第19頁（共19頁）2025年中考數學三輪復習之一元二次方程一．選擇題（共10小題）1．（2025?新鄉模擬）關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．只有一個實數根2．（2025?肇州縣模擬）新年將至，某商場對一款智能音箱進行降價促銷，其零售價由最初的100元經過兩次降價后變為81元，且兩次降價的百分率相同，設平均每次降價的百分率為x，可列方程為（）A．100（1﹣x2）＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝813．（2025?官渡區校級模擬）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是133，求每個支干長出多少小分支？設每個支干長出x個小分支，則下面所列方程正確的是（）A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝1334．（2025?柳州一模）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的值可以是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．35．（2025?方山縣一模）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數據：2≈1.414A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%6．（2025?西青區校級一模）設方程2x2+4x+6＝0的兩實數根為x1x2，則x1+x2+x1x2的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．57．（2025?長安區一模）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的兩根互為相反數，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣68．（2025?紅花崗區校級一模）商場某種商品平均每天可售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場銷售該商品日盈利要達到2100元，則每件商品應降價多少元？設每件商品降價x元，依題意可列方程（）A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝21009．（2025?石家莊一模）下列關于x的一元二次方程中，一定有兩個不相等的實數根的是（）A．x2+mx＝0 B．x2﹣mx＝0 C．x2+mx+3＝0 D．x2+mx﹣3＝010．（2025?廣東模擬）若等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則等腰三角形的周長為（）A．9 B．10 C．12 D．9或12二．填空題（共5小題）11．（2025?泗陽縣一模）對于實數a，b定義新運算：a※b＝ab2﹣b，若關于x的方程k※x＝1有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是．12．（2025?秦淮區校級模擬）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的兩個根，則1m+1n的值是13．（2025?合肥一模）已知方程x2﹣4x+k＝0的一個根為5，則方程的另一個根為．14．（2025?西青區校級一模）某廠2021年生產A產品成本是5000元，隨著技術研發進步，2023年生產A產品成本是3000元．設這兩年A產品成本年平均下降率為x，可列方程為．15．（2025?常州模擬）若關于x的方程x2+2x+c＝0有兩個相等的實數根，則c的值為．三．解答題（共5小題）16．（2025?秦淮區校級模擬）某商店銷售一批商品，每件該商品的成本為100元，若按每件140元的售價銷售，則每周可賣100件．經市場調查發現，在不虧本的前提下，每件該商品的售價每降低1元，每周便能多賣10件．要使每周總利潤為6000元，且盡可能給顧客優惠，則該商店應將每件該商品降價多少元？（列方程解決問題）17．（2025?九龍坡區校級模擬）我校為了讓學生體驗化學實驗的樂趣，決定從市場購買氯化鈉溶液和硫酸銅溶液供實驗使用．已知每瓶硫酸銅溶液的售價比氯化鈉溶液的售價多2.5元，花100元用于購買的氯化鈉溶液比花400元購買硫酸銅溶液少40瓶．（1）求每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價分別為多少元？（2）為了加大培養學生對化學的興趣，學校決定再次購買這兩種溶液，調查發現每瓶硫酸銅溶液的成本是a元，每瓶氯化鈉溶液的成本是0.5a元，已知第二次購買硫酸銅的數量比第一次購買的數量少5a瓶，購買的氯化鈉溶液的數量是第一次的2倍，商家獲利330元，求a的值．18．（2025?長沙模擬）技術創新引領發展，隨著電池技術和智駕技術的進步，在長沙建廠的某品牌新能源車企實現了產銷逆勢增長．據不完全統計，該車企2024年8月份新能源汽車的銷量約為40萬輛，同年10月份的銷量達到約50萬輛．（1）求該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率；（參考數據：5≈2.24（2）該車企2024年11月份新能源汽車銷量比10月份增加約1.4%，同年12月份新能源車銷量比10月份增加約3%，求該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為多少萬輛？19．（2025?西青區校級一模）已知關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍；（2）若方程兩實數根為x1，x2，且滿足3x1+3x2﹣2x1?x2＝5，求實數m的值．20．（2025?常州模擬）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．

2025年中考數學三輪復習之一元二次方程參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ABCACABDDC一．選擇題（共10小題）1．（2025?新鄉模擬）關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．沒有實數根 D．只有一個實數根【考點】根的判別式．【答案】A【分析】計算一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判別式Δ＝b2﹣4ac，當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根．【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：A．【點評】此題考查了根據一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，解題的關鍵是掌握一元二次方程的判別式．2．（2025?