長春市2025屆高三質量監測（二）數學本試卷共4頁．考試結束后，將答題卡交回．注意事項：1．答卷前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼．2．答題時請按要求用筆．3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效：在原稿紙、試卷上答題無效．4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀．一、選擇題：本題共8小題，每小要5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的解法化簡集合，再求交集.【詳解】因為，所以.故選：D2.復數的共軛復數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據復數的除法運算結合共軛復數的概念可得結果.【詳解】由題意得，，∴.故選：B.3.已知函數為奇函數，則的值是（）A.3 B.1或3 C.2 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根據奇函數在原點處有意義則求出的值，再將的值代回原函數檢驗即可得解.【詳解】因為為奇函數，所以，解得或.當時，，，故不合題意，舍去；當時，，，故符合題意.故選：C.4.已知為正項等比數列，若是函數的兩個零點，則（）A.10 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由零點的定義、韋達定理以及對數運算可得的值，根據等比數列的性質，可得答案.【詳解】由題意可得為方程的兩個解，則，解得，易知.故選：B.5.過雙曲線的左焦點作一條漸近線的垂線，垂足為H，線段的中點在另外一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由題意作圖，根據中位線性質以及垂直直線的斜率關系，結合離心率公式，可得答案.【詳解】設雙曲線方程為（），則，由題意，記的中點為，如下圖：由，則，所以兩條漸近線相互垂直，可得，則，即，所以.故選：A.6.已知等差數列的前n項和為，若，則的值為（）A.0 B.3 C.6 D.12【答案】A【解析】【分析】利用等差數列的片段和性質即可得解.【詳解】因為是等差數列，所以成等差數列，又，所以成等差數列，則，則.故選：A.7.在中，，點E在上，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算將用與表示出來，再利用向量共線定理的推理即可得解.【詳解】因為，所以，則，因為三點共線，所以，解得.故選：C8.如圖，過圓錐的軸的截面邊長為4的正三角形，過的中點作平行于底面的截面，以截面為底面挖去一個圓柱，則余下幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，作出組合體的軸截面，求出圓柱的底面圓半徑和高，計算表面積作答.【詳解】作出圓錐PO軸截面，此截面截挖去的圓柱得圓柱的軸截面矩形，如圖，矩形是等腰內接矩形，圓柱底面圓直徑在圓錐底面圓直徑上，依題意，截面是邊長為4的正三角形，所以，因為是PO中點，則，，圓錐母線，圓柱的側面積，圓錐PO的表面積，剩余幾何體的表面中，圓錐底面圓挖去以CF為直徑的圓（圓柱下底面圓），而挖去圓柱后，圓柱上底面圓（以DE為直徑的圓）成了表面的一部分，它與圓柱下底面圓全等，所以剩余幾何體的表面積是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.為籌備亞洲冬季運動會短道速滑男子500米預選賽，運動員甲和乙的5次訓練成績（單位：秒）記錄如下：甲：乙：對訓練成績的統計，下列結論中正確的有（）A.甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數 B.甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差 D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差【答案】ABD【解析】【分析】結合甲乙的成績，逐一判斷每一個選項即可.【詳解】對于A，甲成績的平均數為，乙成績的平均數為，故甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數，故A正確；對于B，甲成績的中位數為，乙成績的中位數為，故B正確；對于C，甲成績比乙成績更加集中，故甲成績的方差小于乙成績的方差，故C錯誤；對于D，甲成績的極差為，乙成績的極差為，故D正確.故選：ABD.10.函數的最小正周期為，則（）A.的值為2B.是函數圖象的一條對稱軸C.函數在單調遞減D.當時，方程存在兩個根，則【答案】AD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數的解析式，根據最小正周期為可得選項A正確；根據可得選項B錯誤；令，分析函數的單調性可得選項C錯誤；把問題轉化為直線與函數圖象交點個數問題可得選項D正確.【詳解】A.由題意得，，由得，，A正確；B.由A得，，故，∴不是函數圖象的一條對稱軸，B錯誤；C.令，當時，，根據函數在上不是單調遞減函數，可得C錯誤.D.令，由得，，由得，，問題轉化為直線與函數的圖象在區間上有兩個交點，結合圖象可得，故，即，D正確.故選：AD.11.若數列滿足，則下列說法正確的是（）A.存在數列，使得對任意正整數．都滿足B.存在數列，使得對任意正整數，都滿足C.存在數列，使得對任意正整數，都滿足D.存在數列，使得對任意正整數，都滿足【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，找到合適的數列滿足遞推關系或舉反例否定，即可得到答案.【詳解】對于A，令，且，則有，，所以，故A正確；對于B，由，得，令，則時，，，，，，所以，所以，故B正確；對于C，由，令，得，所以，，，令，得，所以，，則，所以，所以，與矛盾，故C錯誤；對于D，令，則，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中，的系數為_______．【答案】【解析】【分析】先將其看作關于與的二項式展開，再對進行展開，最后找出的系數.【詳解】把變形為，可得：

要得到，則的展開式中的次數與的次數之和為，即，解得.

