北師大版七年級數學上冊教學大綱

第一章豐富的圖形世界

1、幾何圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內，它們是平面圖形。

2、點、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

3、生活中的立體圖形

「圓柱

「柱1

生活中的立體圖形d球J棱柱：三棱柱、四棱柱（長方體、正方體）、五棱柱、…

（按名稱分）匚畛「圓錐

工棱錐

4、棱柱及其有關概念：

棱：在棱柱中，任何相鄰兩個面的交線，都叫做棱。

側棱：相鄰兩個側面的交線叫做側棱。

n棱柱有兩個底面，n個側面，共（n+2）個面；3n條棱，n條側棱；2n個頂點。

5、正方體的平面展開圖：11種

6、截一個正方體：用一個平面去截一個正方體，截出的面可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。

7、三視圖

物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。

左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。

俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。

8、多邊形：由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形，叫做多邊形。

從一個n邊形的同一個頂點出發，分別連接這個頂點與其余各頂點，可以把這個n邊形分割成(n-2)

個三角形。

弧：圓上A、B兩點之間的部分叫做弧。

扇形：由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。

第二章有理數及其運算

1、有理數的分類

廠正有理數1

有理數4零卜有限小數和無限循環小數

匚負有理數」

或「整數

有理數4

匚分數

2、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零

3、數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一

不可)。任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示。解題時要真正掌握數形結合的思想，并能靈活

運用。

4、倒數：如果a與b互為倒數，則有ab=l,反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

5、絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。(|a|^0)o零的絕對值

時它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a,則a'O；若|a|=-a,則aWO。

6、有理數比較大小：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右

邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。

7、有理數的運算：

(1)五種運算：力口、減、乘、除、乘方

(2)有理數的運算順序

先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。

)運算律

加法交換律a+b=b+a

加法結合律(〃+Z?)+c=a+(b+c)

乘法交換律ab=ba

乘法結合律(ab)c=a(Jbc)

乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac

第三章字母表示數

1、代數式

用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。

2、同類項

所有字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。幾個常數項也是同類項。

3、合并同類項法則：把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。

4、去括號法則

(1)括號前是“+”，把括號和它前面的“+”號去掉后，原括號里各項的符號都不改變。

(2)括號前是“-把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變。

5、整式的運算：

整式的加減法：(1)去括號；(2)合并同類項。

第四章平面圖形及其位置關系

1、線段：繃緊的琴弦，人行橫道線都可以近似的看做線段。線段有兩個端點。

2、射線：將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線有一個端點。

3、直線：將線段向兩個方向無限延長就形成了直線。直線沒有端點。

4、點、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個點可以用一個大寫字母表示。

一條直線可以用一個小寫字母表示或用直線上兩個點的大寫字母表示。

一條射線可以用一個小寫字母表示或用端點和射線上另一點來表示(端點字母寫在前面)。

一條線段可以用一個小寫字母表示或用它的端點的兩個大寫字母來表示。

5、點和直線的位置關系有兩種：

①點在直線上，或者說直線經過這個點。

②點在直線外，或者說直線不經過這個點。

6、直線的性質

(1)直線公理：經過兩個點有且只有一條直線。

(2)過一點的直線有無數條。

(3)直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

(4)直線上有無窮多個點。

(5)兩條不同的直線至多有一個公共點。

7、線段的性質

(1)線段公理：兩點之間的所有連線中，線段最短。

(2)兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

(3)線段的中點到兩端點的距離相等。

(4)線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。

8、線段的中點：

點M把線段AB分成相等的兩條相等的線段AM與BM,點M叫做線段AB的中點。

9、角：

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做

這個角的邊。

或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉而成的。

10、平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角。

終邊繼續旋轉，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角。

11、角的表示

角的表示方法有以下四種：

①用數字表示單獨的角，如Nl,Z2,/3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如Na,ZP,Zy,/0等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立(在一個頂點處只有一個角)的角，如/B,NC等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如/BAD,ZBAE,/CAE等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。

