高考數學一.三角函數主干有三大考點：具體包括：（1）三角函數的圖像及其性質（2）三角函數的恒等變換（3）解斜三角形[問題1]：已知函數，其圖象過點（,）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將函數的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數的圖象，求函數在[0,]上的最大值和最小值【解析】：（Ⅰ）因為已知函數圖象過點（,），所以有，即有=，所以，解得。（Ⅱ），所以==，所以=，因為x[0,]，所以，所以當時，取最大值；當時，取最小值。分析：此題注重基礎，強調通法，不偏不怪。選擇對基礎知識、基本技能的考查，循序漸進，層次清晰，當屬優秀試題之典范，本題把三角函數在圖像、性質和三角恒等變換有機結合；考查了三角函數的誘導公式及二倍角等基本公式的靈活應用、圖象變換以及三角函數的最值問題。體現了新課程不但重視“知識與技能”，而且重視“過程與方法”，考生分析問題與解決問題的能力在解題中得到了檢驗。解題指導：這一類型題利用固有的三角公式先化簡，再結合正弦，余弦，切函數圖像，求性質，出現函數圖像的變換，同學們要知道三角函數圖像變換的類型。[問題2]：如圖，正在海上A處執行任務的漁政船甲和在B處執行任務的漁政船乙，同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處，兩艘漁政船協調后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執行任務，漁政船甲航行30km到達D處時，收到新的指令另有重要任務必須執行，于是立即通知在B處執行任務的漁政船乙前去救援漁船丙（漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙），此時B、D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少距離才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救．【解析】：設，在△ABD中，AD=30，BD=42，，由正弦定理得：，，又∵AD<BD∴，，在△BDC中，由余弦定理得：∴答：漁船乙要航行才能到達漁船丙所在位置C處實施營救．分析：此題是解斜三角形的知識在實際問題中的應用，理清方向角，方位角，俯角，仰角等角的數學定義，結合所給的邊角元素恰當的利用正、余弦定理對其未知的邊角進行分析和運算，對以輪船的行駛、飛機的航行等為實際背景問題，我們同學讀懂題意，結合解斜三角形的知識，正確的解之，體現了新課程重視運用數學知識解決實際問題的能力和數學來源于生活的思想。解題指導：解斜三角形主要是正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式等基本知識的運用.建立方程的思想，利用已知的邊角元素尋求未知量，對于含有邊角的等式注意轉化的方法：邊化角或角化邊（邊角統一），還要注意與兩向量的特殊位置的交匯.二．數列1注意等差數列和等比數列基本公式的運用；2.注意數列求和的幾種方法，不必復雜化；3.不必過分關注數列與不等式相關的題目。[問題3]：在等差數列中，令，數列的前n項的和為，（1）求的通項公式（2）若【解析】(1)設等差數列公差為d,由，及得（2）故m=2[問題4]：在各項均為正數的數列中,已知點在函數的圖像上,且.(Ⅰ)求證:數列是等比數列,并求出其通項；(Ⅱ)若數列的前項和為,且,求．【解析】(Ⅰ)因為點在函數的圖像上,所以,且,所以,故數列是公比的等比數列.因為,所以,即,則,所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以.所以……①……②①-②式得即分析：這兩題都是等差、比數列通過通項建立方程求基本量，注重數列的基本公式的運用及其求和的方法，這與進幾年的新課標高考在數列這模塊上的命題規律和新課標考綱要求是吻合的，這就要求我們的同學牢記等差、比的定義、通項、求和及其性質，并從函數的角度去審視數列是一類特殊的函數（如數列的周期性、單調性、等差通項是一次函數，等差和式是二次函數式等等。例:形如函數f(x)對任意xR都有f(x)+f(1x)=EQ\F(1,2)，數列{an}滿足：an=+，求an，倒序相加求和）。解題指導：掌握等差數列和等比數列基本公式的運用，會用常見的數列求和的幾種方法（理解等差、比求和公式的推導思想）。