PAGE1專題08二次函數的圖象性質與應用（解析版）1.（2024·河南·統考中考真題）從地面豎直向上發射的物體離地面的高度滿足關系式，其中是物體運動的時間，是物體被發射時的速度．社團活動時，科學小組在實驗樓前從地面豎直向上發射小球．（1）小球被發射后_________時離地面的高度最大（用含的式子表示）．（2）若小球離地面的最大高度為，求小球被發射時的速度．（3）按（2）中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為．”已知實驗樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）小明的說法不正確，理由見解析【小問1詳解】解：，∴當時，h最大，故答案為：；【小問2詳解】解：根據題意，得當時，，∴，∴（負值舍去）；【小問3詳解】解：小明的說法不正確．理由如下：由（2），得，當時，，解方程，得，，∴兩次間隔的時間為，∴小明的說法不正確．2．（2023·河南·統考中考真題）二次函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象一定不經過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【詳解】解：由圖象開口向下可知，由對稱軸，得．∴一次函數的圖象經過第一、二、三象限，不經過第四象限．故選：D．3．（2023·河南·統考中考真題）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網與y軸的水平距離，，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數關系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數關系．（1）求點P的坐標和a的值．（2）小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．【答案】（1），，（2）選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近【小問1詳解】解：在一次函數，令時，，∴，將代入中，可得：，解得：；【小問2詳解】∵，，∴，選擇扣球，則令，即：，解得：，即：落地點距離點距離為，∴落地點到C點的距離為，選擇吊球，則令，即：，解得：（負值舍去），即：落地點距離點距離為，∴落地點到C點的距離為，∵，∴選擇吊球，使球的落地點到C點的距離更近．4.（2022·河南·統考中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【答案】（1）（2）2或6m【小問1詳解】解：根據題意可知拋物線的頂點為，設拋物線的解析式為，將點代入，得，解得，拋物線的解析式為，【小問2詳解】由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．5.（2021·河南·統考中考真題）如圖，拋物線y=x2+mx與直線y=?x+b把交于點A(2,0)(1)求m和b的值；

(2)求點B的坐標，并結合圖象寫出不等式x2+mx>?x+b的解集；

(3)點M是直線AB上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標xM

【答案】（1）m=?2，b=2；（2）x<?1或x>2；（3）?1≤xM<2

或【詳解】解：(1)將點A的坐標代入拋物線表達式得：0=4+2m，解得：m=?2，

將點A的坐標代入直線表達式得：0=?2+b，解得b=2；

故m=?2，b=2；

(2)由(1)得，直線和拋物線的表達式為：y=?x+2，y=x2?2x，

聯立上述兩個函數表達式并解得x=?1y=3，

即點B的坐標為(?1,3)，

從圖象看，不等式

x2+mx>?x+b

的解集為x<?1或x>2；

(3)當點M在線段AB上時，線段MN與拋物線只有一個公共點，

∵MN的距離為3，而AB的距離為3，故此時只有一個交點，即?1≤xM<2；

當點M在點B的左側時，線段MN與拋物線沒有公共點；

當點M在點A的右側時，當

xM=3時，拋物線和MN交于拋物線的頂點(1,?1)，即xM=3時，線段MN與拋物線只有一個公共點，

綜上，?1≤xM<2

或

xM=3．

6.求拋物線的解析式及點G的坐標；點為拋物線上兩點(點在點的左側)，且到對稱軸的距離分別為個單位長度和個單位長度，點為拋物線上點之間(含點)的一個動點，求點的縱坐標的取值范圍．【答案】（1），G（1,4）；（2）﹣21≤≤4.【詳解】解：（1）∵拋物線與軸正半軸分別交于點B，∴B點坐標為（c，0），∵拋物線經過點A，∴﹣c2+2c+c=0，解得c1=0（舍去），c2=3，∴拋物線的解析式為∵=﹣（x－1）2+4，∴拋物線頂點G坐標為（1,4）．（2）拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點M,N到對稱軸的距離分別為3個單位長度和5個單位長度，∴點M的橫坐標為﹣2或4，點N的橫坐標為﹣4或6，點M的縱坐標為﹣5，點N的縱坐標為﹣21，又∵點M在點N的左側，∴當M坐標為（﹣2，﹣5）時，點N的坐標為（6，﹣21），則﹣21≤≤4當當M坐標為（4，﹣5）時，點N的坐標為（6，﹣21），則﹣21≤≤﹣5，∴的取值范圍為﹣21≤≤4．一、單選題1．（2024·河南省直轄縣級單位·模擬預測）一次函數的圖象如圖所示，則二次函數的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數以及二次函數的圖象綜合判斷，正確確定，的符號是解題關鍵．直接利用一次函數圖象經過的象限得出，的符號，進而結合二次函數圖象的性質得出答案．【詳解】解：一次函數的圖象經過一、三、四象限，，，，二次函數的圖象開口方向向上，圖象經過原點，對稱軸在軸右側，故選：D．2．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，已知二次函數（a，b，c是常數）的圖象關于直線對稱，則下列五個結論：；②；③；（m為任意實數）；．其中正確的是（