12、角的度量

角的度量有如下規定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“。”表示，1度

記作“1°”，n度記作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1'”。

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1”

1°=60',r=60”

13、角的性質

(1)角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。

(2)角的大小可以度量，可以比較

(3)角可以參與運算。

14、角的平分線

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

15、平行線：

在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“〃”表示，如“AB〃CD”，讀作“AB

平行于CD”。

注意：

(1)平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

(2)當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。

16、平行線公理及其推論

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

補充平行線的判定方法：

(1)平行于同一條直線的兩直線平行。

(2)在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行。

(3)平行線的定義。

17、垂直：

兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點

叫做垂足。

直線AB,CD互相垂直，記作“AB_LCD"(或“CD_LAB"),讀作“AB垂直于CD"(或“CD垂直于AB”)。

18、垂線的性質：

性質1：平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。

19、點到直線的距離：過A點作1的垂線，垂足為B點，線段AB的長度叫做點A到直線1的距離。

20、同一平面內，兩條直線的位置關系：相交或平行。

第五章一元一次方程

1、方程

含有未知數的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

3、等式的性質

(1)等式的兩邊同時加上(或減去)同一個代數式，所得結果仍是等式。

(2)等式的兩邊同時乘以同一個數((或除以同一個不為0的數)，所得結果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程。

5、解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母(2)去括號(3)移項(把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這

種變形叫移項。)(4)合并同類項(5)將未知數的系數化為1

第六章生活中的數據

1、科學記數法

一般地，一個大于10的數可以表示成axio”的形式，其中l<a<10,n是正整數，這種記數方法叫

做科學記數法。

2、扇形統計圖及其畫法：

扇形統計圖：利用圓與扇形來表示總體與部分的關系，即圓代表總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的

不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。

畫法：

(1)計算不同部分占總體的百分比(在扇形中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角

的度數與360的比)。

(2)計算各個扇形的圓心角(頂點在圓心的角叫做圓心角)的度數。

(3)在圓中畫出各個扇形，并標上百分比。

3、各種統計圖的優缺點

條形統計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。

折線統計圖：能清楚地反映事物的變化情況。

扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

第七章可能性

1、確定事件和不確定事件

(1)、確定事件

必然事件：生活中，有些事情我們事先能肯定它一定會發生，這些事情稱為必然事件。

不可能事件：有些事情我們事先能肯定它一定不會發生，這些事情稱為不可能事件。

(2)、不確定事件：

有些事情我們事先無法肯定它會不會發生，這些事情稱為不確定事件

⑶、

「必然事件

「確定事件y

事件Y匚不可能事件

匚不確定事件

2、不確定事件發生的可能性

一般地，不確定事件發生的可能性是有大小的。

必然事件發生的可能性是1

不可能事件發生的可能性是0

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第一章整式運算

知識點（一）概念應用

1、單項式和多項式統稱為整式。

單項式有三種：單獨的字母（a,-w等）；單獨的數字（125,——,3.25,-14562等）；

7

2Sr

數字與字母乘積的一般形式（-2s,—三等）。

371

2、單項式的系數是指數字部分，如-23加歷的系數是-23萬（注意系數部分應包含不，因為

〃是常數）；單項式的次數是它所有字母的指數和（記住不包括數字和?的指數），如56//y5

次數是8。

3、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

4、多項式的特殊形式：立等。

2

5、一個多項式次數最高的項的次數叫做這個多項式的次數。如:/y+2y_l是3次3項式。

6、單獨的一個非零數的次數是0。

知識點（二）公式應用

1、am-an=a'n+n（m,n都是正整數）如—"?/=—凡

拓展運用#"+"=。*優如已知。帆=2,/=8,求優"+"。解：am+n=am-a"=2X8=16.