肇州縣模擬）新年將至，某商場對一款智能音箱進行降價促銷，其零售價由最初的100元經過兩次降價后變為81元，且兩次降價的百分率相同，設平均每次降價的百分率為x，可列方程為（）A．100（1﹣x2）＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．81（1+x）2＝100 D．100（1﹣2x）＝81【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】B【分析】利用經過兩次降價后的價格＝原價×（1﹣平均每次降價的百分率）2，即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據題意得：100（1﹣x）2＝81．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．3．（2025?官渡區校級模擬）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是133，求每個支干長出多少小分支？設每個支干長出x個小分支，則下面所列方程正確的是（）A．（1+x）2＝133 B．1+x2＝133 C．1+x+x2＝133 D．1+2x＝133【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】C【分析】根據“每個支干又長出同樣數目的小分支”可知：支干的數量為x個，小分支的數量為x?x＝x2個，然后根據主干、支干和小分支的總數是133就可以列出方程．【解答】解：依題意得支干的數量為x個，小分支的數量為x?x＝x2個，那么根據題意可列出方程為：1+x+x2＝133．故選：C．【點評】本題考查從實際問題抽象出一元二次方程，找出等量關系是解答本題的關鍵．4．（2025?柳州一模）若關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，則k的值可以是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考點】根的判別式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】根據方程的系數結合根的判別式Δ＞0，可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍，對照四個選項即可得出結論．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1，故A正確．故選：A．【點評】本題主要考查了根的判別式，解題的關鍵是牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根”．5．（2025?方山縣一模）俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數據：2≈1.414A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%【考點】一元二次方程的應用．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】C【分析】設每天“遺忘”的百分比為x，根據兩天不練丟一半列方程解答即可．【解答】解：設每天“遺忘”的百分比為x，（1﹣x）2=解得x1=2-22，∵2-22∴每天“遺忘”的百分比約為29.3%．故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵根據題意正確確定等量關系．6．（2025?西青區校級一模）設方程2x2+4x+6＝0的兩實數根為x1x2，則x1+x2+x1x2的值為（）A．1 B．2 C．﹣1 D．5【考點】根與系數的關系．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】A【分析】根據根與系數的關系可得出x1+x2＝﹣2、x1x2＝3，將其代入x1+x2+x1x2中即可求出結論．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2+4x+6＝0的兩實數根，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，∴x1+x2+x1x2＝﹣2+3＝1．故選：A．【點評】本題考查了根與系數的關系，牢記兩根之和等于-ba兩根之積等于7．（2025?長安區一模）已知關于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的兩根互為相反數，則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．6 D．﹣6【考點】根與系數的關系．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】B【分析】利用一元二次方程根與系數的關系即可解決問題．【解答】解：由題知，關于x的一元二次方程x2+（2﹣k）x﹣1＝0的兩根之和為k﹣2，因為此方程的兩根互為相反數，所以k﹣2＝0，解得k＝2．故選：B．【點評】本題主要考查了根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．8．（2025?紅花崗區校級一模）商場某種商品平均每天可售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件．若商場銷售該商品日盈利要達到2100元，則每件商品應降價多少元？設每件商品降價x元，依題意可列方程（）A．（50+x）（50﹣2x）＝2100 B．（50+x）（30+2x）＝2100 C．（50﹣x）（30﹣2x）＝2100 D．（50﹣x）（30+2x）＝2100【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【答案】D【分析】設每件商品降價x元，則每件的銷售利潤為（50﹣x）元，平均每天的銷售量為（30+2x）件，利用銷售該商品獲得的利潤＝每件的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程．【解答】解：設每件商品降價x元，則每件的銷售利潤為（50﹣x）元，平均每天的銷售量為（30+2x）件，依題意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．（2025?石家莊一模）下列關于x的一元二次方程中，一定有兩個不相等的實數根的是（）A．x2+mx＝0 B．x2﹣mx＝0 C．x2+mx+3＝0 D．x2+mx﹣3＝0【考點】根的判別式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】D【分析】若方程有兩個不相等的實數根，則需Δ＝b2﹣4ac＞0，據此逐項判斷即可．【解答】解：A、∵Δ＝m2，∴當Δ＝m2＝0時，方程有兩個相等的實數根，本選項不符合題意；B、∵Δ＝m2，∴當Δ＝m2＝0時，方程有兩個相等的實數根，本選項不符合題意；C、∵Δ＝m2﹣12，∴當Δ＝m2﹣12＜0時，方程沒有實數根，故本選項不符合題意；D、∵Δ＝m2+12＞0，∴方程一定有兩個不相等的實數根，本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．