）A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【答案】D【分析】本題考查了二次函數的圖象和性質，熟知二次函數的圖象和性質及巧用數形結合的思想是解題的關鍵；由圖象可知：，，根據對稱軸及a與b的符號關系可得，則可判斷①②，由對稱軸是直線，且與x軸交點到對稱軸距離大于1，小于2，當時，可判斷③；由當時，函數有最大值，可判斷④；由及，可判斷⑤．【詳解】解：拋物線開口往下，，拋物線與y軸交于正半軸，拋物線的對稱軸在負半軸，，，，故①正確．即，故②正確．拋物線的對稱軸為直線，且時，函數值小于零，與x軸交點到對稱軸距離大于1，小于2，當時，函數值小于零，即，故③正確．拋物線的對稱軸為直線，且開口向下，當時，函數值最大，當時，，當時，，，所以，故④正確．由函數圖象可知，當時，函數值小于零，則，，所以，故⑤正確．綜上所述：正確的有故選：D．3．（2024·河南平頂山·三模）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，對稱軸為直線，若點A的坐標為，則下列結論：①點B的坐標為；②；③；④點在拋物線上，當時，則，其中正確的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數圖像及其性質,掌握二次函數圖像的性質成為解題的關鍵．根據二次函數圖像的對稱性確定點B的橫坐標,可判斷①;將代入并結合圖像可判斷②;根據拋物線的對稱軸為直線可判斷③;根據函數的增減性可判斷④．【詳解】解:∵拋物線的對稱軸為直線，∴設點B的橫坐標為b,則有:,解得:,∴點B的坐標為,即①正確;∵點B的坐標為,∴當時,由函數圖像可得函數值大于零,即,即②錯誤;∵拋物線的對稱軸為直線，∴,即,即③錯誤;∵,∴y隨x的增大減小,即,即④正確．綜上,正確的有2個．故選：B．4．（2024·河南許昌·二模）如圖，平面直角坐標系中有兩條拋物線，它們的頂點P，Q都在x軸上，平行于x軸的直線與兩條拋物線相交于A，B，C，D四點，若，，，則的長度為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】分別作出兩條拋物線的對稱軸，交于點M，N，得四邊形是矩形，利用拋物線的對稱性計算即可．本題考查了拋物線的性質，矩形的性質，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．【詳解】分別作出兩條拋物線的對稱軸，交于點M，N，∴四邊形是矩形，∴，∵，，，∴，，∴，，∴，故選B．5．（2024·河南周口·二模）一次函數（a，b為常數）的圖象如圖所示，則二次函數的圖象是（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數、二次函數圖像的關系，掌握一次函數、二次函數圖像與各項系數的關系成為解題的關鍵．根據一次函數的圖像可得，然后再判定拋物線的開口方向、與y軸的交點以及對稱軸即可解答．【詳解】解：由一次函數的圖象可知，∵二次函數，∴拋物線的開口向上，與y軸的交點在y軸的正半軸，對稱軸為，∴滿足條件的函數圖象只有A．故選：A．6．（2024·河南新鄉·三模）二次的函數的圖象如圖所示，則一次函數的圖象不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】從圖象中得到，，故一次函數的圖象分布在第一，三，四象限，解答即可．本題考查了拋物線的頂點坐標，一次函數圖象分布，熟練掌握頂點坐標，一次函數圖象分布是解題的關鍵．【詳解】從圖象中得到，，故一次函數的圖象分布在第一，三，四象限，故選B．7．（2024·河南南陽·一模）若反比例函數的圖象如圖所示，則一次函數和二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由反比例函數圖象與性質得到，再根據選項中同一平面直角坐標系下一次函數和二次函數的圖象，假設直線圖象正確，判斷二次函數圖象是否正確即可得到答案．【詳解】解：由反比例函數的圖象在二、四象限可知，A、假設一次函數圖象正確，則，，二次函數圖象開口向下、對稱軸、與軸交點在正半軸上，故選項正確，符合題意；B、假設一次函數圖象正確，則，，二次函數圖象開口向下、對稱軸、與軸交點在負半軸上，而選項中二次函數圖象與軸交點在正半軸上，故選項錯，不符合題意；C、假設一次函數圖象正確，則，，二次函數圖象開口向上、對稱軸、與軸交點在正半軸上，而選項中二次函數圖象對稱軸、與軸交點在負半軸上，故選項錯，不符合題意；D、假設一次函數圖象正確，則，，二次函數圖象開口向上、對稱軸、與軸交點在負半軸上，而選項中二次函數圖象對稱軸，故選項錯，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查反比例函數圖象與性質、一次函數圖象與性質、二次函數圖象與性質等知識，熟練掌握此類題目的解法，先假設其中一個圖象正確，再判斷另一個圖象是否正確是解決問題的關鍵．8．（2024·河南周口·一模）一次函數的圖象如圖所示，則二次函數的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數與一次函數圖象的綜合判斷，先根據一次函數圖象所過象限，判斷的符號，進而判斷出二次函數的圖象即可．【詳解】解：∵直線過一，三，四象限，∴， ∵，∴拋物線的開口向上，對稱軸為軸，與軸交于負半軸，故符合題意的只有選項C；故選C．二、解答題9．（2024·河南鄭州·模擬預測）農戶老張想依托一面墻建造一個塑料薄膜育苗起始端棚，如圖1，若以水平地面為x軸，墻所在的位置為y軸，老張在距離地面處的B處建造這個育苗棚，棚的頂部可以看作是拋物線的一部分，已知育苗棚在距離O點2米處有最高點，最高為．(1)求這個拋物線的解析式（不求x的取值范圍）；(2)育苗棚需要一定的溫度、濕度、通風和光照，為達到合適的條件，老張準備將育苗棚適當提高，并在棚內懸掛一排鐵絲，在上安放一些補光燈和加濕噴頭，如圖2，為保證安全，上任意一點到棚的豎直距離均不小于，且到地面的高度為，老張將育苗棚在墻的起始端B點提升到圖2中的D點，已知，求的最小值．