軸于點，

∵∴又∵∴重合，∴則的中點即為所第個平行四邊形的對稱中心，其坐標為；同理可得，，則的中點坐標即第個平行四邊形的對稱中心坐標為同理可得第個平行四邊形的對稱中心坐標為……同理可得第個平行四邊形的對稱中心坐標為∴第個平行四邊形的對稱中心的坐標是即故選：A．7．（2024·河南新鄉·三模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點，點，將正方形繞點A逆時針旋轉，每次旋轉，若最后點C的坐標為，則旋轉次數可以是（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【詳解】解：如圖，由題可知，將正方形繞點A逆時針旋轉，每次旋轉，∴每旋轉4次則回到原位置，∵點C的坐標為，∴旋轉后點C在第二象限內，∴圖形旋轉次點C的坐標為，∵，，，，∴最后點C的坐標為，則旋轉次數可以是2025．故選：C8．（2024·河南商丘·二模）如圖，的頂點B，C都在坐標軸上，已知，，，且軸，將繞點C順時針旋轉，每次旋轉，第2025次旋轉后，點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，，，．在中，．，且軸，點的坐標為．，每旋轉四次，點對應點的坐標循環出現．余1，點的坐標與點的坐標相同．將繞點順時針旋轉，如圖所示，分別過點和點作軸的垂線，垂足分別為和，由旋轉可知，，，，．在和中，，，，．，，，，，點的坐標為，即點的坐標為．故選：A9．（2024·河南周口·二模）如圖，菱形中，．將菱形繞點O順時針旋轉，每次旋轉，則第65次旋轉結束時，點A的坐標為（

）A．（，） B．C．（，） D．【答案】B【詳解】解：過點A作軸于點D，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴，，∴，∵將菱形繞點O順時針旋轉，每次旋轉，∴第一次旋轉后，點A的坐標為，第二次旋轉后，點A的坐標為，第三次旋轉后，點A的坐標為第四次旋轉后，點A的坐標為，第五次旋轉后，點A的坐標為第六次旋轉后，點A的坐標為，第七次旋轉后，點A的坐標為八次旋轉后，點A的坐標為，，可以發現，每8次為一個循環，∵，∴第65次旋轉結束時，點A的坐標為，故選B10．（2024·河南駐馬店·一模）如圖，菱形的頂點都在坐標軸上，是邊的中點，，若把繞點順時針旋轉，每次旋轉，則第2024次旋轉結束時，點的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵菱形的頂點都在坐標軸上，，，∴，，∴點，點，，∴，∴，∵P是邊的中點，∴，，∴，∵把繞點O順時針旋轉，每次旋轉，∴，，，，，???∴每旋轉12次循環一次，∴，∴第2024次旋轉后的P點坐標與第8次旋轉后的P的坐標相同，∴第2024次旋轉結束時，點P的對應點的坐標為，故選：B．11．（2024·河南信陽·三模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊，分別在x軸和y軸上，并且，．若把矩形繞著點O逆時針旋轉，使點A恰好落在邊上的處，則點C的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：過點作軸于點N，過點作軸于點M，由題意可得：，∴軸，∴，∵∴，∴∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴設，則，則，解得：（負數舍去），則，故點C的對應點的坐標為：．故選：A．12．（2024·河南平頂山·二模）如圖，將沿對角線翻折，點落在點處，交于點，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由折疊的性質可知，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，故選：C．二、填空題13．（2024·河南鶴壁·一模）如圖，正方形中，為邊的中點，連接為邊AD上一動點，將沿所在直線翻折，若點A的對應點恰好落在的邊上，則線段的長為．【答案】1或【詳解】解：如圖：以點B為圓心，為直徑畫圓，與分別相交于兩點，且為，然后過點B分別作的垂直平分線交于當A的的對稱點落在上時，即點；此時P為上的連接∵四邊形是正方形∴則即∴∵為邊的中點，∴故∴如圖：當A的的對稱點落在上時，即點；此時P為上的連接交于一點，∵沿所在直線翻折∴即直線是的平分線，過點G作，∴∵四邊形是正方形∴∴則設，則∵∴則中，得即解得∵∴則解得綜上：線段的長為1或故答案為：1或14．（2024·河南許昌·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點M，N分別在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E為直線BC上一動點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，當點C′恰好落在直線MN上時，CE的長為．【答案】或10．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，∴AM＝BN，∵AM∥BN，∴四邊形ABNM的矩形，∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，∵將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，∵AM＝2，∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，如圖1，在Rt△C′MD中，C′M＝，∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（4﹣CE）2+22＝CE2，解得：CE＝．如圖2，在Rt△C′MD中，C′M＝，∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，∴四邊形CDMN是矩形，∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，∴（CE﹣4）2+82＝CE2，解答：CE＝10，故答案為或10．15．（2024·河南安陽·一模）如圖，把矩形放在平面直角坐標系中，，，，點P在邊上，且不與點O，C重合；點Q在邊上，且不與點O，A重合，，連接．當點Q的坐標為時，．【答案】【詳解】解：，，，若,，又,,,即,,,故答案為：16．（2024·河南駐馬店·三模）如圖所示，在矩形中，．連接對角線，將矩形折疊，使點B落在射線上，點B的對應點記為，折痕與邊分別交于點E，F，當時，的長度為．【答案】【詳解】解：如圖，設與相交于點O，四邊形為矩形，，，，，①