2、（am）n=a'm（m,n都是正整數）$n2(a2)6-(a3)4=2a2x6-a3x4=a12

拓展應用屋"=（〃"）"=。廣。若a"=2,則=(優了=22=4。

3、（"）"=a?"（n是正整數）拓展運用a"bn=(ab)n-

4、=，-（a不為0,m,n都為正整數,且m大于n）。

拓展應用=。團+。"如若a"'=9,an=3,則a'"-"=9+3=3。

5、a°=l(a￥0)；ap=--{a0,是正整數)。如(—2)"=—二_=_

uP(—2)8

6、平方差公式（a+?（〃-/?）=〃一〃a為相同項，b為相反項。

如(—2m+n)(—2m—ri)—(—2m)2—n2=4m2—n2

7、完全平方公式(a+Z?)2=.2+2〃>+/3—力2=〃—2〃)+/

逆用：6i2-vlab+b1=(。+〃)2,片一2"+/=(a—〃)2.

如(2x-j)2=4x2-4xy+y2

8、應用式：a1+Z?2=(a+b)2-laba1+b2=(a-b)2+2ab

(a+5)2-(〃—32+4"b(4z-Z?)2=(a+b)2-4ab

兩位數lOa+b三位數100a+10b+co

9、單項式與多項式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mco

10、、多項式與多項式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

11>多項式除以單項式的法則：(a+b+c)^-m=++

12、常用變形：(%—丁產二(丫—x)2\(x-y)2n+1=-(y-x)2n+1

知識點(三)運算：

1、常見誤區：

1、-5(x2-3)-2(3x2+5)=-5x2-3-6x2+5(-5x2+15-6%2-10)；

2、la—a=1(a)；3、a2-a3=a6(<75)；

4、b4-b4=2b4(Z?8)；5、x5+x5=x10(2x5)；

6、-a^4=a4(一口)；7、(~3pq)2=-6p2q2(9p2q2)；

a,

8、a6^a3=a2(/)；9、a5^a5=0(1),(萬一3.14)°=0(1)；

10、(2a+b)(2a-b)=2cr—b2((4?2-b2)；

11、(ab+8)(aZ?-8)=air—64(a-b2-64)；

12、(4x+5j)2=16x2+25y2(16%240xy+25y2)0

2、簡便運算：

①公式類O.O42005x252006=O.O42005x252005x25=(0.04x25)2005x25=I2005x25=25

0.125100x2300=0.125100x(23)100=O.125100x8100=(0.125x8)100=1100=1

②平方差公式1232-124x122=1232-(123+1)(123-1)=1232-1232+1=1

③完全平方公式999?=（1000-1）2=1000000-2000+1=998001

第二章平行線與相交線

知識點（一）理論

1、若Nl+N2=90,則N1與N2互余。若N3+N4=180,則N3與N4互補。

2、同角的余角相等若Nl+N2=90,N2+N4=90.則N1=N4

等角的余角相等若Nl+N2=90,Z3+Z4=90.Z1=Z3則Z2=Z4

同角的補角相等若Nl+N2=180,Z2+Z4=180.則N1=N4

等角的補角相等若Nl+N2=180,Z3+Z4=180.Z1=Z3則Z2=Z4

3、對頂角

（1）、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。

（2）、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。

（3）、對頂角的性質：對頂角相等。

4、同位角、內錯角、同旁內角

（1）、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個角。形成4對同位角，2對內錯角，2對同

旁內角

（2）、同位角：兩個角都在兩條直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一

對角叫做同位角。

（3）、內錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對

角叫做內錯角。

（4）、同旁內角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一

對角叫同旁內角。

5、平行線的判定方法

（1）、同位角相等，兩直線平行。（2）、內錯角相等，兩直線平行。

（3）、同旁內角互補，兩直線平行。

（4）、在同一平面內，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。

（簡稱為：平行于同一直線的兩直線平行）

（5）、在同一平面內，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行

（簡稱為：垂直于同一直線的兩直線平行）

6、尺規作線段和角

（1）、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規作圖稱為尺規作圖。

（2）、尺規作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。

知識點(二)

1、萬位問題

①若從A點看B是北偏東20,則從B看A是南偏西20.(南北相對；東西相對，數值不變);

②從甲地到乙地，經過兩次拐彎若方向不變，則兩次拐向相反，角相等；若方向相反，則兩

次拐向相同，角互補。

2、光反射問題

如圖若光線A0沿0B被鏡面反射則

ZA0C=ZB0DZA0N=ZB0N.