【答案】(1)(2)的最小值為【分析】此題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數解析式，解題的關鍵是正確設出表達式．（1）根據圖象設二次函數的解析式為：，然后利用待定系數法求解即可；（2）設調節后的拋物線的解析式為：，根據題意得到，求出，進而求解即可．【詳解】（1）根據圖象設二次函數的解析式為：，將代入，得，∴拋物線的解析式為：．（2）設調節后的拋物線的解析式為：，即，由題意可知，，∴當橫坐標為時，縱坐標的值大于，∴，解得，∴育苗棚的起始端至少向上調節1.5米，∴，∴的最小值為．10．（2024·河南省直轄縣級單位·模擬預測）“河暢水清、岸綠景美、魚翔淺底”穿城而過的蟒河正逐漸被打造成一條秀美景觀帶，千年河道煥發生機，為更好地形成“一河清水，兩岸秀色，三季有花，四季常青”的景觀，市政養護人員安排了一移動灌溉裝置，其噴出水柱的路徑可近似地看做一條拋物線．該灌溉裝置的噴水頭到水平地面的距離是1米，噴出的拋物線形水柱在距離噴水頭水平距離6米處達到最大高度3米，將灌溉裝置放在緊鄰坡面的水平地面上，用其灌溉一坡度為的坡地綠植．以水平地面為x軸，以噴水裝置所在豎直方向為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)求該拋物線的解析式；(2)請你計算坡地上能夠灌溉的點與灌溉裝置的最大水平距離；(3)春風拂面，草木新綠，伴隨著萬物復蘇的生機，各種病蟲害也進入了高發期．園林局積極探索新技術、新方法，給道路兩旁的行道樹、花灌木上整齊劃一地戴上了1米高的“黃色圍脖”——粘蟲膠帶．這些膠帶粘貼在樹干上，形成一道阻隔環，有效防止地下的害蟲爬到樹上形成蟲害，從而大大降低了化學藥品的使用頻率．若斜坡上有一棵戴有“黃色圍脖”的樹木，離灌溉裝置的水平距離為9米，養護人員在操作時計劃讓水柱剛好噴到該樹的底部，請問需要讓灌溉裝置在水平面上向后平移多少米？【答案】(1)(2)坡地上能夠灌溉的點與灌溉裝置的最大水平距離為米(3)讓水柱剛好噴到該樹的底部，需要讓灌溉裝置在水平面上向后平移米【分析】本題主要考查了二次函數的應用，根據題意列出函數解析式是解答本題的關鍵．（1）根據拋物線的頂點坐標為，設出拋物線水柱的解析式為：，再將代入得出的值即可；（2）根據坡地綠植的坡度為，可設坡地所在直線的解析式為，令，解得的值即可；（3）由（1）可知平移后，水柱對應的拋物線解析式為，根據這棵樹底部點的橫坐標為9，設縱坐標為，則，可求出這棵樹底部對應點的坐標為，進而解答即可．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點坐標為，設拋物線水柱的解析式為：，將代入得：，解得：，；（2）解：坡地綠植的坡度為，坡地所在直線的解析式為，由題意得：，解得：，（不符合題意，故舍去），坡地上能夠灌溉的點與灌溉裝置的最大水平距離為米．（3）解：由（1）可知平移后，水柱對應的拋物線解析式為，設需要讓灌溉裝置向后平移米，因為這棵樹底部點的橫坐標為9，設縱坐標為，則，即這棵樹底部對應點的坐標為，當水柱剛好澆到這棵樹的底部時，則有：，解得：，，，．答：讓水柱剛好噴到該樹的底部，需要讓灌溉裝置在水平面上向后平移米．11．（2024·河南·三模）已知二次函數．(1)用含a的式子寫出二次函數的對稱軸和頂點坐標：(2)當時，二次函數的最小值是，求此時二次函數的解析式；(3)已知點，，線段與二次函數的圖像有公共點，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)對稱軸為直線，頂點坐標為(2)(3)【分析】本題考查了二次函數綜合問題，待定系數法求解析式，二次函數的性質；（1）根據對稱軸公式與頂點坐標公式，即可求解；（2）根據題意得出時，最小為，待定系數法求解析式，即可求解；（3）分拋物線經過，，求得的臨界值，即可求解．【詳解】（1）解：∴對稱軸為直線，當時，∴頂點坐標為；（2）解：∵，，在對稱軸直線的左側，隨的增大而減小，∴時，最小為∴解得：又∵∴∴（3）解：∵點，，線段與二次函數的圖像有公共點，當拋物線經過時，解得：當拋物線經過時，解得：∴．12．（2024·河南商丘·模擬預測）已知拋物線交軸于，，兩點，為拋物線的頂點，，為拋物線上不與，重合的相異兩點，記的中點為，直線，的交點為．(1)求拋物線的函數表達式；(2)若，，且，求證：，，三點共線；(3)小明研究發現，無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，的面積恒為定值，請求出此定值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】本題考查屬于二次函數綜合題，考查二次函數的交點式，一次函數解析式，兩條直線的交點坐標等．（1）根據拋物線與x軸的交點坐標設交點式，與對比，求出a的值即可；（2）先利用待定系數法求出直線的解析式，再求出點D坐標，證明點D滿足直線的解析式即可；（3）在（2）的條件下，求出直線，的解析式，聯立求出點P的坐標，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，則，即拋物線的函數表達式為；（2）證明：設直線對應的函數表達式為，為中點，．又，，解得：，直線對應的函數表達式為，點在拋物線上，，解得：或，，，，，即滿足直線對應的函數表達式，點在直線上，即，，三點共線；（3）解：小明研究發現，無論，在拋物線上如何運動，只要，，三點共線，的面積恒為定值，故在（2）的條件下，，，，，直線對應的函數表達式為，直線對應的函數表達式為，聯立上述兩式得：，解得：，則點，，此時的面積．13．（2024·河南安陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點和．直線分別與軸、軸交于點，，與于點（點在點的左側）．