必修四平面向量知識點梳理知識網絡平面向量加法、減法數乘向量坐標表示兩向量數量積零向量、單位向量、共線向量、相等向量向量平行的充要條件平面向量基本定理兩向量的夾角公式向量垂直的充要條件兩點的距離公式向量的概念解決圖形的平行和比例問題解決圖形的垂直和角度,長度問題向量的初步應用2020/12/242向量定義：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：長度為0的向量，記作0.（2）單位向量：長度為1個單位長度的向量.（3）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：長度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念2020/12/243幾何表示

:有向線段向量的表示字母表示坐標表示:(x，y)若A(x1,y1),B(x2,y2)則AB=

(x2－x1,y2－y1)一、平面向量概念2020/12/244向量的模（長度）1.設a=(x

,y),則2.若表示向量a的起點和終點的坐標分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)，則一、平面向量概念2020/12/2451.向量的加法運算ABC

AB+BC=三角形法則OABC

OA+OB=平行四邊形法則坐標運算:則a+b=重要結論：AB+BC+CA=0設a=(x1,y1),b=(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)ACOC一、平面向量概念2020/12/2462.向量的減法運算1）減法法則：OAB2）坐標運算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2)則a－b=

3.加法減法運算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：2）結合律：BA(x1－x2,y1－y2)OA－OB=一、平面向量概念2020/12/247練習2020/12/248120oADBCO`2020/12/249120oADBCO`return2020/12/24104.實數λ與向量a的積定義：坐標運算：其實質就是向量的伸長或縮短！λa是一個向量.它的長度|λa|=|λ||a|；它的方向若a=(x

,y),則λa=

λ(x

,y)=

(λx

,λy)(2)當λ＜0時,λa的方向與a方向相反.(1)當λ≥0時,λa的方向與a方向相同；一、平面向量概念2020/12/2411則存在唯一實數

，使得結論:

設表示與非零向量同向的單位向量.定理1:兩個非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念2020/12/2412向量垂直充要條件的兩種形式:二、平面向量之間關系向量平行(共線)充要條件的兩種形式:2020/12/2413（3）兩個向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相等.

即:

那么

三、平面向量的基本定理如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使2020/12/24141、平面向量數量積的定義：2、數量積的幾何意義：OABθB1(四)數量積4、運算律:3、數量積的坐標運算2020/12/24155、數量積的主要性質及其坐標表示：2020/12/2416①②OBA綜上所述：原命題成立2020/12/2417CNDBMOA解:2020/12/2418CNDBMOA2020/12/2419例3、已知a=(3,-2)

，b=(-2,1)，

c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b2020/12/2420OABP另解:可以試著將2020/12/2421

說明：(1)

本題是個重要題型：設O為平面上任一點，則：

A、P、B三點共線

或令

=1

t，

=t，則

A、P、B三點共線

(其中

+

=1)

(2)

當t=時，常稱為△OAB的中線公式(向量式)．2020/12/2422例5.設AB=2(a+5b)，BC=

2a+8b，CD=3(a

b)，求證：A、B、D三點共線。分析要證A、B、D三點共線，可證AB=λBD關鍵是找到λ解：∵BD=BC+CD=

2a+8b+3(a

b)=a+5b∴AB=2BD∴

A、B、D三點共線AB∥BD且AB與BD有公共點B2020/12/2423例6.設非零向量不共線，若試求k.

解：∵∴由向量共線的充要條件得：即又∵不共線∴由平面向量的基本定理2020/12/24242020/12/2425解：設頂點D的坐標為（x，y）

例8．已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標．2020/12/2426例9.已知A(－2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標P，Q的坐標.解：(1)求中點M的坐標，由中點公式可知M(－，2)(2)因為

=(1，3)－(－2，1)=(3，2)2020/12/24272020/12/2428例10.設A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)滿足(1)λ為何值時,點P在直線y=x上?(2)設點P在第三象限,求λ的范圍.解:(1)設P(x,y)，則

(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),

所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.2020/12/2429

例11（1）已知=（4，3），向量是垂直于的單位向量，求.2020/12/24302020/12/2431例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC2020/12/2432（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共線∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)2020/12/2433（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|=+=BD·DC=+=∴AD=BD·DC22例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BD·DC2020/12/2434例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為（）

A. B. C. D.

解析設a和b的夾角為θ，|a|cosθ=

C2020/12/2435解：2020/12/2436解：∵∴同理可得

∴θ=120°2020/12/2437[解][答案]C2020/12/2438ABC2020/12/2439ABCP2020/12/24402020/12/2441[解析]2020/12/24422020/12/24432020/12/24442020/12/24452020/12/24462020/12/2447【例23】已知向量a=(cosx,sinx),

b=(cos,-sin)，且x∈[].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.2020/12/2448解＞0∴|a+b|=2cosx.2020/12/2449(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[]，∴≤cosx≤1，∴當cosx=時，f(x)取得最小值為-；當cosx=1時，f(x)取得最大值為-1.2020/12/24502020/12/24512020/12/24522020/12/2453反饋練習：1.判斷下列命題是否正確：（1）（3）（5）若，則