高二數學試卷奧數題及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.若函數f(x)=ax^2+bx+c滿足f(0)=0，f(1)=1，且f(x)的圖像與x軸有兩個交點，則a的取值范圍是（）。A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0答案：B解析：由題意知f(0)=0，所以c=0。又因為f(1)=1，代入得a+b=1。由于f(x)的圖像與x軸有兩個交點，所以判別式Δ=b^2-4ac>0。代入c=0，得b^2-4a>0。由于a+b=1，可得b=1-a。將b代入判別式，得(1-a)^2-4a>0。解得a<0。2.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2，若f(x)的極值點為x0，則x0的取值范圍是（）。A.0<x0<1B.1<x0<2C.0<x0<2D.1<x0<3答案：B解析：求導得f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。由于f''(x)=6x-6，當x∈(0,2)時，f''(x)<0，說明f(x)在(0,2)上是凹函數，即存在極大值點。又因為f(1)=0，所以x0∈(1,2)。3.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求數列{an}的通項公式an（）。A.an=2^n-1B.an=2^(n-1)+1C.an=2^n+1D.an=2^(n-1)-1答案：A解析：由遞推關系an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)。令bn=an+1，則bn=2bn-1。由于b1=a1+1=2，所以數列{bn}是以2為首項，2為公比的等比數列，即bn=2^n。所以an=bn-1=2^n-1。4.已知三角形ABC的內角A、B、C滿足A+B=2C，且a=2，b=3，求c的值（）。A.√7B.√13C.√21D.√35答案：B解析：由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC。由于A+B=2C，所以sinA+sinB=2sinC。將正弦定理代入，得2/sinA+3/sinB=c/sinC。又因為a^2=b^2+c^2-2bccosA，代入a=2，b=3，得4=9+c^2-6ccosA。將sinA+sinB=2sinC代入，得4=9+c^2-3c。解得c=√13。二、填空題（每題5分，共20分）5.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(1)的值。答案：0解析：求導得f'(x)=3x^2-6x+2。代入x=1，得f'(1)=3-6+2=0。6.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，a3=4，求S5的值。答案：15解析：由等差數列的性質，a3=a1+2d，得d=3/2。所以a5=a1+4d=7。由等差數列前n項和公式Sn=n(a1+an)/2，得S5=5(1+7)/2=15。7.已知雙曲線C的方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1，若雙曲線C的一條漸近線方程為y=√3x，則b/a的值為。答案：√3解析：雙曲線的漸近線方程為y=±(b/a)x。由題意知b/a=√3。8.已知三角形ABC的三邊長分別為a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且a+b=4，求c的值。答案：2√2解析：由勾股定理的逆定理，a^2+b^2=c^2，說明三角形ABC為直角三角形。由a+b=4，得(a+b)^2=16。又因為a^2+b^2=c^2，所以2ab=16-c^2。解得ab=(16-c^2)/2。由基本不等式，(a+b)^2≥4ab，即16≥2(16-c^2)，解得c^2≤8，所以c=2√2。三、解答題（每題15分，共30分）9.已知函數f(x)=x^3-3x^2+2x，求證：f(x)在(1,+∞)上單調遞增。證明：求導得f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。由于f''(x)=6x-6，當x>1時，f''(x)>0，說明f'(x)在(1,+∞)上單調遞增。又因為f'(1)=0，所以當x>1時，f'(x)>0。因此，f(x)在(1,+∞)上單調遞增。10.已知數列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求證：數列{an}是單調遞增數列。證明：由遞推關系an+1=2an+1，可得an+1-an=an+1。令bn=an+1-an，則bn=bn-1