當時，.再根據二項式定理展開，要得到，則，此時該項系數為.因為中展開式中的系數為，所以展開式中的系數為.

故答案為:.13.正整數滿足，則的最大值為_______．【答案】##【解析】【分析】當取最小的正整數時，所求最大.【詳解】，要使其最大，則都最小即可，因為，且為正整數，故取，此時，故答案為：14.已知P為拋物線上一點，過點P作傾斜角互補的兩條直線，分別與拋物線交于兩點，若直線的斜率為，則點P的坐標為_______．【答案】【解析】【分析】由題意設出直線的方程，聯立直線與拋物線方程，寫出韋達定理，設出動點的坐標，表示出直線的斜率，由題意建立方程，可得答案.【詳解】由題意設直線的方程為，聯立，消去，可得，由，設，，則，，設，則直線斜率，直線的斜率，由題意可得，化簡可得，則，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.在中，分別為角所對的邊，且，角A的平分線交于D，且．（1）求角A；（2）若，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理與和角公式化邊為角，求得，即得角A；（2）利用三角形角平分線定理求出，再根據面積相等列方程，求解即得的長.【小問1詳解】由和正弦定理，可得，因，則，即，因為，則得，因，則．【小問2詳解】如圖，因是平分線，則，解得，又，則，即，解得.16.已知函數．（1）斜率為的直線與的圖象相切，且與軸交點的橫坐標為，求的值；（2）若是上的單調函數，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設切點橫坐標為，通過求導表示切線方程，根據切線斜率為及過點可得的關系式，由此可得結果.（2）根據函數單調性分離參數，結合恒成立問題的解題方法可求的取值范圍.【小問1詳解】函數定義域為.∵，∴，設切點橫坐標為，則，，∴，切線方程為，∵切線與軸交點的橫坐標為，∴，∴，即，∵函數在上為增函數，∴在上為增函數，∵，∴，代入得，.【小問2詳解】由（1）得，，當是上的單調遞增函數時，在上恒成立，∴，令，則，函數對稱軸為直線，在上單調遞增，∴，∴.當是上的單調遞減函數時，在上恒成立，∴，由得.綜上得，或．17.多面體中，四邊形為梯形，，，且四邊形為矩形．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理可證，由題意可得，進而可證線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，分別求出面與平面的法向量，利用空間向量求空間角即可.【小問1詳解】因為，，所以，，，又因為，所以，在中，由余弦定理得，所以，因為，所以，又因為四邊形為矩形，所以，因為，所以平面，因為，所以平面.【小問2詳解】取中點中點N，以M為原點，以方向為x軸，以方向為y軸，以方向為z軸，建立如圖所示的坐標系又，則所以，則，．假設平面的一個法向量為，則，令，則，所以，假設平面的一個法向量為，則，令則，所以假設平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．18.如圖，矩形中，分別是矩形四條邊的中點，設，其中，直線和的交點在橢圓上．（1）求橢圓的方程；（2）設，過點的動直線與橢圓交于兩點，直線分別交圓于兩點，設直線的斜率分別為．①求證：為定值；②直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由．【答案】（1）（2）①證明見解析；②，【解析】【分析】（1）根據題意，利用點的坐標表示出直線和的方程，聯立方程即可得到點滿足的方程，即橢圓的方程；（2）①設直線的方程為：，，，與橢圓的方程聯立，結合韋達定理，表示出，化簡即可得證；②設直線的方程為：，，，聯立直線與圓的方程，結合韋達定理，利用，即可求得的值，即可求出結果.【小問1詳解】由題可知，直線的方程為：，可化為，直線的方程為：，可化為，則兩式聯立得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】①設直線的方程為：，，，與橢圓的方程：聯立消去可得：，則，，所以，代入，可得.②設直線的方程為：，，，聯立直線與圓的方程，消去可得，則，所以，代入，可得．綜上，直線恒過定點．19.某企業舉辦企業年會，并在年會中設計了抽獎環節和游戲環節．（1）抽獎環節：該企業每位員工在年會上都會得到相應的獎金X（單位：千元），其獎金的平均值為，標準差為．經分析，X近似服從正態分布，用獎金的平均值作為的近似值，用獎金的標準差s作為的近似值，現任意抽取一位員工，求他所獲得獎金在的概率；（2）游戲環節：從員工中隨機抽取40名參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規則如下：參與者擲一枚骰子，初始分數為0，每次所得點數大于4，得2分，否則，得1分．連續投擲累計得分達到9或10時，游戲結束．①設員工在游戲過程中累計得n分的概率為，求；②得9分的員工，獲得二等獎，獎金1000元，得10分的員工，獲得一等獎，獎金2000元，估計該企業作為游戲獎勵的預算資金（精確到1元）．（參考數據：，．【答案】（1）（2）①；②50001元【解