10．（2025?廣東模擬）若等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則等腰三角形的周長為（）A．9 B．10 C．12 D．9或12【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質；一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】C【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝2，再利用三角形三邊的關系確定等腰三角形的三邊分別為5、5、2，然后計算它的周長．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝5，x2＝2，因為2+2＝4＜5，所以等腰三角形的三邊分別為5、5、2，所以等腰三角形的周長為5+5+2＝12．故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關系．二．填空題（共5小題）11．（2025?泗陽縣一模）對于實數a，b定義新運算：a※b＝ab2﹣b，若關于x的方程k※x＝1有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是k＞-14且k≠0【考點】根的判別式；實數的運算．【專題】一元二次方程及應用；運算能力；推理能力．【答案】k＞-14且k≠【分析】根據新定義把已知化為一元二次方程，再由Δ＞0，k≠0可得答案．【解答】解：∵k※x＝1，∴kx2﹣x＝1，即kx2﹣x﹣1＝0，∵關于x的方程k※x＝1有兩個不相等的實數根，∴1﹣4k×（﹣1）＞0且k≠0，解得k＞-14且k≠故答案為：k＞-14且k≠【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，涉及新定義，解題的關鍵是掌握Δ＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根．12．（2025?秦淮區校級模擬）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的兩個根，則1m+1n的值是【考點】根與系數的關系．【專題】一次方程（組）及應用；應用意識．【答案】32【分析】利用根與系數的關系得m+n＝﹣3，mn＝﹣2，然后把所給代數式通分后代入求解即可．【解答】解：由根與系數的關系得，m+n＝﹣3，mn＝﹣2，∴1m故答案為：32【點評】此題考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是熟記：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1?x13．（2025?合肥一模）已知方程x2﹣4x+k＝0的一個根為5，則方程的另一個根為﹣1．【考點】根與系數的關系；一元二次方程的解．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】﹣1．【分析】利用一元二次方程根與系數的關系即可解決問題．【解答】解：由題知，方程x2﹣4x+k＝0的兩根之和為4，因為此方程的一個根為5，所以方程的另一個根為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查了根與系數的關系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．14．（2025?西青區校級一模）某廠2021年生產A產品成本是5000元，隨著技術研發進步，2023年生產A產品成本是3000元．設這兩年A產品成本年平均下降率為x，可列方程為5000（1﹣x）2＝3000．【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【專題】一元二次方程及應用；應用意識．【答案】5000（1﹣x）2＝3000．【分析】設生產A產品成本的年平均下降率為x，則2022年生成A產品的成本為5000（1﹣x）元，2023年在5000（1﹣x）元的基礎之又下降x，變為5000（1﹣x）（1﹣x）即5000（1﹣x）2元，進而可列出方程．【解答】解：設生產A產品成本的年平均下降率為x，則2023年生產A產品的成本為5000（1﹣x）2萬元，根據題意得，5000（1﹣x）2＝3000．故答案為：5000（1﹣x）2＝3000．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列出方程．15．（2025?常州模擬）若關于x的方程x2+2x+c＝0有兩個相等的實數根，則c的值為1．【考點】根的判別式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】1．【分析】方程x2+2x+c＝0有兩個相等的實數根，可知Δ＝22﹣4c＝0，然后即可計算出c的值．【解答】解：∵方程x2+2x+c＝0有兩個相等的實數根，∴Δ＝22﹣4c＝0，解得c＝1，故答案為：1．【點評】本題考查根的判別式，解答本題的關鍵是明確一元二次方程有兩個相等的實數根時，Δ＝0．三．解答題（共5小題）16．（2025?秦淮區校級模擬）某商店銷售一批商品，每件該商品的成本為100元，若按每件140元的售價銷售，則每周可賣100件．經市場調查發現，在不虧本的前提下，每件該商品的售價每降低1元，每周便能多賣10件．要使每周總利潤為6000元，且盡可能給顧客優惠，則該商店應將每件該商品降價多少元？（列方程解決問題）【考點】一元二次方程的應用．【專題】一元二次方程及應用；運算能力；應用意識．【答案】該商店應將每件該商品降價20元．【分析】設該商店應將每件該商品降價x元，根據要使每周總利潤為6000元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：設該商店應將每件該商品降價x元，根據題意得：（140﹣100﹣x）（100+10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝20，x2＝10（不符合題意，舍去），答：該商店應將每件該商品降價20元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．17．（2025?九龍坡區校級模擬）我校為了讓學生體驗化學實驗的樂趣，決定從市場購買氯化鈉溶液和硫酸銅溶液供實驗使用．已知每瓶硫酸銅溶液的售價比氯化鈉溶液的售價多2.5元，花100元用于購買的氯化鈉溶液比花400元購買硫酸銅溶液少40瓶．（1）求每瓶氯化鈉溶液與硫酸銅溶液的售價分別為多少元？（2）為了加大培養學生對化學的興趣，學校決定再次購買這兩種溶液，調查發現每瓶硫酸銅溶液的成本是a元，每瓶氯化鈉溶液的成本是0.5a元，已知第二次購買硫酸銅的數量比第一次購買的數量少5a瓶，購買的氯化鈉溶液的數量是第一次的2倍，商家獲利330元，求a的值．【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用．【專題】分式方程及應用；一元二次方程及應用；運算能力；應用意識．【答案】（1）每瓶氯化鈉溶液的售價為2.5元，每瓶硫酸銅溶液的售價為5元；（2）a＝2．