(1)求拋物線的解析式；(2)點是直線上方拋物線上的任意一點，當時，求面積的最大值；(3)若拋物線與線段有公共點，結合函數圖象請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)面積的最大值為(3)的取值范圍為或【分析】（1）運用待定系數法即可求解；（2）求出直線與拋物線的交點的坐標，過點作軸的平行線交于點，交軸于點，設點坐標為，由此用含的式子表示的面積，結合二次函數的最值計算方法即可求解；（3）根據題意，分類討論：當時；當時；由此即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線與拋物線的形狀相同，∴，∵拋物線與軸交于點和，∴，∴拋物線的解析式為：；（2）解：當時，直線的解析式為：，聯立方程組，解得或，∴，，過點作軸的平行線交于點，交軸于點，設點坐標為，∴點，∴，，∴，∵，，∴當時，有最大值．∴面積的最大值為；（3）解：令，則，∴點坐標為，令，則，解得，∴點坐標為，若拋物線與線段有公共點，當時，如圖所示，則，解得；當時，如圖所示：則，解得；綜上所述，的取值范圍為或．【點睛】本題主要考查二次函數圖象的性質，待定系數法求解析式，二次函數圖象與一次函數圖象的綜合，二次函數的最值問題，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．14．（2024·河南鄭州·三模）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，點在點的右邊，．(1)求拋物線的表達式；(2)為拋物線上任意一點，將點向上平移個單位長度得到點，若點關于原點的對稱點恰好落在拋物線上，求此時點的坐標；(3)將拋物線向右平移個單位長度得到拋物線，若點，均在拋物線上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，二次函數的平移，點的平移，關于原點對稱的點的坐標特征；（1）求出點坐標，代入求出的值，即可求解；（2）設，根據題意分別求出，關于原點對稱的點的坐標為，再由，求出的值即可確定點坐標；（3）平移后的拋物線解析式為，則拋物線的對稱軸為直線，根據題意得到，即可求得．【詳解】（1）解：當時，，，，，將點代入中，，，拋物線的解析式為；（2）設，將點向上平移個單位長度得到點，，關于原點對稱的點的坐標為，，解得，或；（3）平移后的拋物線解析式為，拋物線的對稱軸為直線，，，解得，，．15.（2024·河南商丘·二模）綜合與實踐數學興趣小組的同學利用拋物線構造特殊圖形，過程如下：直線將拋物線分成兩部分，去掉直線左側的部分，再畫出拋物線剩余部分關于直線的對稱圖形，組成圖形．(1)如圖，記直線與拋物線交于點，在拋物線上另取點，，，，它們關于直線對稱的點分別為，，，，請將下表補充完整．拋物線上的點關于直線對稱的點________________(2)在給出的平面直角坐標系中畫出拋物線剩余部分關于直線的對稱圖形，并求出對稱圖形所在拋物線的表達式．(3)①若圖形與直線恰好有三個交點，則的值為________；②若圖形的函數值隨著的增大而增大，則的取值范圍為________．(4)若點，，在圖形上，且，，當時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)；(2)圖見解析，(3)①3；②或(4)或或【分析】（1）與關乎直線對稱，因此縱坐標相同，可根據對稱軸求出點的橫坐標，即可得出點的坐標；同樣方法即可求出的坐標．（2）設拋物線剩余部分關于直線的對稱圖形為，利用描點法即可作出的圖像．設的表達式為，將，，代入，利用待定系數法求解即可．（3）①由圖知直線經過A點時，圖形M與直線恰好有三個交點，求出A點的坐標即可得解．②分別求出拋物線和L的對稱軸，根據二次函數圖像的增減性即可得x的取值范圍．（4）分三種情況：①當圖形與直線恰好有3個交點，即P點與A點重合，F點在上，Q點在L上時，由，即可求得F點的坐標；②若F、P在上，Q點在L上，則F點P與點關于對稱，P點與Q點關于對稱，且，由此列方程組即可求出F點的坐標；③若F在上，P、Q點在L上，則F點P與點關于對稱，P點與Q點關于對稱，且，由此列方程組即可求出F點的坐標．【詳解】（1）∵與關乎直線對稱，∴，，解得，；∵與關乎直線對稱，∴，，解得，；故答案為：，（2）設拋物線剩余部分關于直線的對稱圖形為，則的圖像如圖所示：設的表達式為：，將，，代入，得，解得，∴的表達式為：，∴拋物線剩余部分關于直線的對稱圖形所在拋物線的表達式為：．（3）①由得時，，∴，由圖知當時，圖形與直線恰好有三個交點，故答案為：3．②∵拋物線的對稱軸為，且開口向下，∴當時，y隨x的增大而增大；∵拋物線的對稱軸為，且開口向下，∴當時，y隨x的增大而增大；綜上，若圖形的函數值隨著的增大而增大，則的取值范圍為：或故答案為：或（4）分三種情況：①當圖形與直線恰好有3個交點，即P點與A點重合，F點在上，Q點在L上時，此時，由，得，，．②若F、P在上，Q點在L上，則F點P與點關于對稱，P點與Q點關于對稱，且，，解得，，，，；③若F在上，P、Q點在L上，則F點P與點關于對稱，P點與Q點關于對稱，且，則，解得，，，，．綜上，F點的坐標為：或或．【點睛】本題主要考查了二次函數與軸對稱、利用待定系數法求二次函數的解析式、二次函數圖像的性質等．熟練掌握二次函數的性質及數形結合法是解題的關鍵．16．（2024·河南周口·三模）如圖1，一個圓形噴水池的中央豎直安裝了一個柱形噴水裝置，高度是米，A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在距離柱子1米的位置水流達到最高米，以水流噴出的高度，水平距離，建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)求y與x之間的函數關系式．若不計其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？（保留根號）(2)如圖2，為了吸引更多的游客前來參觀游玩，準備在水池的邊緣增設彩光燈，彩光燈的底座為形狀，其中邊在地面上，點C離柱子的距離為米，，燈孔P在邊上，燈孔P離地面的距離為米．若水流恰好落在燈孔P處，求的值．【答案】(1)米(2)【分析】本題考查了二次函數的應用，解決問題的關鍵是從實際問題中出相處二次函數模型．（1）根據已知條件設頂點式函數解析式，然后令、求出a，得出函數解析式，解關于x的一元二次方程，求得正數解即可；（2）把代入解析式即可求出點P的橫坐標，然后再求值即可．【詳解】（1）在距離柱子1米的位置水流達到最高米，設y與x之間的函數關系式為：噴水裝置，高度是米，，將代入得，，解得，

