面積平分問題問題探究在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(b>a)，P為AB邊上一點，且PB＝m(m<a)，在CD邊上有兩點M、N.(1)如圖①，求證：△MPB的面積與△NPB的面積相等；(2)如圖②，延長AB到點S，使BS＝PB，以BS為邊在直線AB上方作正方形BSRQ，連接AR、AQ、AC、CR，若△ACR的面積等于矩形ABCD面積的eq\f(1,4)，試確定a、b、m的關系；第1題圖問題解決(3)如圖③，有一片矩形綠地ABCD，現要修建一條高速馬路，該馬路要占用綠地△ABE，依據施工要求，高速馬路的邊緣AE不能超過BC的中點，為補償占用的綠地，試在AE的延長線上找出一點F，使四邊形ADCF的面積與原矩形ABCD的面積相等，試在圖③中畫出圖形并說明理由．(1)證明：如解圖①，∵△MPB與△NPB同底等高，∴S△MPB＝S△NPB；第1題解圖①(2)解：S△ACR＝S△ACQ＋S△AQR＋S△CQR＝eq\f(1,2)b(a－m)＋eq\f(1,2)m2＋eq\f(1,2)m(a－m)＝eq\f(1,2)(ab＋am－bm)，∵S△ACR＝eq\f(1,4)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)(ab＋am－bm)＝eq\f(1,4)ab，∴ab＋2am－2bm＝0；(3)解：如解圖②，連接AC，過點B作BF∥AC交AE的延長線于點F，連接CF.第1題解圖②設AC到BF的距離為h，則S△ABC＝eq\f(1,2)AC·h，S△ACF＝eq\f(1,2)AC·h，∴S△ABC＝S△ACF，∴S△ABE＝S△CEF，∴S矩形ABCD＝S四邊形ADCF.問題探究(1)如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的面積為S，則△ACD的面積為________；(2)在圖②中，當點E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、BC的中點時，記四邊形BEDF的面積為S1；當點E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AB、BC上時，且滿意AE＝eq\f(1,3)AB，BF＝eq\f(1,3)BC，記此時的四邊形BEDF的面積為S2.證明：S1＝S2；(3)如圖③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n為常數，且n＞0)，點E是AB邊上隨意一點，點F是BC邊上隨意一點，若四邊形BEDF的面積始終等于矩形面積的eq\f(1,2)，請探究線段AE、BF應滿意怎樣的數量關系，并說明理由．第2題圖(1)解：eq\f(1,2)S；【解法提示】∵AD為△ABC中BC邊的中線，∴DC為BC的一半，由圖可知△ABC與△ADC同高，又知△ABC的面積為S，∴S△ACD＝eq\f(1,2)S；(2)證明：如解圖①，連接BD,當點E、F分別為AB、BC上的中點，第2題解圖①由(1)可知S△BED＝eq\f(1,2)S△ABD，S△BDF＝eq\f(1,2)S△BCD，又∵依據平行四邊形的性質可知S△ABD＝S△BCD＝eq\f(1,2)S?ABCD，∴S1＝S△BED＋S△BDF＝eq\f(1,2)S?ABCD，當點E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AB、BC上時，且滿意AE＝eq\f(1,3)AB，BF＝eq\f(1,3)BC，∴BE＝eq\f(2,3)AB，則S△BDE＝eq\f(2,3)S△ABD，S△BFD＝eq\f(1,3)S△BCD，又∵S△ABD＝S△BCD＝eq\f(1,2)S?ABCD，∴S2＝S△BDE＋S△BFD＝eq\f(1,2)S?ABCD.綜上所述，可證：S1＝S2；(3)解：如解圖②，連接BD，第2題解圖②由題意可知四邊形BEDF的面積始終等于矩形面積的eq\f(1,2)，即依據等面積可知：AB·BC＝2(eq\f(1,2)BE·AD＋eq\f(1,2)BF·AB)，∵AB＝nBC，∴AB·BC＝2(eq\f(1,2)BE·eq\f(1,n)AB＋eq\f(1,2)B