2024-2025學年高二數學下學期第一次聯考試卷試題范圍：數列、導數及其應用、計數原理第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．設為數列的前n項和，若，則（

）A．1032 B．1033 C．520 D．5212．已知，，，則關于，，的方程共有（

）組不同的解.A．36 B．45 C．50 D．243．市內某公共汽車站6個候車位(成一排)，現有3名乘客隨便坐在某個座位上候車，則恰好有2個連續空座位的候車方式的種數是()．A．48B．54C．72D．844．若數列的通項公式為，則該數列中的最大項是（

）A． B． C． D．5．漢諾塔（TowerofHanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數為，例如：，，則下列說法正確的是（

）A． B．為等差數列C．為等比數列 D．6．已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．7．從點可向曲線引三條不同切線，則t的取值范圍為（

）．A． B． C． D．8．已知函數，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．e二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9．數學中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數是對稱美的一種體現，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數有9個：11，22，33，…，99；三位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（

）A．四位回文數有45個 B．四位回文數有90個C．（）位回文數有個 D．（）位回文數有個10．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．時，曲線的切線斜率最小值為B．時，有最大值C．時，有兩個零點D．時，有最小值11．已知函數，下列結論正確的是（

）A．當時，是的極大值點B．若在區間上單調遞減，則的取值范圍是C．若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是D．存在實數，使得成立三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12．已知數列，對于任意正整數，都滿足，則13．任意時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是.14．某城市的交通道路如圖，從城市的西南角到城市的東北角，經過城市中心廣場，最近的走法種數有種．四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15．（13分）關于正整數2160，求：(1)它有多少個不同的正因數？(2)它的所有正因數的和是多少？16．（15分）已知數列的首項，的前項和為且滿足(1)證明：數列是等差數列；(2)若，求數列的前項和．17．（15分）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若函數有兩個零點，求m的范圍．18．（17分）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)證明：.19．（17分）洛必達法則對導數的研究產生了深遠的影響.洛必達法則：給定兩個函數，當時，.已知函數，.(1)證明：在區間上單調遞減；(2)對于恒成立，求實數的取值范圍；(3)，證明：（附：）參考答案題號12345678910答案BACDCBAABDAD題號11121314答案ACD6015.（1）由題意，，則2160的正因數，因為可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；所以2160有個不同的正因數.式子的展開式就是40個正因數之和．所以，之和為.16．（1）證明：因為，即，所以，又，所以數列是以為首項，以為公差的等差數列．（2）由（1）可得，所以，當時，所以，當時也成立，所以，所以，所以①，②，①②得，則，所以．17．（1）函數，當時，在上單調遞增；當時，在內單調遞減，在單調遞增；（2），令，整理可得，設，則，由，令，得，令，得，則在內單調遞減，在內單調遞增，由題意可知：有兩個零點，則，解得，18．（1）；（2）因為，恒成立，所以恒成立.令，則，令，則且不恒為0，即在上單調遞減，則，所以當時，且不恒為0，所以在區間上單調遞減，故，所以，綜上，實數的取值范圍為；（3）取，由（2）得當時，，所以.取，則有，即，所以，，，，將上述式子相加得，得證.19．（1），令，則，令，則，若，則單調遞減，單調遞減，，在上單調遞減，若，則單調遞增，，即存在唯一，使得，且在上，單調遞減，在上，單調遞增，且，在區間上單