在中，令，則解得，又，水池的半徑至少為米，才能使噴出的水流不至于落在池外．（2）在中，當時，，解得，(舍去)，．16．（2024·河南濮陽·三模）如圖1，為打造潴龍河夜景景觀觀賞通道，管理部門在河道兩旁安裝了噴水裝置．噴水水柱要越過綠道噴入潴龍河中．圖2是其截面圖，已知綠道路面寬米，河道壩高米，壩面的坡比為（其中），是河底．當水柱離噴水口O處水平距離為2米時，離地平面距離的最大值為3米．為解決這個問題，建立如圖3的平面直角坐標系．(1)出于安全考慮，在河道的壩邊A處安裝護欄，要求水柱不能噴射到護欄上，則護欄的最大高度是多少米（結果保留一位小數）？(2)水柱落入水中會濺起美麗的水花，河水水深至少為多少米時，噴水水柱剛好落在水面上？【答案】(1)護欄的最大高度為米；(2)河水水深至少為米時，噴水水柱剛好落在水面上．【分析】本題主要考查了二次函數的應用，解題時要熟練掌握二次函數的性質是關鍵．（1）依據題意得二次函數的頂點坐標為，設該二次函數的解析式為，再結合函數經過原點，求出的值，得到二次函數的解析式為：從而可得當時，，進而可以判斷得解；（2）依據題意，可得，再求得B的坐標為再設的解析式為建立方程組可得進而可得直線，再與拋物線解析式建立方程組，進而計算可以判斷得解．【詳解】（1）解：由題意得：二次函數的頂點坐標為，∴設該二次函數的解析式為：，∵函數經過原點，，解得：，∴該二次函數的解析式為：，∴當時，∴護欄的最大高度為米．（2）解：設點的橫坐標為，則，∵米，壩面的坡比為，∴，∴點B的坐標為，又由題意可知，，設的解析式為，，，，，解得：(不合題意，舍去)，當時，，∴河水降至離地平面距離為米時，水柱剛好落在水面上，∴河水水深為米時，水柱剛好落在水面上．17．（2024·河南周口·二模）如圖，拋物線交x軸于、B兩點，交y軸于點．(1)求拋物線的解析式．(2)點P在拋物線上，橫坐標設為m．①當點P在x軸上方時，直接寫出m的取值范圍；②若拋物線在點P右側部分（含點P）的最高點的縱坐標為，求m的值．【答案】(1)(2)①；②或2【分析】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與x軸交點問題，解一元二次方程等知識，（1）利用待入系數法求解即可；（2）①首先求出，然后根據圖象求解即可；（3）首先得到對稱軸為，頂點坐標為，然后分和兩種情況討論，分別求解即可．【詳解】（1）由題意，將、兩點坐標分別代入已知解析式得；解得將代入原解析式得所求拋物線的解析式為．（2）①由題意，拋物線交軸于、兩點，又解析式為，，令，有，解得，．．結合圖象，當點在軸上方時，．②由題意，的對稱軸為，頂點坐標為．當時，點右側部分（含點的最高點的縱坐標為，．當時，點右側部分（含點）的最高點的縱坐標為，解關于的方程得：（不合題意，舍去），．綜上，符合題意的為或2．18．（2024·河南周口·二模）某道路兩側有兩個與地面垂直且長度相等的電線桿和，中間是自然垂下的電線，符合拋物線特征．兩電線桿的距離為，電線桿上的電線離地面的距離均為，最低點到地面的距離為．(1)請建立合適的平面直角坐標系，并求出該拋物線的函數表達式；(2)因實際需要，電力公司需要在之間增設一根電線桿，若增設的電線桿距離為，使得左邊形成的拋物線的最低點距為，到地面的距離為，求電線桿上電線離地面的距離．【答案】(1)見解析，(2)【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數解析式等知識，特別是拋物線的關系式的三種形式應熟練掌握，靈活應用．（1）根據題意，建立平面直角坐標系，根據拋物線的頂點坐標，設拋物線的函數表達式為，將代入拋物線的函數表達式即可求解；（2）根據題意得左側拋物線的頂點為，且過點，設左側拋物線的函數表達式為，將代入函數表達式即可求得左側拋物線的函數表達式，當時，代入函數表達式即可求解．【詳解】（1）解：如下圖所示，以A為原點，所在直線為y軸，所在直線為x軸建立平面直角坐標系．∵，兩電線桿間的距離為，∴拋物線的頂點為設拋物線的函數表達式為將代入得．解得．∴拋物線的函數表達式為（2）解：距離為，，左側拋物線的最低點到地面的距離為，∴左側拋物線的頂點為，且過點．設左側拋物線的函數表達式為將代入得．解得．∴左側拋物線的函數表達式為∴當時，，∴電線桿上電線離地面的距離為．19．（2024·河南南陽·三模）如圖，某廣場要修建一個景觀噴水池，水從噴頭噴出后呈拋物線形狀先向上至最高點后落下．將中間立柱近似看作一條線，以其為軸建立如圖所示直角坐標系．已知中間立柱頂端到地面的距離為，噴水頭恰好是立柱的中點．若水柱上升到最高點時，高度為，到中間立柱的距離為．(1)求圖中第一象限內拋物線的函數表達式．(2)為了使水落下后全部進入水池中，請判斷圓形水池的直徑不能小于多少米?(3)實際施工時，決定對噴水設施做如下設計改進，把水池的直徑修成，在不改變噴出的拋物線形水柱形狀的情況下，且噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，需對水管的長度進行調整，求調整后水管的最大長度．【答案】(1)；(2)；(3)米．【分析】（）求出點的坐標，利用頂點式假設出拋物線的解析式，再把點坐標代入計算即可求解；（）利用（）中所得的二次函數解析式求出點坐標，得出的長，根據即可求解；（）設改進后的拋物線解析式為，把代入可得，進而得到，即可得到米，即得調整后水管的最大長度米；本題考查了二次函數的應用，利用待定系數法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可知，，∴點的坐標為，由題意可得頂點的坐標為，設該拋物線的函數表達式為，把代入得，，解得，∴拋物線的函數表達式為，即；（2）解：∵，∴當時，有，解得：，(不合，舍去)，∴點坐標為，∴，此時有，答：圓形水池的直徑不能小于；（3）解：設改進后的拋物線解析式為，把代入得，，解得，∴改進后的拋物線解析式為，∴點的坐標為，即米，∴調整后水管的最大長度為米．20．（2024·河南南陽·二模）已知二次函數．(1)當時．①求該函數圖象的頂點坐標；②當時，直接寫出x的取值范圍．(2)若點是該函數圖象上不同的兩點，求m的值．(3)當時，將該函數圖象沿y軸向上或向下平移t個單位，若圖象的最低點到x軸的距離為1，求t的值．【答案】(1)①；②或(2)(3)或或或【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數圖象和性質并利用分類討論是解題的關鍵．（1）①把拋物線化為頂點式，即可得到答案；②先判斷函數的增減性，再求出時的自變量值，據此即可得到答案；（2）把點A坐標代入解析式求出t的值，得到函數解析式，再把頂點B的坐標代入即可求出m的值；（3）分情況利用圖象的最低點到x軸的距離為1列方程進行解答即可．【詳解】（1）①當時．，∴該函數圖象的頂點坐標為；②當時．，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，當時，y隨著x的增大而減小，當時，y隨著x的增大而增大，∵當時，，解得，∴當時，或；（2）∵點是該函數圖象上不同的兩點，∴把代入得到，，解得，∴，把代入得，，解得，∵點是該函數圖象上不同的兩點，∴（3）由題意可得，，將該函數圖像沿y軸向上平移t個單位后得到的解析式為，∵圖象的最低點到x軸的距離為1，∴或即或，解得或（不合題意，舍去）或或（不合題意，舍去）∴或，將該函數圖像沿y軸向下平移t個單位后得到的解析式為，∵圖象的最低點到x軸的距離為1，∴或即或，解得或（不合題意，舍去）或或（不合題意，舍去）∴或，綜上可知，或或或21．