第三章生活中的數據

知識點

一、單位換算

1、長度單位：(1)百萬分之一米又稱微米，即1微米=10-6米。

(2)10億分之一米又稱納米，即1納米=1()T米。(3)1微米no,納米。

(4)1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109納米。

2、面積單位:(1)ICT千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018納米2。

3、質量單位(1)1噸=1()3千克=1。6克。

二、科學計數法

1、用科學計數法表示絕對值小于1的較小數據時，可以表示為aX10"的形式，其中1WIa

I〈10,n為負整數，

2、用科學計數法表示絕對值較大數據時，可以表示為aX10。的形式，其中1WIaI<10,n

為正整數，

三、近似數與精確數

例如：考范圍題目：近似數X=2.8,則X的范圍是

近似數X=4.0,則X的范圍是

(規律：左邊為最后一位數字減5,且有等號，右邊為最后一位數字后面多寫一個數字5,

且沒有等號)

四、有效數字

1、對于一個近似數，從左邊第一個不為零的數字起，到精確到的數位為止，所

有的數字都叫這個數的有效數字。

2、對于科學計數法型的近似數，由aX10"(1WIaI<10)中的a來確定，a的有效數字就

是這個近似數的有效數字。與X10"無關。

五、近似數的精確度1、近似數的精確度是近似數精確的程度。2、近似數四舍五入到哪一位,

就說這個近似數精確到哪一位。3、精確度是由該近似數的最后一位有效數字在該數中所

處的位置決定的。

例如：2.10萬精確到位，有效數字個，分別是

2.1x104精確到位,有效數字個，分別是

六、統計圖（表）

1、條形統計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數目。

2、折線統計圖：能清楚地反映事物的變化情況。

3、扇形統計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

4、象形統計圖：能直觀地反映數據之間的意義。

第四章概率

知識點

一、事件：

1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。

2、必然事件：事先就能肯定一定會發生的事件。也就是指該事件每次一定發生，不可能不

發生，即發生的可能是100%（或1）。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機會

發生，即發生的可能性為零。

4、不確定事件：事先無法肯定會不會發生的事件，也就是說該事件可能發生，也可能不發

生，即發生的可能性在0和1之間。

二、等可能性：是指幾種事件發生的可能性相等。

1、概率：是反映事件發生的可能性的大小的量，它是一個比例數，一般用P來表示，P（A）

=事件A可能出現的結果數/所有可能出現的結果數。

2、必然事件發生的概率為1,記作P（必然事件）=1；

3、不可能事件發生的概率為0,記作P（不可能事件）=0；

4、不確定事件發生的概率在0—1之間，記作0〈P（不確定事件）＜1。

5、概率的計算：（1）直接數數法：即直接數出所有可能出現的結果的總數n,再數出事件A

可能出現的結果數m,利用概率公式P（A）=詈直接得出事件A的概率。（2）對于較復雜的

題目，我們可采用“列表法”或畫“樹狀圖法”。

四、幾何概率

1、事件A發生的概率等于此事件A發生的可能結果所組成的面積（用，表示）除以所有可能

結果組成圖形的面積（用S至表示），所以幾何概率公式可表示為P（A）=S/S金，這是因

為事件發生在每個單位面積上的概率是相同的。

2、求幾何概率：（1）首先分析事件所占的面積與總面積的關系；

（2）然后計算出各部分的面積；

（3）最后代入公式求出幾何概率。

第五章三角形

知識點一理論整理。

1、三角形一由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。

2、判斷三條線段能否組成三角形。

①a+b〉c（ab為最短的兩條線段）

②a-b〈c（ab為最長的兩條線段）

3、第三邊取值范圍：a-b<c<a+b如兩邊分別是5和8則第三邊取值范圍為3〈x〈13.