當點在線段上，，，將矩形折疊，使點B落在射線上，，，，，，即，，，，，即，，；②當點在線段延長線上，如圖，將矩形折疊，使點B落在射線上，，，，，，，即，，，，，即，，；綜上所述：的長度為．故答案為：．17．（2024·河南鶴壁·一模）如圖所示，在矩形中，，．連接對角線，將矩形折疊，使點B落在射線上，點B的對應點記為，折痕與邊，分別交于點E，F，當時，的長度為．【答案】或【詳解】連接交于點O，四邊形為矩形，，，，，，為等邊三角形，，，①當點在線段上，設交于點G，，在矩形中，根據折疊性質得，，，，，，，②當點在線段延長線上，延長、交于點H，，，，，，，在中，，綜上所述：的長度為或．18．（2024·河南周口·二模）如圖，為等腰直角三角形，，，點為邊上一點，且，點為邊上一動點（點不與點、重合），連接，將沿翻折得到，當的一邊過點時，的長為【答案】或1【詳解】解：當過點時，過點作于，于，由折疊知，，，過點作于，，，，設，則，，，，，，根據勾股定理得，，，或，當時，，不符合題意，舍去，當時，；∴當過點時，由折疊知，，，∴三點共線，∴故答案為：或1．19．（2024·河南新鄉·二模）把一副直角三角尺如圖擺放，，，，，斜邊BC，EF在同一直線上，且直角頂點連線．將左右平移，當恰為直角三角形時，AD的長為．【答案】或/或【詳解】解：∵，，，，∴，，，∵∴，①當時，如圖，過A作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴∴；②當時，如圖，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴∴；綜上，的長為或．故答案為：或．20．（2024·河南濮陽·二模）如圖，在矩形中，，．折疊矩形使得點A恰好落在邊上，折痕與邊相交于點E，與矩形另一邊相交于點F．若，則的長為．【答案】或1【詳解】設折疊后，點A的對應點為M點，折痕為，設，當點F在邊時，如圖，過E點作于點N，根據折疊有：，，∵，，，，∴，，∵在矩形中，，∴四邊形是矩形，∴，，∴在中，，∴，∵在中，，∴，∴，即；當點F在邊時，如圖，過M點作于點H，點B的對應點為G點，根據折疊有：，，，，∵，，，，∴，，，∵在矩形中，，∴四邊形是矩形，∴，，∴在中，，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴，即；故答案為：或1．21．（2024·河南三門峽·一模）如圖1，已知矩形紙片，，，現將紙片進行如下操作：第1步，將圖1中的紙片對折，使與重合，折痕為，展開后如圖2；第2步，將圖2中的紙片對折，使與重合，折痕為，展開后如圖3；第3步，將圖3中的紙片沿過點F的直線折疊，點C的對應點記為點P，折痕為，如圖4；當點P落在上時，折痕的長度為．【答案】或【詳解】解：如圖，設與交于點O，由操作可得是矩形，且，，∴，∴，設，則，∵，即，解得：，∴；如圖，由（1）得，，過點P作交，于點M，N，設交于點K，則，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得：，，∴，又∵，∴，即，解得：，即，∴，∴，故答案為：或．22．（2024·河南開封·二模）如圖，在矩形ABCD中，是BC的中點，連接是邊上一個動點，沿過點的直線將矩形折疊，使點落在上的點處，當是直角三角形時，的值為．【答案】或【詳解】解：∵在矩形中，是的中點，∴，∴，∴，∴，∵沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在上的點處，∴，設，則：，當是直角三角形時，①時，則，∴，∴，∴，即：，解得：，經檢驗，是原方程的解，∴；②當時，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，經檢驗，是原方程的解，∴；綜上所述，當是直角三角形時，或．故答案為：或．23．（2024·河南南陽·一模）如圖，在中，為斜邊的中點，是邊上的一個動點，將沿翻折得到，當直線與垂直時，的長為．【答案】或【詳解】解：在下方時，如圖所示：延長交于點，則∵為斜邊的中點，∴∴∴解得：∴∴解得：在上方時，如圖所示：同理可得：∴∴解得：綜上所述：或三、解答題24．（2023·河南周口·一模）綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動．(1)操作判斷操作：如圖1，點E是邊長為12的正方形紙片的邊所在的射線上一動點，將正方形沿著折疊，點D落在點F處，把紙片展平，射線DF交射線于點P．判斷：根據以上操作，圖1中與的數量關系：______．(2)遷移探究在（1）條件下，若點E是的中點，如圖2，延長交于點Q，點Q的位置是否確定？如果確定，求出線段的長度，如果不確定，說明理由；(3)拓展應用在（1）條件下，如圖3，，交于點G，取的中點H，連接，求的最小值．【答案】(1)(2)點的位置確定，，理由見解析(3)的最小值為【詳解】（1）解：如圖，設，交于點，