近幾年新課標試卷命題的規律和啟示：比較老大綱高考數列變化是很大的一題，近幾年已經沒有出現數列的二階遞推，沒有出現用放縮法證明不等式的的數列題，要求降低很多，因此我們同學在這一模塊的題勢在必得。考題的難度定位為基礎與中檔題,出現在大題的第17題上或者選擇題上.只要求考生了解等差、等比數列的定義、理解其通項公式、求和公式的簡單應用。三．幾體幾何主要有三大考點：具體包括：（1）空間位置關系的證明(2)求空間角(異面角、線面角、二面角)（3）求空間距離(點面距)[問題5]：如圖，在斜三棱柱中，點、分別是、的中點，平面．已知，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角；（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值．解法一：（Ⅰ）證明：∵點、分別是、的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，∴平面,∴．又∵，∴四邊形為菱形，∴，且∴平面,∴，即異面直線與所成的角為．(Ⅲ)設點到平面的距離為，∵，即△．又∵在△中，,∴△．∴，∴與平面所成角的正弦值．解法二：如圖建系，，，，，．（Ⅰ）∵，，∴，即，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵，∴∴異面直線與所成的角為．(Ⅲ)設與平面所成角為，∵，設平面的一個法向量是,可取∴，∴與平面所成角的正弦值． 分析：此題體現綜合法與坐標法的運用，選擇對基礎知識、基本技能的考查，循序漸進，層次清晰，當屬優秀試題之典范，考查了利用綜合法或坐標法證明線面平行、求異面角、線面角。體現了新課程不但重視“知識與技能”，而且重視“過程與方法”，考生分析問題與解決問題的能力在解題中得到了檢驗。解題指導：著重考查立幾中的邏輯推理型問題,當然,二者均應以正確的空間想象為前提.隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著“多一點思考,少一點計算”的發展.從歷年的考題變化看,以簡單幾何體為載體的線面位置關系的論證,角與距離的探求是常考常新的熱門話題。同學們要掌握其基本方法，如求異面直線所成的角常用平移法（轉化為相交直線）與向量法。分析：此題注重坐標法的運用，選擇對基礎知識、基本技能的考查，循序漸進，層次清晰，當屬優秀試題之典范，本題把平面到空間、靜止與運動,三點共線與向量共線有機地相結合；考查了利用坐標法求空間角及解決探索性問題。體現了新課程不但重視“知識與技能”，而且重視“過程與方法”，考生分析問題與解決問題的能力在解題中得到了檢驗。解題指導：這一類型題主要是利用坐標這一有利工具，再結合平面到空間、運動到靜止的轉換，同學們要知道這一類變換類型。四．概率與統計[問題7].2011年3月20日，第19個世界水日，主題是：“城市水資源管理”；2011年“六·五”世界環境日中國主題：“共建生態文明，共享綠色未來”．活動組織者為調查市民對活動主題的了解情況，隨機對10～60歲的人群抽查了人，調查的每個人都同時回答了兩個問題，統計結果如下：世界環境日中國主題世界水日主題回答正確人數占本組人數頻率回答正確人數占本組人數頻率[10,20)30a300.5[20,30)480.8300.5[30,40)360.6480.8[40,50)200.524b[50,60]120.6100.5（Ⅰ）若以表中的頻率近似看作各年齡段回答活動主題正確的概率，規定回答正確世界環境日中國主題的得20元獎勵，回答正確世界水日主題的得30元獎勵．組織者隨機請一個家庭中的兩名成員（大人42歲，孩子16歲）回答這兩個主題，兩個主題能否回答正確均無影響，分別寫出這個家庭兩個成員獲得獎勵的分布列并求該家庭獲得獎勵的期望；（Ⅱ）求該家庭獲得獎勵為50元的概率．解：（1）依題，設孩子獲得獎勵為，大人獲得獎勵為，則，為隨機變量，其分布列分別為：0203050P0.250.250.250.250203050P0.20.20.30.3該家庭獲得獎勵的期望 (2)0.25 分析：第一問首先要根據頻率的計算公式“”求出孩子(60人)與大人（40人）所在組的容量，然后求出a,b.兩次答題的對錯分四類，而每一類中兩次回答之間又是互為獨立事件，，，其它情況以此類推。同理，第二問首先是對獲得獎勵50元進行分類，每一類所對應的事件互斥，然后每一類所包含的事件又相互獨立，事件的概率公式求出每一種情況的概率，又因為每一種情況所對應的事件互斥，所以最終的概率為四種情況概率之和。