4、對應周長取值范圍

若兩邊分別為a,b則周長的取值范圍是2a<L<2（a+b）a為較長邊。

如兩邊分別為5和7則周長的取值范圍是14<L<24.

5、三角形中三角的關系

（1）、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于180°。

n邊行內角和公式（n-2）xlO8°

（2）、三角形按內角的大小可分為三類：

（1）銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形；

（2）直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用“RtA”表示“直角三角

形”，其中直角NC所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形

的直角邊。注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。

（3）鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。

（3）、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數。

（4）、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。

6、三角形的三條重要線段

（1）、三角形的角平分線：

1、三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段

叫做三角形的角平分線。

2、任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。（內心）

（2）、三角形的中線：

1、在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。

2、三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。（重心）

3、三角形的中線把這個三角形分成面積相等的兩個三角形

（3）、三角形的高線：（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足

之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們

所在的直線相交于一點。（垂心）（3）注意等底等高知識的考試

7、相關命題：

1、三角形中最多有1個直角或鈍角，最多有3個銳角，最少有2個銳角。

2、銳角三角形中最大的銳角的取值范圍是60WX〈90o最大銳角不小于60度。

3、任意一個三角形兩角平分線的夾角=90+第三角的一半。

4、鈍角三角形有兩條高在外部。

5、全等圖形的大小（面積、周長）、形狀都相同。

6、面積相等的兩個三角形不一定是全等圖形。

7、能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形。

8、三角形具有穩定性。

9、三條邊分別對應相等的兩個三角形全等。

10、三個角對應相等的兩個三角形不一定全等。

11、兩個等邊三角形不一定全等。

12、兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等。

13、兩邊及一角對應相等的兩個三角形不一定全等。

14、兩邊及它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。

15、兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

16、一條斜邊和一直角邊對應相等的兩個三角形全等。

17、一個銳角和一邊（直角邊或斜邊）對應相等的兩個三角形全等。

18、一角和一邊對應相等的兩個直角三角形不一定全等。

19、有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。

8、全等圖形

1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。

2、全等圖形的性質：全等圖形的形狀和大小都相同。

9、全等三角形

1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“名”連接，讀作“全等于”。

2、用“話”連接的兩個全等三角形，表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。

10、全等三角形的判定

1、三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。

2、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。

3、兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“角角邊”或“AAS”。

4、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。

n、做三角形（3種做法：已知兩邊及夾角、已知兩角及夾邊、已知三邊、已知兩角及一邊

可以轉化為已知已知兩角及夾邊）。

12、利用三角形全等測距離；

13、、直角三角形全等的條件：在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角

形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。

第六章變量之間的關系

一理論理解

1、若Y隨X的變化而變化，則X是自變量Y是因變量。

自變量是主動發生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發生變化的量，數值保持不變的

量叫做常量。

自變量因變量

聯系1、兩者都是某一過程中的變量;；2、兩者因研究的側重點或先后順序不同可

以互相轉化。

區別先發生變化或自主發生變化后發生變化或隨自變量變化而變化的量

的量

2、能確定變量之間的關系式：相關公式①路程=速度X時間②長方形周長=2X（長+寬）

③梯形面積=（上底+下底）X高+2④本息和=本金+利率X本金X時間。⑤總價=單價X

總量。⑥平均速度=總路程！總時間

3、若等腰三角形頂角是y,底角是x,那么y與x的關系式為y=180-2x.

二、列表法：采用數表相結合的形式，運用表格可以表示兩個變量之間的關系。列表時要選

取能代表自變量的一些數據，并按從小到大的順序列出，再分別求出因變量的對應值。列表

法最大的特點是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對應值，但缺點是具有局限性,

只能表示因變量的一部分。

三.關系式法：關系式是利用數學式子來表示變量之間關系的等式，利用關系式，可以根據任

何一個自變量的值求出相應的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應的自變量的值。

四、圖像注意：a.認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象；b.從橫軸和縱

軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標），特別是圖像的起點、拐點、交點

五、兩種圖彖的區別平行于田由的線段的含義

IV一七（速度與時間）

說明=線段OA表示汽車正在加速行駛，線段AB表示汽車ZE在均速行駛O不

變：h

線段BC表示汽車正在彼速行駛；線段CD表示汽車停止了CkO）.