（2024·河南新鄉·三模）【何題背景】水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當作噴射劑，圖（1）是某學校興趣小組在科技節制作的一款簡易彈射水火箭．【實驗操作】為驗證水火箭的性能，興趣小組收集了其飛行高度y（單位：m）與飛行時間t（單位：s）的對應數據，發現其近似滿足二次函數關系．數據如表所示：飛行時間t/s0246810飛行高度y/m01016181610(1)【建立模型】求y關于t的函數表達式．(2)【深化研究】若水火箭相對于出發點的水平距離x（單位：m）與飛行時間，滿足關系，求水火箭從地面發出到落地時飛行的水平距離．(3)【反思優化】如圖（2），興趣小組在操場上設置一個高度可以變化的發射平臺，當發射高度變化時，水火箭飛行的軌跡形狀不變．可視為拋物線上下平移得到，線段為水火箭回收區域，P、A、B在同一直線上，已知，，在（2）的條件下，要使水火箭能落到線段上（含端點），請通過計算，直接寫出發射平臺的高度的取值范圍．【答案】(1)；(2)水火箭從地面發出到落地時飛行的水平距離為；(3)，計算過程見解析．【分析】本題考查了二次函數的實際應用，待定系數法求解析式，二次函數的圖象和性質，熟練掌握待定系數法求解析式、二次函數圖象和性質、能夠從實際問題中抽象出數學模型是解題的關鍵．（1）設y關于t的函數表達式，將點代入解析式，求解即可；（2）由，即，將代入，得，當時，火箭落地，即，解方程即可；（3）設發射平臺的高度為，則拋物線向上平移后的解析式為：，當火箭落在端點和時，即點和在拋物線圖象上，求出對應的，即是發射平臺的高度的取值范圍．【詳解】（1）解：由于飛行高度y與飛行時間t的對應數據近似滿足二次函數關系，設y關于t的函數表達式，將點代入解析式得，，解得，y關于t的函數表達式為：．（2）解：，即，將代入，得，當時，火箭落地，即，解得，（舍去），水火箭從地面發出到落地時飛行的水平距離為．（3）解：設發射平臺的高度為，則拋物線向上平移后的解析式為：，當火箭落在端點時，即點在拋物線圖象上，將代入，即，解得，當火箭落在端點時，點在拋物線圖象上，將代入，即，解得，故發射平臺的高度的取值范圍為．21．（2024·河南安陽·二模）閱讀材料：當平行光線照射到拋物線形狀的反射鏡面上時，經過反射后能夠聚集成一點，即焦點．這種特性使得拋物面反射鏡在許多應用中發揮重要作用，例如射電望遠鏡，雷達天線，遠光燈和投影儀等．如圖1，某射電望遠鏡的天線采用了拋物面的設計，當天線豎直對準天頂時，其主視圖可以抽象為圖2，天線截面為拋物線的一段，天線中心O為拋物線頂點，天線邊緣A，B為拋物線的兩端．測得A，B距地面高度為5.35米，天線中心O距地面高度為4米，A，B距離為6米．(1)如圖2，以點O為坐標原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，建立平面直角坐標系．求天線截面的拋物線表達式；(2)距離地面高度4.6米的D，E兩個位置安裝有支架和，可恰好將天線接收器固定在拋物面的焦點F處，試求D，E兩點之間的水平距離．【答案】(1)(2)4米【分析】本題考查了二次函數的應用，二次函數解析式，解題的關鍵是：（1）由題意知，頂點，拋物線過，設拋物線的函數表達式為，把代入求解a值，進而可得拋物線的函數表達式；（2）將代入得，求出x，根據D，E兩點之間的水平距離，計算求解即可．【詳解】（1）解：根據題意，得頂點，，即，設拋物線的函數表達式為，則，解得，∴；（2）解：根據題意得，D、E的縱坐標，代入，得，解得，，∴D，E兩點之間的水平距離為米．22．（2024·河南洛陽·三模）已知：經過點，．(1)請直接寫出函數解析式；(2)平移拋物線使得新頂點為仍在原拋物線上．新拋物線與軸交于，．①求新拋物線的解析式，并直接寫出此時時的取值范圍；②若點在上，線段軸，，線段與有兩個交點，請直接寫出點橫坐標的取值范圍．【答案】(1)(2)①；；②點橫坐標的取值范圍為或【分析】本題考查了二次函數的應用，掌握待定系數法，二次函數的性質是解題的關鍵．（1）把，代入求解即可；（2）①先求出，得出平移后的函數解析式為，求出，則可求，利用三角形面積公式求出m，即可求解，觀察圖象可出當時的取值范圍；②分點C在對稱軸的左側，右側和點C在頂點處討論即可．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，∴；（2）解：①∵在上，∴，∴平移后的函數解析式為，當時，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，聯立方程組解得，所以兩函數只相交于點P，由圖象可知：當時，；②設C的坐標為，則，當C在對稱軸的左側，即時，∵線段軸，，線段與有兩個交點，∴D在C的右側，∴D的坐標為，根據題意，得，解得，∴；當C在對稱軸的左側時，∵線段軸，，線段與有兩個交點，∴D在C的左側側，∴D的坐標為，根據題意，得，解得，∴；當C在頂點處時，線段與有唯一的交點，故不符合題意，舍去，綜上，點橫坐標的取值范圍為或．23．（2024·河南濮陽·二模）濮陽雜技是一項非常古老的傳統民間藝術．起源于春秋，興盛于明清，發展于現代，以功力深厚、技藝精湛著稱于世．如圖（1），“空中飛人”是雜技表演的壓軸節目，表演驚險刺激，極具觀賞性，深受觀眾好評．如圖（2），演員從浪橋的旋轉木梯點F處拋出（將身體看成一點，身體擺動忽略不計）飛到吊下的平臺上，其飛行路線可看作是拋物線的一部分．下面有一張平行于地面的保護網，以保護表演的演員安全．建立如圖的平面直角坐標系，已知：點A的坐標為，，，，，．(1)當拋物線過點B，且與y軸交于點時，求出拋物線的表達式；(2)在（1）的條件下，若點N的坐標為，為使演員在演出時不受傷害，求保護網（線段）的長度至少為多少米；(3)設該拋物線的關系式為，拋射點F不變，為保證演員表演時落在平臺上，請直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)(2)保護網（線段）的長度至少為9米(3)【分析】本題主要考查了二次函數的綜合應用，等腰直角三角形的判定和性質等知識點，（1）過點F作軸，過點E作，先求出，，然后用待定系數法即可求解；（2）由平行于x軸，點N的坐標為，得出點M縱坐標為，代入解析即可得解；（3）由發射點F不變，得出拋物線一定經過，然后分再經過，兩種情況，討論即可得解【詳解】（1）過點F作軸，過點E作，∵,∴∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴點F的坐標為，∵，點A的坐標為，∴點B的坐標為，∵拋物線y軸交于點，∴設拋物線的表達式為，將點和點代入得：解得：，∴拋物線的表達式為；（2）∵平行于x軸，點N的坐標為，∴點M縱坐標為，當時，代入拋物線解析式得，解得：（舍去），，∴，即保護網（線段）的長度至少為9米；（3）由（1）知：，，，∵發射點F不變，∴拋物線一定經過，∴當拋物線經過，時，代入得，∴，當拋物線經過，時，代入得，∴，∵拋物線必經過平臺，∴．24．（2024·河南南陽·二模）根據以下素材，探索完成任務．素材1一圓形噴泉池的中央安裝了一個噴水裝置，通過調節噴水裝置的高度，從而實現噴出水柱豎直方向的升降，但不改變水柱的形狀．為了美觀在半徑為米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉(圖1中的陰影部分)．

