25/24上海市黃浦區2022年九年級《數學》下學期期中試題與參考答案一、選擇題本大題共6題，每題4分，滿分24分。1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據最簡二次根式的定義進行判斷即可【詳解】解：A、＝2，不是最簡二次根式；B、不能化簡，符合題意；C、＝，能化簡，不符合題意；D、＝，能化簡，不符合題意；故選：B．【點睛】此題主要考查了最簡二次根式，正確掌握相關定義是解題關鍵，在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數中，只要含有分數或小數，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數中的每一個因式（或因數），如果冪的指數大于或等于2，也不是最簡二次根式．2.將拋物線y＝（x﹣2）2+1向上平移3個單位，得到新拋物線的頂點坐標是（）A.（2，4） B.（﹣1，1） C.（5，1） D.（2，﹣2）【答案】A【分析】根據平移規律，上加下減，左加右減，可得頂點式解析式．【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位，得，即，頂點坐標為，故選：A．【點睛】主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．3.關于x的一元二次方程有兩個不相等實數根，則k的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】C【分析】根據一元二次方程的定義得到k≠0，根據一元二次方程有兩個不相等的實數根得到△=，求出k的取值范圍．【詳解】解：因為一元二次方程有兩個不相等的實數根，所以，解得k＜4，又k≠0，所以k＜4且k≠0，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數不為零這一隱含條件．4.下列各統計量中，表示一組數據波動程度的量是（）A.方差 B.眾數 C.平均數 D.頻數【答案】A【分析】根據方差、眾數、平均數、頻數意義即可求解．【詳解】解：方差是表示一組數據波動程度的量，眾數、平均數是表示一組數據集中趨勢的量，頻數是表示數據出現的次數，故選A．【點睛】本題考查了方差、眾數、平均數、頻數的意義，掌握以上知識是解題的關鍵．5.已知三角形兩邊的長分別是4和9，則此三角形第三邊的長可以是（）A.4 B.5 C.10 D.15【答案】C【分析】根據三角形的三邊關系定理求出第三邊的范圍即可選出答案．【詳解】解：設第三邊長為x，則由三角形三邊關系定理得9﹣4＜x＜4+9,因此，三角形的第三邊應滿足5＜x＜13，只有10符合不等式，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，熟記定理是解題關鍵．6.已知⊙O的半徑OA長為3，點B在線段OA上，且OB＝2，如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是（）A.r≥1 B.r≤5 C.1＜r＜5 D.1≤r≤5【答案】D【分析】求得⊙B在⊙O內部且有唯一公共點時⊙B的半徑和⊙O在⊙B內部且有唯一公共點時⊙B的半徑，根據圖形即可求得．【詳解】解：如圖，當⊙B在⊙O內部且有唯一公共點時，⊙B的半徑為：3-2=1，當⊙O在⊙B內部且有唯一公共點時，⊙B的半徑為3+2＝5，所以如果⊙B與⊙O有公共點，那么⊙B的半徑r的取值范圍是1≤r≤5，故答案為：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，注意掌握數形結合和分類討論思想的應用．二、填空題本大題共12題，每題4分，滿分48分。7.計算：a（a+1）＝_______．【答案】a2+a【分析】原式利用單項式乘以多項式法則計算即可得到結果．【詳解】解：a（a+1）＝a2+a．故答案為：a2+a【點睛】此題考查了單項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8.函數的定義域是__________．【答案】【分析】根據二次根式的性質，被開方數大于等于0，可知：x-2≥0，解得x的范圍．【詳解】根據題意得：x-2≥0，解得：x≥2．故答案為.【點睛】此題考查二次根式，解題關鍵在于掌握二次根式有意義的條件.9.方程組的解是__________________．【答案】或．【分析】根據x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）把原方程組變為或再求解即可．【詳解】解：因為x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．所以x2﹣y2＝0可改寫成：x+y＝0或者x﹣y＝0．所以方程組可以改寫為：或．解得：或．故答案：或．【點睛】本題考查二元二次方程組的應用，根據乘法公式把二元二次方程組變形為二元一次方程組是解題關鍵．10.如果一個正多邊形的外角為30°，那么這個正多邊形的邊數是_____．【答案】12．【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數，就得到外角的個數，外角的個數就是多邊形的邊數．【詳解】解：這個正多邊形的邊數：360°÷30°=12．故答案為：12．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角的關系，熟記正多邊形的邊數與外角的關系是解題的關鍵．11.如果拋物線的最高點是坐標軸的原點，那么的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據函數圖像有最高點可得出開口向下，即可得出答案；【詳解】因為拋物線的最高點是坐標軸的原點，所以拋物線開口向下，所以m+1＜0，所以．