解題指導：該類型題考查互斥事件、獨立事件的基本概率的求法；在處理問題時要用分類思想;對問題所包含的結果要做到不重不漏，最后對各個基本事件的概率求和相加。[問題8].某高中社團進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取人進行了一次是否開通“微博”的調查，若開通“微博”的為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”。通過調查分別得到如圖1所示統計表和如圖2所示各年齡段人數頻率分布直方圖：圖2圖2請完成以下問題：補全頻率直方圖，并求，，的值從歲和歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網絡時尚達人大賽，其中選取3人作為領隊，記選取3名領隊中年齡在歲得人數為,求分布列和數學期望解（1）第二組的頻率為1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高為=0.06．頻率直方圖如下：第一組的人數為=200，頻率為0.04×5=0.2，所以n==1000,所以第二組的人數為1000×0.3=300，p==0.65,第四組的頻率為0.03×5=0.15，第四組的人數為1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因為［40,45)歲與［45,50)歲年齡段的“時尚族”的比值為60∶30=2∶1，所以采用分層抽樣法抽取18人，［40,45)歲中有12人，［45,50)歲中有6人．隨機變量X服從超幾何分布．P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==所以隨機變量X的分布列為X0123P∴數學期望E(X)=0×+1×+2×+3×=2（或者E(X)==2）．分析：第1問由所有事件概率和為1求出第2組概率，然后根據第二組時尚族的人數與占本組人數得到第二組人數，又根據第二組所占頻率與第二組人數得到n，同理可得到p、a；第二問根據歲和歲兩年齡段時尚族的人數比例分層抽樣得到兩組人數，然后根據超幾何分布列求出歲人數的分布列以及均值。解題指導：該類型題考查頻率分布直方圖、頻率的定義、超幾何分布、均值。常見的分布像兩點分布，二項頒布，超幾何分布等要掌握其背景，并在具體問題中善于識別它們。五．解析幾何主要有三大考點：具體包括：（1）圓錐曲線的幾何性質(2)直線與圓錐曲線的位置關系的運用（3）求參數的范圍[問題9]如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點,作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；（Ⅲ）若直線在軸上的截距為，求的最小值．解：（Ⅰ）∵點到拋物線準線的距離為，∴，即拋物線的方程為．（Ⅱ）法一：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，QUOTEKEH=-KFH設，，∴QUOTEyH-y1xh-x1=-y∴.．法二：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，可得，，∴直線的方程為，聯立方程組，得，∵∴，．同理可得，，∴．（Ⅲ）法一：設，∵，∴，可得，直線的方程為，同理，直線的方程為，∴，，∴直線的方程為，令，可得，∵關于的函數在單調遞增，∴．法二：設點，，．以為圓心，為半徑的圓方程為，⊙方程：．①-②得：QUOTEx-m22+直線的方程為QUOTE2x-m2-44-m2-當時，直線在軸上的截距，∵關于的函數在單調遞增，QUOTE單調遞增，所以∴分析：第一問運用拋物線的定義來求拋物線的方程,第二問我認為利用對稱性得出直線HA、HB的斜率關系是解決此問題的關鍵;第三問考察切點弦問題解題指導：該類型旨在考查直線與直線，直線與拋物線的位置關系，數形結合，熟練的進行坐標運算，設而不求的消元思想，用代數方法解決幾何問題是解析幾何的主題，復習時注重自己的綜合運算能力。[問題10]:在平面直角坐標系中，橢圓的中心為坐標原點，左焦點為，為橢圓的上頂點，且.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）已知直線：與橢圓交于，兩點，直線：（）與橢圓交于，兩點，且，如圖所示.