2.S-tC星巨福月時恒D

說明二線段OA表示汽車正在高開出發地；線段AB表示汽車汽車停止了Cv=O,

S不變）；

線段BC表示汽車EE在返回出發地，線段CD表示汽車己名至回到出友

地弁停止了Cs=o,v=o）.

注意：理解平行于橫車由的線段的不同含義C在這段時間內因變量不變）.

六、變化速度的匕*

在相同的時間內因變量變化速度的比較,明B一支圖象至陡一些，這支圖象

代表的因變量變化會更,央一些。

L士^K速度

丫八甲

甲圖象更陡，所以甲增長的更快.

2下降速度

甲圖彖更陡，所以甲下降的更,史.

七、編得實際背景

結合圖象的變化埴勢，編寫一畏合情合理的實際背景.持另IJ要注意的是編

耳內容必須緊扣“變化趨勢”和“合?情合理”即符合實際情況。

八、事物變化趨勢的描述：對事物變化趨勢的描述一般有兩種：

1.隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）（或者用函數語言描述也可:

因變量y隨著自變量x的增加（大）而增加（大））；

2.隨著自變量x的逐漸增加（大），因變量y逐漸減小（或者用函數語言描述也可：因

變量y隨著自變量x的增加（大）而減小）.

注意：如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣，可以采用分段描述.例如在什么范圍內

隨著自變量X的逐漸增加（大），因變量y逐漸增加（大）等等.

九、估計（或者估算）對事物的估計（或者估算）有三種：

1.利用事物的變化規律進行估計（或者估算）.例如：自變量x每增加一定量，因變量y

的變化情況；平均每次（年）的變化情況（平均每次的變化量=（尾數一首數）/次數或相差

年數）等等；

2.利用圖象：首先根據若干個對應組值，作出相應的圖象，再在圖象上找到對應的點對應

的因變量y的值；

3.利用關系式：首先求出關系式，然后直接代入求值即可.