故答案是．【點睛】本題主要考查了根據二次函數的開口方向求參數，準確分析判斷是解題的關鍵．12.觀察反比例函數y＝的圖象，當0＜x＜1時，y的取值范圍是______．【答案】y＞2【分析】將x=1代入解析式，根據反比例函數的增減性可求y的取值范圍．【詳解】解：因為k＝2，所以反比例函數y＝的圖象在一三象限，當x＝1時，y＝2，所以當0＜x＜1時，y的取值范圍y＞2，故答案為y＞2．【點睛】本題考查了函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的增減性，關鍵是利用反比例函數的增減性解決問題．13.從，π這三個數中任選一個數，選出的這個數是有理數的概率為________________．【答案】【分析】根據實數的分類及概率公式即可求解．【詳解】解：因為在，π這三個數中，有1個有理數，所以選出的這個數是有理數的概率為，故答案為：．【點睛】此題主要考查概率的求解，解題的關鍵是熟知概率的求解公式及實數的分類．14.已知傳送帶與水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物體送到離地面10米高的地方，那么物體所經過的路程為______米．【答案】26【詳解】解：如圖，由題意得：斜坡AB的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE⊥BD，因為i=，所以BE=24米，所以在Rt△ABE中，AB==26（米）．15.如圖，點G是△ABC的重心，設，那么向量用向量表示為______．【答案】【分析】利用三角形法則求出，再利用重心的性質求出，利用三角形法則求出，再由DC＝BD可得結論．【詳解】解：因為＝＋，所以＝＋，因為G是△ABC的重心，所以GD＝AG，所以＝＋，所以，所以，因為DC＝BD，所以．故答案為：．【點睛】本題考查平面向量的線性運算、三角形法則、三角形的重心，熟練掌握相關基本知識是解答的關鍵．16.如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長為_____．【答案】【分析】根據圓心角、弦、弧、弦心距之間的關系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，進而利用直角三角形的邊角關系求解即可．【詳解】解：如圖，過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F，連接OA，則AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，在Rt△AOE中，因為OA＝2，AE＝，所以OE＝＝1，因為AB＝CD，所以OE＝OF＝1，又因為OM＝OM，所以Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），所以∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，所以OM＝＝，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函數值，垂徑定理是解題的關鍵，特殊角的函數值是解題的基礎．17.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，將△ABC繞著點A旋轉，點C恰好落在AB的中點上，設點B旋轉后的對應點為點D，則CD的長為___________．【答案】【分析】根據題意畫出圖，由和C恰好落在AB的中點，故有CE＝AE＝EB，根據旋轉的性質可得AD的長，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：過點D作DF⊥AC于F，交CA的延長線于F．由旋轉可得AC＝AE，因為AC＝3，E是AB的中點，所以AE＝BE＝AC＝3，即AB＝AD＝6．因為，所以，所以．在Rt△FAD中，AF＝AD＝3，DF＝，所以FC＝3＋3＝6，在Rt△FCD中，DC＝．故答案為：．18.如圖，在中，是邊上的中線，，．將沿直線翻折，點落在平面上的處，聯結交于點，那么的值為______．【答案】【分析】過A作AF⊥BC于F，過B'作B'G⊥BC于G，設AD＝m，根據翻折及∠ADC＝60°，用m的代數式表示CE、BE即可得出答案．【詳解】解：過A作AF⊥BC于F，過B′作B′G⊥BC于G，如圖：

因為∠ADC＝60°，所以∠ADB＝120°，因為△ABD沿直線AD翻折，點B落在平面上的B′處，所以∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，因為BC＝3AD，AD是BC邊上的中線，所以設AD＝m，則BC＝3m，BD＝B′Dm，Rt△ADF中，DF＝AD?cos60°m，AF＝AD?sin60°m，所以BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝mRt△B′DG中，DG＝B′D?cos60°m，B′G＝B′D?sin60°m，所以FG＝DG﹣DFm，因為AF⊥BC，B′G⊥BC，所以AF∥B′G，所以，因為FE+GE＝FGm，所以FEm，所以BE＝BF+EFm，CE＝CF﹣EFm，所以，故答案為：．三、解答題本大題共7題，滿分78分。19.計算：．【答案】﹣-【分析】直接利用負整數指數冪的性質以及分數指數冪的性質和絕對值的性質、二次根式的性質化簡得出答案．【詳解】解：原式＝＋2﹣-2-﹣9＝9＋2﹣-2-﹣9＝﹣-．【點睛】本題考查了絕對值，二次根式的分母有理化，負整數指數冪，分數指數冪，熟練掌握各自的運算法則是解題的關鍵．20.解不等式組：．【答案】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解不等式3（x+5）＞3﹣（x﹣2），得：x＞﹣2.5，解不等式≤﹣1，得：x≥20，所以不等式組的解集為x≥20．