（ⅰ）證明：;（ⅱ）求四邊形的面積的最大值.解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為.因為，，所以.所以.所以橢圓的標準方程為.（Ⅱ）設，，，.（ⅰ）證明：由消去得：.則，所以.同理.因為,所以.因為，所以.（ⅱ）解：由題意得四邊形是平行四邊形，設兩平行線間的距離為,則.因為，所以.所以.（或）所以當時，四邊形的面積取得最大值為.[分析：第一問只要求得橢圓的三大參數a,b,c，，第二問我認為同學們結合幾何圖形先把四邊形面積的式子表示出來，再結合均值不等式求面積s的最值,運算量較大,從而難度也較大解題指導：該類型題以直線與橢圓的位置關系為命題元素，以求弦長為載體將解析幾何問題代數化，來求圓錐曲線的最值問題。六．導數[問題11]：已知函數求的單調區間；若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。【解析】（1）當時，對，有當時，的單調增區間為當時，由解得或；由解得，當時，的單調增區間為；的單調減區間為。（2）在處取得極大值，由解得。由（1）中的單調性可知，在處取得極大值，在處取得極小值。結合的單調性知，的取值范圍是。分析：在第一問中，通過對參數的討論來判斷導函數的正負以此寫函數的單調區間，特別注意在得函數的單調區間時，必須先考慮到函數的定義域這點，往往被我們同學所忽視（如對有對數式的函數，一定注意真數大于0等），考查導數在函數中的應用和數學中的分類討論思想。在第二問求解的過程中，注意導函數處值為0是可導函數取得極值點的必要不充分條件，認識到這點，其實往往解析式中的參數就不難求出，利用第一問求的函數單調區間，可以在直角坐標系中畫函數草圖，這樣把形結合起來，就不難作出了，我們同學要加強對這方面的訓練與反思。解題指導：以導數為工具，考查函數性質及導數極值理論，單調性及其應用為目標，是最近幾年函數與導數交匯試題顯著特點和命題趨向，高考命題的四大熱點,（1）在導數與函數性質交匯點命題。（2）在導數與含參數函數的交匯點命題，考查含參數函數的極值問題及恒成立問題，分類討論思想及解不等式的能力，利用分離變量法求參數的取值范圍等問題（3）對導數的幾何意義，切線的斜率，導數與函數單調性，最（極）值等綜合運用知識的能力命題（4）在導數與函數模型構建交匯點命題：主要考查考生將實際問題轉化為數學問題，運用導數工具和不等式知識去解決最優化問題的數學應用意識和實踐能力。[問題12]已知函數在區間，內各有一個極值點．（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式．【解析】：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且．于是，，且當，即，時等號成立．故的最大值是16．（II）由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點．而，且．若，則和都是的極值點．所以，即，又由，得，故．分析：在第一問中極值點就是對應導函數的兩個根，利用一元二次方程求根公式建立兩根與的關系，利用兩根的范圍以此來求的范圍，進而達到解決問題的目的。在第二問中，實際上是函數的一個間斷點，故不是的極值點這一結論抓住，因此在處左右導函數的符號不會發生變化，因此的只等于0，從而得到與已知條件聯立，即可求解。解題指導：主要考查極值和極值點的定義及其性質，考生要“回歸”課本，濃縮所學的知識，夯實基礎，熟練掌握解題的通性、通法，提高解題速度。同時，許多高考試題在教材中都有原型，即由教材中的例題、習題引申變化而來[問題13]設函數在處取得極值，且曲線在點處的切線垂直于直線．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數，討論的單調性．【解析】：（Ⅰ）因又在x=0處取得極限值，故從而由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，有（1）當，即當時，在R上恒成立，故函數在R上為增函數（2）當，即當時，有，從而當時，在R上為增函數（3）當，即當時，方程有兩個不相等實根當時，，故在上為增函數；當時，上為減函數；當時，故上增函數分析：第一問要求a和b，顯然根據題意要建立兩個方程組，那么我們同學們是否能夠抓住題目的條件，極值點處導函數值為0，建一個方程，借助于兩直線的位置關系（垂直），實際上指導曲線某點處切線的斜率，再建一個方程。