素材2從噴泉口噴出的水柱成拋物線形，如圖2是該噴泉噴水時的一個截面示意圖，已知噴水口A離地面高度為米，噴出的水柱在離噴水口水平距離為米處離地面最高，高度為米．

問題解決任務1建立模型以點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，根據素材2求拋物線的函數表達式．任務2利用模型為了提高對水資源的利用率，在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉，確定噴水口升高的最小值．任務3分析計算噴泉口升高的最大值為米，為能充分噴灌四周花卉，請對花卉的種植寬度提出合理的建議．【答案】任務1：；任務2：噴水口升高的最小值為米；任務3∶建議花卉的種植寬度為米【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，掌握二次函數的性質．任務1：依據題意，利用待定系數法即可求解；任務2：由題意得噴泉池的半徑為米，則令，求出值，即可求解；任務3：根據題意，將拋物線向上平移個單位后，令，求出值，再減去半徑即可．【詳解】解∶任務1∶由題意得，，頂點為，可設拋物線的函數表達式為，又拋物線過，，，拋物線的函數表達式為，任務2：由題意，噴泉池的半徑為米，令，則，噴水口升高的最小值為(米)，任務3∶當向上平移個單位，，令，即，當或(舍去)．(米)．建議花卉的種植寬度為米．25．（2024·河南開封·二模）已知二次函數的圖象與x軸分別交于點，．(1)求b，c的值．(2)點為拋物線上一個動點，直線經過B，C兩點．①若點C到y軸的距離小于3，請根據圖象求出C點縱坐標的取值范圍．②橫、縱坐標都是整數的點叫做整點，若直線、線段、線段圍成的區域（不含邊界）內恰有4個整點，請直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)(2)①②或【分析】（1）二次函數的圖象與x軸分別交于點，，轉化方程組解答即可．（2）①根據點C到y軸的距離小于3，得到，結合，得到拋物線開口向下，對稱軸為直線，函數有最大值，且點與對稱軸的距離越大，函數值越小，根據二次函數的增減性計算即可．②根據整點的個數，確定直線的范圍，繼而確定的范圍即可．本題考查了待定系數法，函數的增減性，整點，熟練掌握待定系數法，函數增減性是解題的關鍵．【詳解】（1）把和分別代入得，解得．故拋物線的解析式為．（2）①∵點C到y軸的距離小于3，∴，∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，函數有最大值，且點與對稱軸的距離越大，函數值越小，∵在的范圍中，∴y的最大值為4；∵，∴時，函數取得最小值，且為，∴的取值范圍是．②當時，當直線經過點，內部恰好有四個整點，分別是，符合題意，設直線的解析式為，將，代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為：．根據題意，得，解得（舍去）；故，由直線經過B，C兩點，∴，解得，∴，∴，解得；當直線經過點，內部恰好有三個整點，分別是，不符合題意，設直線的解析式為，將，代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為：．根據題意，得，解得（舍去）；故，由直線經過B，C兩點，∴，解得，∴，∴，解得；故．當時，當直線經過點，內部恰好有四個整點，分別是，符合題意，由直線經過B，C兩點，∴，解得，∴，∴，解得；故k的取值范圍是或．26．（2024·河南開封·二模）根據以下素材，探索并完成任務．探究汽車剎車性能“道路千萬條，安全第一條”．剎車系統是車輛行駛安全重要保障，某學習小組研究了剎車性能的相關問題（反應時間忽略不計）．素材1剎車時間：駕駛員從踩下剎車開始到汽車完全停止，汽車所行駛的時間．剎車距離：駕駛員從踩下剎車開始到汽車完全停止，汽車所行駛的距離．素材2汽車研發中心設計一款新型汽車，某興趣小組成員記錄了模擬汽車在公路上以某一速度勻速行駛時的剎車性能測試數據，具體如下：剎車后汽車行駛時間1234剎車后汽車行駛距離27486372素材3該興趣小組成員發現：①剎車后汽車行駛距離y（單位：）與行駛時間t（單位：）之間具有函數關系（、a、b為常數）；②剎車后汽車行駛距離y隨行駛時間t的增大而增大，當汽車剎車后行駛的距離最遠時，汽車完全停止．問題解決：請根據以上信息，完成下列任務．任務一：求y關于t的函數解析式．任務二：汽車司機發現正前方處有一個障礙物在路面，立刻剎車，判斷該車在不變道的情況下是否會撞到障礙物？請說明理由．【答案】任務一：；任務二：該車在不變道的情況下不會撞到障礙物．理由見解析【分析】本題考查二次函數的應用，理解題意，掌握待定系數法是解題的關鍵．（1）利用待定系數法即可求出y關于t的函數解析式；（2）求出（1）中函數的最大值，與比較，即可解決問題．【詳解】解∶任務一：將、代入得解得∴y關于t的函數解析式為