【分析】（1）設每瓶氯化鈉溶液的售價為x元，每瓶硫酸銅溶液的售價為y元，根據花100元用于購買的氯化鈉溶液比花400元購買硫酸銅溶液少40瓶，列出分式方程，解方程即可；（2）利用總利潤＝每瓶的銷售利潤×銷售數量，可列出關于a的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可．【解答】解：（1）設每瓶氯化鈉溶液的售價為x元，則每瓶硫酸銅溶液的售價為（x+2.5）元，根據題意得：100x=解得：x＝2.5，經檢驗，x＝2.5是原方程的解，且符合題意，∴x+2.5＝5，答：每瓶氯化鈉溶液的售價為2.5元，每瓶硫酸銅溶液的售價為5元；（2）根據題意得：（2.5﹣0.5a）×40×2+（5﹣a）×（80﹣5a）＝330，整理得：a2﹣29a+54＝0，解得：a1＝2，a2＝27（不符合題意，舍去）．答：a的值為2．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．18．（2025?長沙模擬）技術創新引領發展，隨著電池技術和智駕技術的進步，在長沙建廠的某品牌新能源車企實現了產銷逆勢增長．據不完全統計，該車企2024年8月份新能源汽車的銷量約為40萬輛，同年10月份的銷量達到約50萬輛．（1）求該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率；（參考數據：5≈2.24（2）該車企2024年11月份新能源汽車銷量比10月份增加約1.4%，同年12月份新能源車銷量比10月份增加約3%，求該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為多少萬輛？【考點】一元二次方程的應用；有理數的混合運算．【專題】實數；一元二次方程及應用；運算能力；應用意識．【答案】（1）該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率約為12%；（2）該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為152.2萬輛．【分析】（1）設該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率為x，根據該車企2024年8月份新能源汽車的銷量約為40萬輛，同年10月份的銷量達到約50萬輛，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；（2）根據該車企2024年11月份新能源汽車銷量比10月份增加約1.4%，同年12月份新能源車銷量比10月份增加約3%，列式計算即可．【解答】解：（1）設該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率為x，由題意得：40（1+x）2＝50，解得：x1≈0.12＝12%，x2≈﹣2.12（不符合題意，舍去）；答：該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率約為12%；（2）50+50×（1+1.4%）+50×（1+3%）＝50+50.7+51.5＝152.2（萬輛），答：該車企2024年第四季度新能源車的總銷售量約為152.2萬輛．【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及有理數的混合運算，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．19．（2025?西青區校級一模）已知關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍；（2）若方程兩實數根為x1，x2，且滿足3x1+3x2﹣2x1?x2＝5，求實數m的值．【考點】根與系數的關系；根的判別式．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】（1）m＜（2）m＝2．【分析】（1）直接根據判別式直接進行求解即可；（2）利用根與系數的關系代入數式即可求解．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＞0，∴9﹣4m＞0，∴m＜（2）由根與系數的關系：x1+x2＝3，x1?x2＝m，∴3x1+3x2﹣2x1?x2＝9﹣2m＝5，∴m＝2．【點評】本題考查一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x20．（2025?常州模擬）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．【考點】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【專題】一元二次方程及應用；運算能力．【答案】（1）x1（2）x1【分析】（1）利用配方法對所給一元二次方程進行求解即可．（2）利用因式分解法對所給一元二次方程進行求解即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，則x﹣2=±所以x1（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2，（x﹣2）2﹣（2x+3）2＝0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）＝0，（3x+1）（﹣x﹣5）＝0，則3x+1＝0或﹣x﹣5＝0，所以x1【點評】本題主要考查了解一元二次方程﹣配方法及解一元二次方程﹣因式分解法，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步驟是解題的關鍵．

考點卡片1．有理數的混合運算（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【規律方法】有理數混合運算的四種運算技巧1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然后進行計算．4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．2．實數的運算（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．【規律方法】實數運算的“三個關鍵”1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．4．解一元二次方程-配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．5．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．6．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當△＜0時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．7．根與系數的關系（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根與系數的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一