【點睛】本題考查的是解一元-次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.21.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是邊AB上一點，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足為點E．（1）求AD的長；（2）求∠EBC的正切值．【答案】（1）2；（2）【分析】（1）過C點作CH⊥AD于H，如圖，利用等腰三角形的性質得到AH＝DH，再證明∠ACH＝∠ABC，求出sin∠ACH＝sin∠ABC，然后利用正弦的定義求出AH，從而得到AD的長；（2）在Rt△ABC中先求出AB＝9，則BD＝7，再證明∠HCD＝∠EBD，求出sin∠EBD＝，利用正弦的定義求出DE，接著利用勾股定理計算出BE，然后根據正切的定義求解．【詳解】解：（1）過C點作CH⊥AD于H，如圖，因為CD＝CA，所以AH＝DH，因為∠ABC＋∠BCH＝90°，∠ACH＋∠BCH＝90°，所以∠ACH＝∠ABC，所以sin∠ACH＝sin∠ABC＝，在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，所以AD＝2AH＝2；（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，所以AB＝3AC＝9，所以BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，因為∠E＝90°，而∠EDB＝∠HDC，所以∠HCD＝∠EBD，所以sin∠EBD＝＝，所以DE＝BD＝，所以BE＝，在Rt△EBC中，tan∠EBC＝．22.一輛轎車和一輛貨車分別從甲、乙兩地同時出發，勻速相向而行，兩車相遇時轎車比貨車多行駛了90千米．設行駛的時間為t（小時），兩車之間的距離為s（千米），圖中線段AB表示從兩車發車至兩車相遇這一過程中s與t之間的函數關系，根據圖象提供的信息回答下列問題：（1）求s關于t的函數關系式；（不必寫出定義域）（2）求兩車的速度．【答案】（1）s＝﹣150t+450；（2）轎車和貨車速度分別為90千米/小時，60千米/小時．【解析】【分析】（1）觀察圖像找出直線上的兩個點坐標，帶入計算即可；（2）由s＝﹣150t+450，可知甲，乙兩車相距450千米，相遇時間是3小時，根據題型列出方程組求解即可．【詳解】解：（1）設s關于t的函數關系式為s＝kt+b，根據題意，解得，所以s＝﹣150t+450；（2）由s＝﹣150t+450，可知甲，乙兩車相距450千米，相遇時間是3小時設兩車相遇時，設轎車和貨車的速度分別為v1千米/小時，v2千米/小時，根據題意得：解得轎車和貨車速度分別為90千米/小時，60千米/小時．【點睛】本題主要考察了二元一次方程組，一次函數等知識點，能從圖像中看出總路程是解題關鍵．23.已知：如圖，在梯形中，，，是的中點，的延長線交邊于點．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如果，求證四邊形是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）由平行四邊形的性質可知，．再由是中點，即AE=CE．即可以利用“AAS”證明，得出，即證明四邊形是平行四邊形．（2）由和是中點，即可推出．又因為，即證明，即可推出．即四邊形是菱形．【詳解】（1）因為，所以，．又因為是中點，所以AE=CE，所以在和中，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形．（2）因為，所以．因為，所以，所以，所以，所以，即．所以四邊形是菱形．【點睛】本題考查梯形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質以及相似三角形的判定和性質．掌握特殊四邊形的判定方法是解答本題的關鍵．24.在平面直角坐標系中，拋物線經過點，頂點為點B，對稱軸為直線，且對稱軸與x軸交于點C．直線，經過點A，與線段交于點E．（1）求拋物線的表達式；（2）聯結、．當的面積為3時，求直線的表達式；（3）在（2）的條件下，設點D為y軸上的一點，聯結、，當時，求的余切值．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）利用待定系數法和拋物線對稱軸公式即可求解；（2）先求出頂點B坐標，根據的面積為3求出BE，進而求出點E坐標，利用待定系數法即可求解；（3）分和與不平行兩種情況，分別求出D坐標，利用余切定義即可求解．【詳解】解：（1）因為拋物線經過點，對稱軸為直線，所以，所以所以拋物線表達式為；（2）把代入得y=4，所以拋物線頂點B坐標為，由的面積為3得,所以BE=2，因為點E在線段BC上，所以點E坐標為，把點和點代入得，所以，所以直線表達式為；（3）如圖，①若，如圖，則四邊形為平行四邊形：則點坐標，連接，所以；②若與不平行，如圖，則四邊形為等腰梯形：作BF⊥y軸于F，則，所以點坐標，連接，所以，綜上所述，此時的余切值為或．25.如圖，已知在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交邊AC于點D，E是BC邊上一點，且BE＝BA，過點A作AG∥DE，分別交BD、BC于點F、G，聯結FE．（1）求證：四邊形AFED是菱形；（2）求證：AB2＝BG?BC；（3）若AB＝AC，BG＝CE，聯結AE，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由題目條件可證得△ABF≌△EBF（SAS）及△ABD≌△EBD（S