由軸對稱性質可得：，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）點的位置確定，，理由如下：

連接，由折疊可知：，，，∵點是的中點，∴，∴，∵，，∴，∴，設，則，在中，，，，∴，∴，∴；（3）取的中點，再取的中點，連接，，，

∵，∴，∵點是的中點，則是的中位線，∴，∵，，，∴，∵，∴當、、共線時，的最小值為．25．（2024·河南安陽·二模）綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數學活動．(1)操作判斷：如圖1，在矩形中，點E為邊的中點，沿折疊，使點A落在點F處，把紙片展平，延長與交于點G．請寫出線段與線段的數量關系，并說明理由；(2)遷移思考：如圖1，若，按照（1）中的操作進行折疊和作圖，當時，求的值；(3)拓展探索：如圖2，四邊形為平行四邊形，其中與是對角，點E為邊的中點，沿折疊，使點A落在點F處，把紙片展平，延長與射線交于點G．若，，請直接寫出線段的值．【答案】(1)，見解析(2)(3)或【詳解】（1）解：，理由如下：連接，如圖：∵四邊形為矩形，∴，∵點為的中點，∴，∵折疊，∴，，∴，又，∴，∴；（2）∵四邊形為矩形，∴，，∴，設，則：，由（1）知：，∵，∴，∴，∴；（3）當點在線段的延長線上時，連接，如圖：∵平行四邊形，∴，∴，∵點是的中點，∴，∵折疊，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；當點在線段上時：如圖：同法可得：，∴；綜上：或．26．（2024·河南濮陽·三模）如圖1，，在和中，，，，，，將繞點A在平面內順時針旋轉，連接，交于點M，交于點N．(1)求證：；(2)請判斷線段和的位置關系，并說明理由；(3)當點B、D、E在同一條直線上時，求線段的長【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)或；【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∵，，，，∴，∴；（2）解：，理由如下，由（1）得，∵，∴，∵，∴，∴；（3）解：由題意得，當E點在右側時，如圖所示，過A作交于H，∵，，，∴，∵，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴，∴；當E點在左側時，如圖所示，∵，，，∴，∵，，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，，，∴，，由勾股定理得到，，即，∴，∴，解得或（不合題意，舍去）∴此時，綜上可知，的長為或；27．（2024·河南漯河·二模）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發現BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，（如圖2）試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中，BG2+DE2是定值，請求出這個定值．【答案】（1）見解析；（2）當∠EAG=∠BAD時，BE=DG成立；理由見解析；（3）．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形∴AB=AD，∵四邊形AEFG為正方形∴AE=AG，∴在△EAB和△GAD中有：∴△EAB≌△GAD∴BE=DG；(2)當∠EAG=∠BAD時，BE=DG成立。證明：∵四邊形ABCD菱形∴AB=AD∵四邊形AEFG為正方形∴AE=AG∵∠EAG=∠BAD∴∴在△EAB和△GAD中有：∴△EAB≌△GAD∴BE=DG；(3)連接EB，BD,設BE和GD相交于點H∵四邊形AEFG和ABCD為矩形∴∴∵∴△EAB∽△GAD∴∴∴∴，∴．28．（2024·河南周口·二模）王老師擅長巧妙地整合教學材料，引導同學們以整體、相關和逐步發展的視角思考問題，培養科學的思維方式．下面是王老師結合旋轉與其他知識內容所設計的問題，請你解答．(1)如圖1，在平面直角坐標系中，點，軸上有一點P，現將點繞點P按順時針方向旋轉至點，則點P的坐標是______，____