第七章生活中的軸對稱

1、軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個

圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

2、軸對稱：對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成

軸對稱，這條直線就是對稱軸。可以說成：這兩個圖形關于某條直線對稱。

3、軸對稱圖形與軸對稱的區別：軸對稱圖形是一個圖形，軸對稱是兩個圖形的關系。

聯系：它們都是圖形沿某直線折疊可以相互重合。

2、成軸對稱的兩個圖形一定全等。

3、全等的兩個圖形不一定成軸對稱。

4、對稱軸是直線。

5、角平分線的性質1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。

2、性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

6、線段的垂直平分線

1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中

垂線。

2、性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。

7、軸對稱圖形有：

等腰三角形（1條或3條）、等腰梯形（1條）、長方形（2條）、菱形（2條）、正方形（4條）、

圓（無數條）、線段（1條）、角（1條）、正五角星。

8、等腰三角形性質：

①兩個底角相等。②兩個條邊相等。③“三線合一”。

④底邊上的高、中線、頂角的平分線所在直線是它

的對稱軸。

9、①“等角對等邊"VZB=ZC.\AB=AC

②“等邊對等角”AB=ACAZB=ZC

A

10、角平分線性質：

角平分線上的點到角兩邊的距離相等。A

B

：0A平分NCAD0E，AC,0F，AD.，.0E=0FFD*

n、垂直平分線性質：垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

?.?0C垂直平分AB/.AC=BC

12、軸對稱的性質C

1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點稱為對應點（對稱點），能夠重合的線段

稱為對應線段，能夠重合的角稱為對應角。2、關于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。

2、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。

3、如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對應線段、對應角都相等。

13、鏡面對稱

1.當物體正對鏡面擺放時，鏡面會改變它的左右方向；

2.當垂直于鏡面擺放時，鏡面會改變它的上下方向；

3.如果是軸對稱圖形，當對稱軸與鏡面平行時，其鏡子中影像與原圖一樣；

學生通過討論，可能會找出以下解決物體與像之間相互轉化問題的辦法：

（1）利用鏡子照（注意鏡子的位置擺放）；（2）利用軸對稱性質；

（3）可以把數字左右顛倒，或做簡單的軸對稱圖形；

（4）可以看像的背面；（5）根據前面的結論在頭腦中想象。

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第一章勾股定理

※勾股定理：直角三角形兩直角邊的平和等于斜邊的平方。即：片+4=02。

勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+〃=。2,那么這個三角

形是直角三角形。

滿足條件。的三個正整數，稱為勾股數。

常見的勾股數組有：（3,4,5）；（5,12,13）；（7,24,25）；（8,15,17）；

（9,40,41）；（20,21,29）；……（這些勾股數組的倍數仍是勾股數）

第二章實數

1.※平方根和算術平方根的概念及其性質：

（1）概念：如果好=口，那么x是a的平方根，記作：±G；其中&叫做a的算

術平方根。

（2）性質：①當「20時，&2O；當a<0時，&無意義；

②（&『二a；

③A/^~=同O

及

其

概

根

方念

2_A.

?_\^

心

勃

)概

/1z若3

VX

\那么x是a的立方根，記作：網;

性

即=a

l①

2za;

②

-。.

③，

=-加

3.※實數的概念及其分類:

（1）概念：實

自然數(0,1,2,3-)數是有理數和

整數無理數的統

負整數

(-L-2,-3…)稱；

有理數正分數g,|...）（整數.有限小數,無限循環小物（2）分類：按

分數（小數），定義分為有理

負分數（一1_[??.）數可分為整數

乙?的分數；按性

質分為正數、

[正有理數負數和零。

無理數（無限不循環小數）

負有理數

無理數就是無

限不循環小數；小數可分為有限小數、無限循環小數和無限不循環小

數；其中有限小數和無限循環小數稱為分數。

4.與實數有關的概念：在實數范圍內，相反數，倒數，絕對值的意義與有理

數

范圍內的意義完全一致；在實數范圍內，有理數的運算法則和運算律同樣成立。

每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表

示一個實數，即實數和數軸上的點是一一對應的。因此，數軸正好可以被實數

填滿。

第三章圖形的平移與旋轉

平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為

平移。

平移的基本性質：經過平移，對應線段、對應角分別相等；對應點所連的線段

平行且相等。

旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖

形運動稱為旋轉。

這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。

旋轉的性質：旋轉后的圖形與原圖形的大小和形狀相同；

旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等；

對應點到旋轉中心的連線所成的角度彼此相等。

第四章四平邊形性質探索

※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形

不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對鹿殖。

※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另

一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

※菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質：具有平行四邊形的性質，且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直

平分,每一條對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊

形。

※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩

形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形（根據定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

※正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是

軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

※正方形常用的判定：

有一個內角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系（如圖所示）:

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。

同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。

※多邊形內角和：n邊形的內角和等于（n-2）-180°

※多邊形的外角和都等于360。

※在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180。，如果旋轉前后的圖形互相重合，那

么這個圖開叫做史心對稱圖形。

※中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段被對稱中心平分。

第五章位置的確定

※平面直角坐標系概念：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平

面直角坐標系，水平的數軸叫x軸或橫軸；鉛垂的數軸叫y軸或縱軸，兩數軸的

交點。稱為原點。

※點的坐標：在平面內一點P,過P向x軸、y軸分別作垂線，垂足在x軸、y軸上

對應的數a、b分別叫P點的橫坐標和縱坐標，則有序實數對（a、b）

叫做P點的坐標。

※如何根據已知條件建立適當的直角坐標系？

根據已知條件建立坐標系的要求是盡量使計算方便，一般地沒有明確的方法,

但有以下幾條常用的方法：①以某已知點為原點，使它坐標為（0,0）；②以圖

形中某線段所在直線為X軸（或y軸）；③以已知線段中點為原點；④以兩直線

交點為原點；⑤利用圖形的軸對稱性以對稱軸為y軸等。

※圖形“縱橫向伸縮”的變化規律：

A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別變成原來的n倍時，所

得的圖形比原來的圖形在橫向：①當n>l時，伸長為原來的n倍；②當0<n〈l

時，壓縮為原來的n倍。

B、將圖形上各個點的坐標的橫坐標不變，而縱坐標分別變成原來的n倍時，所

得的圖形比原來的圖形在縱向：①當n〉l時，伸長為原來的n倍；②當0<n〈l

時，壓縮為原來的n倍。

※圖形“縱橫向位置”的變化規律：

A、將圖形上各個點的坐標的縱坐標不變，而橫坐標分別加上a,所得的圖形形

狀、大小不變，而位置向右（a〉0）或向左（a〈0）平移了|a|個單位。

B、將圖形上各個點的坐標的橫坐標不變，而縱坐標分別加上b,所得的圖形形

狀、大小不變，而位置向上（b〉0）或向下（b〈0）平移了|b|個單位。

※圖形“倒轉與對稱”的變化規律：

A、將圖形上各個點的橫坐標不變，縱坐標分別乘以T,所得的圖形與原來的

圖形關于x軸對稱。

B、將圖形上各個點的縱坐標不變，橫坐標分別乘以T,所得的圖形與原來的

圖形關于y軸對稱。

※圖形“擴大與縮小”的變化規律：

將圖形上各個點的縱、橫坐標分別變原來的n倍（n>0）,所得的圖形與原圖形

相比，形狀不變；

①當n>l時，對應線段大小擴大到原來的n倍；

②當0<n〈l時，對應線段大小縮小到原來的n倍。

第六章一次函數

※一次函數：若兩個變量x,y間的關系式可以表示成丫=1^+1）e￡0）的形式,則稱y

是x的一次函數（x為自變量,y為因變量）。特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函

數。

※正比例函數y=kx的圖象是經過原點（0,0）的一條直線。

派一次函數圖像的性質：

當k>0時,y隨x的增大而增大；當k〈0時,y隨x的增大而減小。

>o

ko

>0-

<O

第七章二元一次方程組

※含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方

程。兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元二次方程組。

※解二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法

（無論是代入消元法還是加減消元法，其目的都是將“二元一次方程”變為“一

元一次方程”，所謂之“消元”）

※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：

①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x或y；但也有時也須

根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；

②尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到

此句話即可根據其列出方程）。

派處理問題的過程可以進一步概括為：

問題勰-方程絢求解

一解答

第八章數據的代表

※加權平均數：一組數據占'工2，?一￡的權分加為叱，叱，…得，則稱

X"+々叫+…+居嗎

"+叫+???+”,為這n個數的加權平均數。

（如：對某同學的數學、語文、科學三科的考查，成績分別為72,50,88,而三

72x4+50x3+88x1

項成績的“權”分別為4、3、1,則加權平均數為：4+3+1）

※中位數：一般地，n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數

據的平均數）叫做這組數據的空位數。

※眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。

※眾數著眼于對各數據出現次數的考察，中位數首先要將數據按大小順序排列，而且要注意

當數據個數為奇數時，中間的那個數據就是中位數；當數據個數為偶數時，居于中間的兩

個數據的平均數才是中位數，特別要注意一組數據的平均數和中位數是唯一的，但眾數則

不一定是唯一的。

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第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一、一般地，用符號（或M）（或">'）連接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

2、不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構成不等式的解

集.

3、求不等式解集的過程叫解不等式.

4、由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組

5、不等式組的解集：一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性質1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得

的結果仍是等式.

基本性質2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數（除數不為0）,所得

的結果仍是等式.

二、不等式的基本性質1：