第二問先利用導數商的運算法則求出函數的導函數，結合二次函數圖像與x軸三種狀態，最后判斷導函數在相應區間的正負，來寫函數的單調區間。解題指導：此題主要考查導數幾何意義、導數的運算，利用導數研究函數的單調性，解決恒成立問題，參數分離，求最值、構造新的函數，主元變化等都是常用的方法，同學們要有其基本的分析能力及其思維力度。選修4-1：幾何證明選講[問題14]已知為半圓的直徑，，為半圓上一點，過點作半圓的切線，過點作于，交圓于點，．（Ⅰ）求證：平分；（Ⅱ）求的長．解：（Ⅰ）連結，因為，所以因為為半圓的切線，所以，又因為，所以∥，所以，，所以平分．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，連結，因為四點共圓，，所以，所以，所以．分析：第一問可以逆推分析，要證明平分就是要證明，而，又因為，，所以∥，所以，從而；第二問求邊的長度就是把所求邊與已知邊通過等量關系聯系起來。解題指導：該類型題考查切線的性質以及相關定理，等圓周度所對的弦相等，圓內接四邊形性質定理。[問題15].如圖所示,已知⊙O1與⊙O2相交于A?B兩點,過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C,過點B作兩圓的割線,分別交⊙O1?⊙O2于點D?E,DE與AC相交于點P.(1)求證:AD∥EC;(2)若AD是⊙O2的切線,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD長.解：(1)證明:如圖所示,連接AB,∵AC是⊙O1的切線,∴∠BAC=∠D.又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.分析：第1問欲證AD∥EC,只需證明∠D=∠E,溝通兩圓周角間的關系,連AB,利用弦切角?圓周角定理可完成轉化.第2問利用相交弦定理與切割線定理求解.解題指導：本題考查了有關圓的相交弦問題,對求解計算題而言,常常是先借助相交弦定理,建立有關線段的等式或方程(組),然后再求解;對證明等積式或比例式而言,常常是借助相交弦定理,并綜合其他相關等積式或比例式的知識,進行恒等變換,最后解決問題.選修4-4：坐標系與參數方程[問題16]．在平面直角坐標系xoy中，已知曲線C1：x2+y2=1，以平面直角坐標系xoy的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線l：ρ(2cosθ-sinθ)=6.（Ⅰ）將曲線C1上的所有點的橫坐標，縱坐標分別伸長為原來的、2倍后得到曲線C2，試寫出直線l的直角坐標方程和曲線C2的參數方程.（Ⅱ）在曲線C2上求一點P，使點P到直線l的距離最大，并求出此最大值．解：方法一：（Ⅰ）由題意知，直線l的直角坐標方程為：2x-y-6=0.∵C2：=1∴C2：的參數方程為：（θ為參數）（Ⅱ）設P（cosθ，2sinθ），則點P到l的距離為：d=，∴當sin(60°-θ)＝-1即點P（-,1）時，此時dwax==2方法二：（Ⅰ）同方法一；（Ⅱ）設P(x,y)，設過點P與l平行直線：2x-y+c=0聯立得：,當與l距離最大時，與橢圓相切，對應的二次方程只有一個解，即,c=-4或c=4(舍去)所以dwax==2分析：第1問利用代入法求得變化后曲線方程，然后根據曲線類型直接得到曲線的參數方程，第2問法1利用點線距公式轉化為三角函數的最值，法2把點線距轉化成線線距問題。解題指導：參數法解決與已知曲線上的動點有關的最值問題是求最值的方法之一，其核心是將動點坐標用參數表示后，轉化為三角函數的最值問題，注意此法的理解與應用.[問題17]已知點，參數，點Q在曲線C：上。求點P的軌跡方程和曲線C的直角坐標方程；求點P與點Q之間距離的最小值。解(1)由得點P的軌跡方程(x-1)2+y2=1(y≥0),又由=，得=,∴=9.∴曲線C的直角坐標方程為x+y=9.(2)半圓(x-1)2+y2=1(y≥0)的圓心(1，0)到直線x+y=9的距離為4，所以｜PQ｜min=4-1.分析：第1問是參數方程轉化為普通方程，極坐標方程轉化為直角坐標方程；第2問是圓上點到線距離最值問題(最大：圓點到線的距離加半徑；最小：圓點到線的距離減半徑)。解題指導：對于參數方程化為普通方程的過程就是消去參數的過程，消參可用代入消參，利用恒等式消參，在消參時注意普通方程與原參數方程的取值范圍保持一致；極坐標與直角坐標的互化一定要記住互化公式。選修4－5：不等式選講[問題18]已知函數f(x)=|