任務二：不會∴當時，汽車停下，行駛了，∵∴該車在不變道的情況下不會撞到障礙物．27．（2024·河南平頂山·二模）圖是某廣場中的一個景觀噴泉，水從噴頭噴出后呈拋物線形狀先向上至最高點后落下．將中間立柱近似看作一條線，以其為軸建立如圖所示直角坐標系，已知中間立柱頂端到水面的距離為，噴水頭恰好是立柱的中點，若水柱上升到最高點時，到水面的距離為，到中間立柱的距離為．(1)求圖中第一象限內拋物線的函數表達式．(2)為了使水落下后全部進入水池中，請判斷圓形水池的直徑不能小于多少米？【答案】(1)(2)【分析】（）求出點的坐標，利用頂點式假設出拋物線的解析式，再把點坐標代入計算即可求解；（）利用（）中所得的二次函數解析式求出點坐標，得出的長，根據即可求解；本題考查了二次函數的應用，利用待定系數法求出拋物線的解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可知，，∴點的坐標為，由題意可得頂點的坐標為，設該拋物線的函數表達式為，把代入得，，解得，∴拋物線的函數表達式為，即；（2）解：∵，∴當時，有，解得，（不合，舍去），∴點坐標為，∴，此時有答：圓形水池的直徑不能小于．28．（2024·河南洛陽·一模）“急行跳遠”是田徑運動項目之一．運動員起跳后的騰空路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到落入沙坑的過程中，運動員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系某運動員進行了兩次訓練．(1)第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離02

3

4豎直高度0

根據上述數據，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數關系；(2)第二次訓練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數關系記該運動員第一次訓練落入沙坑點的水平距離為，第二次訓練落入沙坑點的水平距離為，請比較，的大小．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次函數的應用．用到的知識點為：拋物線上有兩點，則拋物線的對稱軸為：直線．（1）根據題意得拋物線的頂點坐標為，那么該運動員豎直高度的最大值為，把頂點坐標連同代入所給的函數解析式，求得的值后即可求得相應的函數解析式；（2）落入沙坑，則豎直高度為0，分別代入（1）中得到的函數解析式和（2）中所給的函數解析式，求得后取正值即為和的長度，比較的大小即可．【詳解】（1）解：由題意得，拋物線的頂點坐標為：．∴該運動員豎直高度的最大值為米．設函數關系式為：．∵經過點，∴，解得：．∴函數解析式為：．（2）取．第一次訓練時，．解得：(不合題意，舍去)，．∴．第二次訓練時，．解得：(不合題意，舍去)，．，，．29．（2024·河南南陽·一模）【發現問題】北京時間2023年10月7日晚，杭州第19屆亞運會女子排球比賽落幕，中國女排在決賽中以擊敗日本隊，以全勝戰績成功衛冕，斬獲隊史亞運第9冠，愛思考的小芳在觀看比賽時發現一個有趣的現象：排球被墊起后，沿弧線運動，運動軌跡類似拋物線的一部分，于是她和同學小宛一起進行實驗探究，【提出問題】排球運動過程中距地面的豎直高度與距墊球點的水平距離近似滿足怎樣的函數關系？【分析問題】經實地測量可知，排球場地長為，球網在場地中央且高度為，建立如圖所示的平面直角坐標系．測得小宛第一次發球時排球運動過程中的豎直高度y與水平距離x的幾組數據如下表，并在平面直角坐標系中，描出了各組數值的對應點．水平距離024681112豎直高度2.002.442.712.802.712.242.00【解決問題】(1)①請在上圖坐標系中畫出表示排球運行的軌跡；②根據表格數據和所畫軌跡形狀，求排球運動過程中的豎直高度y與水平距離x近似滿足的函數關系式；③通過計算，判斷小宛這次發球能否過網，并說明理由；(2)小宛第二次發球時，如果只上下調整擊球高度OA，球運行軌跡形狀不變，那么為了確保排球既要過網，又不出界（排球壓線屬于沒出界），求擊球高度OA的取值范圍．【答案】(1)①見詳解；②；③這次發球能過網，理由見詳解；(2)．【分析】（1）①根據圖中描的點進行連線即可．②根據題意，設y與x的函數關系式為，將代入計算即可．③將代入拋物線解析式，求得y值與2.24比較即可．（2）設擊球高度，則平移距離為，可得平移后的拋物線的解析式為，再根據，則，，則進行求解即可．【詳解】（1）解：（1）①軌跡如圖；②根據題意，設y與x的函數關系式為，將代入關系式，得，解得，經檢驗其它數據也滿足上述關系，．③當時，，∴這次發球能過網．（2）當時，拋物線的解析式為，設擊球高度，則平移距離為，平移后的拋物線的解析式為，，當時，，，當時，，，答：擊球高度OA的取值范圍是．【點睛】本題考查拋物線的應用，熟練掌握用待定系數法求拋物線解析式，拋物線的圖像性質是解題的關鍵．30．（2024·河南周口·一模）已知拋物線的頂點為點P，與x軸分別